2.3 長方形和正方形面積公式的推導與運用n 教學內容教材第31-32頁例1、例2、“課堂活動”第1題以及練習六的第1-5題n 教學提示長方形、正方形面積計算公式的推導是學生認識了長方形、正方形的特征、知道了面積單位、學會用面積單位直接量面積的基礎上教學的，是學生第一次學習平面圖形的面積計算。學會長方形、正方形面積的計算，不僅是今后學習其它圖形面積的重要基礎，而且有助于發展學生的思維，培養學生的學習能力和空間觀念。學生最喜歡把自己當成探索者、研究者、發現者。本課時的教學要改變傳統的“傳遞接受”式教學模式，嘗試采用 自主探究式教學模式，貫穿“實驗-發現-驗證”思路，整節課教學過程要注重學習方法、思維方法、探索方法的獲取，讓學生主動獲取知識，同時也讓學生知道這些知識是如何被發現的，結論是如何獲得的，體現了“方法比知識更重要”這一新的教學價值觀。n 教學目標知識與能力1.理解長方形（正方形）面積與長和寬（邊長）之間的密切關系，知道面積公式的由來。2.掌握長方形、正方形面積的計算方法。3.通過面積公式的推導，培養動手操作實踐、遷移、類推能力和抽象概括能力。過程與方法1.經歷自己動手擺、動腦想和動口說長方形、正方形面積計算方法的發現過程。2. 滲透“猜想實驗發現驗證”的學習方法以及相關事物之間都是有內在聯系的辯證唯物主義思想。情感、態度與價值觀1.讓學生動手實驗操作、大膽猜想以激發學習數學的興趣；2.通過比較正方形和長方形面積計算方法的異同，滲透事物間相互聯系的辨證唯物主義觀念。n 重點、難點重點 通過動手操作、猜想、分析、驗證得到長方形、正方形面積的計算方法。難點 滲透“猜想實驗發現驗證”的學習方法以及相關事物之間都是有內在聯系的辯證唯物主義思想。n 教學準備教師準備：例1、例2教學課件、長是4厘米、寬是3厘米的長方形、邊長是1厘米的小正方形學生準備：長是4厘米、寬是3厘米的長方形，邊長是1厘米的小正方形20個n 教學過程（一）新課導入：師：同學們，上節課我們學習了有關面積的知識，還記得常用的面積單位有哪些嗎?生：(平方厘米、平方分米、平方米) 師：（出示一個邊長為1厘米的正方形）你知道這個圖形的面積是多少嗎？生：l平方厘米。師：下面這個長方形含有多少個1平方厘米的正方形，它的面積是多少平方厘米？師：剛才我們通過用數面積單位的方法，知道了長方形的面積。 （多媒體出示：姚明照片）時：他是誰呀?再出示籃球場，如果想知道籃球場的面積是多少，也用數方格的方法，你有什么感覺?(學生說太麻煩了)師：有沒有一種更好、更簡便的方法計算長方形的面積呢?今天我們這節課就一起來研究長方形和正方形的面積計算。(揭示課題) 設計意圖：通過復習，聯系學生熟悉的生活環境，以舊引新，激發認知沖突。同時感受到數學源于現實生活，數學能解決實際問題，從而激發學生的求知欲望，引出課題。參考：鋪墊引入法 師：上節課我們學習了關于面積的知識，什么是面積？常用的面積單位有哪些呢？（課件出示）一個長5厘米，寬3厘米的長方形和一個邊長是4厘米的正方形。師：這兩個圖形哪個面積比較大，大多少？你們會比較嗎？師：今天我們就研究長方形、正方形面積的計算（板書課題），齊讀課題。師：讀了這個課題，你想知道些什么？（問題：長方形的面積怎樣計算？正方形的面積又怎樣計算？）設計意圖：學起于思，思起于疑，疑解于問。通過不斷的問題沖突激活學生的思維，喚醒學生的探究的欲望，帶著問題與思考開始本節課的學習。（二）探究新知：知識點1：長方形和正方形面積計算公式的推導（教材第31頁例1）一、讀題找出已知和問題師：生活中許多地方需要用到長方形或正方形的面積，你知道它們的面積怎樣計算嗎？