2019年甘肅省武威市中考數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項1（3分）下列四個幾何體中，是三棱柱的為（）ABCD2（3分）如圖，數軸的單位長度為1，如果點A表示的數是1，那么點B表示的數是（）A0B1C2D33（3分）下列整數中，與最接近的整數是（）A3B4C5D64（3分）華為Mate20手機搭載了全球首款7納米制程芯片，7納米就是0.000000007米數據0.000000007用科學記數法表示為（）A7107B0.7108C7108D71095（3分）如圖，將圖形用放大鏡放大，應該屬于（）A平移變換B相似變換C旋轉變換D對稱變換6（3分）如圖，足球圖片正中的黑色正五邊形的內角和是（）A180B360C540D7207（3分）不等式2x+93（x+2）的解集是（）Ax3Bx3Cx3Dx38（3分）下面的計算過程中，從哪一步開始出現錯誤（）ABCD9（3分）如圖，點A，B，S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的倍，則ASB的度數是（）A22.5B30C45D6010（3分）如圖，在矩形ABCD中，ABAD，對角線AC，BD相交于點O，動點P由點A出發，沿ABBCCD向點D運動設點P的運動路程為x，AOP的面積為y，y與x的函數關系圖象如圖所示，則AD邊的長為（）A3B4C5D6二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.11（4分）中國象棋是中華名族的文化瑰寶，因趣味性強，深受大眾喜愛如圖，若在象棋棋盤上建立平面直角坐標系，使“帥”位于點（0，2），“馬”位于點（4，2），則“兵”位于點 12（4分）一個猜想是否正確，科學家們要經過反復的實驗論證下表是幾位科學家“擲硬幣”的實驗數據：實驗者德摩根蒲豐費勒皮爾遜羅曼諾夫斯基擲幣次數61404040100003600080640出現“正面朝上”的次數3109204849791803139699頻率0.5060.5070.4980.5010.492請根據以上數據，估計硬幣出現“正面朝上”的概率為 （精確到0.1）13（4分）因式分解：xy24x 14（4分）關于x的一元二次方程x2+x+10有兩個相等的實數根，則m的取值為 15（4分）將二次函數yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式為 16（4分）把半徑為1的圓分割成四段相等的弧，再將這四段弧依次相連拼成如圖所示的恒星圖形，那么這個恒星圖形的面積等于 17（4分）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”若等腰ABC中，A80，則它的特征值k 18（4分）已知一列數a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，按照這個規律寫下去，第9個數是 三、解答題（一）：本大題共5小題，共38分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟19（6分）計算：（2）2|2|2cos45+（3）020（6分）小甘到文具超市去買文具請你根據如圖中的對話信息，求中性筆和筆記本的單價分別是多少元？21（8分）已知：在ABC中，ABAC（1）求作：ABC的外接圓（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為4，BC6，則SO 22（8分）如圖是圖是其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計），其中燈臂AC40cm，燈罩CD30cm，燈臂與底座構成的CAB60CD可以繞點C上下調節一定的角度使用發現：當CD與水平線所成的角為30時，臺燈光線最佳現測得點D到桌面的距離為49.6cm請通過計算說明此時臺燈光線是否為最佳？（參考數據：取1.73）23（10分）2019年中國北京世界園藝博覽會（以下簡稱“世園會”）于4月29日至10月7日在北京延慶區舉行世園會為滿足大家的游覽需求，傾情打造了4條各具特色的趣玩路線，分別是：A“解密世園會”、B“愛我家，愛園藝”、C“園藝小清新之旅”和D“快速車覽之旅”李欣和張帆都計劃暑假去世園會，他們各自在這4條線路中任意選擇一條線路游覽，每條線路被選擇的可能性相同（1）李欣選擇線路C“園藝小清新之旅”的概率是多少？（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求李欣和張帆恰好選擇同一線路游覽的概率四、解答題（二）：本大題共5小題，共50分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟24（8分）為弘揚傳統文化，某校開展了“傳承經典文化，閱讀經典名著”活動為了解七、八年級學生（七、八年級各有600名學生）的閱讀效果，該校舉行了經典文化知識競賽現從兩個年級各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行分析，過程如下：收集數據：七年級：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77八年級：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41整理數據：40x4950x5960x6970x7980x8990x100七年級010a71八年級1007b2分析數據：平均數眾數中位數七年級7875c八年級78d80.5應用數據：（1）由上表填空：a ，b ，c ，d （2）估計該校七、八兩個年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人？