2019年湖南省岳陽市中考數學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分.在每道小題給出的四個選項中，選出符合要求的一項）1（3分）2019的絕對值是（）A2019B2019CD2（3分）下列運算結果正確的是（）A3x2x1Bx3x2xCx3x2x6Dx2+y2（x+y）23（3分）下列立體圖形中，俯視圖不是圓的是（）ABCD4（3分）如圖，已知BE平分ABC，且BEDC，若ABC50，則C的度數是（）A20B25C30D505（3分）函數y中，自變量x的取值范圍是（）Ax0Bx2Cx0Dx2且x06（3分）甲、乙、丙、丁四人各進行了10次射擊測試，他們的平均成績相同，方差分別是S甲21.2，S乙21.1，S丙20.6，S丁20.9，則射擊成績最穩定的是（）A甲B乙C丙D丁7（3分）下列命題是假命題的是（）A平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B同角（或等角）的余角相等C線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等D正方形的對角線相等，且互相垂直平分8（3分）對于一個函數，自變量x取a時，函數值y也等于a，我們稱a為這個函數的不動點如果二次函數yx2+2x+c有兩個相異的不動點x1、x2，且x11x2，則c的取值范圍是（）Ac3Bc2CcDc1二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，滿分32分）9（4分）因式分解：axay 10（4分）2018年12月26日，岳陽三荷機場完成首航至此，岳陽“水陸空鐵”四位一體的交通格局全面形成機場以2020年為目標年，計劃旅客年吞吐量為600000人次數據600000用科學記數法表示為 11（4分）分別寫有數字、1、0、的五張大小和質地均相同的卡片，從中任意抽取一張，抽到無理數的概率是 12（4分）若一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形的邊數為 13（4分）分式方程的解為x 14（4分）已知x32，則代數式（x3）22（x3）+1的值為 15（4分）我國古代的數學名著九章算術中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布，每日加倍增長，5日共織布5尺問每日各織多少布？根據此問題中的已知條件，可求得該女子第一天織布 尺16（4分）如圖，AB為O的直徑，點P為AB延長線上的一點，過點P作O的切線PE，切點為M，過A、B兩點分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結論正確的是 （寫出所有正確結論的序號）AM平分CAB；AM2ACAB；若AB4，APE30，則的長為；若AC3，BD1，則有CMDM三、解答題（本大題共8小題，滿分64分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17（6分）計算：（1）02sin30+（）1+（1）201918（6分）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為AD、CD邊上的點，DEDF，求證：1219（8分）如圖，雙曲線y經過點P（2，1），且與直線ykx4（k0）有兩個不同的交點（1）求m的值（2）求k的取值范圍20（8分）岳陽市整治農村“空心房”新模式，獲評全國改革開放40年地方改革創新40案例據了解，我市某地區對轄區內“空心房”進行整治，騰退土地1200畝用于復耕和改造，其中復耕土地面積比改造土地面積多600畝（1）求復耕土地和改造土地面積各為多少畝？（2）該地區對需改造的土地進行合理規劃，因地制宜建設若干花卉園和休閑小廣場，要求休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的，求休閑小廣場總面積最多為多少畝？21（8分）為了慶祝中華人民共和國成立70周年，某市決定開展“我和祖國共成長”主題演講比賽，某中學將參加本校選拔賽的40名選手的成績（滿分為100分，得分為正整數且無滿分，最低為75分）分成五組，并繪制了下列不完整的統計圖表分數段頻數頻率74.579.520.0579.584.5m0.284.589.5120.389.594.514n94.599.540.1（1）表中m ，n ；（2）請在圖中補全頻數直方圖；（3）甲同學的比賽成績是40位參賽選手成績的中位數，據此推測他的成績落在 