5.1.4 等式與方程u 教學(xué)內(nèi)容：教科書第7677頁例1、例2、例3，教材第77頁課堂活動(dòng)及教材第7778頁練習(xí)十九第15題。u 教學(xué)提示：這部分主要包括：用字母表示數(shù)的意義和方法、簡易方程的概念和解方程的方法、用方程解決問題。通過“議一議”對方程概念、等式性質(zhì)整理的教學(xué)，主要是通過提出引導(dǎo)性問題啟發(fā)學(xué)生自主回憶和思考，并結(jié)合適當(dāng)?shù)摹⒂嗅槍π缘木毩?xí)加以鞏固。包括等式和方程的意義及其兩者的聯(lián)系和區(qū)別，等式的基本性質(zhì)。例1：涉及到用字母表示數(shù)和用字母表示數(shù)量關(guān)系，通過本例題的教學(xué)，可以使學(xué)生對用字母表示數(shù)有更深刻的理解，促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展，為列方程解決問題打下良好的基礎(chǔ)。教學(xué)時(shí)，首先可以采用適當(dāng)?shù)男问絼?chuàng)設(shè)情境引出問題，然后讓學(xué)生獨(dú)立解決例題中的兩個(gè)問題，最后讓學(xué)生開展交流。可以通過一定的練習(xí)復(fù)習(xí)用字母表示運(yùn)算定律、公式、計(jì)算法則，以及字母與字母、字母與數(shù)字相乘的書寫形式等。例2是復(fù)習(xí)解方程，可以讓學(xué)生自主解方程后交流解法。在交流時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)化如何根據(jù)方程的特點(diǎn)運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程。例3是對列方程解決問題的復(fù)習(xí)。教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生獨(dú)立解決再交流，交流時(shí)應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生對找等量關(guān)系的分析。u 教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：在具體情境中會(huì)用字母表示數(shù)，會(huì)用方程表示簡單情境的等量關(guān)系。進(jìn)一步理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解簡易的方程。2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生通過回憶、討論、交流，結(jié)合練一練，加深對所學(xué)知識(shí)的理解，提高掌握水平。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)到列方程解決問題在某些情況下的優(yōu)越性，從中感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。u 重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用方程表示簡單情境中的數(shù)量關(guān)系，能熟練地解簡單的方程。教學(xué)難點(diǎn)：能用方程解決問題，提高解決問題的能力。u 教學(xué)準(zhǔn)備: 教具準(zhǔn)備：多媒體課件學(xué)具準(zhǔn)備：數(shù)量關(guān)系收集卡等u 教學(xué)過程：（一）新課導(dǎo)入談話：同學(xué)們，方程對于我們來講并不陌生，說一說你對方程的知識(shí)都有哪些了解？你認(rèn)為自己對有關(guān)方程的哪些知識(shí)掌握的比較好?預(yù)設(shè)（生：解方程，大部分學(xué)生回答）是嗎？我要出一道題考考大家。（師板書：3x+7=22）【設(shè)計(jì)意圖：這是一道既包含運(yùn)用等式性質(zhì)一又包含運(yùn)用等式性質(zhì)二解方程的題目，為下面復(fù)習(xí)方程的意義，等式的性質(zhì)，用字母表示數(shù)，方程的解，解方程，檢驗(yàn)等數(shù)學(xué)概念進(jìn)行鋪墊，這樣既給學(xué)生設(shè)置復(fù)習(xí)坡度，又復(fù)習(xí)了已經(jīng)學(xué)過的概念，與此同時(shí)也讓學(xué)生理解了概念背后的知識(shí)。】（二）知識(shí)梳理1.教學(xué)議一議（1）你能舉出一些字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的例子嗎？（2）什么是方程？方程與等式有什么聯(lián)系和區(qū)別？（3）什么是方程的解？什么叫解方程？（4）你對等式的性質(zhì)有哪些了解？先讓學(xué)生在小組內(nèi)議一議，再組織學(xué)生進(jìn)行全班交流。通過全班交流，師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)。用字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系的例子：一件商品單價(jià)a元，買4件這樣的商品一共需要4a元 S=vt S=r 方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。方程一定是等式，但是等式不一定都是方程。