1.4 公因數、公倍數u 教學內容教材第12-14頁例認識公因數和求最大公因數，認識公倍數與求最小公倍數，課堂活動及練習四的相關內容。u 教材提示本節課是在學生學習了找因數和找倍數的基礎上，學習找兩個數的公因數和公倍數。本節課共有三個知識點：知識點一：公因數和公倍數的認識。知識點二：最大公因數的認識和求最大公因數的方法。知識點三：最小公倍數的認識和求最小公倍數的方法。 教材首先通過一個問題情境引入找公因數。把一個長方形剪成大小相等的正方形且沒有剩余，實際就是求長和寬的公有的因數。通過找公因數而得到最大公因數。再通過分別找兩個數的倍數中發現兩個數公有的倍數。并發現公倍數的個數有無限個，但有最小的公倍數。并讓學生學會用不同的方法來找最小公倍數。在教學的過程中，要讓學生學會用列舉法找公因數和公倍數，而對于用短除法來找最在公因數和最小公倍數，則是這節課的重點，也是難點。在教學中，我們可以借助列舉法來探討用短除法的方法，并結合2、3、5的倍數特征來進行短除法練習。u 教學目標知識與技能：探索找兩個數的公因數和公倍數的方法，會用列舉法和短除法來找兩個數的最大公因數和最小公倍數。經歷找兩個數的公因數的過程，理解最大公因數和最小公倍數的意義。過程與方法：經歷知識的整理與探究過程，增強歸納、概括等數學能力，進一步發展數感。情感、態度和價值觀：進一步發展與同伴進行合作交流的意識和能力，獲得成功的體驗。u 重點、難點重點找兩個數的公因數和公倍數。難點用短除法找兩個數的最大公因數和最小公倍數。u 教學準備教師準備：課件。學生準備：草稿本，長3厘米，寬2厘米的紙片，邊長分別為6厘米和8厘米的正方形。u 教學過程（一）操作活動導入：1.課前讓學生拿出準備好的長方形紙片和正方形。然后引導學生用長3厘米、寬2厘米的長方形紙片分別鋪邊長6厘米、8厘米的正方形。思考：能鋪滿哪個正方形？從中你發現了什么？學生獨立活動后指名在實物展示臺上鋪一鋪。2.引導：用長3厘米、寬2厘米的長方形紙片鋪邊長6厘米的正方形，每條邊各鋪了幾次？怎樣用算式表示？鋪邊長8厘米的正方形呢？每條邊都能正好鋪滿嗎？根據剛才鋪正方形的過程，在頭腦里想一想，用3厘米、寬2厘米的長方形紙片還可以鋪邊長多少厘米的正方形？在小組里交流。教師講解：6、12、18、24既是2的倍數，又是3的倍數，它們是2和3的公倍數。3.引入課題：這就是我們這節課要學習的內容：公因數、公倍數。板書課題：公因數、公倍數設計意圖：通過讓學生實際地操作來拼一拼，做一做，學生才能真切地感受到數學的神奇，增進學習數學的興趣，同時也在活動中培養了學生的探索精神。（二）探究新知：1、找公因數和最大公因數。（1）課件出示第12頁例1：一張長30厘米，寬12厘米的長方形紙，剪成大小相等的正方形且沒有剩余。提問：你認為該怎樣剪。這個邊長與長和寬有怎樣的關系？討論交流，得出結論：這個正方形的邊長應該能同時整除這個長方形的長和寬。也就是這個長方形長和寬的共有的因數，也就是公因數。（2）怎樣來找這兩個數的公因數呢？小組交流后匯報：可以先分別找出這兩個數的因數，再從兩個數的因數里找到它們公有的因數。提出練習要求：請同學們在草稿本上分別找出這兩個數的因數，再從這兩個數的因數里找到它們的公因數。學生在草稿本上找公因數。最后匯報交流，集體訂正。學生匯報：12的因數有：1，2，3，4，6，12.30的因數有：1，2，3，5，6，10，15，30.（3）什么叫公因數呢？啟發學生看書后回答：就是這兩個數共有的因數，如12和30的公因數有：1，2，3，6。引導找最大公因數：一個數的因數的個數是有限的。最大的因數是它本身，最小的因數是1.那兩個數的公因數中，最大的是幾呢？這個正方形最大的邊長是幾厘米？ 學生回答：從公因數里看，最大的公因數是6。所以這個正方形最大的邊長是6厘米。再次啟發學生尋求多種方法來求最大公因數：求兩個數的最大公因數是先求到公因數，再從公因數里找到最大的公因數。除了上面的列舉法外，還有別的方法嗎？學生匯報：還可以這樣做。即用畫圖法。教師講解說明：從圖中可以看出，1，2，3，6是12和30的公有的因數，叫做12和30的公因數。其中6是最大的一個公因數，叫做它們的最大公因數。設計意圖： 讓學生在動手活動中感受到公因數的實際應用，并認識公因數，再通過讓學生運用列舉的方法，讓學生主動獲取求最大公因數的方法。引導講解第三種求最大公因數的方法：還有一種求最大公因數的方法，叫短除法。這種方法該怎樣做呢？我們一起來學習一下。