教學課件數學九年級下冊冀教版第三十章二次函數30.2二次函數的圖像和性質第1課時二次函數y=ax的圖像和性質學習目標1.正確理解拋物線的有關概念.（重點）2.會用描點法畫出二次函數y=ax的圖像，概括出圖像的特點.（難點）3.掌握形如y=ax的二次函數圖像的性質，并會應用.（難點）情境引入例1畫出二次函數y=x2的圖像.9410194典例精析1.列表：在y=x2中自變量x可以是任意實數，列表表示幾組對應值：2.描點：根據表中xy的數值在坐標平面中描點（xy）3.連線：如圖，再用平滑曲線順次連接各點，就得到y=x2的圖像-33o369當取更多個點時，函數y=x2的圖像如下：xy二次函數y=x2的圖像形如物體拋射時所經過的路線我們把它叫做拋物線.這條拋物線關于y軸對稱y軸就是它的對稱軸.對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.練一練：畫出函數y=-x2的圖像.根據你以往學習函數圖像性質的經驗，說說二次函數y=x2的圖像有哪些性質，并與同伴交流.xoy=x2議一議1.yx2是一條拋物線2.圖像開口向上3.圖像關于y軸對稱4.頂點（0，0）5.圖像有最低點y說說二次函數y=-x2的圖像有哪些性質與同伴交流.oxyy=-x21.y-x2是一條拋物線2.圖像開口向下3.圖像關于y軸對稱4.頂點（0，0）5.圖像有最高點1.頂點都在原點3.當a0時，開口向上；當a0時，開口向下二次函數y=ax2的圖像性質：知識要點2.圖像關于y軸對稱觀察下列圖像，拋物線y=ax2與y=-ax2（a0)的關系是什么？二次項系數互為相反數，開口相反，大小相同，它們關于x軸對稱.xyOy=ax2y=-ax2交流討論二次函數y=ax2的性質問題1：觀察圖形，y隨x的變化如何變化？對于拋物線y=ax2（a0）當x0時，y隨x取值的增大而增大；當x0時，y隨x取值的增大而減小.知識要點問題2：觀察圖形，y隨x的變化如何變化？對于拋物線y=ax2（a0）當x0時，y隨x取值的增大而減小；當x0時，y隨x取值的增大而增大.知識要點解：分別填表，再畫出它們的圖像，如圖.84.520.5084.520.584.520.5084.520.5例2在同一直角坐標系中，畫出函數的圖像思考1：從二次函數開口大小與a的大小有什么關系？當a0時，a越大，開口越小.練一練：在同一直角坐標系中，畫出函數的圖像-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5當a0時，a越小（即a的絕對值越大），開口越小.思考2從二次函數開口大小與a的大小有什么關系？對于拋物線y=ax2，a越大，拋物線的開口越小位置開口方向對稱性頂點最值增減性開口向上在x軸上方開口向下在x軸下方a的絕對值越大，開口越小關于y軸對稱，對稱軸是直線x0頂點坐標是原點（0，0）當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0在對稱軸左側遞減在對稱軸右側遞增在對稱軸左側遞增在對稱軸右側遞減知識要點例1已知二次函數y=x2（1）判斷點A（2，4）在二次函數圖像上嗎？（2）請分別寫出點A關于x軸的對稱點B的坐標，關于y軸的對稱點C的坐標，關于原點O的對稱點D的坐標；（3）點B、C、D在二次函數y=x2的圖像上嗎？在二次函數y=x2的圖像上嗎？典例精析（1）判斷點A（2，4）在二次函數圖像上嗎？解：（1）當x=2時，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函數圖像上；（2）請分別寫出點A關于x軸的對稱點B的坐標，關于y軸的對稱點C的坐標，關于原點O的對稱點D的坐標；（2）點A關于x軸的對稱點B的坐標為（2，-4），點A關于y軸的對稱點C的坐標為（-2，4），點A關于原點O的對稱點D的坐標為（-2，-4）；（3）點B、C、D在二次函數y=x2的圖像上嗎？在二次函數y=x2的圖像上嗎？當x=2時，y=x2=4，所以C點在二次函數y=x2的圖像上；當x=2時，y=x2=4，所以B點在二次函數y=x2的圖像上；當x=2時，y=x2=4，所以D點在二次函數y=x2的圖像上已知是二次函數，且當x0時，y隨x增大而增大，則k=.