1.3 合數、質數 u 教學內容教材第911頁的認識質數和合數，分解質因數，課堂活動和練習三的內容。u 教材提示本節課是在學生學會了因數和倍數，并掌握了2、3和5的倍數特征基礎上展開教學。本節課的知識點有三：知識點一：按一個數所含因數的多少把自然數進行分類。知識點二：認識質數和合數。知識點三：把一個合數寫成幾個質數連乘積的形式。按教材的編排特點，在教學時，首先要讓學生找因數，通過因數的個數進行分類，從而認識并理解質數和合數的意義。接著通過讓學生把一個合數，運用短除法來分解成幾個質數連乘積的形式，完成分解質因數的教學。在教學中，要讓學生在找因數和進行分類的基礎上去揭示質數和合數的意義。這種通過探索而得到的知識更易于學生接受。還有在分解質數數時，一定要讓學生聯系2、3、5的倍數特征來找質因數。u 教學目標知識與技能：認識和理解質數、合數的意義，并能根據它們的意義正確地判斷質數和合數。理解質因數的概念,，明確質數和合數的關系，會用短除法分解質因數。會把一個合數分解成幾個質數連乘積的形式。 過程與方法：在解決問題的過程中，能進行有條理的思考，對收集的信息進行對比，歸納。情感、態度和價值觀：在研究質數和合數的過程中豐富學生對數學的認識，感受數學文化的魅力，能主動地參與到數學學習中來。u 重點、難點重點理解和掌握質數、合數的意義，認識質因數的概念。難點會把一個合數分解成幾個質數連乘積的形式。u 教學準備教師準備：課件。學生準備：草稿本。u 教學過程（一）新課導入：1.復習舊知。提問：怎樣找一個數的所有因數？找出下面各數的所有因數，然后在小組內互相訂正。4 13 24 372.揭示課題：如果把上面的數分成兩類，你打算怎樣分？（奇數和偶數）除了分成奇數和偶數外，還有另外一種分法，這就是我們這節課要學習的內容。板書課題：質數、合數設計意圖：通過讓學生在嘗試解決問題的過程中，產生疑惑，從而提出問題，使學生對于這節課要學習的問題有更明確的把握。也更能激起學生的學習興趣。（二）探究新知：1、找因數。（課件出示第9頁例1）要求學生在草稿本上找出下面每個數的所有因數。（1） 學生先獨立找每個數的因數，然后在小組內交流出每個數的所有因數。（2） 集體匯報，訂正交流。學生的匯報結果，教師板書呈現：1的因數只有1；2的因數有1，2；4的因數有1，2，4；9的因數有1，3，9；11的因數有1，11；12的因數有1，2，3，4，6，12；15的因數有1，3，5，15；29的因數有1，29。組織學生觀察這些數的因數的個數，再引導學生想一想，從中你發現了什么？。先組織學生在小組內交流。最后自由匯報。學生的匯報可能有：它們都有因數1，它們都有最大的因數，就是它本身。1只有一個因數。2，11，29它們的因數的個數是相同的，都只有2個因數。9除了1和它本身這兩個因數外，還有一個因數3；15除了1和它本身外，還有一個因數31。12除以1和它本身這兩個因數外，還有2，3，4，6這4個因數。教師引導學生總結出結論：一個數的因數的個數是有限的。有的只有一個因數，有的有兩個因數，有的有三個或三個以上的因數。一個數最小的因數都是1。最大的因數是它們本身。2、 認識質數和合數。教師提出問題：如果要按一個數所含因數的個數，把上面的數分成3類的話，你認為可以怎樣分？為什么？引導學生觀察后，在小組內交流。最后匯報。學生可能的匯報：（1）只有1個因數的一組。（2）有2個因數分為一組。（3）有2個以上因數的分為一組。教師組織學生按前面的3種分類方法，把上面的數分成3組，并在黑板上板書。教師講解：像2，11，29，只有1和它本身兩個因數的數，叫做質數，又叫素數。像4，9，12，15，除了1和它本身外還有別有因數的數，叫做合數。而1只有一個因數，所以1既不是質數，也不是合數。引導學生看書，把書中的有關質數和合數的定義理解一遍，再讀兩遍。教師進一步引導：我們可以得出這樣的結果。就是質數只有2個因數。合數至少有3個因數。那么，你們知道如何來判斷一個數是質數，還是合數了呢？引導學生根據上面的總結回答出兩點判斷：（1）如果一個數有且只有2個因數，就是1和它本身，這個數就是質數。（2）如果這個數除了1和它本身這兩個因數外，還有第3個因數，這個數就是合數。嘗試練習，（課件出示第9頁試一試）下面哪些是質數？哪些是合數？