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上相等的數(shù)或式子，兩邊依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘（或除）相等的非零的數(shù)或式子,兩邊依然相等。若a=b 那么有ac=bc 或ac=bc （a、b0 或 a=b ，c0）2.教學(xué)例1（1） 出示例1，引導(dǎo)學(xué)生獲取信息。（2） 獨(dú)立思考，獨(dú)立完成例1第（1）小題。（3）小組內(nèi)交流、討論。小組匯報(bào)：他這次北京之行的伙食費(fèi)為：6b元。教師根據(jù)學(xué)生匯報(bào)情況給予鼓勵(lì)性表揚(yáng)，同時(shí)提問：想一想，在一個(gè)含有字母的式子里，數(shù)與字母，字母與字母相乘，書寫時(shí)應(yīng)注意什么？預(yù)設(shè)：生1：在一個(gè)含有字母的式子里，數(shù)與字母，字母與字母相乘，乘號(hào)可以省略不寫或者記作“”。生2：當(dāng)數(shù)字與字母相乘時(shí)，一般數(shù)字寫在前面，字母寫在后面，中間的乘號(hào)省略不寫。（4）學(xué)生獨(dú)立完成例1第（2）小題.先組內(nèi)交流然后全班交流、訂正。抽調(diào)學(xué)生板演。 這次旅游一共需要的錢數(shù)：（4162+4a+6b+600）=（832+4a+6b+600）元教師強(qiáng)調(diào)指出：在一個(gè)含有字母表示數(shù)的式子里有加減關(guān)系時(shí)，如果式子后面帶單位，要不這個(gè)式子用括號(hào)括起來。3.教學(xué)例2(1) 出示例2。(2) 先讓學(xué)生說一說，解方程的依據(jù)是什么？再讓學(xué)生獨(dú)立解決，并指名演板，全班交流。小組展示：3x+6=7 2x5-1.5=1.5解：3x+6-6=7-6 解： 2x5-1.5+1.5=1.5+1.53x = 1 2x5=33x3 = 13 2x =15x= x=7.54.教學(xué)例3出示例3，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，從題目中獲取相關(guān)信息。問：根據(jù)題意你能說出哪些相等關(guān)系？預(yù)設(shè)：生1：已行的路程+未行的路程=總路程生2：總路程-已行的路程=未行的路程生3：路程=時(shí)間速度問：你能根據(jù)上面的相等關(guān)系列出方程嗎？學(xué)生獨(dú)立完成，小組內(nèi)交流。小組匯報(bào)，指名演板，全班交流。3x+72=912x=280說一說：怎樣檢驗(yàn)結(jié)果是否正確？學(xué)生思考后回答。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)列方程解應(yīng)用題的步驟：審題 找出相等的數(shù)量關(guān)系式 設(shè)未知數(shù)列出方程 計(jì)算并檢驗(yàn)【設(shè)計(jì)意圖：找出數(shù)量間的相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)，因此我在教學(xué)時(shí)先讓學(xué)生找出題目中的相等關(guān)系，然后再讓學(xué)生根據(jù)相等關(guān)系列方程求解，這樣處理降低了難度，突破了列方程解應(yīng)用題的瓶頸，收到了理想的效果。】（三）鞏固新知學(xué)生獨(dú)立完成課堂活動(dòng)第1題，第（1）小題的字母表示數(shù)，這里首先要設(shè)出一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，然后在用字母表示出碼數(shù)與厘米之間的關(guān)系，第（2）小題是一道開放性的題目，學(xué)生可根據(jù)自己的實(shí)際情況計(jì)算。學(xué)生獨(dú)立完成課堂活動(dòng)第2、3題，先在小組內(nèi)交流，然后全班交流，集體訂正。（四）達(dá)標(biāo)反饋1.填一填。（1）媽媽給明明a元，明明買了m個(gè)筆記本，還剩b元，每個(gè)筆記本( ) 元。（2）一塊長方形花壇的面積是 120平方米，長x米，寬 （ ）米。（3）三年級(jí)植樹68棵，六年級(jí)比三年級(jí)多植x棵，那么68x表示 （ ）。2.解方程：x0.751.25 xx8.1 40.7x102 3.六年級(jí)三個(gè)班共有51人，一班的人數(shù)是二班的，三班的人數(shù)是二班的，六年級(jí)二班有多少人？答案：1.（1）（a-b)m （2）120x （3）六年級(jí)植樹的棵數(shù)2.x1 x9 x140 3.解：設(shè)六年級(jí)二班有x人 x+x+x=51 x=20（五）課堂小結(jié)今天我們研究的課題是等式與方程的復(fù)習(xí)，同學(xué)們都有哪些收獲和不足，請說出來和大家共同分享。【設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生總結(jié)本課所學(xué)內(nèi)容收獲與不足，可以使學(xué)生對等式與方程的相關(guān)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生更加牢固的掌握等式與方程的相關(guān)知識(shí)。】（六）布置作業(yè)1.判斷題。