讀教材31頁例1，說說你能找出哪些已知信息和所求的問題。（預設）生1：長方形的長是4厘米，寬是3厘米生2：求這個長方形的面積是多少？二、探究長方形面積的計算方法1.猜一猜，想一想師：猜一猜，這個長方形面積的大小可能會與哪些因素有關系?生：長方形的面積可能會與長和寬的大小有關。師：長方形的面積是不是與長方形的長和寬有關呢?我們來做一個小小的實驗。設計意圖：“猜一猜”有利于活躍課堂氣氛，調動學生學習的積極性。放手讓學生大膽地猜想，是培養創新意識的前提。2.動手操作，驗證猜想師：請每小組拿出準備好的1平方厘米的正方形和長4厘米、寬3厘米的大長方形，小組合作擺一擺，然后看一看擺好后長是多少厘米，寬是多少厘米，數一數用了多少個1平方厘米的正方形，并把結果填在表格里。（由每組的小組長匯報結果）生：用面積為1平方厘米的正方形將長方形擺滿后，每行擺4個這樣的小正方形，共擺了3行，所以，這個長方形的面積是l2平方厘米。（學生填表）師：這種方法在數學上叫密鋪法（如下圖）。求長方形的面積就是求這個長方形含有多少個這樣的面積單位。師：你還有其他不同的方法也能驗證長方形的面積是12平方厘米嗎？把結果填在表中。（由每組的小組長匯報結果）生：沿長擺4個面積為l平方厘米的正方形，寬能擺這樣的3行，一共擺43=12（個）面積是1平方厘米的正方形（如下表）。師：上面的這種方法在數學上叫半鋪法。（如下圖）師：上面的兩種方法，哪種方法更簡單些？（小組討論，全班交流）生：雖然第二種方法沒有用邊長1厘米的正方形將整個長方形全部擺滿，但是可以清楚地看出一行擺了幾個，擺了幾行，第二種方法更為簡單些。設計意圖：兒童天性好動，在活動中容易使他們集中注意力誘發學習興趣。通過動手操作，使學生能真正參與知識的發生過程，能更深刻地理解長方形面積的計算方法的由來。培養了學生的操作能力，促進學生動作思維的發展，同時滲透了學習方法。師：請同學們仔細地觀察記錄表中的數據，你發現了什么? 生：長方形的面積所含的平方厘米數就是它的長與寬所含的厘米數的乘積。 師：我們簡單地記為(板書)：長方形面積=長寬師：這個發現是否準確無誤呢?我們還要對這個發現進行驗證。仍舊以小組為單位，用若干個1平方厘米的小正方形拼成長方形，怎么想怎么拼，并填表。 設計意圖：發現也有可能是錯誤或部分錯誤的，因此，發現后必須進行驗證，這是科學研究的重要環節。有拼面積相同的長方形到拼各種大小、形狀各異的長方形，滲透了從特殊到一般的推理方法。3歸納總結師：在各小組的努力下，我們證實了你們的發現：長方形的面積=長寬是正確的，讓我們用熱烈的掌聲對自己表示祝賀!4.規范解答43=12（平方厘米）答：這個長方形的面積是12平方厘米。設計意圖： 對猜想進行驗證后，得出的正確的結論，是需要師生共同歸納總結的，并要寫出規范的解答過程。知識點2：正方形面積計算方法的發現（教材第31頁試一試）1.讀題找出已知信息和問題師：讀“試一試”找出已知和問題生：已知有l6個lcm的正方形生2：問題是用這些小正方形拼擺長方形，并填表。長(cm)寬(cm)面積(cm2)二、操作探究師：拼擺記錄好以后想一想，并把你的拼擺結果用數學語言說一說。（預設）生1：擺出的長是16厘米時，寬是1厘米；生2：擺出的長是8厘米時， 寬是2厘米；生3：擺出的長是4厘米時， 寬也是4厘米；生4：擺出的長是2厘米時，寬是8厘米；生5：擺出的長是1厘米時，寬是16厘米。（記錄結果如下表）（課件出示）長(cm)168421寬(cm)124816面積(cm2)1616161616三、議一議師：觀察上面的表格，看一看，想一想，你發現了什么？