29.3 切線的性質和判定學習目標1掌握判定直線與圓相切的方法，并能運用直線與圓相切的方法進行計算與證明(重點)；2掌握直線與圓相切的性質，并能運用直線與圓相切的性質進行計算與證明(重點，難點)；3能運用直線與圓的位置關系解決實際問題教學過程一、情境導入約在6000年前，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子圓形的木盤，你能設計一個辦法測量這個圓形物體的半徑嗎？二、合作探究探究點一：切線的性質【類型一】 切線的性質的運用例1如圖，點O是BAC的邊AC上的一點，O與邊AB相切于點D，與線段AO相交于點E，若點P是O上一點，且EPD35，則BAC的度數為()A20 B35 C55 D70解析：連接OD，O與邊AB相切于點D，ODAD，ADO90.EPD35，EOD2EPD70，BAC90EOD20.故選A.方法總結：此題考查了切線的性質以及圓周角定理解題時要注意運用切線的性質，注意掌握輔助線的作法，靈活運用數形結合思想【類型二】 利用切線的性質進行證明和計算例2如圖，PA為O的切線，A為切點直線PO與O交于B、C兩點，P30，連接AO、AB、AC.(1)求證：ACBAPO.(2)若AP，求O的半徑(1)證明：PA為O的切線，A為切點，OAP90.又P30，AOB60，又OAOB，AOB為等邊三角形ABAO，ABO60.又BC為O的直徑，BAC90.在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO；(2)解：在RtAOP中，P30，AP，AO1，即O的半徑為1.方法總結：運用切線進行證明和計算時，一般連接切點與圓心，根據切線的性質轉化已知條件，構造出等量關系求解【類型三】 探究圓的切線的條件例3如圖，O是ABC的外接圓，ABAC10，BC12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D.(1)當點P在什么位置時，DP是O的切線？請說明理由；(2)當DP為O的切線時，求線段BP的長解析：(1)當點P是的中點時，得，得出PA是O的直徑，再利用DPBC，得出DPPA，問題得證；(2)利用切線的性質，由勾股定理得出半徑長，進而得出AB的長，在RtABP中再次利用勾股定理即可求出BP的長解：(1)當點P是的中點時，DP是O的切線理由如下：ABAC，又，PA是O的直徑，12，又ABAC，PABC.又DPBC，DPPA，DP是O的切線(2)連接OB，設PA交BC于點E.由垂徑定理，得BEBC6.在RtABE中，由勾股定理，得AE8.設O的半徑為r，則OE8r，在RtOBE中，由勾股定理，得r262(8r)2，解得r.在RtABP中，AP2r，AB10，BP.方法總結：判定直線是否為圓的切線時要從切線的性質入手，結合垂徑定理與勾股定理，合理轉化已知條件，得出結論探究點二：切線的判定【類型一】 判定圓的切線例4如圖，點D在O的直徑AB的延長線上，點C在O上，ACCD，D30，求證：CD是O的切線證明：連接OC，ACCD，D30，AD30.OAOC，2A30，160，OCD90，OCCD，CD是O的切線方法總結：切線的判定方法有三種：利用切線的定義，即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；到圓心距離等于半徑長的直線是圓的切線；經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【類型二】 切線的性質與判定的綜合應用例5如圖，AB是O的直徑，點F、C是O上的兩點，且，連接AC、AF，過點C作CDAF交AF的延長線于點D，垂足為D.(1)求證：CD是O的切線；(2)若CD2，求O的半徑分析：(1)連接OC，由弧相等得到相等的圓周角，根據等角的余角相等推得ACDB，再根據等量代換得到ACOACD90，從而證明CD是O的切線；(2)由推得DACBAC30，再根據直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得AB的長，進而求得O的半徑(1)證明：連接OC，BC.，DACBAC.CDAF，ADC90.AB是直徑，ACB90.ACDB.BOOC，OCBOBC，ACOOCB90，OCBOBC，ACDABC，ACOACD90，即OCCD.又OC是O的半徑，CD是O的切線；(2)解：，DACBAC30.CDAF，CD2，AC4.在RtABC中，BAC30，AC4，BC4，AB8，O的半徑為4.方法總結：若證明切線時有交點，需“連半徑，證垂直”然后利用切線的性質構造直角三角形，在解直角三角形時常運用勾股定理求邊長三、板書設計1切線的性質圓的切線垂直于經過切點的半徑2切線的判定經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線教學反思教學過程中，經歷切線性質的探究，從中可得出判定切線的條件，整個學習過程是一個逐層深入的過程因此教師應當對學生在探究過程中遇到的問題及時進行解決，使學生能更全面的掌握知識