（對的在括里面打“”，錯(cuò)的在括號(hào)里面打“”）（1）含有未知數(shù)的式子叫方程。 （ ）（2）x=9是方程。 （ ）（3）方程一定是等式。 （ ）（4）a是自然數(shù)則2a+1一定是奇數(shù)。 （ ）2.解方程x5=18 3x+x=11 x+ 60x = 32 3.解決問題。水果商店原來有水果1500千克，其中蘋果占總數(shù)的25%后來又購進(jìn)一些蘋果，這時(shí)蘋果占水果總數(shù)的40%,后來又購進(jìn)多少千克蘋果？答案：1.（1）（2） （3）（4）2. x=90 x=3 x = 20 3.解：設(shè)后來又進(jìn)了x千克蘋果 （1500+x)（1-40%）=1500（1-25%） x=375u 板書設(shè)計(jì)等式與方程用字母表示數(shù)的意義 等式 等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上相等的數(shù)或式子，兩邊依然相等。 性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘（或除）相等的非零的數(shù)或式子,兩邊依然相等。方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。方程與等式的關(guān)系：方程一定是等式，但是等式不一定都是方程。u 教學(xué)資料包（一） 教學(xué)精彩片段等式與方程（教學(xué)片斷）教學(xué)內(nèi)容：教科書第76頁例1等。1.怎樣用字母表示數(shù)的復(fù)習(xí)教師：我們知道，用字母可以簡明地表達(dá)數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和計(jì)算公式，為研究和解決問題帶來了很多方便。想一想，在一個(gè)含有字母的式子里，字母與數(shù)字、字母與字母相乘應(yīng)該怎樣書寫？如a乘2.5可以怎樣寫？用S表示三角形的面積，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，你可以怎樣表示三角形的面積公式？學(xué)生：數(shù)字與字母相乘，可以省略乘號(hào)，但數(shù)字必須寫在前面，如a2.5可以這樣寫：2.5a。學(xué)生：字母與字母相乘，可以省略乘號(hào)，如三角形的面積公式：S=12ah。2.用字母表示數(shù)的應(yīng)用情景（教師口述）：暑假快到了，辛苦了一學(xué)期的劉老師準(zhǔn)備利用假期到北京去旅游。劉老師預(yù)計(jì)去北京有以下幾方面的費(fèi)用開支（出示下表）：教師：據(jù)劉老師調(diào)查，他去北京的火車票是每張416元，其他開支包括在北京的交通、購物等費(fèi)用，預(yù)計(jì)600元（隨著教師的口述，一并在上表中出示這兩個(gè)數(shù)據(jù)）。其他的開支，劉老師還沒有確定，你能用字母表示嗎？隨著學(xué)生說，教師在上表中分別出示a，b。于是上表變成教師：如果劉老師在北京游覽4天，根據(jù)表中的信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？預(yù)計(jì)學(xué)生可能提出的問題有：（其中天數(shù)不一定是4天，只要恰當(dāng)即可）學(xué)生：劉老師在北京游覽4天的住宿費(fèi)要多少？學(xué)生：劉老師在北京游覽4天的伙食費(fèi)要多少？學(xué)生：劉老師在北京游覽4天，他這次北京之行的全部費(fèi)用是多少？學(xué)生獨(dú)立解決第三個(gè)同學(xué)提出的問題，再交流。學(xué)生可能這樣說：劉老師北京之行的費(fèi)用就是要把火車費(fèi)、住宿費(fèi)、伙食費(fèi)和其他開支加起來，乘火車的費(fèi)用是4162832元，住宿費(fèi)是4a元，伙食費(fèi)是6b元（含在火車上2天），所以北京之行的總費(fèi)用應(yīng)是：8324a6b600。教師：式子中的a,b可以代表多少呢？學(xué)生：a,b是字母，可以代表任何數(shù)。教師：可以代表任何數(shù)，真的隨便哪個(gè)數(shù)都可以嗎？學(xué)生：不對，a,b在這里是代表劉老師每天在北京的住宿費(fèi)和伙食費(fèi)，因此它代表的數(shù)要符合實(shí)際。教師：你們認(rèn)為a,b在這里應(yīng)是多少合適呢？請根據(jù)你的理解和對北京生活的了解，給劉老師確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，并算出劉老師北京之行究竟需要多少錢。并說說你這樣確定的理由。學(xué)生獨(dú)立解決后交流可能出現(xiàn)：學(xué)生：北京的生活很高，但考慮到劉老師的經(jīng)濟(jì)不太寬余，標(biāo)準(zhǔn)不能定得太高，所以，我給劉老師的住宿費(fèi)確定的標(biāo)準(zhǔn)是每天80元，生活費(fèi)平均每天定為40元。因此算出劉老師北京之行的費(fèi)用是：8324806406001992元。學(xué)生：我想給劉老師的住宿和生活定高一點(diǎn)，因?yàn)榻處煟耗阏J(rèn)為劉老師在北京游覽4天合適嗎？如果不合適，請你確定一個(gè)天數(shù)，并用含有字母的式子表示劉老師北京之行的費(fèi)用。