山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社義務(wù)教育教科書（五四學制）數(shù)學八年級下冊山東出版?zhèn)髅焦煞萦邢薰旧綎|教育出版社出版（濟南市緯一路321號）山東新華書店集團有限公司發(fā)行山東臨沂新華印刷物流集團有限責任公司印裝開本：787毫米1092毫米116印張：9.5字數(shù)：190千定價：8.93元（上光）書號：ISBN978-7-5328-8579-42015年1月第1版2020年1月第6次印刷著作權(quán)所有請勿擅用本書制作各類出版物違者必究山東出版?zhèn)髅焦煞萦邢薰窘滩氖酆蠓?wù)電話：（0531）82098188YIWUJIAOYUJIAOKESHU（WUSIXUEZHI）SHUXUEBANIANJIXIACE山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社親愛的同學：祝賀你跨入了新學期，并在數(shù)學世界里不斷成長！在此之前，你已經(jīng)認識了有理數(shù)及其擴充實數(shù)，體會到方程（組）和一次函數(shù)模型的作用，多角度分析了數(shù)據(jù)所蘊含的信息，知道了直角坐標系中的簡單軸對稱與坐標之間的關(guān)系，研究了為什么要證明、怎樣證明一個命題是正確的在學習過程中，你不僅學到了豐富的數(shù)學知識，而且積累了觀察、歸納、類比、猜想、證明等許多數(shù)學活動的經(jīng)驗，這將有助于你進一步發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題。在本冊教科書中，你將要學習一些新內(nèi)容。特殊的平行四邊形菱形、矩形、正方形的基本性質(zhì)有哪些？采用什么方法發(fā)現(xiàn)并證明這些性質(zhì)？從中你能獲得什么？通過第六章的學習，相信你會找到答案。一個正方形的面積為S，它的邊長如何表示？你將在“二次根式”中認識它。你已經(jīng)學習過一次方程（組）與分式方程，一元二次方程是一個新的數(shù)學模型，它所表示的數(shù)量關(guān)系更為復(fù)雜，當然也能更好地體現(xiàn)數(shù)學的重要價值。生活中我們常常可以見到“相似”的圖形。“相似”是圖形之間的一種特殊關(guān)系，與全等不一樣，但又有著關(guān)聯(lián)。數(shù)學里“相似”意味著什么？我們怎樣從數(shù)學的角度去研究相似現(xiàn)象？在第九章中你會探個究竟。你在以前的數(shù)學學習過程中可能已經(jīng)體會到，有效的學習方法對于學好數(shù)學有很大的作用。繼續(xù)嘗試下面的方法吧：先自己想一想、做一做，再與同伴議一議，然后讀一讀教科書，聽一聽老師的講解，再試一試解幾個問題。讓我們一起走進數(shù)學新天地！山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社MULU目錄第六章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定2矩形的性質(zhì)與判定3正方形的性質(zhì)與判定回顧與思考復(fù)習題第七章二次根式1二次根式2二次根式的性質(zhì)3二次根式的加減4二次根式的乘除回顧與思考復(fù)習題212212727323439424747山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社5055616870738080第八章一元二次方程1一元二次方程2用配方法解一元二次方程3用公式法解一元二次方程4用因式分解法解一元二次方程5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系6一元二次方程的應(yīng)用回顧與思考復(fù)習題第九章圖形的相似1成比例線段2平行線分線段成比例3相似多邊形4探索三角形相似的條件5相似三角形判定定理的證明6黃金分割7利用相似三角形測高8相似三角形的性質(zhì)9利用位似放縮圖形回顧與思考復(fù)習題84909598106110113117123128129綜合與實踐制作視力表綜合與實踐直覺的誤導總復(fù)習題附：標準對數(shù)視力表中的“E”形圖134137141145山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1菱形的性質(zhì)與判定1將平行四邊形的邊或角進行適當變化，就會得到一些特殊的平行四邊形：菱形、矩形、正方形.你知道它們有哪些特殊的性質(zhì)嗎？你對此有興趣進行探究嗎？你能證明這些特殊平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)嗎？本章將對菱形、矩形、正方形進行更深入的認識，進一步豐富認識圖形的經(jīng)驗.學習目標進一步獲得對圖形的性質(zhì)進行探索、猜測和證明的經(jīng)驗獲得對菱形、矩形、正方形的基本認識能夠掌握綜合法的證明方法能證明菱形、矩形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理體會菱形、矩形、正方形與平行四邊形的關(guān)系進一步理解一般與特殊的關(guān)系第六章特殊平行四邊形山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社2第六章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定觀察下面幾幅圖片，我們不難發(fā)現(xiàn)其中包含一些平行四邊形，但這些平行四邊形又有哪些共同的特征呢？一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（rhombus）.想一想（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？（2）你認為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流.做一做用菱形紙片折一折，回答下列問題：（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？（2）菱形中有哪些相等的線段？