（3）你認為哪個年級的學生對經典文化知識掌握的總體水平較好，請說明理由25（10分）如圖，已知反比例函數y（k0）的圖象與一次函數yx+b的圖象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）兩點（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）已知點P（a，0）（a0），過點P作平行于y軸的直線，在第一象限內交一次函數yx+b的圖象于點M，交反比例函數y上的圖象于點N若PMPN，結合函數圖象直接寫出a的取值范圍26（10分）如圖，在ABC中，ABAC，BAC120，點D在BC邊上，D經過點A和點B且與BC邊相交于點E（1）求證：AC是D的切線；（2）若CE2，求D的半徑27（10分）閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：例題：如圖，在等邊ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是ABC的外角ACH的平分線上一點，且AMMN求證：AMN60點撥：如圖，作CBE60，BE與NC的延長線相交于點E，得等邊BEC，連接EM易證：ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，則EMMN，可得34；由3+14+560，進一步可得125，又因為2+6120，所以5+6120，即：AMN60問題：如圖，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點（不含端點B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分線上一點，且A1M1M1N1求證：A1M1N19028（12分）如圖，拋物線yax2+bx+4交x軸于A（3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m（1）求此拋物線的表達式；（2）過點P作PMx軸，垂足為點M，PM交BC于點Q試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點P作PNBC，垂足為點N請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？2019年甘肅省武威市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項1（3分）下列四個幾何體中，是三棱柱的為（）ABCD【分析】分別判斷各個幾何體的形狀，然后確定正確的選項即可【解答】解：A、該幾何體為四棱柱，不符合題意；B、該幾何體為四棱錐，不符合題意；C、該幾何體為三棱柱，符合題意；D、該幾何體為圓柱，不符合題意故選：C【點評】考查了認識立體圖形的知識，解題的關鍵是能夠認識各個幾何體，難度不大2（3分）如圖，數軸的單位長度為1，如果點A表示的數是1，那么點B表示的數是（）A0B1C2D3【分析】直接利用數軸結合A，B點位置進而得出答案【解答】解：數軸的單位長度為1，如果點A表示的數是1，點B表示的數是：3故選：D【點評】此題主要考查了實數軸，正確應用數形結合分析是解題關鍵3（3分）下列整數中，與最接近的整數是（）A3B4C5D6【分析】由于91016，于是，10與9的距離小于16與10的距離，可得答案【解答】解：329，4216，34，10與9的距離小于16與10的距離，與最接近的是3故選：A【點評】本題考查了無理數的估算，解題關鍵是確定無理數的整數部分即可解決問題4（3分）華為Mate20手機搭載了全球首款7納米制程芯片，7納米就是0.000000007米數據0.000000007用科學記數法表示為（）A7107B0.7108C7108D7109【分析】由科學記數法知0.0000000077109；【解答】解：0.0000000077109；故選：D【點評】本題考查科學記數法；熟練掌握科學記數法a10n中a與n的意義是解題的關鍵5（3分）如圖，將圖形用放大鏡放大，應該屬于（）A平移變換B相似變換C旋轉變換D對稱變換【分析】根據放大鏡成像的特點，結合各變換的特點即可得出答案【解答】解：根據相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換故選：B【點評】本題考查的是相似形的識別，關鍵要聯系圖形，根據相似圖形的定義得出6（3分）如圖，足球圖片正中的黑色正五邊形的內角和是（）A180B360C540D720【分析】根據多邊形內角和公式（n2）180即可求出結果【解答】解：黑色正五邊形的內角和為：（52）180540，故選：C【點評】本題考查了多邊形的內角和公式，解題關鍵是牢記多邊形的內角和公式7（3