書書書圖書在版編目(CIP)數據數學.七年級.下冊楊俊英主編.石家莊:河北教育出版社2013.1(2019.11重印)義務教育教科書ISBN978-7-5434-9542-5.數.楊.中學數學課-初中-教材.G634.601中國版本圖書館CIP數據核字(2012)第168009號主編楊俊英副主編王潔敏繳志清程海奎編者(按姓氏筆畫排序)王佐李會芳蘇桂海徐建樂簡友書名義務教育教科書數學七年級下冊責任編輯王東芳吳麗霞責任印制王淑英裝幀設計呼玉邁內文插圖老邁視覺設計工作室出版(石家莊市聯盟路705號郵政編碼:050061)發行河北省新華書店制版保定市佳美制版中心印刷保定華升印刷有限公司開本787mm1092mm116印張10.25字數177千字版次2012年12月第1版印次2019年11月第8次印刷印數1815001-2125000書號ISBN978-7-5434-9542-5定價9.85元冀發改價格2019761號冀價審2020002071版權所有請勿擅用本書制作各類出版物違者必究如有印裝質量問題請與本社出版部聯系調換電話:18603114066購書電話:0311-88643600書書書遨游在數學世界中親愛的同學們!我們又見面了歡迎你們開始新學期的學習生活#作為你們的老朋友我們在為大家祝福的同時誠摯地為你們送上一份禮物$義務教育教科書%數學&七年級!九年級(讓它陪伴你們歡度初中歲月陪伴你們健康成長#當你們拿到這本七年級下冊教科書時一定想了解它的特點)它的內容)它的一切#在設計上這本書有以下欄目#觀察與思考!通過觀察)感悟和思考期待你們獲得正確的數學認知#一起探究!和大家一起探究并認識數學知識)思想和方法這會使你們有更大的收獲#試著做做做一做!動手試做再做一做這是學習數學所不可缺少的#大家談談!和同學們分享自己的學習成果大家共同進步#回顧與反思!把握整體內容梳理知識脈絡總結思想方法明確注意事項這是不可或缺的學習環節#在內容上這本書共有六個篇章等待同學們去探究)去認識!二元一次方程組$它是一種新的方程模型具有重要的應用價值#相交線與平行線$在平面上兩條直線的位置關系及其一些重要事實也是幾何學習最基本的內容之一#整式的乘法$整式可以加減也可以相乘#整式的乘法是整式的另一種運算#三角形$在本章中大家將重新認識三角形以及邊與邊)角與角之間的關系#一元一次不等式和一元一次不等式組$相等+與不相等+是現實世界中數量關系的兩種基本表現形式這里將幫助你們認識不等式及其解法#因式分解$整式能進行因式分解#怎樣分解都有哪些方法等待你們去揭示#我們同歡樂我們共追求#讓我們攜手前行一起遨游數學新天地繼續收獲豐碩的數學成果你們的編者朋友!#!年#月書書書第六章!二元一次方程組!二元一次方程組!#!#!二元一次方程組的解法!$!二元一次方程組的應用!%!%!簡單的三元一次方程組!#&數學活動!一元一次方程的!試位解法!#%!回顧與反思!#!復習題!#第七章!相交線與平行線!#()!命題!$&)!#!相交線!$)!$!平行線!%#)!%!平行線的判定!%)!平行線的性質!%()!圖形的平移!回顧與反思!&!復習題!第八章!整式的乘法!)!同底數冪的乘法!#!冪的乘方與積的乘方!)!$!同底數冪的除法!)!%!整式的乘法!)(!乘法公式!讀一讀!楊輝三角!(#!科學記數法!($回顧與反思!(!復習題!()第九章!三角形!(!三角形的邊!&(!#!三角形的內角和外角!&$(!$!三角形的角平分線#中線和高!&(回顧與反思!#!復習題!$第十章!一元一次不等式和一元一次不等式組!&!不等式!&!#!不等式的基本性質!#&!&!$!解一元一次不等式!#$!&!%!一元一次不等式的應用!#(!&!一元一次不等式組!$#回顧與反思!$)!復習題!$第十一章!因式分解!%!因式分解!%#!#!提公因式法!%!$!公式法!%數學活動!拼圖與分解因式!$回顧與反思!%!復習題!