分析：是二次函數，即二次項的系數不為0，x的指數等于2.又因當x0時，y隨x增大而增大即說明二次項的系數大于0.因此，解得k=22練一練例3.已知二次函數y2x2.(1)若點(2，y1)與(3，y2)在此二次函數的圖像上，則y1_____y2；(填“”“”或“”)；(2)如圖，此二次函數的圖像經過點(0，0)，長方形ABCD的頂點A、B在x軸上，C、D恰好在二次函數的圖像上，B點的橫坐標為2，求圖中陰影部分的面積之和分析：(1)把兩點的橫坐標代入二次函數表達式求出縱坐標，再比較大小即可得解；(2)由于函數圖像經過點B，根據點B的橫坐標為2，代入表達式可求出點C的縱坐標，再根據二次函數圖像關于y軸對稱求出OAOB，即圖像左邊部分與右邊部分對稱，兩個陰影部分面積相加等于右邊第一象限內的矩形面積(2)解：二次函數y2x2的圖像經過點B，當x2時，y2228.拋物線和長方形都是軸對稱圖形，且y軸為它們的對稱軸，OAOB，在長方形ABCD內，左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積，S陰影部分面積之和2816.二次函數yax2的圖像關于y軸對稱，因此左右兩部分折疊可以重合，在二次函數比較大小中，我們根據圖像中點具有的對稱性轉變到同一變化區域中(全部為升或全部為降)，根據圖像中函數值高低去比較；對于求不規則的圖形面積，采用等面積割補法，將不規則圖形轉化為規則圖形以方便求解方法總結1.函數y=2x2的圖像的開口對稱軸頂點是在對稱軸的左側，y隨x的增大而在對稱軸的右側y隨x的增大而.2.函數y=-3x2的圖像的開口對稱軸是頂點是在對稱軸的左側y隨x的增大而在對稱軸的右側y隨x的增大而.向上向下y軸y軸(00)(00)減小減小增大增大xxyyOO3、如右圖，觀察函數y=（k-1）x2的圖像則k的取值范圍是.k14、說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：向上向下向下向上y軸y軸y軸y軸（00）（00）（00）（00）O5.若拋物線y=ax2（a0），過點（-1，2）.（1）則a的值是；（2）對稱軸是，開口.（3）頂點坐標是，頂點是拋物線上的最值.拋物線在x軸的方（除頂點外）.(4)若A（x1y1)B(x2y2)在這條拋物線上，且x1x20則y1y2.2y軸向上（00）小上6.已知二次函數y=x2，若xm時，y最小值為0，求實數m的取值范圍解：二次函數y=x2，當x=0時，y有最小值，且y最小值=0，當xm時，y最小值=0，m07.已知：如圖，直線y3x4與拋物線yx2交于A、B兩點，求出A、B兩點的坐標，并求出兩交點與原點所圍成的三角形的面積解：由題意得解得所以此兩函數的交點坐標為A(4，16)和B(1，1)直線y3x4與y軸相交于點C(0，4)，即CO4.SACOCO48，SBOC412，SABOSACOSBOC10.二次函數y=ax2的圖像及性質畫法描點法以對稱軸為中心對稱取點圖像拋物線軸對稱圖形性質重點關注4個方面開口方向及大小對稱軸頂點坐標增減性第2課時二次函數y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖像和性質學習目標1.會用描點法畫出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a0)的圖像.2.掌握二次函數y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a0)的圖像的性質并會應用.(重點）3.理解二次函數y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a0)與y=ax2(a0)之間的聯系.（難點）復習引入向上向下y軸（直線x=0）y軸（直線x=0）（0c）（0c）當x0時，y隨x增大而增大.當x0時，y隨x增大而減小.x=0時，y最小值=cx=0時，y最大值=c問題1說說二次函數y=ax2+c(a0)的圖像的特征.