分）不等式2x+93（x+2）的解集是（）Ax3Bx3Cx3Dx3【分析】先去括號，然后移項、合并同類項，再系數化為1即可【解答】解：去括號，得2x+93x+6，移項，合并得x3系數化為1，得x3；故選：A【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯解不等式要依據不等式的基本性質，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變8（3分）下面的計算過程中，從哪一步開始出現錯誤（）ABCD【分析】直接利用分式的加減運算法則計算得出答案【解答】解：故從第步開始出現錯誤故選：B【點評】此題主要考查了分式的加減運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵9（3分）如圖，點A，B，S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的倍，則ASB的度數是（）A22.5B30C45D60【分析】設圓心為0，連接OA、OB，如圖，先證明OAB為等腰直角三角形得到AOB90，然后根據圓周角定理確定ASB的度數【解答】解：設圓心為O，連接OA、OB，如圖，弦AB的長度等于圓半徑的倍，即ABOA，OA2+OB2AB2，OAB為等腰直角三角形，AOB90，ASBAOB45故選：C【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半10（3分）如圖，在矩形ABCD中，ABAD，對角線AC，BD相交于點O，動點P由點A出發，沿ABBCCD向點D運動設點P的運動路程為x，AOP的面積為y，y與x的函數關系圖象如圖所示，則AD邊的長為（）A3B4C5D6【分析】當P點在AB上運動時，AOP面積逐漸增大，當P點到達B點時，結合圖象可得AOP面積最大為3，得到AB與BC的積為12；當P點在BC上運動時，AOP面積逐漸減小，當P點到達C點時，AOP面積為0，此時結合圖象可知P點運動路徑長為7，得到AB與BC的和為7，構造關于AB的一元二方程可求解【解答】解：當P點在AB上運動時，AOP面積逐漸增大，當P點到達B點時，AOP面積最大為3AB3，即ABBC12當P點在BC上運動時，AOP面積逐漸減小，當P點到達C點時，AOP面積為0，此時結合圖象可知P點運動路徑長為7，AB+BC7則BC7AB，代入ABBC12，得AB27AB+120，解得AB4或3，因為ABAD，即ABBC，所以AB3，BC4故選：B【點評】本題主要考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是分析三角形面積隨動點運動的變化過程，找到分界點極值，結合圖象得到相關線段的具體數值二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.11（4分）中國象棋是中華名族的文化瑰寶，因趣味性強，深受大眾喜愛如圖，若在象棋棋盤上建立平面直角坐標系，使“帥”位于點（0，2），“馬”位于點（4，2），則“兵”位于點（1，1）【分析】直接利用“帥”位于點（0，2），可得原點的位置，進而得出“兵”的坐標【解答】解：如圖所示：可得原點位置，則“兵”位于（1，1）故答案為：（1，1）【點評】本題考查了直角坐標系、點的坐標，解題的關鍵是確定坐標系的原點的位置12（4分）一個猜想是否正確，科學家們要經過反復的實驗論證下表是幾位科學家“擲硬幣”的實驗數據：實驗者德摩根蒲豐費勒皮爾遜羅曼諾夫斯基擲幣次數61404040100003600080640出現“正面朝上”的次數3109204849791803139699頻率0.5060.5070.4980.5010.492請根據以上數據，估計硬幣出現“正面朝上”的概率為0.5（精確到0.1）【分析】由于表中硬幣出現“正面朝上”的頻率在0.5左右波動，則根據頻率估計概率可得到硬幣出現“正面朝上”的概率【解答】解：因為表中硬幣出現“正面朝上”的頻率在0.5左右波動，所以估計硬幣出現“正面朝上”的概率為0.5故答案為0.5【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確13（4分）因式分解：xy24xx（y+2）（y2）【分析】先提取公因式x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解【解答】解：xy24x，x（y24），x（y+2）（y2）【點評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵，難點在于要進行二次因式分解14（4分）關于x的一元二次方程x2+x+10有兩個相等的實數根，則m的取值為4【分析】要使方程有兩個相等的實數根，即b24ac0，則利用根的判別式即可求得一次項的系數【解答】解：由題意，b24ac（）240得m4故答案為4【點評】此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式（b24ac）可以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式 有如下關系：當0時，方程有兩個不相等的實數根；當0 時，方程有兩個相等的實數根；當0 