教學課件數學九年級下冊滬科版第24章圓24.6正多邊形與圓情境導入1.正多邊形的定義各邊相等各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫做正n邊形.正多邊形與圓有非常密切的關系，把一個圓分成n條相等的弧，就可以作出這個圓的內接或外切正n邊形.情境導入如圖24-56，點ABCDE把圓分成5等份，求證：依次連接各分點所得的五邊形是這個圓的內接正五邊形；經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是這個圓的外切正五邊形.圖24-56知識精講證明:(1）AB=BC=CD=DE=EA，AB=BC=CD=DE=EA.=3AB，1=2.同理，得2=3=4=5.又頂點A，B，C，D，E都在O上，五邊形ABCDE是O的內接正五邊形.知識精講（2）連接OA，OB，OC，則OAB=OBA=OBC=OCB.TP，PQ，QR分別是以點A，B，C為切點的O的切線，OAP=OBP=OBQ=OCQ.PAB=PBA=QBC=QCB.知識精講又AB=BC，AB=BC，PAB與QBC是全等的等腰三角形.P=QPQ=2PA.同理Q=R=S=T，QR=RS=ST=TP=2PA.五邊形PQRST的各邊都與O相切，五邊形PQRST是O的外切正五邊形.由上可知，通過等分圓周的方法能作出正多邊形.知識精講(1)用量角器等分圓周由在同圓中相等的弦所對的弧相等可知，在一個圓中，先用量角器作一個等于360n的圓心角，這個角所對的弧就是圓周的1n，然后在圓周上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等份點，從而作出正n邊形（正五角星就是這樣作出的）.(2)用尺規等分圓周對于一些特殊的正n邊形，還可以用直尺和圓規來等分圓周.知識精講正四邊形的作法如圖24-57（1），用直尺和圓規作O的兩條互相垂直的直徑，就可以把O分成四等份，從而作出正四邊形.我們再逐次平分各邊所對的弧，就可以作出正八邊形如圖24-57（2），正十六邊形.如圖24-58（1），設O的半徑為R，通常先作出O的一條直徑AB，然后分別以點AB為圓心，R為半徑作弧，與O交于點CDEF，從而得到O的6等份點，作出正六邊形.如果再逐次等分各邊所對的弧，就可作出正十二邊形，正二十四邊形等.我們可以連續6等份圓周的相間的兩個點，得到正三角形，如圖24-58（2）.正六邊形的作法知識精講知識精講如何畫一個邊長為2cm的正六邊形？探究OABCDEF1、以2cm為半徑作一個O；2、用量角器畫一個60的圓心角；3、在圓上順次截取這個圓心角所對的弧；4、順次連接分點，即為所求作的正六邊形.知識精講將一個圓n等份，就可以作出這個圓的內接或外切正n邊形.反過來，是不是每個正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓呢？我們仍然以正五邊形為例來進行探究.2.正多邊形的性質如圖24-59，過正五邊形ABCDE的頂點ABC作O，連接OAOBOCODOE.OB=OC，1=2.又ABC=BCD3=4.AB=DCOABODCOA=OD即點D在O上，同理，點E也在O上所以正五邊形ABCDE有一個外接圓O由于正五邊形ABCDE的各邊是O中相等的弦，等弦的弦心距相等因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切所以正五邊形ABCDE還有一個以點O為圓心的內切圓知識精講1.正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上.2.它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑3.其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑4.正五邊形的各頂點共圓5.正五邊形有外接圓6.圓心到各邊的距離相等7.正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離8.照此法證明，正六邊形、正七邊形、正n邊形都有一個外接圓和內切圓定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓歸納知識精講知識精講我們把一個正多邊形的外接圓(或內切圓)的公共圓心圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角正n邊形的每個中心角都等于360n.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形一共有n條對稱軸，每一條對稱軸都通過正多邊形的中心，如圖24-60.圖24-60知識精講如果一個正多邊形有偶數條邊，那么它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.例求邊長為a的正六邊形的周長和面積.合作與交流解如圖24-61，過正六邊形的中心O作OGBC于點G，連接OB，OC，設該正六邊形的周長和面積分別為C和S.圖24-61多邊形ABCDEF是正六邊形，BOC=60，BOC是等邊三角形，C=6BC=6a.在BOC中，有鞏固提高1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的____2、正方形ABCD的內切圓O的半徑OE叫做正方形ABCD的______3、若正六邊形的邊長為1，則正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等1、正n邊形的一個內角的度數是中心角是_________、正多邊形的中心角與外角的大小關系是________.相等3、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的_______.4、正方形ABCD的內切圓的半徑OE叫做正方形ABCD的_________.中心邊心距.OO小結