教師課件演示：因為12和30的個位上是0和2，這兩個數都能被2整除。所以用它們公有的因數2去除12和30，余6和15。我們發現6和15都有被3整除，所以再用它們的公因數3去除。余2和5。這時2和5只有公因數1了。就不能再除了。這時，我們要以把兩次的因數乘起來，就是這兩個數的最大公因數了。所以12和30的最大公因數是32=6。（4）課件出示第12頁試一試：讓學生用上面的方法試著找一找6和12的公因數和最大公因數？學生在草稿本上練習，最后匯報交流。引導總結：從這兩個數的公因數中，我們有什么發現？交流后匯報：這兩個數，其中的小數是大數的因數，大數是小數的倍數。所以當一個數是別一個數的因數時，這兩個數的最大公因數就是小數。啟發練習：再試著求7和9的最大公因數？學生通過練習和小組交流后匯報：因為7和9都是質數，所以它倆的公因數就為1.7和9的最大公因數為1。結論：當兩個數是質數時，它們的最大公因數為1。設計意圖： 在學生會用列舉法求最大公因數的基礎上，引導學生探究用分解質因數的方法來求最大公因數，拓展學生的數學思維能力。2、 找公倍數和最小公倍數。出示第12頁例2：讓學生嘗試找一找，想一想。從4的倍數和6的倍數表中，你發現了什么？學生先獨立觀察后，再在小組內交流，最后集體匯報。學生匯報：這個表中可以看出，12，24，36，既是4的倍數，又是6的倍數。教師講解：12，24，36，像這樣既是4的倍數，又是6的倍數的數，也就是4和6公有的倍數，叫做4和6的公倍數。而其中的12是公倍數中最小的倍數，叫做它們的最小公倍數。啟發學生用前面的分解質因數法和短除法來求最小公倍數。（1） 分解質因數法：先把4和6分解質因數，再找出它們共有的因數2，最后用它們公有的因數乘以各自的余數的各就是它們的最小公倍數，即：4=226=234和6的最小公倍數是223=12。（2） 短除法。4和6的最小公倍數是223=12。教師引導總結：現在我們來總結一下，求兩個數的最小公倍的方法有：（1）列舉法。也就是先各自找出兩個數的倍數，在從各自的倍數中找出兩個數的公倍數，最后找出兩個數的最小公倍數。（2）分解質因數法。先把這兩個數分解質因數，再找到它們公有的質因數，最后用它們公有質因數乘各自的余數。就得到這兩個數的最小公倍數。（3）短除法。 先找出這兩個數的公因數，再用公因數乘各自的余數，就得到兩個數的最小公倍數。（課件出示第13頁試一試）讓學生找出6和8的公倍數和最小公倍數嗎？3和7的最小公倍數呢？并讓學生從這兩道題中找到規律。學生先獨立在草稿本上練習，最后在小組內交流各自的結果。最后集體匯報。（1）用短除法找6和8的最小公倍數為：6和8的最小公倍數為234=24。6和8的公倍數為：24，48，72，3和7的最小公倍數為137=21。3和7的公倍數為：21，42，63，從中可以看出，當兩個數只有公因數1時，這兩個數的乘積就是這兩個數的最小公倍數。設計意圖：通過讓學生從兩個數各自的因數中找公因數和最小公倍數，從倍數中公倍數和最小公倍數。讓學生動手操作和發現找最大公因數和最小公倍數的方法，近而引導學生理解用短除法求最大公因數和最小公倍數的方法。（三）鞏固新知：1、出示第13頁課堂活動第1題。求最少要用幾個籃子，就是求16和20的什么？（1）引導學生看題后回答出：就是求16和20的最大公因數。（2）在草稿本上練習找出16和20的最大公因數。學生在草稿本上練習找最大公因數，再在小組內匯報交流。最后集體匯報：2、出示第13頁課堂活動第2題。讓學生接著填表，最后完成下面的后面的填空題。學生在書上完成書中的表格并填空。最后匯報交流。3、出示第14頁練習四的第6題。（1）數學醫院。這四道題中，有哪些題是錯的，請幫它改正過來。學生匯報：第一道是錯的。因數用分解質因數的方法，8=222，12=223。它們最大的公因數是22=4。第二道是對的。5和8只有公因數1。第三道是錯的。因數兩個數的最小公倍數也有可以等于其中較大的數。如3和9的最小公倍數就是9，它等于9。第四道也是錯的。如果大數是小數的倍數，大數就是它們的最小公倍數。小數則是它們的最大公因數。（四）達標反饋習題;1.用短除法求下列各數的最大公因數：12和9 24和16 2.用短除法求下列各數的最小公倍數：24和30 60和84 3. 有兩根木料，長分別是18米和24米，瑞要把它們截成相等的小段，每根不許有剩余，每段最長是多少米？答案;1.3 8 2.120 420 3.6米（五）課堂小結這節課我們學習了什么？你有什么收獲？