把它們分別填在相應的圈里。學生在草稿本上練習，再在小組內交流匯報。（質數有：3，5，7，13。合數有：6，10，25，72。）結合上面的例題，引導學生得出這樣一個結論：如果按因數的個數的多少，我們可以把非零的自然數分為三類。質數，合數，還有就是1。3、 分解質因數。（課件出示第9頁例2）要求學生把42寫成質數相乘的形式。學生在本稿本上找一找。再總結找的方法。最后在小組內交流結果。學生的匯報：42可以寫成2，3，7這三個質數連乘的形式。即42=237。方法有兩種：一、分析法： 42=237二、短除法。（課件加板書演示）42=237教師講解：把一個合數寫成幾個質數連乘積的形式。叫做分解質因數。分解質因數，我們一般用短除法，用質數去除。我們前面認識的2，3，5都是質數，而這些數的倍數特征是我們找質因數的依據。如42個位是2，一定有因數2。除以2后余21。而21的兩個數位上數之各是3的倍數，所以一定有因數3。最后的結果是7，就是一個質數。嘗試練習：（出示第10頁試一試）下面我們用前面的方法來把8和30分解質因數。學生在草稿本上練習，再找幾名學生匯報：8=222， 30=235設計意圖：通過讓學生用因數的個數進行分類，讓學生先初步接觸質數和合數，再結合后面質數和合數的定義來理解質數和合數，并會用2，3，5的倍數特征在短除法中分解質因數。（三）鞏固新知：1、課件出示第10頁課堂活動第1題 。要求學生在50以內的數中，先劃去除2以外的倍數。再劃去除3以外3的倍數，再劃去除5，除7以外的倍數。學生在草稿本上練習。并在書中劃一劃。學生把質數都找出來后，再按從小到大的順序寫下來。最后匯報。學生匯報：質數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。2、出示第10頁練習三第2題。讓學生先在草稿本上練習找質數。并想一想，怎樣找質數？學生匯報：質數有3，17，83。因為這三個數只有1和它本身這兩個因數。但剩下來的除了1外，全部都是合數。因為1既不是質數，也不是合數。（四）達標反饋習題;1.28的因數有（ ），這些數中，質數是（ ），合數是（ ）。2.兩個質數的和是18，這兩個數的積是77，它們兩個質數分別是多少？3.寫出20以內既是奇數，又是合數的數。4.一個長方形的長和寬均為質數，且周長是42厘米，這個長方形的面積是多少平方厘米？答案;1.1，28，2，14，4，7 2，7 4，14，282.11，73.9，154.長是19厘米，寬是2厘米。面積：38平方厘米（五）課堂小結今天，我們學習和掌握了哪些知識？引導學生總結：今天認識了質數和合數。知道“只有1和它本身兩個因數的數，叫做質數。除了1和它本身外還有其它的因數的數，叫做合數。1既不是質數，也不是合數。”還學會了用短除法來分解質因數。設計意圖：通過引導回顧所學的知識點，使學生對本節所學的知識形成一個體系，為后面的學習和記憶打下基礎。（6） 布置作業1. 完成教材第11頁練習三的第5題。在書中判斷并連線。2. 完成教材第11頁練習三的第6題。3. 下面各數哪些是質數？哪些是合數？25 33 50 97 121 49 83 4.在括號里填上適當的質數。7=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ）30=（ ）+（ ） 28=（ ）+（ ）5. 有兩個質數，它們的和是18，它們的積是77。這兩個數分別是幾？答案：3. 質數：97，83 合數：25，33，50，121，494. 2，5 7，17 7，23 5，235. 這兩個質數分別是：11，7u 板書設計3.合數、質數1的因數只有1； 2的因數有1，2； 4的因數有1，2，4；9的因數有1，3，9； 11的因數有1，11； 12的因數有1，2，3，4，6，12；15的因數有1，3，5，15；29的因數有1，29。 2，11，29 只有1和它本身兩個因數的數，叫做質數。4，9，12，15 除了1和它本身外還有其它的因數的數，叫做合數。1 1既不是質數，也不是合數。42=237用短除法來分解質因數。u 教學反思數學課程標準中指出：“有效地數學學習活動不是單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索和合作交流是學生學習數學的最重要方式。”