【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用已有知識(shí)在情景中用字母表示數(shù)，這樣不但符合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)狀況，也使他們感受到用字母表示數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)，還能有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言刻畫現(xiàn)實(shí)世界的能力；給學(xué)生自主的空間，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。】（二） 數(shù)學(xué)資源1.填空題。（1）使方程左右兩邊相等的（ ），叫做方程的解。（2）求（ ）的過程叫做解方程。（3）小明買5支鋼筆，每支a 元；買4支鉛筆，每支b 元一共付出（）元。2.判斷題。（對的在括里面打“”，錯(cuò)的在括號(hào)里面打“”）（1）含有未知數(shù)的式子叫做方程。 （ ） （2）4x+5 、6x=8 都是方程。 （ ）（3）18x=6 的解是x3。 （ ） （4）等式不一定是方程，方程一定是等式。 （ ）三、選擇題。（1）下面的式子中，（ ）是方程。A.25x B.15312 C.6x16 （1）方程9.5x =9.5的解是（ ）。A.x9.+5 B.x19 C.x0（1）x 3.7是下面方程（ ）的解。A.6x 915 B.3x 4.5 C.14.8x 44.解方程。52x 15 913.5x 1.3 x +8.3=10.7 15x 3答案:1.（1）等式 （2）方程的解 （3）5a+4b 2. （1）（2）（3）（4）3.（1）C （2）C （3）C4. x=74 x=20 x=6 x=0.2資料鏈接“方程”的由來 同學(xué)們，我們已經(jīng)知道了方程的意義。但是，“含有未知數(shù)的等式”絲毫沒有“方”的意思，為什么叫做“方程”呢？ 要說明“方程”的由來，先得從我國古代的“籌算”說起。我們現(xiàn)在都用拉丁字母表示數(shù)，用阿拉伯?dāng)?shù)字寫數(shù)。可是我國古代的人們既不知道拉丁字母，也不認(rèn)識(shí)阿拉伯?dāng)?shù)字。他們是用“算籌”記數(shù)的。你看這個(gè)“算”字多有意思！上面是“竹”字，下面是“具”字，所以，“算”就是“竹制的計(jì)算工具”。從漢朝開始，人們用竹子制成許多長六寸（合現(xiàn)在的4.15市寸）的小竹棒，這些小竹棒就叫“算”，或者叫“籌”，我們現(xiàn)在把它叫做“算籌”，用算籌來計(jì)算的方法叫做“籌算”。 那么算籌又怎樣表示方程呢？公元 263年，數(shù)學(xué)家劉徽所注九章算術(shù)一書里有一個(gè)例子：“今有牛五、羊二，值金十兩；牛二、羊五，值金八兩。問牛羊各值金幾何？”劉徽就是用算籌表示出上面的問題的，要寫成現(xiàn)在的方程，就得先設(shè)未知數(shù)，用x表示一頭牛的價(jià)錢，用y表示一只羊的價(jià)錢，就得到： 5x2y = 10（右行） 2x5y = 8（左行） 這是兩個(gè)方程所組成的方程組，這種方程組要在初中數(shù)學(xué)才學(xué)到。 現(xiàn)在小朋友該明白了：在“方程”這個(gè)詞里，“方”就是“列籌成方”的意思，劉徽用算籌列出的方程不就是把算籌擺成了一個(gè)長方形嗎？“程”就是“課程”，所以“方程”就是“列籌成方的課程”。 方程的英語是 equation，就是“等式”的意思。這里當(dāng)然不會(huì)有“方”的含義。清朝初年。中國的數(shù)學(xué)家把 equation 譯成“相等式”，到清朝咸豐九年（公元1859年）才譯成“方程”。從這時(shí)候起，“方程”這個(gè)詞就表示含有未知數(shù)的等式，而劉徽所說的“方程”就叫做“方程組”了。劉徽 劉徽是中國古代最偉大的數(shù)學(xué)家之一 他是三國時(shí)代魏國人，籍貫山東，生卒年不詳，約死于西晉初年劉徽出身平民，終生未仕，稱為“布衣”數(shù)學(xué)家。 劉徽在童年時(shí)代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，是以九章算術(shù)為主要讀本的，成年后又對該書深入研究，于元263年左右寫成九章算術(shù)注，劉徽自序說：“徽幼習(xí)九章，長再詳覽 觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源。探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。劉徽在研究九章算術(shù)的基礎(chǔ)上，對書中的重要結(jié)論一一證明，對其錯(cuò)誤予以糾正，方法予以改并提出一些卓越的新理論、新思想九章算術(shù)注是劉徽留給后世的十分珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，是中傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論研究的奠基之作。 劉徽還著有重差一卷，專講測量問題他本來把重差作為九章算術(shù)注的第十卷，代初年改為單行本，并將書名改作海島算經(jīng)，流傳至今。 從劉徽著作來看，他學(xué)風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)事求是，而且富于批判精神，敢于創(chuàng)新，理論研究相當(dāng)深入堪稱數(shù)學(xué)史上的一代楷模