%綜合與實踐一!透過現象看本質!)綜合與實踐二!蓄水池建在哪里較好!(書書書!數學!七年級下冊!方程是解決實際問題的重要數學工具!我們已經學習了一元一次方程!從本節開始!我們研究二元一次方程組的解法及應用!某酒廠有大小兩種存酒的木桶!已知!個大桶加上個小桶可以盛酒#$升!個大桶加上!個小桶可以盛酒#%升!那么!個大桶和個小桶分別可盛酒多少升觀察下面解決問題的過程#!設一個未知數!設兩個未知數設個大桶盛酒升!則個小桶盛酒#$&!#升!根據題意!列方程!得!#$&!#(#%!解這個一元一次方程!得(!從而!得#$&!()!即個大桶盛酒!升!個小桶盛酒)升!設個大桶盛酒升!個小桶盛酒#升!根據題意!可得方程!#(#$!#(#%!大桶和小桶的容積應當是同時滿足方程!和的未知數的值!$%比較方程!$#$&!%(#%和方程!#(#$及!#(#%!它們的共同點是什么!不同點是什么$#%(!#()是否同時滿足方程!和像!#(#$和!#(#%這樣!含有兩個未知數!并且含有未知數的項的次數都是的方程!叫做二元一次方程$+-.-01.2+34+2524316347%8使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數的值!叫做這個二元一次方程的第六章!#$%&!一組解!如(!#()是方程!#(#$的一組解!也是方程!#(#%的一組解!一般地!將二元一次方程的一組解記為(!#$()的形式!已知甲數的#倍與乙數的)倍之和是#!甲數的)倍與乙數的#倍之差是!求這兩個數!$%列一元一次方程求解!$#%如果設甲數為!乙數為#!請根據問題中的等量關系!列出含兩個未知數的一組方程!$)%用一元一次方程求得的甲數和乙數!代入$#%中所列的這組方程中!檢驗方程兩邊是否相等!結合以上兩個問題!請你談談列&含一個未知數的方程和列&含兩個未知數的方程的區別與聯系!對于二元一次方程!任意給定未知數的一個值!你能求出滿足方程的未知數#的值嗎填寫下表!#)#(#(#)9!(#()&#(!(#)9!(#(!#!分別寫出方程#)#(#和方程)&#(!的四組解!你還能找出這兩個方程的其他解嗎一個二元一次方程有多少組解)!是否有同時滿足這兩個方程的一組解若有!請你指出是哪組解!由幾個方程組成的一組方程叫做方程組!含有兩個未知數!并且含有未知數的項的次數都是的方程組!叫做二元一次方程組$7:72-3+-.-01.2+37324316347%!二元一次方程組中方程的公共解叫做這個二元一次方程組的解!#!數學!七年級下冊一般地!二元一次方程組記作#)#(#!)&#$(!的形式!而()!#$(#是這個方程組的解!現階段!我們只研究含有兩個方程的二元一次方程組!把方程#(9寫成用含的代數式表示#的形式#(!#!下列方程中!哪個是二元一次方程$%#()!$#%#&#(=)$)%()$9%$&#()!)!下列方程組中!哪個是二元一次方程組$%#()!#(#$)$#%)$&#%(!&(#$)$)%#(9!#(#$)$9%#(!#&#(9#$!組!已知二元一次方程#(!當()時!#($當#()時!(!#!下列哪組!#的值是方程組#&9(%!)#$&!=(%的解%#(&)!#(&#%#$#(&)!#(#%#$)#()!#(#%#$9#(#%!#()#$!)!已知9輛小卡車和!輛大卡車一次能運貨!#2!%輛小卡車和)輛大卡車一次能運貨!92!設每輛小卡車每次能運貨2!每輛大卡車每次能運貨#2!列二元一次方程組!第六章!#$%&$!A組!某山區縣的林地面積和耕地面積原來共有$%6#!該縣響應國家&退耕還林號召!將一部分耕地恢復為林地后!林地面積增加了!B!耕地面積減少了%B!設原有耕地面積為6#!林地面積為#6#!列二元一次方程組!#!某兩位數!兩個數位上的數之和為!這個兩位數加上9!得到的兩位數恰好等于原兩位數的兩個數字交換位置所表示的數!求原兩位數!