分數段內；（4）選拔賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，學校從中隨機確定2名選手參加全市決賽，請用列舉法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率22（8分）慈氏塔位于岳陽市城西洞庭湖邊，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如圖，小亮的目高CD為1.7米，他站在D處測得塔頂的仰角ACG為45，小琴的目高EF為1.5米，她站在距離塔底中心B點a米遠的F處，測得塔頂的仰角AEH為62.3（點D、B、F在同一水平線上，參考數據：sin62.30.89，cos62.30.46，tan62.31.9）（1）求小亮與塔底中心的距離BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮與小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB23（10分）操作體驗：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C處點P為直線EF上一動點（不與E、F重合），過點P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點M和N，以PM、PN為鄰邊構造平行四邊形PMQN（1）如圖1，求證：BEBF；（2）特例感知：如圖2，若DE5，CF2，當點P在線段EF上運動時，求平行四邊形PMQN的周長；（3）類比探究：若DEa，CFb如圖3，當點P在線段EF的延長線上運動時，試用含a、b的式子表示QM與QN之間的數量關系，并證明；如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，請直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數量關系（不要求寫證明過程）24（10分）如圖1，AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1：yx2+x的圖象上，點A的橫坐標為4，點B的縱坐標為2（點A在點B的左側）（1）求點A、B的坐標；（2）將AOB繞點O逆時針旋轉90得到AOB，拋物線F2：yax2+bx+4經過A、B兩點，已知點M為拋物線F2的對稱軸上一定點，且點A恰好在以OM為直徑的圓上，連接OM、AM，求OAM的面積；（3）如圖2，延長OB交拋物線F2于點C，連接AC，在坐標軸上是否存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與OAC相似若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由2019年湖南省岳陽市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分.在每道小題給出的四個選項中，選出符合要求的一項）1（3分）2019的絕對值是（）A2019B2019CD【分析】直接利用絕對值的定義進而得出答案【解答】解：2019的絕對值是：2019故選：A【點評】此題主要考查了絕對值，正確把握絕對值的定義是解題關鍵2（3分）下列運算結果正確的是（）A3x2x1Bx3x2xCx3x2x6Dx2+y2（x+y）2【分析】直接利用合并同類項法則以及同底數冪的乘除運算法則、完全平方公式分別分析得出答案【解答】解：A、3x2xx，故此選項錯誤；B、x3x2x，正確；C、x3x2x5，故此選項錯誤；D、x2+2xy+y2（x+y）2，故此選項錯誤；故選：B【點評】此題主要考查了合并同類項以及同底數冪的乘除運算、完全平方公式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵3（3分）下列立體圖形中，俯視圖不是圓的是（）ABCD【分析】俯視圖是從幾何體的上面看物體，所得到的圖形，分析每個幾何體，解答出即可【解答】解：A、圓柱的俯視圖是圓；故本項不符合題意；B、圓錐的俯視圖是圓；故本項不符合題意；C、立方體的俯視圖是正方形；故本項符合題意；D、球的俯視圖是圓；故本項不符合題意故選：C【點評】本題主要考查了簡單幾何體的俯視圖，鍛煉了學生的空間想象能力4（3分）如圖，已知BE平分ABC，且BEDC，若ABC50，則C的度數是（）A20B25C30D50【分析】直接利用角平分線的定義結合平行線的性質分析得出答案【解答】解：BE平分ABC，ABC50，ABEEBC25，BEDC，EBCC25故選：B【點評】此題主要考查了平行線的性質，得出EBC25是解題關鍵5（3分）函數y中，自變量x的取值范圍是（）Ax0Bx2Cx0Dx2且x0【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍【解答】解：根據題意得：，解得：x2且x0故選：D【點評】函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負6（3分）甲、乙、丙、丁四人各進行了10次射擊測試，他們的平均成績相同，方差分別是S甲21.2，S乙21.1，S丙20.6，S丁20.9，則射擊成績最穩定的是（）A甲B乙C丙D丁【分析】根據方差的意義可作出判斷方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定【解答】解：S甲21.2，S乙21.1，S丙20.6，S丁20.9，S丙2S丁2S乙2S甲2，射擊成績最穩定的是丙，故選：C【點評】本題考查方差的意義方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定7（3分）下列命題是假命題的是（）A平