通過上面的折紙活動，我們可以發(fā)現(xiàn)：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直.下面我們證明這些結(jié)論.菱形是軸對稱圖形山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1菱形的性質(zhì)與判定3圖6-1DACOB例1如圖6-2，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，BAD=60，BD=2，求AB和AC的長.解：四邊形ABCD是菱形，AB=AD（菱形的四條邊都相等），ACBD（菱形的對角線互相垂直），OB=OD=12BD=122=1（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中，BAD=60，ABD是等邊三角形.AB=BD=2.已知：如圖6-1，在菱形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O.求證：（1）AB=BC=CD=AD；（2）ACBD.證明：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=CD，AD=BC（菱形的對邊相等）.又AB=AD，AB=BC=CD=AD.（2）AB=AD，ABD是等腰三角形.又四邊形ABCD是菱形，OB=OD（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中，OB=OD，AOBD，即ACBD.圖6-2DACOB定理菱形的四條邊都相等.定理菱形的對角線互相垂直.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社4第六章特殊平行四邊形在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA=AB2-OB2=22-12=3.AC=2OA=23.1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長.2.菱形的兩組對邊的距離相等嗎？為什么？ODBAC（第1題）習題6.1知識技能1.已知：如圖，在菱形ABCD中，BAD=2B.求證：ABC是等邊三角形.2.如圖，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周長.（第1題）CADBBCADOCADBO（第2題）（第3題）4.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，圖中有多少個等腰三角形和直角三角形？數(shù)學理解（第4題）ACDBO隨堂練習3.已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O.求證：AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1菱形的性質(zhì)與判定5根據(jù)菱形的定義，鄰邊相等的平行四邊形是菱形.除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形？先想一想，再與同伴交流.平行四邊形的不少性質(zhì)定理與判定定理都是互逆命題.受此啟發(fā)，我猜想：四邊相等的平行四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.我覺得，對角線互相垂直的平行四邊形有可能是菱形.但“四邊相等的平行四邊形是菱形”嘛實際上與“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”一樣.你是怎么想的？你認為小明的想法如何？已知：如圖6-3，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，ACBD.求證：ABCD是菱形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC.又ACBD，BD所在的直線是線段AC的垂直平分線BA=BC.四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.ACDBO圖6-3定理對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？議一議山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社6第六章特殊平行四邊形如圖6-4，分別以A，C為圓心，以大于12AC的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B，D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD是菱形.你是怎么做的？你認為小剛的做法正確嗎？與同伴交流.定理四條邊都相等的四邊形是菱形.請你完成這個定理的證明.做一做你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？動手試一試！先將一張長方形的紙對折，再對折，然后沿圖中的虛線剪下一個角并展開，就得到了一個菱形.你能說說小穎這樣做的道理嗎？如果給你一張不規(guī)則的紙，你也能通過折紙等辦法得到一個菱形嗎？例2已知：如圖6-5，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，OA=2，OB=1.求證：ABCD是菱形.證明：在AOB中，AB=5，OA=2，OB=1，圖6-4DBAC山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1菱形的性質(zhì)與判定7圖6-5DBACO隨堂練習1.畫一個菱形，使它的兩條對角線長分別為4cm，6cm.2.證明：一條對角線平分一內(nèi)角的平行四邊形是菱形.習題6.2知識技能1.已知：如圖，在ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F(xiàn)求證：四邊形AFCE是菱形.BFCAEDODCABHGEFO（第1題）（第2題）AB2=AO2+OB2.AOB是直角三角形，AOB是直角ACBD.ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.BCACED（第3題）數(shù)學理解3.如圖，在四邊形紙片ABCD中，ADBC，ADCD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C處，折痕DE交BC于點E，連接CE.你能確定四邊形CDCE的形狀嗎？證明你的結(jié)論.2.已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點求證：四邊形EFGH是菱形.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社8第六章特殊平行四邊形例3如圖6-6，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm.求：（1）對角線AC的長度；（2）菱形ABCD的面積.解：（1）四邊形ABCD是菱形，AC與BD相交于點E，AED=90（菱形的對角線互相垂直），DE=12BD=1210=5（cm）（菱形的對角線互相平分）.AE=AD2-DE2=132-52=12（cm）.AC=2AE=212=24（cm）（菱形的對角線互相平分）.（2）菱形ABCD的面積=ABD的面積+CBD的面積=2ABD的面積=212BDAE=2121012=120（cm2）.圖6-6CDBEA做一做如圖6-7，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形嗎？為什么？圖6-7ABCD山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1菱形的性質(zhì)與判定91.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm.（1）求菱形的每一個內(nèi)角的度數(shù)；（2）求菱形另一條對角線的長.2.已知：如圖，在RtABC中，ACB=90，BAC=60，BC的垂直平分線分別交BC和AB于點D，E，點F在DE的延長線上，且AF=CE.求證：四邊形ACEF是菱形.隨堂練習BDCAEF（第2題）箏形一條對角線所在直線垂直平分另一條對角線的四邊形叫做箏形.箏形可以分為兩類：凸箏形和凹箏形.每個內(nèi)角都小于平角的箏形叫做凸箏形（如圖6-8（1）；有一個內(nèi)角大于平角的箏形叫做凹箏形（如圖6-8（2）.讀一讀ACDBDACB（1）（2）圖6-8箏形有如下性質(zhì)：（1）箏形有兩組鄰邊分別相等；（2）箏形有一組對角相等；（3）箏形是軸對稱圖形.菱形是特殊的凸箏形.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社10第六章特殊平行四邊形一位英國數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了一對特殊的箏形，他把它們稱作“標槍”和“風箏”（如圖6-9）.“國王”“王后”“星星”“太陽”圖6-11圖6-12（1）（2）在圖6-12（2）中，你能看到“國王”“王后”“星星”和“太陽”的圖案嗎？“標槍”和“風箏”的邊長滿足下面的關(guān)系：AB=AD=GF=GH，CB=CD=EF=EH.“標槍”和“風箏”不僅可以拼湊成菱形（如圖6-10），而且還可以拼湊成許多有趣的圖案（如圖6-11）.用這兩種圖形，可以鑲嵌整個平面（如圖6-12）.圖6-10圖6-9ACDB367236HEFG727272“標槍”“風箏”山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1菱形的性質(zhì)與判定11習題6.3知識技能1.已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，且BE=BF.求證：（1）ADECDF；（2）DEF=DFE.DCAEBF（第1題）2.證明：菱形的面積等于其對角線乘積的一半.3.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH.CDABHOAEBDFCGH（第3題）（第4題）4.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點求證：四邊形EGFH是菱形.數(shù)學理解5.請用一張如圖所示的三角形紙片ABC折出一個菱形，使A為菱形的一個內(nèi)角，且菱形的一個頂點在BC邊上.ABC（第5題）山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社12第六章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定想一想觀察下面的圖片，我們能夠發(fā)現(xiàn)其中包含了一些特殊的平行四邊形，這些特殊的平行四邊形有哪些共同的特征呢？有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（rectangle）矩形是生活中常見的圖形，你還能舉出一些生活中矩形的例子嗎？與同伴交流.（1）矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？（2）你認為矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)矩形的四個角都是直角，對角線相等.下面我們證明這些結(jié)論.已知：如圖6-13，四邊形ABCD是矩形，ABC=90，對角線AC與DB相交于點O.求證：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90；（2）AC=DB山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社2矩形的性質(zhì)與判定13證明：（1）四邊形ABCD是矩形，ABDC（矩形的對邊平行），ABC=CDA，BCD=DAB（矩形的對角相等）.ABC+BCD=180.又ABC=90，BCD=90.ABC=BCD=CDA=DAB=90.（2）四邊形ABCD是矩形，AB=DC（矩形的對邊相等）.