#列一元一次方程求解!#設原兩位數的十位數字為!個位數字為#!列二元一次方程組!)#檢驗#中求得的結果是否滿足#中的方程組!%!數學!七年級下冊!解二元一次方程組的基本方法是通過#消元$!將二元一次方程組化為一元一次方程來求解!怎樣進行#消元$呢%!對于&雞兔同籠問題$上有三十五頭!下有九十四足!問雞兔各幾何%#列一元一次方程!列二元一次方程組設雞有只!根據題意列方程!得!#9)!&#(=9!%解這個一元一次方程!得(#)!從而!得)!&#)(#!即雞有#)只!兔子有#只!設雞有只!兔子有#只!根據題意!可得方程組!#()!#9#(=9#$!由!得!#()!&!#將#代入!得!#9)!&#(=9!$%由方程組#()!#9#$(=9是怎樣得出方程$的$#%說明方程$和方程%完全相同的理由!$)%你會解方程$嗎由$解出的值以后!怎樣求出#的相應的值$9%從中你能體會到怎樣解二元一次方程組嗎例&!求二元一次方程組#(&!#$(=!的解!解#將!代入!得#$&%(=!第六章!#$%&!解這個一元一次方程!得(!將(代入!得#(!所以!原方程組的解為(!#(#$!將方程組中一個方程的某個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來!代入另一個方程中!消去一個未知數!得到一元一次方程!通過解一元一次方程!求得二元一次方程組的解!這種解方程組的方法叫做代入消元法$-+.2+3C:71C72+212+3%!簡稱代入法!求二元一次方程組的解的過程叫做解二元一次方程組!解二元一次方程組!#(%!&#(9#$!方程!可變形為!(%&#!#將#代入!得%&#&#(9!解這個方程!得#(#!將#(#代入#!得($!所以!原方程組的解為($!#(#$!觀察上面的解題過程!你還有其他的解法嗎請你試一試!并把你的想法和同學們進行交流!(!數學!七年級下冊!用代入消元法解下列方程組#$%#(#&)!)#($#$)!$#%9&#(#!#)#()#$!組!解下列方程組(#(#!#(&#$#)&!#(!9#(!#$)#&#(!&)#(#$9#&#()!)#($#$!A組!解下列方程組(#9)#(!&#(9#$!#)&(9!#)(#$!#!大剛和小亮到同一家超市購買水果!大剛買了#6D蘋果和)6D梨!共花了#元$小亮買了6D蘋果和6D梨!共花了元8設蘋果和梨的價格分別為元)千克和#元)千克!請你列出方程組!并求出蘋果和梨的價格!下面!我們進一步學習代入消元法!例!解方程組)%#(9!%!#()#$!解#由方程!得)(9&%#!第六章!#$%&)!(9&%#)!#將#代入!整理!得9%&!#(=!解這個一元一次方程!得#(9!將#(9!代入#!得(#!所以!原方程組的解為(#!#(9!#$!例!解方程組9#&%(%!9#&!(%#$!解#原方程組可化為9#(%!9#(!#$!#$由方程$!得#(!&9#!%將%代入#!整理!得%&(%!解得(%!將(%代入%!得#(!#!所以!原方程組的解為(%!#(!#$!&!數學!七年級下冊!結合下列實例和圖示!說一說怎樣運用&代入消元法解二元一次方程組!二元一次方程組!(%&#!&#$(9($!#$(#!&轉化!代入&消元!(得解一元一次!方程$%&#%&#(9)求解#(#)代入(%&#)求解($!用代入消元法解下列方程組#$%)#(!&!#(#$)!$#%!#(!$)#(#)#$!解下列方程組(#&)#(&!9&!#(&#$!#%)#(%!9!#$(%#$)#)$(!%!#$&)%(#$!9#)&!($!)!(&(%#$!#!一個兩位數!十位上的數與個位上的數之和是$!個位數字與十位數字交換后所得新數比原數大$!求這個兩位數!除了可以運用代入法解二元一次方程組外!還有其他方法解二元一次方程組嗎!觀察二元一次方程組!)#(!#&)#$(&#!中未知數的系數!有什么特點第六章!