總結：今天學習的是求兩個數的公倍數和最小公倍數。求最小公倍數的三種方法。（1）列舉法。（2）分解質因數法。（3）短除法。 設計意圖：通過談收獲，對整節課的主要內容有一個整體認知，同時也對求最小公倍數的方法有一個更加明確的認識。開拓了學生的數學解題思維。（6） 布置作業1.完成教材第13頁練習四的第1題，先讓學生確定求最大公因數的方法后再解題。2.完成教材第14頁練習四的第3、4題。3.找出各組數的最大公因數和最小公倍數。10和20 11和13 4和14 55和54. 小明要把一張長96厘米，寬80厘米的長方形紙剪成面積相等的正方形而沒有剩余，最少能剪多少個？答案：3. 10和20的最大公因數是10，最小公倍數是20。 11和13的最大公因數是1，最小公倍數是143。 4和14的最大公因數是2，最小公倍數是28。 55和5的最大公因數是5，最小公倍數是55。4. 96和80的最大公因數是16。9616=6，8016=5，56=30(個）u 板書設計公因數、公倍數4=22 6=23 4和6的最小公倍數是223=12。u 教學反思這節課主要是讓學生在操作與交流活動中認識公倍數與最小公倍數，公因數與最大公因數，并在操作和交流中，培養學生的探究能力，本節課從最多能剪多少個正方形入手。這樣安排有兩點好處：一是學生通過操作活動，能體會公倍數和公因數的實際背景，加深對抽象概念的理解；二是有利于改善學習方式，便于學生通過操作和交流經歷學習過程。在這節課上，讓學生按要求自主操作，通過小組合作，去實際動手剪一剪，做一做，在此基礎上，引導學生思考正方形的邊長既要是長方形長的因數，也要是寬的因數。這時揭示公因數和最大公因數的概念，突出概念的內涵是“既是又是”即“公有”。在教學中。要加強新舊知識的銜接。如倍數和因數是前面所學內容，新內容要在此基礎上進行教學。在教學中，要按照因數公因數最大公因數 倍數公倍數最大公倍數來組織教學。其次要圍繞“公”，理解公倍數與公因數的概念。所以在教學中，我們必須注重學生對概念間的關系的理解，從而使知識的認識過程條理化。本節的不足是對于短除法，我們引導和理解的不夠深入，對于素質的兩的數的最大公因數與最小公倍數的關系理解的不夠透徹。教學資源：1.找出下面兩組數有什么關系？它們的最大公因數是多少？最小公倍數是多少？我們可以得出一個什么樣的結論？5和7 4和92.下面兩組數是什么關系？它們的最大公因數是多少？最小公倍數是多少？我們可以得出一個什么樣的結論？9和3 28和73.下面兩組數是什么關系？它們的最大公因數是多少？最小公倍數是多少？我們可以得出一個什么樣的結論？9和10 11和12答案：1. 5和7只有公因數1，它們的最大公因數是1，最小公倍數是57=35；4和9只有公因數1，它們的最大公因數是1，最小公倍數是49=36。結論：如果兩個數只有公因數1，它們的最大公因數是1，最小公倍數是這兩個數的乘積。 2. 9和3是倍數關系，它們的最大公因數是3，最小公倍數是9；28和7是倍數關系，它們的最大公因數是7，最小公倍數是28。結論：如果兩個數是倍數關系，較小的數是它們的最大公因數，較大的數是它們的最小公倍數。3. 9和10是連續的自然數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是910=90； 11和12是連續的自然數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是1112=132。結論：兩個連續的自然數（0除外）的最大公因數是1，最小公倍數是它倆的乘積。資料鏈接：質數又稱素數素數指的是一個只能被1和它本身整除的數，它是一個在數論中占重要研究地位的數，是一個數學皇冠上占一個重要位置的數。 素數有多少：高斯猜測，n以內的素數個數大約與n/lnn相當，或者說，當n很大時，兩者數量級相同。這就是著名的素數定理。 目前發現的最大的素數：18世紀發現的最大素數是231-1，19世紀發現的最大素數是2127-1，20世紀末人類已知的最大素數是2859433-1，用十進制表示，這是一個258715位的數字。 與素數有關的著名猜想有： 歌德巴赫猜想：大于2的所有偶數均是兩個素數的和，大于5的所有奇數均是三個素數之和。其中第二個猜想是第一個的自然推論，因此歌德巴赫猜想又被稱為1+1問題。我國數學家陳景潤證明了1+2，即所有大于2的偶數都是一個素數和只有兩個素數因數的合數的和。國際上稱為陳氏定理。