在ABC和DCB中，AB=DC，ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB.AC=DB.OADBC圖6-13議一議EADBC圖6-14如圖6-14，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點E，那么BE是RtABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關(guān)系？由此你能得到怎樣的結(jié)論？定理矩形的四個角都是直角.定理矩形的對角線相等.矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？想一想矩形是軸對稱圖形.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社14第六章特殊平行四邊形例1如圖6-15，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，AOD=120，AB=2.5，求矩形對角線的長.解：四邊形ABCD是矩形，AC=BD（矩形的對角線相等），OA=OC=12AC，OB=OD=12BD（矩形的對角線互相平分）.OA=OD.AOD=120，ODA=OAD=12（180-120）=30.又DAB=90（矩形的四個角都是直角），BD=2AB=22.5=5.OADBC圖6-15你還有其他解法嗎？隨堂練習1.如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線AC與BD相交于點O，AB=6，OA=5.求BD與AD的長.2.一個矩形的兩條對角線的一個夾角為60，對角線長為15，求矩形較短邊的長.習題6.4知識技能1.一個矩形的對角線長為2，對角線與一邊的夾角是45，求矩形的各邊長.定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.你能證明這個定理嗎？ADBCO（第1題）山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社2矩形的性質(zhì)與判定153.證明：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.4.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點.求證：EFBD.ADEBC（第2題）數(shù)學理解如圖6-16，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發(fā)生變化.做一做（1）隨著的變化，兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？（2）當兩條對角線的長度相等時，平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜想？定理對角線相等的平行四邊形是矩形.2.如圖，在RtABC中，ACB=90，D為AB的中點，AECD，CEAB，試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結(jié)論.圖6-16已知：如圖6-17，在ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，AC=DB.求證：ABCD是矩形.DCEFBA（第4題）山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社16第六章特殊平行四邊形想一想我們知道，矩形的四個角都是直角反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？能證明你的結(jié)論嗎？與同伴交流.你有什么方法檢查你家（或教室）剛安裝的門框是不是矩形？如果僅有一根較長的繩子，你怎樣檢查？請說明檢查方法的合理性，并與同伴交流.例2如圖6-18，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，ABO是等邊三角形，AB=1，求ABCD的面積.解：四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC，OB=OD.又ABO是等邊三角形，OA=OB=AB=1，BAC=60.OA=OB=OC=OD=1.AC=BD=2AB=21=2.議一議圖6-18ADBCO定理有三個角是直角的四邊形是矩形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=DC，ABDC.又BC=CB，AC=DB，ABCDCB.ABC=DCB.ABDC，ABC+DCB=180.ABC=DCB=90.ABCD是矩形（矩形的定義）.圖6-17ADBC山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社2矩形的性質(zhì)與判定171.已知：如圖，在ABCD中，M是AD邊的中點，且MB=MC.求證：四邊形ABCD是矩形.隨堂練習（第1題）ADBCM2.已知：如圖，直線l與平行線m，n分別相交于點A，B，兩組同旁內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn).求證：四邊形AEBF是矩形.mnABFEl（第2題）習題6.5知識技能1.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線，延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE.（1）試判斷四邊形ABEC的形狀；（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ABEC是矩形？DAEBC（第1題）ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.ABC=90（矩形的四個角都是直角）.在RtABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，BC=AC2-AB2=22-12=3.SABCD=ABBC=13=3.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社18第六章特殊平行四邊形例3如圖6-19，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O，AEBD，垂足為點E，ED=3BE.