#$%&!#!根據你發現的特點!試解這個方程組!小亮的思路$代入消元%!小紅的思路!由!得)#(#!#將#代入!可消去未知數#!得!#(!$解一元一次方程$!求出的值后再代入!得到方程組的解為(#!#(#$!兩個方程中未知數#的系數互為相反數!將方程!左右兩端分別相加!可消去未知數#!得!#(&#!%解一元一次方程%!求出的值后再代入!得到方程組的解為(#!#(#$!)!小亮和小紅采用不同的方法!都先消去了未知數#!他們的解題依據是什么下面!我們按照小紅的思路解方程組!例#!解方程組!)#(!#&)#(&#$!解#!得(9!(#!把(#代入!得%)#(!#(#!所以!原方程組的解為(#!#(#$!當兩個方程中同一個未知數的系數互為相反數或相等時!采用將兩個方程左右兩邊分別相加$或相減%的方法&消元較簡便!&!數學!七年級下冊!解方程組)#(!)#(!#$!兩個未知數的系數既不相等!也不互為相反數!怎么辦%例$!解方程組!#(!#)#(9!#$解#E#!得9#($!#!&#!得(&!把(&代入!得&#)#(9!#(#!所以!原方程組的解為(&!#(#$!將二元一次方程組中兩個方程相加$或相減!或進行適當變形后再加減%!消去一個未知數!得到一元一次方程!通過求解一元一次方程!再求得二元一次方程組的解!這種解方程組的方法叫做加減消元法$-+.2+3C:.FF+2+3371C2.G2+3%!簡稱加減法8結合下列圖示!談一談用加減消元法解二元一次方程組的基本過程是怎樣的!解方程組時應注意哪些事項!第六章!#$%&!二元一次方程組!)#(!#&)#$(&#(#!#$(#!&轉化!&加減消元!(得解一元一次!方程!(9!#(#&!&求解!(求解一元一次方程的解!(#)代入!E#)#(!用加減消元法解下列方程組#$%#(!&#()#$)!$#%)&(!#)(#$!#!用加減消元法解下列方程組#$%&#()!=#(&=#$)!$#%#(%!&9#9(%#$!組!用加減消元法解下列方程組(#()!)&#(#$!#)#(!#9#(#$)#=#()!9)&#&#()#$9#)(=!&#(#$!#!若方程$%#(%的兩組解是(!#$(&9和(#!#(#$!試求$!%的值!A組!解下列方程組(#!&#(=!&9#(&!#$#)&#(#!#&#()!#$!#!一個兩位數!十位上的數與個位上的數之和是!如果把這個兩位數加上=!所得的兩位數的個位數字十位數字恰好分別是原來兩位數的十位數字和個位數字!求這個兩位數!&#!數學!七年級下冊!我們已經學習了二元一次方程組及其解法!現在!利用二元一次方程組來解決一些實際問題!大馬和小馬馱著貨物在途中有一段對話!如下圖!#$%&()+-&.0123456().7894:!-&.2!#$%ABC2DE-&.F().78G-)!H:!根據大馬和小馬的對話!你能求出大馬和小馬各馱了幾包貨物嗎!大馬的兩句話!說出了兩個等量關系!這兩個等量關系是什么#!如果設大馬馱物包!小馬馱物#包!那么列出的二元一次方程組是怎樣的)!請你試著解出#中所列的二元一次方程組!并和同學們進行交流!小明的解答過程如下#解因為大馬馱物包數&(小馬馱物包數!大馬馱物包數(&小馬馱物包數&E#!所以!若設大馬馱物包!小馬馱物#包!則有&(#!(#&#&#$!整理!得&#(#!&#(&)#$!第六章!#$%&$!&!得#(!你與小明的解答一樣嗎%將#(!代入!得!(!所以!方程組的解為(!#(!#$!答大馬馱物包!小馬馱物!包!例&!化肥廠往某地區發運了兩批化肥!第一批裝滿了=節火車車廂和#!輛卡車!共運走了9%2)第二批裝滿了#節火車車廂和%輛卡車!共運走了%2!平均每節火車車廂和每輛卡車分別裝運化肥多少噸分析#本題中的等量關系是#第一批!=節火車車廂運貨噸數#!輛卡車運貨噸數(9%)第二批!#節火車車廂運貨噸數%輛卡車運貨噸數(%!解#設平均每節火車車廂裝運化肥2!