問題2二次函數y=ax2+c（a0）與y=ax2（a0）的圖像有何關系？答：二次函數y=ax2+c（a0）的圖像可以由y=ax2（a0）的圖像平移得到：當c0時，向上平移c個單位長度得到.當c0時，向下平移-c個單位長度得到.問題3函數的圖像，能否也可以由函數平移得到？答：應該可以.例1畫出二次函數的圖像，并考慮它們的開口方向、對稱軸和頂點-2-4.5-200-2-2-4.50 xy-8-8向下直線x=-1(-10)直線x=0直線x=1向下向下(00)(10)a0時，開口最____點是頂點a0時，開口最____點是頂點對稱軸是，頂點坐標是.向上低向下高直線x=h(h0)知識要點二次函數y=a（x-h)2的特點若拋物線y3(x)2的圖像上的三個點，A(3，y1)，B(1，y2)，C(0，y3)，則y1，y2，y3的大小關系為________________解析：拋物線y3(x)2的對稱軸為x，a30，x時，y隨x的增大而減小；x時，y隨x的增大而增大點A的坐標為(3，y1)，點A在拋物線上的對稱點A的坐標為(，y1)10，y2y3y1.故答案為y2y3y1.練一練y2y3y1向右平移1個單位想一想拋物線，與拋物線有什么關系？向左平移1個單位二次函數y=ax2與y=a（x-h)2的關系可以看作互相平移得到.左右平移規律：括號內：左加右減；括號外不變.知識要點例2.拋物線yax2向右平移3個單位后經過點(1，4)，求a的值和平移后的函數關系式解：二次函數yax2的圖像向右平移3個單位后的二次函數關系式可表示為ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2，平移后二次函數關系式為y(x3)2.方法總結：根據拋物線左右平移的規律，向右平移3個單位后，a不變，括號內應“減去3”；若向左平移3個單位，括號內應“加上3”，即“左加右減”將二次函數y2x2的圖像平移后，可得到二次函數y2(x1)2的圖像，平移的方法是()A向上平移1個單位B向下平移1個單位C向左平移1個單位D向右平移1個單位解析：拋物線y2x2的頂點坐標是(0，0)，拋物線y2(x1)2的頂點坐標是(1，0)則由二次函數y2x2的圖像向左平移1個單位即可得到二次函數y2(x1)2的圖像故選C.練一練C例3畫出函數的圖像.指出它的開口方向、頂點與對稱軸.探究歸納解:先列表-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5再描點、連線直線x=1開口方向向下；對稱軸是直線x=-1頂點坐標是(-1-1)試一試畫出函數y=2（x+1）2-2圖像，并說出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點.開口方向向下；對稱軸是直線x=-1頂點坐標是(-1-2)知識要點二次函數y=a（x-h)2+k的特點a0時，開口最點是頂點a0時，開口最點是頂點對稱軸是，頂點坐標是.向上低向下高直線x=h(hk)頂點式例4.已知二次函數ya(x1)2c的圖像如圖所示，則一次函數yaxc的大致圖像可能是()解析：根據二次函數開口向上則a0，根據c是二次函數頂點坐標的縱坐標，得出c0，故一次函數yaxc的大致圖像經過第一、二、三象限故選A.典例精析A例5.已知二次函數ya(x1)24的圖像經過點(3，0)(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是該函數圖像上的兩點，當y1y2時，求m、n之間的數量關系解：(1)將(3，0)代入ya(x1)24，得04a4，解得a1；(2)方法一：根據題意，得y1(m1)24，y2(mn1)24，y1y2，(m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2.n0，m1(mn1)，化簡，得2mn2；方法二：函數y(x1)24的圖像的對稱軸是經過點(1，4)，且平行于y軸的直線，mn11m，化簡，得2mn2.方法總結：已知函數圖像上的點，則這點的坐標必滿足函數的表達式，代入即可求得函數解析式例6要修建一個圓形噴水池在池中心豎直安裝一根水管.