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B同角（或等角）的余角相等C線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等D正方形的對角線相等，且互相垂直平分【分析】由平行四邊形的性質得出A是假命題；由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命題；由線段垂直平分線的性質和正方形的性質得出C、D是真命題，即可得出答案【解答】解：A平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；假命題；B同角（或等角）的余角相等；真命題；C線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；真命題；D正方形的對角線相等，且互相垂直平分；真命題；故選：A【點評】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理8（3分）對于一個函數，自變量x取a時，函數值y也等于a，我們稱a為這個函數的不動點如果二次函數yx2+2x+c有兩個相異的不動點x1、x2，且x11x2，則c的取值范圍是（）Ac3Bc2CcDc1【分析】由函數的不動點概念得出x1、x2是方程x2+2x+cx的兩個實數根，由x11x2知，解之可得【解答】解：由題意知二次函數yx2+2x+c有兩個相異的不動點x1、x2是方程x2+2x+cx的兩個實數根，且x11x2，整理，得：x2+x+c0，則解得c2，故選：B【點評】本題主要考查二次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是理解并掌握不動點的概念，并據此得出關于c的不等式二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，滿分32分）9（4分）因式分解：axaya（xy）【分析】通過提取公因式a進行因式分解即可【解答】解：原式a（xy）故答案是：a（xy）【點評】本題考查了因式分解提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法10（4分）2018年12月26日，岳陽三荷機場完成首航至此，岳陽“水陸空鐵”四位一體的交通格局全面形成機場以2020年為目標年，計劃旅客年吞吐量為600000人次數據600000用科學記數法表示為6105【分析】科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值10時，n是正數；當原數的絕對值1時，n是負數【解答】解：將600000用科學記數法表示為：6105故答案為：6105【點評】此題考查了科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值11（4分）分別寫有數字、1、0、的五張大小和質地均相同的卡片，從中任意抽取一張，抽到無理數的概率是【分析】直接利用無理數的定義結合概率求法得出答案【解答】解：寫有數字、1、0、的五張大小和質地均相同的卡片，、是無理數，從中任意抽取一張，抽到無理數的概率是：故答案為：【點評】此題主要考查了概率公式以及無理數的定義，正確把握相關定義是解題關鍵12（4分）若一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形的邊數為4【分析】設多邊形的邊數為n，根據題意得出方程（n2）180360，求出即可【解答】解：設多邊形的邊數為n，則（n2）180360，解得：n4，故答案為：4【點評】本題考查了多邊形的內角和和外角和定理，能根據題意列出方程是解此題的關鍵13（4分）分式方程的解為x1【分析】觀察可得最簡公分母為x（x+1）去分母，轉化為整式方程求解結果要檢驗【解答】解：方程兩邊同乘x（x+1），得x+12x，解得x1將x1代入x（x+1）20所以x1是原方程的解【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解（2）解分式方程一定注意要驗根14（4分）已知x32，則代數式（x3）22（x3）+1的值為1【分析】直接利用完全平方公式將原式變形，進而將已知代入求出答案【解答】解：x32，代數式（x3）22（x3）+1（x31）2（21）21故答案為：1【點評】此題主要考查了代數式求值，正確運用公式是解題關鍵15（4分）我國古代的數學名著九章算術中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布，每日加倍增長，5日共織布5尺問每日各織多少布？