生1：面積不變，都是16平方厘米，但是形狀不同了。生2：當長和寬相等時，長方形就變為正方形。生3：正方形的面積=邊長邊長設計意圖：正方形面積計算方法的的發現是通過操作活動擺一擺來實現的。教學時學生拼一拼、擺一擺、看一看、想一想，議一議，最后發現當長方形的長和寬相等時，長方形就變為正方形，這時正方形的面積就等于邊長邊長。知識點3：長方形或正方形面積的計算（教材第32頁例2）一、讀圖找已知和所求問題師：讀例2，你能找出哪些已知條件和所求的問題？（預設）生1：已知電視機顯示屏的長是48厘米，寬是27厘米。生2：遮蓋電視機的方巾是邊長9分米的正方形。生3：所求的問題（1）電視機顯示屏的面積是多少？（2）方巾的面積是多少？二、探究計算師：根據上面的已知信息，下面以小組為單位，先獨自解答，然后小組討論，最后全班匯報交流。（預設）生1：電視機的顯示屏的形狀是長方形，長是48厘米，寬是27厘米，求顯示屏的面積可以根據長方形的面積=長寬來計算。生2：遮蓋電視機的方巾是邊長9分米的正方形，求方巾的面積可以根據:正方形的面積=邊長邊長來解答。三、規范解答：（1）4827=1296（平方厘米） 答：電視機顯示屏的面積是1296平方厘米。（2）99=81（平方分米） 答：方巾的面積是81平方分米。設計意圖： 運用課堂學習的方法，立即運用解決問題，既培養了學生運用數學的意識和能力，又起到鞏固知識、加深理解公式的作用，更有首尾呼應之妙!（三）鞏固新知：1.“課堂活動”第1題。2.教材第33-34頁練習六的第1-5題。設計意圖： 1.對周圍觀察到的長方形的物體的面進行長和寬的測量，并計算出面積。通過觀察、判斷、測量、計算一系列活動，對長方形面積的計算方法進行練習，達到學以致用的目的。2.通過各種練習對新學的長方形和正方形的面積的計算方法進行運用練習。（四）達標反饋1.填一填，（1）長方形的長12厘米，寬8厘米，它的面積是( )平方厘米。（2）正方形的邊長是8分米，它的面積是（ ）。（3）小明用1平方分米的正方形紙板量課桌面的面積。沿著長擺6個，沿著寬擺4個，課桌面的面積是( )平方分米。（4）正方形的周長是32分米,面積是( )平方分米。2.計算下面圖形的面積。（單位：厘米）3.一張長方形的餐桌，桌面的長是14分米，寬是9分米，要配上同樣大小的玻璃，這塊玻璃的面積是多少平方米？4計算下面草坪的面積。答案：1.（1）96（2）64平方分米 （3）24 （4）642. 49=36（平方厘米） 55=25（平方厘米）3.149=126（平方分米）4.2016-99=320-81=239（平方分米）（五）課堂小結師：要想計算長方形的面積，必須知道什么條件？正方形呢？師：怎樣計算長方形、正方形的面積？計算長方形、正方形面積應該注意什么問題？（長和寬的單位名稱要先統一）設計意圖：通過給出一系列問題，用這些問題將課堂上所學知識串聯起來，形成系統結構。這些問題串涉及的都是知識的重點、難點，學生學習過程出現的盲點、弱點、易錯點、易忽視點。這種方法充分體現了教學中教師的主導作用，學生的主體地位。（六）布置作業1. 選擇 （1）長方形的面積計算公式是（ ）。 A、長2寬2 B、（長+寬）2 C、長寬 （2）正方形的邊長是4米，它的面積是（ ） A、16米 B、8平方米 C、16平方米 （3）周長相等的兩個長方形，它們的面積是（ ） A、不相等 B、相等 C、不一定相等 （4）一個正方形的邊長是4米，它的周長是（ ），面積是（ ）。 A 16米 B 8米 C 16平方米 2.填表3.先量一量，再求出面積。