在水管的頂端安裝一個噴水頭使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高高度為3m水柱落地處離池中心3m水管應多長C(30)B(1，3)A解:如圖建立直角坐標系點(13)是圖中這段拋物線的頂點.因此可設這段拋物線對應的函數是這段拋物線經過點(30)，0=a(31)23.解得因此拋物線的解析式為:y=a(x1)23(0x3).當x=0時y=2.25.答:水管長應為2.25m.向左平移1個單位探究歸納怎樣移動拋物線就可以得到拋物線？平移方法1向下平移1個單位怎樣移動拋物線就可以得到拋物線？平移方法2向左平移1個單位向下平移1個單位二次函數y=ax2與y=a（x-h)2+k的關系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移規律簡記為：上下平移，括號外上加下減；左右平移，括號內左加右減.二次項系數a不變.要點歸納1.請回答拋物線y=4(x3)27由拋物線y=4x2怎樣平移得到由拋物線向上平移7個單位再向右平移3個單位得到的.2.如果一條拋物線的形狀與形狀相同，且頂點坐標是（4，-2），試求這個函數關系式.練一練1.把拋物線y=-x2沿著x軸方向平移3個單位長度，那么平移后拋物線的解析式是.2.二次函數y=2(x-)2圖像的對稱軸是直線_______，頂點是________.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）為二次函數y=(x-2)2圖像上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為_______________.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2y1y2y34.指出下列函數圖像的開口方向對稱軸和頂點坐標.向上直線x=3(30)直線x=2直線x=1向下向上(20)(10)5.在同一坐標系中，畫出函數y2x2與y2(x-2)2的圖像，分別指出兩個圖像之間的相互關系解：圖像如圖.函數y=2(x-2)2的圖像由函數y=2x2的圖像向右平移2個單位得到.y=2x226.已知一個二次函數圖像的頂點為A(-13)且它是由二次函數y=5x2平移得到，請直接寫出該二次函數的解析式.y=a(x-h)2+k課堂小結二次函數y=a(x-h)2的圖像及性質圖像性質對稱軸是直線x=h頂點坐標是（h0)a的符號決定開口方向.左右平移平移規律：括號內：左加右減；括號外不變.一般地，拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀相同，位置不同.二次函數y=a(x-h)2+k的圖像和性質圖像特點當a0開口向上；當a0開口向下.對稱軸是直線x=h頂點坐標是（hk).平移規律左右平移：括號內左加右減；上下平移：括號外上加下減.第3課時二次函數y=ax+bx+c的圖像和性質1.會用配方法或公式法將一般式yax2bxc化成頂點式y=a(x-h)2+k.(難點）2.會熟練求出二次函數一般式yax2bxc的頂點坐標、對稱軸.（重點）復習引入向上向下(hk)(hk)x=hx=h當xh時，y隨著x的增大而增大.當xh時，y隨著x的增大而減小.x=h時y最小=kx=h時y最大=k拋物線y=a(x-h)2+k可以看作是由拋物線y=ax2經過平移得到的.(00)y軸0(0-5)y軸-5(-20)直線x=-20(-2-4)直線x=-2-4(43)直線x=43探究歸納我們已經知道y=a(x-h)2+k的圖像和性質，能否利用這些知識來討論的圖像和性質？問題1怎樣將化成y=a(x-h)2+k的形式？配方可得配方你知道是怎樣配方的嗎？(1)“提”：提出二次項系數；(2)“配”：括號內配成完全平方；(3)“化”：化成頂點式.提示:配方后的表達式通常稱為配方式或頂點式.問題2你能說出的對稱軸及頂點坐標嗎？答：對稱軸是直線x=6頂點坐標是（6，3）.問題3二次函數可以看作是由怎樣平移得到的？