時，方程無實數根，但有2個共軛復根上述結論反過來也成立15（4分）將二次函數yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式為y（x2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解【解答】解：yx24x+5x24x+4+1（x2）2+1，所以，y（x2）2+1故答案為：y（x2）2+1【點評】本題考查了二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式：yax2+bx+c（a0，a、b、c為常數）；（2）頂點式：ya（xh）2+k；（3）交點式（與x軸）：ya（xx1）（xx2）16（4分）把半徑為1的圓分割成四段相等的弧，再將這四段弧依次相連拼成如圖所示的恒星圖形，那么這個恒星圖形的面積等于4【分析】恒星的面積邊長為2的正方形面積半徑為1的圓的面積，依此列式計算即可【解答】解：如圖：新的正方形的邊長為1+12，恒星的面積224故答案為4【點評】本題考查了扇形面積的計算，關鍵是理解恒星的面積邊長為2的正方形面積半徑為1的圓的面積17（4分）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”若等腰ABC中，A80，則它的特征值k或【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數從而可求解【解答】解：當A為頂角時，等腰三角形兩底角的度數為：50特征值k當A為底角時，頂角的度數為：180808020特征值k綜上所述，特征值k為或故答案為或【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵，要注意到本題中，已知A的底數，要進行判斷是底角或頂角，以免造成答案的遺漏18（4分）已知一列數a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，按照這個規律寫下去，第9個數是13a+21b【分析】由題意得出從第3個數開始，每個數均為前兩個數的和，從而得出答案【解答】解：由題意知第7個數是5a+8b，第8個數是8a+13b，第9個數是13a+21b，故答案為：13a+21b【點評】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是得出從第3個數開始，每個數均為前兩個數的和的規律三、解答題（一）：本大題共5小題，共38分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟19（6分）計算：（2）2|2|2cos45+（3）0【分析】先根據乘方的計算法則、絕對值的性質、零指數冪及特殊角的三角函數值分別計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可【解答】解：（2）2|2|2cos45+（3）0，4（2）2+1，42+1，3【點評】本題考查的是實數的運算，熟知零指數冪的計算法則、絕對值的性質及特殊角的三角函數值是解答此題的關鍵20（6分）小甘到文具超市去買文具請你根據如圖中的對話信息，求中性筆和筆記本的單價分別是多少元？【分析】根據對話分別利用總錢數得出等式求出答案【解答】解：設中性筆和筆記本的單價分別是x元、y元，根據題意可得：，解得：，答：中性筆和筆記本的單價分別是2元、6元【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，正確得出等量關系是解題關鍵21（8分）已知：在ABC中，ABAC（1）求作：ABC的外接圓（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為4，BC6，則SO25【分析】（1）作線段AB，BC的垂直平分線，兩線交于點O，以O為圓心，OB為半徑作O，O即為所求（2）在RtOBE中，利用勾股定理求出OB即可解決問題【解答】解：（1）如圖O即為所求（2）設線段BC的垂直平分線交BC于點E由題意OE4，BEEC3，在RtOBE中，OB5，S圓O5225故答案為25【點評】本題考查作圖復雜作圖，等腰三角形的性質，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型22（8分）如圖是圖是其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計），其中燈臂AC40cm，燈罩CD30cm，燈臂與底座構成的CAB60CD可以繞點C上下調節一定的角度使用發現：當CD與水平線所成的角為30時，臺燈光線最佳現測得點D到桌面的距離為49.6cm請通過計算說明此時臺燈光線是否為最佳？