每輛卡車裝運化肥#2!根據題意!得=#!#(9%!#%#(%#$!解這個方程組!得(%!#(9#$!答#平均每節火車車廂裝運化肥%2!每輛卡車裝運化肥92!某車間有工人%名!生產甲乙兩種零件!已知每人每天平均生產甲種零件9個或乙種零件#%個!個甲種零件與#個乙種零件為一套!如何調配人員可使每天生產的兩種零件剛好配套$%找出本題中的等量關系!$#%適當設未知數!列出方程組!$)%解這個方程組!并回答上面提出的問題!&%!數學!七年級下冊!根據你的經驗!寫出用二元一次方程組解決實際問題的步驟!并與同學們交流!小華9年后的年齡與小麗9年前的年齡相等!)年后!她們兩人的年齡和等于她們年齡差的)倍!求小華和小麗今年的年齡!#!一艘船在某河道上航行!已知順水航行9!6需要)5!逆水航行!6需要!5!該船在靜水中的速度與該河的水流速度分別是多少組!我國是水資源相對缺乏的國家之一!水資源的人均占有量比世界人均占有量少%)!僅是世界人均占有量的9!分別求我國和世界水資源的人均占有量!#!去年春季!蔬菜種植場在!公頃的大棚地里分別種植了茄子和西紅柿!總費用是#!%元!其中!種植茄子每公頃的費用是%元!種植西紅柿每公頃的費用是$%元!已知每公頃茄子可獲利#9%元!每公頃西紅柿可獲利#%元!茄子和西紅柿的種植面積各為多少公頃%種植場在這一季共獲利多少元%A組!某次知識競賽共出了#!道題!評分標準如下(答對題加9分!答錯題扣分!不答記%分!已知李剛不答的題比答錯的題多#道!他的總分為9分!他答對答錯和不答的題各有多少道%第六章!#$%&!#!甲乙兩人在9%的環形跑道上練習賽跑!若兩人同時同地反向跑!則經過#!7第一次相遇$若兩人同時同地同向跑!則經過#!%7甲第一次追上乙!甲乙兩人的速度各是多少%!下面!我們繼續學習列二元一次方程組解決實際問題!例!去年秋季!某校七年級和高中一年級招生總人數為!%名!計劃今年秋季七年級招生人數比去年增加#%B!高中一年級招生人數比去年增加!B!這樣!今年秋季七年級和高中一年級招生總人數將比去年招生總人數增加$B!今年秋季七年級和高中一年級各計劃招生多少名分析#本題中的等量關系是#去年!七年級人數高中一年級人數(!%)今年!七年級人數高中一年級人數(!%$B%)今年!七年級人數(去年七年級人數增長數)今年!高中一年級人數(去年高中一年級人數增長數!解#設去年七年級招生名!高中一年級招生#名!根據題意!得#(!%!$#%B%$!B%#(!%E$B%#$!整理!得#(!%!#9#)#($%#$!解得()%!#(#%#$!所以$#%B%($#%B%E)%()%!$!B%#($!B%E#%(#)%!答#今年秋季七年級計劃招生)%名!高中一年級計劃招生#)%名!&(!數學!七年級下冊!請你將今年兩個年級計劃招生人數設為未知數!列方程組解答例#中的問題!并與上面的解答過程比較!看看哪種解法較簡便些!小明為了測得火車過橋時的速度和火車的長度!在一鐵路橋旁進行觀察#火車從開始上橋到完全過橋共用#7!整列火車完全在橋上的時間為978已知橋長%!你能根據小明獲得的數據求出火車的速度和長度嗎$%問題中涉及了哪些量$#%畫示意圖!并尋找等量關系!$)%用!#分別表示火車的速度$+7%和長度$%!列方程組!$9%解答上面的問題!某種過季商品打折銷售!如果按定價的七五折銷售!每件將賠#!元)如果按定價的九折出售!每件將賺#%元!這種商品每件的定價是多少元!進價是多少元#!)月#日是我國的植樹節!這一天!某校七年級共有#9%名學生參加義務植樹活動!如果平均每人每天挖樹坑個或栽樹%棵!那么!怎樣安排學生才能使這一天挖出的樹坑全部栽上樹苗組!某公司甲乙兩個銷售點月份的總銷售額為!%元!#月份!甲銷售點的銷售額比月份增加了!B!乙銷售點的銷售額比月份增加了H!B8這樣!兩個銷售點#月份比月份共增加銷售額)%元!兩個銷售點月份的銷售額分別是多少%第六章!