29.4 切線長定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握切線長定理，初步學(xué)會運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計算與證明2了解有關(guān)三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念3學(xué)會利用方程思想解決幾何問題，體驗數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入新農(nóng)村建設(shè)中，張村計劃在一個三角形中建一個最大面積的圓形花園，請你設(shè)計一個建筑方案二、合作探究探究點一：切線長定理【類型一】利用切線長定理求三角形的周長例1如圖，PA、PB分別與O相切于點A、B，O的切線EF分別交PA、PB于點E、F，切點C在上若PA長為2，則PEF的周長是________解析：因為PA、PB分別與O相切于點A、B，所以PAPB，因為O的切線EF分別交PA、PB于點E、F，切點為C，所以EAEC，CFBF，所以PEF的周長PEEFPFPEECCFPF(PEEC)(CFPF)PAPB224.【類型二】利用切線長定理求角的大小例2如圖，PA、PB是O的切線，切點分別為A、B，點C在O上，如果ACB70，那么OPA的度數(shù)是________度解析：如圖，連接OA、OB.PA、PB是O的切線，切點分別為A、B，OAPA，OBPB，OAPOBP90.又AOB2ACB140，APB360PAOAOBOBP360901409040.又易證POAPOB，OPAAPB20.故答案為20.方法總結(jié)：由公共點引出的兩條切線，可以運(yùn)用切線長定理得到等腰三角形另外根據(jù)全等的判定，可得到PO平分APB.【類型三】切線長定理的實際應(yīng)用例3為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30的三角板和一把刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑若測得PA5cm，則鐵環(huán)的半徑長是多少？說一說你是如何判斷的解：過O作OQAB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.AP、AQ為O的切線，AO為PAQ的平分線，即PAOQAO.又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.在RtOPA中，PA5，POA30，OP5(cm)，即鐵環(huán)的半徑為5 cm.探究點二：三角形的內(nèi)切圓【類型一】求三角形的內(nèi)切圓的半徑例4如圖，O是邊長為2的等邊ABC的內(nèi)切圓，則O的半徑為________解析：如圖，連接OD.由等邊三角形的內(nèi)心即為中線，底邊高，角平分線的交點所以O(shè)CD30，ODBC，所以CDBC，OC2OD.又由BC2，則CD1.在RtOCD中，根據(jù)勾股定理得OD2CD2OC2，所以O(shè)D212(2OD)2，所以O(shè)D.即O的半徑為.方法總結(jié)：等邊三角形的內(nèi)心為等邊三角形中線，底邊高，角平分線的交點，它到三邊的距離相等【類型二】求三角形的周長例5如圖，RtABC的內(nèi)切圓O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D、E，過劣弧(不包括端點D、E)上任一點P作O的切線MN與AB、BC分別交于點M、N.若O的半徑為r，則RtMBN的周長為()A r B.r C2r D.r解析：連接OD，OE，O是RtABC的內(nèi)切圓，ODAB，OEBC.又MD，MP都是O的切線，且D、P是切點，MDMP，同理可得NPNE，CRtMBNMBBNNMMBBNNPPMMBMDBNNEBDBE2r，故選C.三、板書設(shè)計教學(xué)反思教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)用切線長定理可解決有關(guān)求角度、周長的問題明確三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，到三邊的距離相等