根據此問題中的已知條件，可求得該女子第一天織布尺【分析】直接根據題意表示出5天每天織布的尺數，進而得出方程求出答案【解答】解：設第一天織布x尺，則第二天織布2x尺，第三天織布4x尺，第四天織布8x尺，第五天織布16x尺，根據題意可得：x+2x+4x+8x+16x5，解得：x，即該女子第一天織布尺故答案為：【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用，正確表示出5天每天織布的尺數是解題關鍵16（4分）如圖，AB為O的直徑，點P為AB延長線上的一點，過點P作O的切線PE，切點為M，過A、B兩點分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結論正確的是（寫出所有正確結論的序號）AM平分CAB；AM2ACAB；若AB4，APE30，則的長為；若AC3，BD1，則有CMDM【分析】連接OM，可證OMAC，得出CAMAMO，由OAOM可得OAMAMO，故正確；證明ACMAMB，則可得出正確；求出MOP60，OB2，則用弧長公式可求出的長為，故錯誤；由BDAC可得PB，則PBOBOA，得出OPM30，則PM2，可得出CMDMDP，故正確【解答】解：連接OM，PE為O的切線，OMPC，ACPC，OMAC，CAMAMO，OAOM，OAMAMO，CAMOAM，即AM平分CAB，故正確；AB為O的直徑，AMB90，CAMMAB，ACMAMB，ACMAMB，AM2ACAB，故正確；APE30，MOPOMPAPE903060，AB4，OB2，的長為，故錯誤；BDPC，ACPC，BDAC，PB，BD，PBOBOA，在RtOMP中，OM2，OPM30，PM2，CMDMDP，故正確故答案為：【點評】本題考查圓知識的綜合應用，涉及切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質、弧長公式、含30度直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題三、解答題（本大題共8小題，滿分64分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17（6分）計算：（1）02sin30+（）1+（1）2019【分析】直接利用特殊角的三角函數值以及負指數冪的性質和零指數冪的性質分別化簡得出答案【解答】解：原式12+3111+312【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵18（6分）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為AD、CD邊上的點，DEDF，求證：12【分析】由菱形的性質得出ADCD，由SAS證明ADFCDE，即可得出結論【解答】證明：四邊形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），12【點評】本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握菱形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵19（8分）如圖，雙曲線y經過點P（2，1），且與直線ykx4（k0）有兩個不同的交點（1）求m的值（2）求k的取值范圍【分析】（1）根據反比例函數系數k的幾何意義即可求得；（2）聯立方程，消去y得到關于x的一元二次方程，求出方程的根的判別式，進而即可求得k的取值范圍【解答】解：（1）雙曲線y經過點P（2，1），m212；（2）雙曲線y與直線ykx4（k0）有兩個不同的交點，kx4，整理為：kx24x20，（4）24k（2）0，k2，k的取值范圍是2k0【點評】本題主要考查了一次函數和反比例函數的交點問題，解答本題的關鍵是熟練掌握根的判別式的求法，此題難度不大20（8分）岳陽市整治農村“空心房”新模式，獲評全國改革開放40年地方改革創新40案例據了解，我市某地區對轄區內“空心房”進行整治，騰退土地1200畝用于復耕和改造，其中復耕土地面積比改造土地面積多600畝（1）求復耕土地和改造土地面積各為多少畝？（2）該地區對需改造的土地進行合理規劃，因地制宜建設若干花卉園和休閑小廣場，要求休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的，求休閑小廣場總面積最多為多少畝？【分析】（1）設改造土地面積是x畝，則復耕土地面積是（600+x）畝根據“復耕土地面積+改造土地面積1200畝”列出方程并解答；（2）設休閑小廣場總面積是y畝，則花卉園總面積是（300y）畝，根據“休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的”列出不等式并解答【解答】解：（1）設改造土地面積是x畝，則復耕土地面積是（600+x）畝，由題意，得x+（600+x）1200解得x300則600+x900答：改造土地面積是300畝，則復耕土地面積是900畝；（2）設休閑小廣場總面積是y畝，則花卉園總面積是（300y）畝，由題意，得y（300y）解得 