（單位：厘米）長=（ ）厘米 邊長=（ ）厘米寬=（ ）厘米 面積=（ ）平方厘米面積=（ ）平方厘米4.計算下面稻田的面積。5.小明畫了一個長是8厘米，寬是5厘米的長方形，求出它的面積。如果把寬延長3厘米，它的面積變成了多少平方厘米？6.在一張長是6米，寬是4米的長方形中剪下一個最大的正方形，剩下的圖形的面積是多少平方米？7.下圖是一塊打碎的玻璃，小明想求出這塊玻璃原來的面積，你能幫幫他嗎？把你的想法說一說。8.一個正方形的荷花池，周長是36米，它的面積是多少平方米?答案：1.（1）C (2)C (3)C (4)A C2.24厘米 32平方厘米 60分米 225平方分米3.略4.64=24（平方米） 55=25（平方米）5.85=40（平方厘米） 5+3=8（厘米） 88=64（平方厘米）6.64-44=8（平方米）7.測量出長和寬，然后再根據長方形的面積=長寬計算。8.364=9（米） 99=81（平方米）n 板書設計長方形、正方形面積的計算例1： 43=12（平方厘米） 答：這個長方形的面積 長方形的面積=每行的個數行數是12平方厘米。 長方形的面積= 長 寬正方形的面積= 邊長 邊長例2：（1）4827=1296（平方厘米） 答：電視機顯示屏的面積是1296平方厘米。（2）99=81（平方分米） 答：方巾的面積是81平方分米。結果。”我在這堂課中，多次運用小組合作。第一次是在學生嘗試求出長4厘米、寬3厘米的長方形的面積（有的學生獨立嘗試，有的學生同桌合作）。第二次是在拼各種長方形來驗證長方形的面積計算公式時，學生進行了小組合作。第三次是在對實驗形成的表格進行的小組討論，討論“長方形的面積=長寬”是不是正確時開展的n 教學資料包教學精彩片段正方形面積計算方法的發現：師：同學們看，剛才三幅畫的面積，有的大，有的小，憑你們的經驗，請你大膽地猜測一下，長方形的面積可能與它的什么有關系？ 生1：我認為長方形的面積和它的周長有關系。 生2：我認為長方形的面積和它長有關系。 生3：我認為長方形的面積和它寬有關系。 （學生回答后，老師結合課件的動態演示，讓學生確信長方形面積的大小與它的長和寬有關系。）教師結合課件演示，啟發學生思考：長方形的寬不變，長發生變化，它的面積怎么變化？長方形的長不變，寬發生變化，它的面積怎么變化？長方形的長和寬都發生變化，它的面積怎么變化？ 教師在大屏幕上出示：長方形的面積與它的長和寬有關系。設計意圖：蘇霍姆林斯基說，“每個人的內心里有一種根深蒂固的需要總想感到自己是發現者、研究者、探索者。在兒童的精神世界中，這種需求特別強烈。但如果不向這種需求提供養料，既不積極接觸事實和現象，缺乏認識的樂趣，這種需求就會逐漸消失，求知興趣也與之一道熄滅。”長方形面積的大小可能與哪些因數有關，是一個未知的挑戰，教學時讓學生大膽猜想，然后驗證，最后得出結論，充分體現了教師的主導學生的主體地位。教學資源“猜想驗證歸納運用”的小學數學教學模式猜想驗證是一種重要的數學思想方法，正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實。”因此，小學數學教學中教師要重視猜想驗證思想方法的滲透，以增強學生主動探索、獲取數學知識的能力，促進學生創新能力的發展，流程如下：（一）知識遷移有“理”猜想，激活思維（二）自主探究驗證猜想，加深理解。（三）完善發現歸納整理，內化知識。（四）應用猜想用之生活，培養思維。總之，“猜想驗證歸納運用”的小學數學教學模式的運用與新課程倡導自主探究學習的精神相吻合，這樣能給多的時空讓學生自主探索索，動手操作與合作交流，使學生思維更主動、更靈活、更廣闊、更深刻、更有利于良好的思維品質的培養，更有利于學生思維的系統性和深刻性，更有利于學生的未來發展。 