#$%&)!#!甲乙兩車相距%6!兩車同時出發8如果同向而行!乙車經過95可追上甲車$如果相向而行!兩車經過%H$5相遇!求甲乙兩車的速度!A組!+一千零一夜中有這樣一段文字(有一群鴿子!其中一部分在樹上歡歌!另一部分在地上覓食!樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說(&若從你們中飛上來只!則樹下的鴿子就是整個鴿群的)$若從樹上飛下去只!則樹上樹下的鴿子就一樣多了!你知道樹上樹下各有多少只鴿子嗎%試列方程組解答!#!某酒店客房部有三人間雙人間客房!三人間的價格為!%元)天!雙人間的價格為9%元)天!為吸引游客!該酒店實行了團體入住五折優惠的措施!一個!%人的旅游團優惠期間到該酒店入住!住了一些三人間和雙人間!若每間客房正好住滿!且一天共花去住宿費!%元!則該旅游團住了三人間和雙人間客房各多少間%!數學!七年級下冊!我們已經學習了利用代入消元法和加減消元法對二元一次方程組進行求解!在本節中!我們將用消元的方法!對簡單的三元一次方程組進行求解!類似于二元一次方程!我們把含有三個未知數!并且含未知數的項的次數都是的方程!叫做三元一次方程$+-.-01.2+34+2525-16347%!含有三個未知數!并且含未知數的項的次數都是的方程組!叫做三元一次方程組$7:72-3(%!#&#($#$!#(#!(=!#&#&#$(&)都是三元一次方程組!類比解二元一次方程組的方法!我們可以研究解三元一次方程組的方法!對于求解三元一次方程組#(!&#&!(!#&)#(9#$!#小亮的想法是#!E!再#&!消去未知數!得到一個二元一次方程組9#(#!&9#(=#$!$%解得!#后代入!求出!從而求得三元一次方程組的解!$%你能否先消去未知數或#!最后求得三元一次方程組的解$#%試著解一解這個方程組!并與同學們交流!標有%的內容為選學內容!第六章!#$%&!&!例!解方程組&(9!&#(!#)#(#$!#解#由!得(&9!$將$分別代入!#!得#&#(!9)#(#!#$!%&解這個二元一次方程組!得(9!#()#$!把(9代入!得(%!所以!原方程組的解為(9!#()!(%#$!已知小明與爸爸媽媽的年齡之和為%$歲!爸爸比媽媽大#歲!小明與媽媽的年齡之和比爸爸大#歲!他們的年齡分別是多少$%在本題中!有幾個等量關系請你分別表示出來!$#%如果設爸爸的年齡是歲!媽媽的年齡是#歲!小明的年齡是歲!請列出方程組!$)%解這個方程組!數學!七年級下冊!請結合下列圖示!談一談解三元一次方程組的基本方法和步驟!三元一次方程組!#(!&#&!(!#&)#$(9(!#(&!#$(!&轉化!&消元!(得解#(!(代入二元一次方程組!9#(#!&9#$(=!(!#$(&!&轉化!&求解!(得解一元一次!方程!()!)求解(!)代入&9#(=!解三元一次方程組的基本思想就是&轉化!通過消元!將&三元轉化為&二元!再將&二元轉化為&一元!通過求一元一次方程的解!進而求得二元一次方程組的解!最后求得三元一次方程組的解!解下列方程組#$%#(!(!#()#$)!$#%&#(!#&(!&#&(#$!組!解下列方程組(#&(&9!#&(&!&#(&#$#&#&(%!#&)(9!#&!#(#$!第六章!#$%&!#!解下列方程組(#)&#(!#(!#&!#)(&#$#&#(!#&(%!#&)#$()#$!A組!解下列方程組(#&#&#(%!#&)(&9!)&#!(#$#&)&#(!#)(=!&#()9#$!#!在我國古代數學著作+九章算術中有這樣一個問題(上等谷)束!中等谷#束!下等谷束!共)=斗$上等谷#束!中等谷)束!下等谷束!共)9斗$上等谷束!中等谷#束!下等谷)束!共#斗!求上中下三等谷每束各是幾斗!#!數學!七年級下冊一元一次方程的!試位解法!一元一次方程的寫法和解法都經歷了漫長的歲月才發展成為現在的樣子!