y75故休閑小廣場總面積最多為75畝答：休閑小廣場總面積最多為75畝【點評】考查了一元一次不等式的應用和一元一次方程的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系21（8分）為了慶祝中華人民共和國成立70周年，某市決定開展“我和祖國共成長”主題演講比賽，某中學將參加本校選拔賽的40名選手的成績（滿分為100分，得分為正整數且無滿分，最低為75分）分成五組，并繪制了下列不完整的統計圖表分數段頻數頻率74.579.520.0579.584.5m0.284.589.5120.389.594.514n94.599.540.1（1）表中m8，n0.35；（2）請在圖中補全頻數直方圖；（3）甲同學的比賽成績是40位參賽選手成績的中位數，據此推測他的成績落在89.594.5分數段內；（4）選拔賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，學校從中隨機確定2名選手參加全市決賽，請用列舉法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率【分析】（1）根據頻率頻數總數求解可得；（2）根據所求結果即可補全圖形；（3）根據中位數的概念求解可得；（4）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由表格即可求得所有等可能的結果與挑選的兩位學生恰好是一男一女的情況，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）m400.28，n14400.35，故答案為：8，0.35；（2）補全圖形如下：（3）由于40個數據的中位數是第20、21個數據的平均數，而第20、21個數據均落在89.594.5，測他的成績落在分數段89.594.5內，故答案為：89.594.5（4）選手有4人，2名是男生，2名是女生，恰好是一名男生和一名女生的概率為【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率、頻數分布直方圖、扇形統計圖以及眾數與中位數的定義用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比22（8分）慈氏塔位于岳陽市城西洞庭湖邊，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如圖，小亮的目高CD為1.7米，他站在D處測得塔頂的仰角ACG為45，小琴的目高EF為1.5米，她站在距離塔底中心B點a米遠的F處，測得塔頂的仰角AEH為62.3（點D、B、F在同一水平線上，參考數據：sin62.30.89，cos62.30.46，tan62.31.9）（1）求小亮與塔底中心的距離BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮與小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB【分析】（1）根據正切的定義用a表示出AH，根據等腰直角三角形的性質計算；（2）根據題意列方程求出a，結合圖形計算，得到答案【解答】解：（1）由題意得，四邊形CDBG、HBFE為矩形，GBCD1.7，HBEF1.5，GH0.2，在RtAHE中，tanAEH，則AHHEtanAEH1.9a，AGAHGH1.9a0.2，在RtACG中，ACG45，CGAG1.9a0.2，BD1.9a0.2，答：小亮與塔底中心的距離BD（1.9a0.2）米；（2）由題意得，1.9a0.2+a52，解得，a18，則AG1.9a0.234.4，ABAG+GB36.1，答：慈氏塔的高度AB為36.1米【點評】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵23（10分）操作體驗：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C處點P為直線EF上一動點（不與E、F重合），過點P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點M和N，以PM、PN為鄰邊構造平行四邊形PMQN（1）如圖1，求證：BEBF；（2）特例感知：如圖2，若DE5，CF2，當點P在線段EF上運動時，求平行四邊形PMQN的周長；（3）類比探究：若DEa，CFb如圖3，當點P在線段EF的延長線上運動時，試用含a、b的式子表示QM與QN之間的數量關系，并證明；如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，請直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數量關系（不要求寫證明過程）【分析】（1）證明BEFBFE即可解決問題（也可以利用全等三角形的性質解決問題即可）（2）如圖2中，連接BP，作EHBC于H，則四邊形ABHE是矩形利用面積法證明PM+PNEH，利用勾股定理求出AB即可解決問題（3）如圖3中，連接BP，作EHBC于H由SEBPSBFPSEBF，可得BEPMBFPNBFEH，由BEBF，推出PMPNEH，由此即可解決問題如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QMQNPNPM【解答】（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ADBC，DEFEFB，由翻折可知：DEFBEF，BEFEFB，BEBF（2）解：如圖2中，連接BP，作EHBC于H，則四邊形ABHE是矩形，EHABDEEBBF5，CF2，ADBC7，AE2，在RtABE中，A90，BE5，AE2，AB，SBEFSPBE+SPBF，PMBE，PNBF，BFEHBEPM+BFPN，BEBF，PM+PNEH，四邊形PMQN是平行四邊形，四邊形PMQN的周長2（PM+PN）2（3）證明：如圖3中，連接BP，作EHBC于HEDEBBFa，CFb，ADBCa+b，AEADDEb，EHAB，SEBPSBFPSEBF，BEPMBFPNBFEH，BEBF，PMPNEH，四邊形PMQN是平行四邊形，QNQM（PMPN）如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QMQNPNPM【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質和判定，翻折變換，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，學會利用面積法證明線段之間的關系，屬于中考壓軸題24（10分）如圖1，AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1：yx2+x的圖象上，點A的橫坐標為4，點B的縱坐標為2（點A在點B的左側）（1）求點A、B的坐標；（2）將AOB繞點O逆時針旋轉90得到AOB，拋物線F2：yax2+bx+4經過A、B兩點，已知點M為拋物線F2的對稱軸上一定點，且點A恰好在以OM為直徑的圓上，連接OM、AM，求OAM的面積；（3）如圖2，延長OB交拋物線F2于點C，連接AC，在坐標軸上是否存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與OAC相似若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）把x4代入拋物線F1解析式求得y即得到點A坐標；把y2代入拋物線F1解析式，解方程并判斷大于4的解為點B橫坐標（2）根據旋轉90的性質特點可求點A、B坐標（過點作x軸垂線，構造全等得到對應邊相等）及OA的長，用待定系數法求拋物線F2的解析式，進而求得對稱軸設點M縱坐標為m，則能用m表示AM、OM的長度因為點A恰好在以OM為直徑的圓上，即OAM為圓周角，等于90，故能根據勾股定理列得關于m的方程，解方程求得m的值即求得AM的長，OAAM即求得OAM的面積（3）求直線OB解析式，與拋物線F2解析式聯立方程組，求解即求得點C坐標，發現A與C縱坐標相同，即ACx軸，故OAC135以A、O、D為頂點的三角形要與OAC相似，則AOD必須有一角為135因為點A（4，4）得直線OA與x軸夾角為45，所以點D不能在x軸或y軸的負半軸，在x軸或y軸的正半軸時，剛好有AOD135由于AOD的兩夾邊對應關系不明確，故需分兩種情況討論：AODOAC或DOAOAC每種情況下由對應邊成比例求得OD的長，即得到點D坐標【解答】解：（1）當x4時，y（4）2+（4）4點A坐標為（4，4）當y2時，x2+x2解得：x11，x26點A在點B的左側點B坐標為（1，2）（2）如圖1，過點B作BEx軸于點E，過點B作BGx軸于點GBEOOGB90，OE1，BE2將AOB繞點O逆時針旋轉90得到AOBOBOB，BOB90BOE+BOGBOE+OBE90BOGOBE在BOG與OBE中BOGOBE（AAS）OGBE2，BGOE1點B在第四象限B（2，1）同理可求得：A（4，4）OAOA拋物線F2：yax2+bx+4經過點A、B 解得：拋物線F2解析式為：yx23x+4對稱軸為直線：x6點M在直線x6上，設M（6，m）OM262+m2，AM2（64）2+（m+4）2m2+8m+20點A在以OM為直徑的圓上OAM90OA2+AM2OM2（4）2+m2+8m+2036+m2解得：m2AMSOAMOAAM8（3）在坐標軸上存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與OAC相似B（2，1）直線OB解析式為yx解得：（即為點B）C（8，4）A（4，4）ACx軸，AC4OAC135AOC45，ACO45A（4，4），即直線OA與x軸夾角為45當點D在x軸負半軸或y軸負半軸時，AOD45，此時AOD不可能與OAC相似點D在x軸正半軸或y軸正半軸時，AODOAC135（如圖2、圖3）若AODOAC，則1ODAC4D（4，0）或（0，4）若DOAOAC，則ODOA8D（8，0）或（0，8）綜上所述，點D坐標為（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）時，以A、O、D為頂點的三角形與OAC相似【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，解一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程，相似三角形的判定和性質題目條件較多，圖形有點復雜，需要細心根據條件逐步解決問題第（2）題求點旋轉90后對應點的坐標，第（3）題相似三角形存在性問題中確定一角對應再分兩種情況討論，屬于常考題型聲明：試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布日期：2019/6/26 18:02:48；用戶：馮錫眉；郵箱：zxfengxmxyh.com；學號：22634181第24頁（共24頁