第3單元 正比例和反比例例題1：數學課上文老師出了一道填數題：（）（）小麗馬上舉手回答：“填0，左邊00，右邊00，左邊右邊”小明也舉手回答：“根據乘法的交換律，左邊填，右邊填，左邊右邊”。（1）你能在橫線中填出其他適當的數嗎？（）（） （）（）（）（） （）（）（2）你認為可以填多少對數？將你的填數方法用文字表述出來。解析：可以利用比例的基本性質解決本題：（1）我可以令算式的結果分別等于1、2、3、4，分別求出括號里需要填的數即可；（2）先把算式設為ab，根據比例的基本性質，然后找出a、b之間的關系即可。解答：（1）55 1081512 2016（2）設算式為：ab 所以: b:a:4:5也就是ba, 即第二個括號里的數是第一個個括號里的數的。例題2：買筆記本的數量和錢數的關系如下表：數量Z本0l234567總錢數/元01.534.567.5（1）將表格補充完整，根據表中的數據，在圖中描點再順次連接。（2）哪個量沒變？數量和總價之間成什么比例？（3）從圖中可以看出，如果買9本筆記本，需要多少元錢？解析：此題涉及的知識點是：繪制折線統計圖的方法，以及成正比例關系的量的特點。（1）觀察表格中的數據，可知：每本的價格是1.5元，由此可以完成上表，從而完成統計圖；（2）根據數量和總價之間的變化關系得出數量與總價成正比例的特點；（3）將題中給出數據，代入數據即可計算得出。解答：（1）根據題意可知：每本的價格為1.5元，由此可完成下表：數量Z本0l234567總錢數/元01.534.567.5910.5根據表格中數據可在下圖中描點連線，得出統計圖如下圖：（2）單價沒有變，數量與總價之間成正比例。（3）91.513.5（元），答：單價不變，數量與總價之間成正比例，如果買9本筆記本，需要13.5元。例題3：同學們做早操，每行站的人數與站的行數關系如表：每行站的人數8l2l62448站的行數60403020l0解析：（1）寫出幾組對應的行數和每行站的人數的乘積，并比較它們的大小。（2）這個乘積表示什么意義？用關系式表示它與以上兩種量之間的關系。解答：（1）8601240163024204810480（人）；（2）行數和每行站的人數的乘積表示總人數，行數每行站的人數總人數，所以行數和每行站的人數成反比例關系。例題4：觀察下面兩個表格，并回答問題。（1）搶運救災物資卡車的載重量和需要卡車的數量如下表卡車載重量/噸2451020需要卡車數量/輛502520105（2）用同樣的卡車搶運救災物資的噸數和需要卡車數量如下表物資總重量/屯1525303540需要卡車數量/輛35678根據表中信息，分別用數量關系式表示每個表中兩個相關聯的量之間的關系，再判斷哪兩個量成正比例，哪兩個量成反比例。解析：此題屬于辨識成正、反比例的量，判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。解答：（1）因為：502100，254100，205100，1010100，1020100，由此可以得出：車輛的載重量所需車輛的數量這批救災物資的總重（一定），所以卡車的載重量與所需車輛的數量成反比例；（2）因為1535，2555，3065，3575，4085，由此可以得出：物資總重量需要卡車的數量每輛卡車的載重量（一定），所以物資總重量和需要卡車的數量成正比例。例題5：江叔叔自駕車去中國最美的鄉村-婺源游玩，下面是他駕車從“小橋流水人家”景區到“臥龍谷”景區行駛路程與耗油量之間的關系統計表。路程/千米l020304050耗油量/升l2345（1）在如圖中描出表示路程和對應耗油量的點，然后把它們按順序連起來（2）行駛路程與耗油量成什么比例？為什么？（3）“小橋流水人家”景區到“臥龍谷”景區的路程有75千米，汽車行駛需耗油多少升？（用比例解）（4）游玩完“臥龍谷”景區后，江叔叔還想去60千米外的“鴛鴦湖”景區參觀，此時油箱里大約還剩下30升油，他游完“鴛鴦湖”后，返回“小橋流水人家”中途他需要加油嗎？（直接口答）解析：（1）首先要根據統計表中的數據，描出5個點，再連線。（2）如果兩種相關聯的量，它們的比值是一定的，那么它們就成正比例關系（3）設需要耗油X升，由題意得：75：X10：1，解出即可。