求AE的長.解：四邊形ABCD是矩形，AO=BO=DO=12BD（矩形的對角線相等且互相平分），BAD=90（矩形的四個角都是直角）.ED=3BE，BE=OE.又AEBD，AB=AO.AB=AO=BO，即ABO是等邊三角形.ABO=60.ADB=90-ABO=30.在RtAED中，ADE=30，AE=12AD=126=3.圖6-19ADBCOE2.如圖，點B在直線MN上，過AB的中點O作MN的平行線，分別交ABM的平分線和ABN的平分線于點C，D，連接AC，AD試判斷四邊形ACBD的形狀，并證明你的結(jié)論.CDAOMNB（第2題）問題解決3.如圖，已知菱形ABCD，作一個矩形，使得A，B，C，D四個點分別在矩形的四條邊上，且矩形的面積為菱形ABCD面積的2倍.DBAC（第3題）山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社2矩形的性質(zhì)與判定19例4已知：如圖6-20，在ABC中，AB=AC，AD為BAC的平分線，AN為ABC的外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E.求證：四邊形ADCE是矩形.證明：AD平分BAC，AN平分CAM，CAD=12BAC，CAN=12CAMDAE=CAD+CAN=12（BAC+CAM）=12180=90.在ABC中，AB=AC，AD為BAC的平分線，ADBC.ADC=90.又CEAN，CEA=90.四邊形ADCE是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）.AENMBCD圖6-20想一想在例4中，連接DE，交AC于點F（如圖6-21）（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.隨堂練習1.已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的等邊三角形ABD和CBD組成的，M，N分別是BC和AD的中點.圖6-21AENMBCDF山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社20第六章特殊平行四邊形習題6.6知識技能1.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作BD的垂線，垂足為點E.已知EAD=3BAE，求EAO的度數(shù)ADBCOE（第1題）ABEDC（第2題）2.已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形.求證：四邊形ADCE是矩形.問題解決3.如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，將矩形紙片折疊，使點C與點A重合，請在圖中畫出折痕，并求折痕的長.（第3題）ADBCCDNABM（第1題）ADBCO（第2題）求證：四邊形BMDN是矩形.2.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，ACB=30，BD=4，求矩形ABCD的面積.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社3正方形的性質(zhì)與判定214.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足為點E，F(xiàn).求PE+PF的值.（第4題）ADBCOEFP聯(lián)系拓廣3正方形的性質(zhì)與判定圖6-22中的四邊形都是矩形，但有些矩形比較特殊，你能說出這些特殊矩形的特征嗎？有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形（square）.（1）正方形是菱形嗎？（2）你認為正方形具有哪些性質(zhì)？與同伴交流正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì).議一議121333322圖6-222山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社22第六章特殊平行四邊形正方形有幾條對稱軸？例1如圖6-23，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.解：BE=DF，且BEDF.理由如下：（1）四邊形ABCD是正方形，BC=DC，BCE=90（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）.DCF=180-BCE=180-90=90.BCE=DCF.又CE=CF，BCEDCF.BE=DF.（2）延長BE交DF于點M（如圖6-24）.BCEDCF，CBE=CDF.DCF=90，CDF+F=90.CBE+F=90.BMF=90.BEDF.CEBFAD圖6-23議一議平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流.圖6-24CEBFADM定理正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.定理正方形的對角線相等且互相垂直平分.想一想山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社3正方形的性質(zhì)與判定23隨堂練習1.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，圖中有多少個等腰三角形？BCADODCABF（第1題）（第2題）習題6.7知識技能1.對角線長為2cm的正方形，邊長是多少？2.如圖，四邊形ABCD是正方形，CBE是等邊三角形，求AEB的度數(shù).CBDAE（第2題）3.如圖，A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個角上.倉庫P和Q分別位于AD和DC上，且PD=QC.證明兩條直路BP=AQ且BPAQ.數(shù)學理解4.在一個正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度）.