答：平移方法1：先向上平移3個單位，再向右平移6個單位得到的；平移方法2：先向右平移6個單位，再向上平移3個單位得到的.問題4如何用描點法畫二次函數的圖像？解:先利用圖形的對稱性列表7.553.533.557.5O然后描點畫圖，得到圖像如圖.問題5結合二次函數的圖像，說出其性質.x=6當x6時，y隨x的增大而增大.O例1畫出函數的圖像，并說明這個函數具有哪些性質.-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函數通過配方可得，先列表：典例精析然后描點、連線，得到圖像如下圖.由圖像可知，這個函數具有如下性質：當x1時，函數值y隨x的增大而增大；當x1時，函數值y隨x的增大而減小；當x=1時，函數取得最大值，最大值y=-2.求二次函數y=2x2-8x+7圖像的對稱軸和頂點坐標.因此，二次函數y=2x2-8x+7圖像的對稱軸是直線x=2，頂點坐標為(2-1).解：練一練我們如何用配方法將一般式y=ax2+bx+c（a0)化成頂點式y=a(x-h)2+k？y=ax+bx+c歸納總結二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質歸納總結二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質(1)(2)如果a0當x時，y隨x的增大而增大.如果a時，y隨x的增大而減小.例2已知二次函數y=x22bxc，當x1時，y的值隨x值的增大而減小，則實數b的取值范圍是（）Ab1Bb1Cb1Db1解析：二次項系數為10，拋物線開口向下，在對稱軸右側，y的值隨x值的增大而減小，由題設可知，當x1時，y的值隨x值的增大而減小，拋物線y=x22bxc的對稱軸應在直線x=1的左側而拋物線y=x22bxc的對稱軸，即b1，故選D.D填一填(13)x=1最大值1(0-1)y軸最大值-1最小值-6(-6)直線x=合作探究問題1一次函數y=kx+b的圖像如下圖所示，請根據一次函數圖像的性質填空：問題2二次函數的圖像如下圖所示，請根據二次函數的性質填空：x=0時，y=c.x=0時，y=c.二次函數y=ax2+bx+c的圖像與a、b、c的關系向上向下y左右正負知識要點例3已知二次函數yax2bxc的圖像如圖所示，下列結論：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正確的個數是()A1B2C3D4D由圖像上橫坐標為x2的點在第三象限可得4a2bc0，故正確；由圖像上x1的點在第四象限得abc0，由圖像上x1的點在第二象限得出abc0，則(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正確【解析】由圖像開口向下可得a0，由對稱軸在y軸左側可得b0，由圖像與y軸交于正半軸可得c0，則abc0，故正確；由對稱軸x1可得2ab0，故正確；練一練二次函數的圖像如圖，反比例函數與正比例函數在同一坐標系內的大致圖像是（）解析：由二次函數的圖像得知：a0，b0.故反比例函數的圖像在二、四象限，正比例函數的圖像經過一、三象限.即正確答案是C.C1.已知二次函數y=ax2+bx+c的x、y的部分對應值如下表：A.y軸B.直線x=C.直線x=2D.直線x=則該二次函數圖像的對稱軸為()D2.已知二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖像如圖所示，則下列結論：（1）a、b同號；（2）當x=1和x=3時，函數值相等；（3）4a+b=0；（4）當y=2時，x的值只能取0；其中正確的是.直線x=1（2）3.如圖是二次函數y=ax2+bx+c(a0)圖像的一部分，x=-1是對稱軸，有下列判斷：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正確的是（）ABCDxyO2x=-1B4.根據公式確定下列二次函數圖像的對稱軸和頂點坐標：直線x=3直線x=8直線x=1.25直線x=0.5課堂小結頂點：對稱軸：y=ax2+bx+c（a0)(一般式)配方法公式法(頂點式