（4）算出從“臥龍谷”到“鴛鴦湖”需要多少升油，然后乘以2再加上（3）求出的7.5，算出的得數，與30比較。解答：（1）根據統計表中的數據，描出5個點，連線如下：（2）10（一定），所以行駛路程與耗油量成正比例答：行駛路程與耗油量成正比例。（3）設需要耗油X升，由題意得：75:X10:110X75X7.5答：汽車行駛需耗油7.5升。（4）他不需要加油。60106（升）62+7.512+7.519.5（升）19.530答：他中途不需要加油。例題6：同一時間、同一地點測得樹高和影長的數據如表：樹高/m2346影長/m1.62.43.24.8(1）在圖中描出表示樹高和對應影長的點，然后把它們連起來。（2）連線以后觀察，它們是在一條直線上嗎？說明樹高和影長成什么比例關系？（3）不計算，利用圖象判斷，樹高8米時，影長是多少米？影長4米時，樹高多少米？解析：（1）先依據所給數據描出對應點，進而可以連接各點，再觀察圖象的特點即可；（2）通過圖象特點，即可發現規律；（3）依據樹高和影長的比例關系，即可判斷樹高8米時，影子的長度；以及影長4米時，樹高的長度。解答：（1）所作圖象如下圖，觀察發現：表示樹高和對應影長的點，都在一條直線上。（2）連線以后，發現表示樹高和對應影長的點，都在一條直線上，這說明樹高和影長成正比例關系，因為隨著樹的高度的增加，影長也在增加，且樹高與影長的商是一定的，所以樹高和影長成正比例關系；（3）設樹高8時，影長為x米，影長4m時，樹高y米，則有2:1.68:x2x81.62x12.8x6.4；2:1.6y:41.6y421.6y8y5答：樹高8m時，影長6.4米，影長4m時，樹高5米。例題7：一輛汽車從甲地到乙地，計劃每時行50千米，8時到達。但實際上3時就行了240千米，照這樣的速度，汽車一共幾時就可以到達乙地? (要求:先用正比例的方法解答，再用反比例的方法解答。)解析：首先找出題目中的兩種相關聯的量，然后分別按照正比例的意義和反比例分意義列出算式，由此解決問題。方法一:用正比例的方法解答。因為路程時間速度（一定），所以速度一定，路程和時間成正比例。方法二：用反比例的方法解答因為速度時間路程（一定），所以路程一定，速度和時間成反比例。解答：方法一：設汽車一共行x時就可以到達乙地。240 : 3（508）: x240x1200x5答：汽車一共5時就可以到達乙地.方法二：設汽車一共行x時就可以到達乙地，由題意可得（2403）x50880x400x5答：汽車一共5時就可以到達乙地.例題7：觀察下面兩個關于購買方便面的統計表.回答問題。第一個統計表：數量（包）51015總價（元）7.51522.5上表中。購買方便面的數量和總價是怎樣變化的?它們成什么比例?第二個統計表：單價（元/包）1.21.82.4數量（包）302015上表中，購買方便面的單價和數量是怎樣變化的?它們成什么比例?議一議:當總價一定時，單價和數量成什么比例?當數量一定時，總價和單價成什么比例?當單價一定時，總價和數量成什么比例?解析：觀察第一個統計表，發現隨著購買數量的增加，總價也在不斷地增加，數量越少，總價越少。由1.5，1.5，1.5，可以看出單價（一定），由此可以判斷購買數量和總價成正比例。第二個統計表，發現購買方便面的單價越高，購買的數量越少，單價越低，購買的數量越多，即單價X數量總價(一定)，也就是說在總價一定時，單價和購買數量成反比例。0.74028,1.42028,2.81028，可以看出單價數量總價（一定），所以當總價一定時，單價和數量成反比例。根據上述分析可以知道正比例和反比例的異同點：相同點：1都有兩種相關聯的量。2一種量隨著另一種量變化。3都必須有一個量一定。不同點：正比例：1.變化方向相同，一種量擴大或縮小，另一種量也擴大或縮小相同的倍數；2.相對應的兩種量的比值(商)一定。反比例：1.變化方向相反，一種量擴大或縮小，另一種量反而縮小或擴大相同的倍數；2、相對應的兩種量的積一定。解答：(1)當總價一定時，單價和數量成反比例;(2)當數量一定時，總價和單價成正比例;(3)當單價一定時.總價和數量成正比例