（參考數據：取1.73）【分析】如圖，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于F解直角三角形求出DCF即可判斷【解答】解：如圖，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于FCEHCFHFHE90，四邊形CEHF是矩形，CEFH，在RtACE中，AC40cm，A60，CEACsin6034.6（cm），FHCE34.6（cm）DH49.6cm，DFDHFH49.634.615（cm），在RtCDF中，sinDCF，DCF30，此時臺燈光線為最佳【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線面構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型23（10分）2019年中國北京世界園藝博覽會（以下簡稱“世園會”）于4月29日至10月7日在北京延慶區舉行世園會為滿足大家的游覽需求，傾情打造了4條各具特色的趣玩路線，分別是：A“解密世園會”、B“愛我家，愛園藝”、C“園藝小清新之旅”和D“快速車覽之旅”李欣和張帆都計劃暑假去世園會，他們各自在這4條線路中任意選擇一條線路游覽，每條線路被選擇的可能性相同（1）李欣選擇線路C“園藝小清新之旅”的概率是多少？（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求李欣和張帆恰好選擇同一線路游覽的概率【分析】（1）由概率公式即可得出結果；（2）畫出樹狀圖，共有16種等可能的結果，李欣和張帆恰好選擇同一線路游覽的結果有4種，由概率公式即可得出結果【解答】解：（1）在這四條線路任選一條，每條被選中的可能性相同，在四條線路中，李欣選擇線路C“園藝小清新之旅”的概率是；（2）畫樹狀圖分析如下：共有16種等可能的結果，李欣和張帆恰好選擇同一線路游覽的結果有4種，李欣和張帆恰好選擇同一線路游覽的概率為【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比四、解答題（二）：本大題共5小題，共50分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟24（8分）為弘揚傳統文化，某校開展了“傳承經典文化，閱讀經典名著”活動為了解七、八年級學生（七、八年級各有600名學生）的閱讀效果，該校舉行了經典文化知識競賽現從兩個年級各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行分析，過程如下：收集數據：七年級：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77八年級：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41整理數據：40x4950x5960x6970x7980x8990x100七年級010a71八年級1007b2分析數據：平均數眾數中位數七年級7875c八年級78d80.5應用數據：（1）由上表填空：a11，b10，c78，d81（2）估計該校七、八兩個年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人？（3）你認為哪個年級的學生對經典文化知識掌握的總體水平較好，請說明理由【分析】（1）根據已知數據及中位數和眾數的概念求解可得；（2）利用樣本估計總體思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可【解答】解：（1）由題意知a11，b10，將七年級成績重新排列為：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，其中位數c78，八年級成績的眾數d81，故答案為：11，10，78，81；（2）估計該校七、八兩個年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有120090（人）；（3）八年級的總體水平較好，七、八年級的平均成績相等，而八年級的中位數大于七年級的中位數，八年級得分高的人數相對較多，八年級的學生對經典文化知識掌握的總體水平較好（答案不唯一，合理即可）【點評】本題考查了眾數、中位數以及平均數，掌握眾數、中位數以及平均數的定義是解題的關鍵25（10分）如圖，已知反比例函數y（k0）的圖象與一次函數yx+b的圖象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）兩點（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）已知點P（a，0）（a0），過點P作平行于y軸的直線，在第一象限內交一次函數yx+b的圖象于點M，交反比例函數y上的圖象于點N若PMPN，結合函數圖象直接寫出a的取值范圍【分析】（1）利用待定系數法即可求得；（2）根據圖象可解【解答】解：（1）反比例函數y（k0）的圖象與一次函數yx+b的圖象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）兩點，3，31+b，k3，b4，反比例函數和一次函數的表達式分別為y，yx+4；（2）由圖象可得：當1a3時，PMPN【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法求解析式，利用函數圖象性質解決問題是本題的關鍵26（10分）如圖，在ABC中，ABAC，BAC120，點D在BC邊上，D經過點A和點B且與BC邊相交于點E（1）求證：AC是D的切線；（2）若CE2，求D的半徑【分析】（1）連接AD，根據等腰三角形的性質得到BC30，BADB30，求得ADC60，根據三角形的內角和得到DAC180