阿默士是用一大串符號表示一元一次方程的!并且是用算術的方法來解的!笛卡兒法國數學家!=!%年#給出了一元一次方程現在的寫法和解法!古代數學家曾用&試位法來解一元一次方程!以9$(%為例!任取的兩個不同的值!#比如(!#(#!將它們分別代入方程的左邊!并設9$(!9#$(#此時(#!#(#!則(#&#&#(#E#&E#&(&#是9$(%的解!一般稱這種解法為&試位法!活動一(仍以9$(%為例!請你另取的兩個不同的值+!+#!并按上述方法進行計算!看其結果是不是原方程的解!活動二(說明用試位法解一元一次方程的道理!我們知道!一元一次方程$%(%$+%!$!%為已知數#的解是(&%$!試位法(任取的兩個不同的值!#!代入上述方程的左邊!并設$%(!$#%(#!如果(%或#(%#!那么(或(#即為原方程的解!不然!(#&#&#&#+%#是原方程的解!試對此給出說明!第六章!#$%&!$!在本章中!我們學習了二元一次方程組和三元一次方程組的解法!并且學會了用二元一次方程組來解決一些簡單的實際問題!一!知識結構用二元一次方程組解決實際問題的過程#二!總結與反思同一元一次方程一樣!二元一次方程組也是解決現實世界中數量之間相等關系的重要數學工具!列二元一次方程組和列一元一次方程解決實際問題的思路是相同的!有些含兩個未知數的實際問題用只設一個未知數列方程的辦法求解往往較困難!若設兩個未知數列方程組!則常常因等量關系比較容易表示而使列方程變得簡單!#!解二元一次方程組的基本思路是#通過&消元!把二元一次方程組轉化為一元一次方程!逐步實現化&未知為&已知的目的!這就是&化歸的數學思想!)!解二元一次方程組的基本方法有)解三元一次方程組的基本方法有!9!解二元一次方程組的一般步驟是!%!數學!七年級下冊!用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是!三!注意事項在列方程組解應用題時!應注意在求出方程組的解后要進行檢驗!使它既滿足方程組!又符合題意!組!填空(#已知)&#(9!若用含的代數式表示#!則#(!#在#)#(中!當(#時!#($當#()時!(!#!解下列方程組(#)9#(!&#(9#$!#)#(!9&)#(#$)#&#(!)(&#!)&!#(#$9#(!&#&(&9!#)#($#$!)!已知華氏溫度#(#與攝氏溫度I#滿足#(%!當(%時!#(!%$當(#%時!#($!求!%的值!并寫出#與間的關系式!9!七年級二#班選出部分同學參加夏令營!分成紅藍兩隊!紅隊戴紅帽子!藍隊戴藍帽子!一個紅隊隊員說!我看見的是紅隊人數與藍隊人數相等$一個藍隊隊員說!我看見的是紅隊人數是藍隊人數的#倍!求紅隊人數和藍隊人數!七年級兩個班共$名同學給學校花壇栽種花卉!一#班同學平均每人栽種$棵!二#班同學平均每人栽種%棵!兩個班共栽種$棵!求這兩個班各有多少同學!某工程隊承包了兩項工程!第一項工程甲組做了%天!乙組做了$天完成!共獲報酬#$%元$第二項工程甲組做了$天!乙組做了#天完成!共獲報酬)%元!甲乙兩組平均每做工一天各應得報酬多少元%第六章!#$%&!甲乙兩人相距#68若兩人同時出發相向而行!則出發后H!5相遇$若兩人仍是相向而行!但甲比乙先出發)%+!則乙出發%+后兩人相遇!求甲乙兩人的速度!$!已知一個三角形的周長為#9G!其中兩條邊的長度之和等于第三條邊長的)倍!而這兩邊長度的差等于第三條邊長的#!求這個三角形的三邊長!A組!已知(%!#$(#和(9!#$(都是方程)(#($的解!求)!(的值!#!已知#&)#(!#(!求!#的值!)!關于!#的二元一次方程組)(#($!#)&)(#$(&9的解為(#!#(9#$!求)和(的值!9!如圖!在圖#中!各行各列及對角線上的三個數之和都相等!#請你求出!#的值!#把滿足#的其他個數填入圖#中的方格內!$第9題%!小亮跟爸爸于=月初和%月初兩次到超市購買食品!