類比的數學思想所謂類比推理是根據兩個( 或兩類) 不同的對象在某些方面( 屬性、關系、特征、形式等) 有相同或相似性, 猜測它們在其他方面也可能相同或相似, 即把信息從一個對象轉移到另一個對象, 并作出某種判斷的推理方法. 類比的實質 就是信息從模型向原型的轉移, 恰當地運用類比可以有效地培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力。波利亞關于為何要學習數學的精彩闡述一個重大的發現可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現。你要解答的題目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，并使你的創造力發揮出來，而且如果你用自己的方法解決了它，那么你就能經歷那種緊張狀態，而且享受那種發現的喜悅。在一個易受外界影響的年齡段，這樣的經歷可能會培養出對智力思考的愛好，并對思想和性格留下終生的影響。因此，一位數學教師就有著很大的機會。如果他所分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規運算，那么他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發展，從而錯失他的良機。相反地，一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養學生對獨立思考的興趣，并教給他們某些方法。如果一個學生的大學課程中包含了某些數學科目，那么他也就有了一個有獨特的機會。當然，如果他把數學看成是一門這樣的課程，他必須從中得到多少多少學分，而在期末考試后則應盡可能快地把它遺忘掉，那么他就失掉了這個機會。即使這個學生數學上有些天賦，他也有可能會失掉這一機會，因為和任何其他人一樣，他必須去發現他自己的天賦和興趣。要是他從未嘗過樹莓餡餅，他也就不可能知道自己會喜歡樹莓餡餅。然而，他卻有可能發現一道數學題目會如同一個縱橫字謎游戲一樣有趣，或者發現充滿活力的思維練習就像一場激烈的網球比賽一樣令人神往。在嘗到了數學帶來的樂趣以后，他就不會輕易地忘記，于是數學就很有機會成為他生活中的一部分：一種愛好，或者他專業工作中的一種工具，或者是他的職業，或者是一種崇高的抱負。涂泓 馮承天 譯波利亞簡介波利亞（George Polya，18871985），美國著名數學家和數學教育家。出生于匈牙利，1940年移居美國，歷任布朗大學和斯坦福大學的教授。美國國家科學院院士、美國藝術和科學院院士。其數學研究涉及復變函數、概率論、數論、數學分析、組合數學等眾多領域。數學淺談張五常 數學是一門很特殊的學問。怕數學的學生數之不盡。對一門學問產生了畏懼之心，要學得好就困難之極。是的，在學校的眾多科目中，怕數學的人遠比任何其它科目多。另一方面，一些學生小部分的學生似乎天生下來就不怕數學，考試時易如反掌似的。在這些喜歡數學的學生中，有一部分根本不用做什么功課。平常只聽聽課，翻翻書，就名列前茅。 善數的人顯然有點天分，有點不容易理解的天分。我曾經提及，數學天才與下棋天才有一點共同之處：他們的奇異功能來得很早。但除此之外，數學與下棋的天分似乎沒有一定的關聯。很多人認為這二者息息相關，但我知道的反證例子不勝枚舉。我在這個有趣的問題上想了很久，其答案是：下棋的本領是對未來變化的推斷，數學的本領是左右相等變化的推理，二者截然不同。