你有幾種方法？（至少說出三種）問題解決（第3題）ADPQBC2.如圖，在正方形ABCD中，點F為對角線AC上一點，連接BF，DF.你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進行證明.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社24第六章特殊平行四邊形定理對角線相等的菱形是正方形.定理對角線垂直的矩形是正方形.定理有一個角是直角的菱形是正方形.例2已知：如圖6-26，在矩形ABCD中，BE平分ABC，CE平分DCB，BFCE，CFBE.求證：四邊形BECF是正方形.證明：BFCE，CFBE，四邊形BECF是平行四邊形.四邊形ABCD是矩形，ABC=90，DCB=90.又BE平分ABC，CE平分DCB，EBC=12ABC=45，ECB=12DCB=45.EBC=ECB.EB=EC.BECF是菱形（菱形的定義）.在EBC中，EBC=45，ECB=45，BEC=90.菱形BECF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.BCADEF圖6-26如圖6-25，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角并展開.怎樣剪才能剪出一個正方形？議一議滿足什么條件的矩形是正方形呢？滿足什么條件的菱形是正方形呢？說說你的理由，并與同伴交流.圖6-25山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社3正方形的性質(zhì)與判定25讀一讀做一做依次連接任意四邊形各邊的中點可以得到一個平行四邊形，那么，依次連接正方形各邊的中點（如圖6-27）能得到一個怎樣的圖形呢？先猜一猜，再證明.圖6-27ABDCA1C1D1B1議一議（1）依次連接菱形或矩形各邊的中點能得到一個什么圖形？先猜一猜，再證明.（2）依次連接平行四邊形各邊的中點呢？依次連接四邊形各邊的中點所得到的新四邊形的形狀與哪些線段有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？證明：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）對角線垂直的矩形是正方形隨堂練習四邊形的對稱性我們知道，一般的四邊形既不一定是軸對稱圖形，也不一定是中心對稱圖形；平行四邊形都是中心對稱圖形，卻不一定是軸對稱圖形；等腰梯形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；箏形是軸對稱圖形，但不一定是中心對稱圖形；所有的菱形和矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，而且它們至少都有兩條對稱軸.（如圖6-28所示）請你想一想、畫一畫，什么情況下菱形和矩形只有兩條對稱軸？什么情況下它們有兩條以上的對稱軸？山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社26第六章特殊平行四邊形通過想象或?qū)嶋H畫圖，可以發(fā)現(xiàn)，當菱形有一個角為直角時，它的對稱軸的數(shù)量就增加了；當矩形有一組鄰邊相等時，它的對稱軸的數(shù)量也增加了.換句話說，當菱形或矩形成為正方形時，它的對稱軸就不止兩條了.由此我們看到，當圖形從一般情況向特殊情況變化時，它的對稱性也可能隨之發(fā)生了變化.習題6.8知識技能1.證明：對角線相等的菱形是正方形.2.已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，且BE=DF.求證：四邊形AECF是菱形.FEDCAB（第2題）BCEFADGH（第3題）3.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在它的四條邊上，且AE=BF=CG=DH.四邊形EFGH是什么特殊四邊形？你是如何判斷的？數(shù)學理解圖6-28此外，我們還知道，如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定角度（小于360）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形.請你想一想、試一試，平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形嗎？菱形呢？矩形呢？正方形呢？山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社復(fù)習題27聯(lián)系拓廣4.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，正方形ABCO與正方形ABCD的邊長相等.在正方形ABCO繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系？請證明你的結(jié)論.5.對角線互相垂直且相等的四邊形一定是正方形嗎？為什么？ADBCCABO（第4題）回顧與思考1.說說平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系，它們各有哪些性質(zhì)？2.在菱形、矩形、正方形中，哪些圖形是軸對稱圖形？哪些圖形是中心對稱圖形？3.分別說說判定一個四邊形是菱形、矩形、正方形的條件.4.用適當?shù)姆绞绞崂肀菊碌闹R，并與同伴進行交流.1.一個菱形的兩條對角線的長分別為4cm和2cm，求它的邊長.2.如圖，若四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且OA=OB=OC=OD=22AB，則四邊形ABCD是正方形嗎？3.如果一個四邊形是軸對稱圖形，而且有兩條互相垂直的對稱軸，那么這個四邊形一定是菱形嗎？為什么？知識技能復(fù)習題ADBCO（第2題）山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社28第六章特殊平行四邊形CBADE（第6題）4.一個菱形的周長是200cm，一條對角線長60cm，求：（1）另一條對角線的長度；（2）菱形的面積.5.證明：如果四邊形兩條對角線垂直且相等，那么依次連接它的四邊中點得到一個正方形.6.