在這一思想的引導下，本節課首先引導學生找出一個數的所有因數，并引導學生觀察這些數的因數有什么不同，可以怎樣分類。在學生自主探索，自覺地把這些數分成三類。在此基礎上，引出質數、合數的概念，奠定了質數和合數的概念教學。在教學中，老師通過讓學生作100以內的質數表，提高學生對知識的掌握水平。整個教學過程注重激發學生的求知欲望，重視發揮學生的主體作用，重視營造生動活潑的學習氛圍，讓學生在輕松活潑的氣氛中完成自己的學習任務。在課堂教學中，教師最大限度地把時間和空間都留給學生，使每個學生都參仔細觀察，認真思考，充分激發學生思維的主動性和積極性。同時也培養學生的分類、觀察、分析、歸納和交流的數學能力，建立正確的分類思想。整個過程都是學生在動手操作、交流討論、歸納概括，而教師只是在關鍵之處適當點拔，引導學生質疑、釋疑、歸納。u 教學資料包（1） 教學精彩片段師生共同探究，分析問題并解決質數和合數的概念教學問題。師：一個數是質數還是合數，與它所含的因數的個數有關，根據你前面研究數的經驗，你準備怎樣研究今天的問題？生：我想寫幾個數，找出這些數的因數，看看這些數的因數有什么特點。師：你的辦法準不錯，大家準備研究哪些數？生A：我想研究一些小數，小數的因數好找。生B：老師，我們還要找一些大數，看看這些數是否也有這樣的特點。師：下面我們用這種辦法來研究220這幾個數的因數。學生分組合作，展開討論。生A：我發現2、3、5、7、11這五個數的因數有兩個。生B：我知道這五個數的因數是1和它本身這兩個因數。生C：我發現4、9的因數有三個，6、8、10的因數有四個，12的因數有六個。生D：我看出來了！這些數的因數個數不固定，有多有少，但不管有幾個因數，都有1和它本身。師：這些數如果按照因數的個數來分，哪些數可以歸為一類？學生分組合作，展開討論。生A：我把這些數分成四類：一類有兩個因數；一類有三個因數；一類有四個因數；一類有六個因數。生B：我不同意。如果按這種分法，那可以把數分成無數類。如果把有相同因數個數的分成一類，那數是無限的，它的因數個數也是無限的，數也自然可以分成無數類了。師：看來這種按一個數的因數個數來分確實不科學。大家想一想，這些數的因數有什么共同點呢？生：老師，我知道了！我們可以把這些數分成兩類。因為不管它們的因數有多少個，都離不開1和它本身。可以把只有1和它本身兩個因數的分為一類；把其余的分成一類。師：像這樣，（指2、3、5、7）一個數如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫質數也叫素數。（出示定義）剩下的這一類數叫合數，你能說一說一個怎樣的數叫做合數嗎？學生小組交流，共同歸納。生A：我認為1是質數。質數的因數有1和它本身，1的本身也是1，我認為1還是質數。生B：我不同意，因為1的因數只有1個，而其它的質數的因數有兩個。生C：我認為1不是質數，因為質數只有1和它本身兩個因數。也就是說一個質數要有兩個因數；而1的因數只有1個。師：1比較特殊，它既不是質數也不是合數，而大于1的數不是質數就是合數。設計意圖： 讓學生找因數，并按因數的個數對數進行分類，再分類的過程中產生矛盾，引導學生通過質疑解決矛盾。接著產生了1的分類矛盾后，又討論解決矛盾。在不斷的產生矛盾，解決矛盾的過程中，使學生順利地掌握了質數和合數的概念。（二） 數學資源小明家的門牌號是一個三位數（不含0），并且滿足條件：百位上的數字是10以內（不含10）的最大質數；十位上的數字既不是質數，也不是合數；個位上的數字是10以內的（不含10）既是質數又是偶數的數。聰明的你能猜出小明家的門牌號嗎？答案： 712 （三）說課設計（1）教材分析教材的地位與作用：質數和合數是在學生已經掌握了因數和倍數的意義，了解了能被2，5，3整除的數的特征之后學習的又一重要內容，它是學生本節課后面要學習的分解質因數的基礎，同時也是后面求最大公約數和最小公倍數的基礎，在本章教學內容中起著承前啟后的重要作用。（2）學情分析學生通過對因數和倍數以及能被2，5，3整除的數的學習，有了一定的認知基礎，本節教學內容與原有認知結構存在潛在的適合性，有利于知識的遷移和建模。但學生對分類歸納的數學方法和數學思想尚未形成，抽象邏輯思維能力還未得到很好的發展，需要在教師的引導下逐步培養。