(!數學!七年級下冊根據打折前后花)%元所購買物品的數量!你能求出打折前牛奶和面包的單價各是多少元嗎%J組!某服裝廠接到生產一種工作服的訂貨任務!要求在規定期限內完成!按原來的生產進度!每天只能生產這種服裝!%套!在規定的期限內只能完成訂貨量的9!現在!工廠改進了生產流程!每天可生產這種工作服#%套!按現在的生產進度!不僅比規定的期限少用天!而且比訂貨量多生產了#!套!客戶訂做的工作服是多少套!要求完成的期限是多少天%#!制造某種產品需要和A兩種原料8其中種原料的價格為!%元)千克!A種原料的價格為9%元)千克8一段時間后!這兩種原料的價格進行了調整!種原料價格上漲了%B!A種原料價格下降了!B8經核算!產品的成本仍然不變8已知生產這種產品需!A兩種原料共%6D8種原料和A種原料各需多少%)!某城市為了緩解缺水狀況!計劃實施一項引水工程!要把#%6外的河水引到城市中來!該市把這個工程交給了甲乙兩個施工隊!工期為!%天!甲乙兩隊合作施工了)%天后!乙隊因另外有任務需要離開%天!于是甲隊加快施工速度!每天多修%H6!乙隊回來后!為了保證工期!甲隊保持現在的施工速度不變!乙隊每天比原來多修%H96!結果工程如期完工!甲乙兩隊原計劃每天各施工多少千米%!數學!七年級下冊!對某一事物進行研究并交流!必然要借助于有關的名稱!同時也經常需要對一些問題作出判斷!并對判斷說明理由8&正整數%和負整數統稱為整數8這是整數的定義8&有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角8這是角的定義8&含有未知數的等式叫做方程8這是方程的定義8你能說出偶數單項式兩點間的距離分別是怎樣定義的嗎在對&角和&有理數有了更多的認識后!形成了如下一些判斷#$%兩個直角相等8$#%兩個銳角之和是鈍角8$)%同角的余角相等8$9%兩個負數!絕對值大的反而小8$!%負數與負數的差仍是負數8$%負數的奇次冪是負數8上面的六個語句!都是對一件事情作出判斷的句子8像這樣!能夠進行肯定或者否定判斷的語句!叫做命題$K3K37+2+3%8一般地!命題都是由條件和結論兩部分組成的8命題常寫成&如果(那么(的形式8&如果引出的部分是條件!&那么引出的部分是結論8例如!負數的奇次冪是負數!可寫為#如果一個數是負數!那么它的奇次冪是負數8同角的余角相等!可寫為#如果兩個角是同一個角的余角!那么這兩個角相等8第七章!()+-&!下列各語句中!哪些是命題!哪些不是命題是命題的!請你先將它改寫為&如果(那么(的形式!再指出命題的條件和結論!$%正方形的對邊相等!$#%連接-!.兩點!$)%相等的兩個角是銳角!$9%延長線段-.到點!使-(#-.!$!%同角的補角相等!$%&9大于&#嗎!請指出前面的命題中!哪些是真命題!哪些是假命題!在命題中!既有正確的命題!也有不正確的命題8我們把正確的命題叫做真命題$21-K3K37+2+3%!把不正確的命題叫做假命題$.7-K3K37+2+3%8&同角的余角相等是一個真命題!因為!如果設!的余角是和#!那么!(=%L!#(=%L!從而有(#!&兩個銳角之和是鈍角是一個假命題!如(!L和#()%L是兩個銳角!但是#(9!L!不是鈍角!這個命題不正確!所以它是一個假命題!要說明一個命題是假命題!只要舉出一個符合命題條件!但不符合命題結論的例子就可以了!像這樣的例子叫做反例$G312-M.K-%!例&!舉例說明&兩個負數之差是負數是假命題!說明#設$(&#!%(&!$符合命題的條件%則$&%($&#%&$&!%()!不是負數!$不符合命題的結論%所以&兩個負數之差是負數是假命題!下列各語句中!哪些是命題是命題的!請你先將它改寫為&如果(那么(的形式!再找出命題的條件和結論!$%畫一個角等于已知角!數學!七年級下冊$#%互為相反數的兩個數的和為%!$)%當$(%時!有$#(%#!$9