如圖，四邊形ABCD是一個正方形，E是BC延長線上一點，且AC=EC，求DAE的度數(shù).7.（1）如果一個菱形繞對角線的交點旋轉(zhuǎn)90后，所得圖形與原來的圖形重合，那么這個菱形是正方形嗎？為什么？（2）如果一個四邊形繞對角線的交點旋轉(zhuǎn)90后，所得圖形與原來的圖形重合，那么這個四邊形是正方形嗎？為什么？8.已知：如圖，AD是ABC的角平分線，過點D分別作AC和AB的平行線，交AB于點E，交AC于點F.求證：四邊形AEDF是菱形.9.已知：ABC的兩條高分別為BE，CF，點M為BC的中點.求證：ME=MF.10.已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P.求證：四邊形CODP是菱形.AEFBCD（第8題）ABDCOPADBCONQMP（第10題）（第11題）11.已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點M，P，N，Q分別在AO，BO，CO，DO上，且AM=BP=CN=DQ.求證：四邊形MPNQ是矩形.12.已知：如圖，在RtABC中，ACB=90，CD是ABC的角平分線，DEBC，DFAC，垂足分別為點E，F(xiàn).求證：四邊形CEDF是正方形.山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社復(fù)習題29CBEFDAADCBQP（第12題）（第13題）13.如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm.動點P從點A開始沿AB邊以4cms的速度運動，動點Q從點C開始沿CD邊以1cms的速度運動；點P和點Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.設(shè)動點的運動時間為ts，則當t為何值時，四邊形APQD是矩形？數(shù)學理解14.如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，重合部分是什么圖形？試說明理由.15.如圖，把兩個大小完全相同的矩形拼成“L”形圖案，求ACF，AFC的度數(shù).ADBCADCBFE（第14題）16.小穎在商店里看到一塊漂亮的方紗巾，非常想買，但當她拿起來時，又感覺紗巾不是正方形.商店老板看她猶豫的樣子，馬上過來將紗巾沿對角線對折，讓小穎檢驗（如圖）.小穎還是有些疑惑，老板又將紗巾沿另一條對角線對折，讓小穎檢驗.小穎發(fā)現(xiàn)這兩次對折后兩個對角都能對齊，于是買下這塊紗巾.你認為小穎買的這塊紗巾一定是正方形嗎？你認為用什么方法可以檢驗紗巾是不是正方形？ABECDGF（第15題）（第16題）山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社30第六章特殊平行四邊形18.你能通過剪切和拼接下列圖形得到一個矩形嗎？在這些剪拼的過程中，剪下的圖形是經(jīng)過怎樣的運動最后拼接在一起的？（1）平行四邊形；（2）三角形.問題解決聯(lián)系拓廣19.將相應(yīng)的條件填在相應(yīng)的箭頭上，使得下圖能清楚地表達幾種四邊形之間的關(guān)系.20.已知兩條對角線，利用尺規(guī)作一個菱形.21.如圖，畫一個矩形EFGH，并滿足下列條件：（1）點A，B，C，D分別在矩形EFGH的四條邊上；（2）S矩形EFGH=2S四邊形ABCD.四邊形平行四邊形正方形矩形菱形（第19題）（第21題）ACDB17.已知：如圖，ABCD各角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形.CDABHFGE（第17題）山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1二次根式31一個正方形的面積為S，它的邊長可以用S表示.一個物體從高度為hm的高處自由下落，如果不考慮空氣的阻力，那么物體從開始下落到剛好落地所用的時間可以用式子h4.9s來表示.在數(shù)學和其他自然科學中，常常會遇到含有二次根式的式子，這就是本章我們所要研究的二次根式.第七章二次根式學習目標了解二次根式的概念探索二次根式的性質(zhì)，會用二次根式的性質(zhì)化去根號內(nèi)的分母了解最簡二次根式、同類二次根式的概念了解二次根式加、減、乘、除的運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社32第七章二次根式1二次根式議一議（1）正方形的面積為2，它的邊長是多少？面積為3呢？面積為S呢？（2）正方形的面積為S，如果把它的面積增加1，新正方形的邊長是多少？（3）觀察問題（1）（2）所得到的式子，你發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？式子2，3，S，S+1的共同特點是：它們都是形如a的式子，并且被開方數(shù)都是非負數(shù).一般地，形如a（a0）的式子叫做二次根式（quadraticradical），其中a叫做被開方數(shù).我們知道，a（a0）表示a的算術(shù)平方根，所以a（a0）是一個非負數(shù)，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，它的平方等于a.用式子表示，就是a0（a0），（a）2=a（a0）.例1a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（1）a+1；（2）1-3a.解：（1）如果a+1有意義，那么a+10.解不等式a+10，得a-1.所以，當a-1時，a+1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.（2）如果1-3a有意義，那么1-3a0.解不等式1-3a0，得山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社山東教育出版社1二次根式33a13.所以，當a13時，1-3a在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.例2計算：（1）（2.1）2；（2）（23）2.解：（1）（2.1）2=2.1；（2）（2