（3）教學目標知識與技能：1、認識和理解質數、合數的意義，并能根據它們的意義正確地判斷質數和合數。2、理解質因數的概念,，明確質數和合數的關系，會用短除法分解質因數。會把一個合數分解成幾個質數連乘積的形式。 過程與方法：在解決問題的過程中，能進行有條理的思考，對收集的信息進行對比，歸納。情感、態度和價值觀：在研究質數和合數的過程中豐富學生對數學的認識，感受數學文化的魅力，能主動地參與到數學學習中來。（4） 重點、難點重點：理解和掌握質數、合數的意義，認識質因數的概念。難點：會把一個合數分解成幾個質數連乘積的形式。（5）教法、學法教法：引導探究法和課件演示法。在課堂中，通過引導學生找因數和分一分，認識質數和合數。并通過演示，讓學生明白怎樣用短除法來分解質因數。學法：小組合作探究法和歸納總結法。通過小組合作探究，在分一分的基礎上，認識質數和合數。并歸納出質數和合數的意義及分解質因數的方法。（6）說教學過程1.初步感知本節采用讓學生完成一道數學應用題，讓學生在解決問題的過程中，發現問題，就是有一個數學概念沒有學習，所以這道題沒有辦法解決，就是不知道什么是質數，由此使學生明白學習質數的必要性，從而激發起學生的學習興趣。順利地引入課題。2.探索發現在本節教學中，主要分三個層次，循序漸進地進行教學，首先讓學生找因數，明確一個數的因數的個數是有限的，并引導學生理解每一個數不同，它們的因數的個數是不同的，并讓學生初步對這些數按因數的個數的不同進行分類。第二步，在教學中，通過讓學生按因數的個數的進行分類，把這些數分成了3類，在此基礎上，教師講解什么是質數，什么是合數，以及1的分類問題。讓學生在對比概念的基礎上熟悉和記憶，最后引入讓學生對一個合數進行分解質因數的教學，在這里注意引導學生可以用兩種方法來把一個合數分解成幾個質數連乘積的形式，一種是分析法，還有一種就是短除法，而對于短除法，學生沒有接觸過，這里教師一定要做要講解和示范引領。還有最后一點，就是強調這里的因數必須是質數，并不包含1。3. 鞏固應用而對于數學的學習來說，最重要的是應用，所以在學生掌握了所有的概念后，設置了幾道有針對性的練習，讓學生在練習的過程，明確概念并懂得如何運用這些概念，解決生活中的實際問題，同時也開拓了學生的數學思維。4.歸納總結最后在教師的問題引領下，在師生的共同努力下，把整節課的內容，有條理的總結出來，使學生對知識有一個系統的把握，同時也讓學生明確學習后要總結的必要性。這是一個良好的學習習慣。 5.說板書3.合數、質數1的因數只有1； 2的因數有1，2； 4的因數有1，2，4；9的因數有1，3，9； 11的因數有1，11； 12的因數有1，2，3，4，6，12；15的因數有1，3，5，15；29的因數有1，29。 2，11，29 只有1和它本身兩個因數的數，叫做質數。4，9，12，15 除了1和它本身外還有其它的因數的數，叫做合數。1 1既不是質數，也不是合數。42=237用短除法來分解質因數。最后的板書，是對整節課知識重點的突出體現，是知識形成過程的一種記憶。首先板書的是找因數的結果，而這是后面分類和進行質數，合數概念教學的關鍵。接著是引導分類，即只有兩個因數的數，有三個或三個以上因數的，還中就是1。從而得出質數，合數及既不是質數也不是合數的1的三個概念。目標明確，對學生理清學習的思路有很大的幫助。（4） 資料鏈接質數又稱素數素數指的是一個只能被1和它本身整除的數，它是一個在數論中占重要研究地位的數，是一個數學皇冠上占一個重要位置的數。 素數有多少：高斯猜測，n以內的素數個數大約與n/lnn相當，或者說，當n很大時，兩者數量級相同。這就是著名的素數定理。 目前發現的最大的素數：18世紀發現的最大素數是231-1，19世紀發現的最大素數是2127-1，20世紀末人類已知的最大素數是2859433-1，用十進制表示，這是一個258715位的數字。 與素數有關的著名猜想有： 歌德巴赫猜想：大于2的所有偶數均是兩個素數的和，大于5的所有奇數均是三個素數之和。其中第二個猜想是第一個的自然推論，因此歌德巴赫猜想又被稱為1+1問題。我國數學家陳景潤證明了1+2，即所有大于2的偶數都是一個素數和只有兩個素數因數的合數的和。國際上稱為陳氏定理。