下棋沒有（量），沒有相等這回事，而（相等）卻是數學的靈魂。 假若我們一定要找一種與數學有關的天才，那么絕大部分的讀者做夢也想不到是什么。我的答案是：數學天分與音樂天分有一定的關系！這個關系可不是我發現的。幾年前我讀過一篇關于這（關系）的報道，后來偶有機會，就在自己所知的例子中加以引證，其結果差不多十無一失。當然，懂音樂的人可能完全不懂數學，懂數學的可能不是知音人，但一個善（數）或善（音）的人，懂其一不懂其二，若要二者兼得，會是(順理成章)的容易事。 對數學與音樂相關這一怪現象，我也想了很久。我的答案是，撇開對耳朵有毛病的例外者不說，音樂與數學有一個重要的共同處：二者都是以符號代替某種量；而(量)的相等（或不相等），于數學與音樂都同樣重要。是的，音律的高低、強弱、快慢、長短，都是量，都是以符號代表的。這些，在概念上，數學與音樂相同。下棋既沒有量，也沒有符號，所以與數學的天分就沒有什么牽連。 數學與音樂還有一個共同處：這二者的天才往往在很年輕時表現出來。這一點，下棋的天才也類似。可能因為下棋與數學的天才都有早發的現象，而二者的逐步推理也有相同之處，所以就使人認為這二者有一定的關聯了。我個人的觀點是：推理的能力在任何學問上都重要，所以我們難以推理的理由來判斷某兩項造詣所獨有的關聯；但（量）與（符號）是很特別的因素，而這二者似乎只有數學與音樂是不可或缺而（并重）的。 我可以把自己作為一個例子，將以上的有趣問題分析一下。在經濟學者中，我的數學水平實在平平無奇。史德拉曾經對人說：（當世運用數學的經濟學者只有三人：艾智仁、高斯、張五常。）這顯然是夸張一點。艾智仁的數學本領不俗。我不怕數，在大學時學數學很快上手。問題是，學懂了的數，我過不了多時就忘記了。在統計學上我的經驗也是如此。 奇怪的是，我對數學的記憶力差，但在其它科目上我的記憶力很強。抽象推理的能力，我也是可以的。我的數學本領平平，不是因為我不明白，也不是因為我推理上有困難，而是因為容易忘記。（符號）與（量）相連的記憶，我有所不逮。于是，在左調右調的相等（符號）與（量）的數學中，我很容易一下子把方程式忘掉了。 假若我對自己上述的分析是正確的話，那么不善于數學的人是有一個頗為特別的弱點。我學數學學得快，是因為推理推得快。不幸的是，我忘記得也快。我不怕數學，是因為在學問上我是個天不怕、地不怕的人。在經濟學上我少用數學，不是因為我怕用，而是因為既然在推理上可以層次井然，就認為無須刻意地把數學強記而用之。 后學的人也許從我的經驗中能得到一些啟發。怕數學，既不治標，也不治本。若對數學膽怯，敬而遠之，怎可以學到？數學的天分，像音樂一樣，很奇特。不放膽嘗試就不能發掘自己那方面的才能。就算沒有天分、不善數的人的弱點也很奇特，有這弱點的人應該不多。就算有弱點吧，只要不膽怯，勇往直前，還是大有可為的。 我認為怕學數學，是因為數學是另一種語言。任何人初學一種語言，都會因陌生而產生某程度的恐懼感。文字（語言）也是一種符號，而數學是符號加量及相等的推理。這是說，數學是一種特殊的語言了。于是，初學的人就會一怕再怕，怕得心驚膽戰，不敢問津。 要學數學，首先要理解數學是什么的一回事。我不明白為什么中、小學的數學老師們，從來不在這方面詳加說明。學生對一種學問不知大概，會避之惟恐不及，而彷佛只有生來有天分的才可窺其門徑。這也許解釋了為什么善數與不善數的學生有那樣大的差別。張五常簡介張五常，男，1935年出生于香港。國際知名經濟學家，新制度經濟學和現代產權經濟學的創始人之一。他以佃農理論和蜜蜂的神話兩篇文章享譽學界