603090，于是得到AC是D的切線；（2）連接AE，推出ADE是等邊三角形，得到AEDE，AED60，求得EACAEDC30，得到AECE2，于是得到結論【解答】（1）證明：連接AD，ABAC，BAC120，BC30，ADBD，BADB30，ADC60，DAC180603090，AC是D的切線；（2）解：連接AE，ADDE，ADE60，ADE是等邊三角形，AEDE，AED60，EACAEDC30，EACC，AECE2，D的半徑AD2【點評】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵27（10分）閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：例題：如圖，在等邊ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是ABC的外角ACH的平分線上一點，且AMMN求證：AMN60點撥：如圖，作CBE60，BE與NC的延長線相交于點E，得等邊BEC，連接EM易證：ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，則EMMN，可得34；由3+14+560，進一步可得125，又因為2+6120，所以5+6120，即：AMN60問題：如圖，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點（不含端點B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分線上一點，且A1M1M1N1求證：A1M1N190【分析】延長A1B1至E，使EB1A1B1，連接EM1C、EC1，則EB1B1C1，EB1M1中90A1B1M1，得出EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質得出B1EC1B1C1E45，證出B1C1E+M1C1N1180，得出E、C1、N1，三點共線，由SAS證明A1B1M1EB1M1得出A1M1EM1，12，得出EM1M1N1，由等腰三角形的性質得出34，證出125，得出5+690，即可得出結論【解答】解：延長A1B1至E，使EB1A1B1，連接EM1C、EC1，如圖所示：則EB1B1C1，EB1M1中90A1B1M1，EB1C1是等腰直角三角形，B1EC1B1C1E45，N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分線上一點，M1C1N190+45135，B1C1E+M1C1N1180，E、C1、N1，三點共線，在A1B1M1和EB1M1中，A1B1M1EB1M1（SAS），A1M1EM1，12，A1M1M1N1，EM1M1N1，34，2+345，4+545，125，1+690，5+690，A1M1N11809090【點評】此題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質，通過作輔助線構造三角形全等是解本題的關鍵28（12分）如圖，拋物線yax2+bx+4交x軸于A（3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m（1）求此拋物線的表達式；（2）過點P作PMx軸，垂足為點M，PM交BC于點Q試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點P作PNBC，垂足為點N請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函數交點式表達式，即可求解；（2）分ACAQ、ACCQ、CQAQ三種情況，分別求解即可；（3）由PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）即可求解【解答】解：（1）由二次函數交點式表達式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12），即：12a4，解得：a，則拋物線的表達式為yx2+x+4；（2）存在，理由：點A、B、C的坐標分別為（3，0）、（4，0）、（0，4），則AC5，AB7，BC4，OABOBA45，將點B、C的坐標代入一次函數表達式：ykx+b并解得：yx+4，同理可得直線AC的表達式為：yx+4，設直線AC的中點為M（，4），過點M與CA垂直直線的表達式中的k值為，同理可得過點M與直線AC垂直直線的表達式為：yx+，當ACAQ時，如圖1，則ACAQ5，設：QMMBn，則AM7n，由勾股定理得：（7n）2+n225，解得：n3或4（舍去4），故點Q（1，3）；當ACCQ時，如圖1，CQ5，則BQBCCQ45，則QMMB，故點Q（，）；當CQAQ時，聯立并解得：x（舍去）；故點Q的坐標為：Q（1，3）或（，）；（3）設點P（m，m2+m+4），則點Q（m，m+4），OBOC，ABCOCB45PQN，PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）m2+m，0，PN有最大值，當m時，PN的最大值為：【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系