30.5 二次函數與一元二次方程的關系一、選擇題1. 下列命題：若，則；若，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；若，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；若，則二次函數的圖象與坐標軸的公共點的個數是2或3其中正確的是A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有2. 二次函數的圖象如圖所示，若一元二次方程有實數根，則m的取值范圍是A. B. C. D. 3. 已知二次函數的圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表：x012y0343那么關于它的圖象，下列判斷正確的是A. 開口向上 B. 與x軸的另一個交點是C. 與y軸交于負半軸 D. 在直線的左側部分是下降的4. 在平面直角坐標系xOy中，開口向下的拋物線的一部分圖象如圖所示，它與x軸交于，與y軸交于點B ，則a的取值范圍是A. B. C. D. 5. 二次函數的圖象如圖所示，那么一元二次方程為常數且的兩根之和為A. 1 B. 2 C. -1 D. -26. 已知二次函數，當自變量x取m時對應的值大于0，當自變量x分別取、時對應的函數值為、，則、必須滿足A. 、 B. 、 C. 、 D. 、7. 如圖，教師在小黑板上出示一道題，小華答：過點；小彬答：過點；小明答：；小穎答：拋物線被x軸截得的線段長為你認為四人的回答中，正確的有A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個8. 已知函數，其中、為常數，且，若方程的兩個根為、，且，則、的大小關系為A. B. C. D. 9. 拋物線的頂點為，與x軸的一個交點A在點和之間，其部分圖象如圖，其中錯誤的結論為A. 方程的根為 B. C. D. 10. 已知拋物線的對稱軸為，若關于x的一元二次方程在的范圍內有解，則c的取值范圍是A. B. C. D. 二、解答題11. 拋物線經過點、兩點（1）求拋物線頂點D的坐標；（2）拋物線與x軸的另一交點為A，求的面積12. 在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線，經過點、（1）求此拋物線頂點C的坐標；（2）聯結AC交y軸于點D，聯結BD、BC，過點C作，垂足為點H，拋物線對稱軸交x軸于G，聯結HG，求HG的長13. 已知拋物線的對稱軸是直線，（1）求證：；（2）若關于x的方程，有一個根為4，求方程的另一個根14. 拋物線與y軸交于點（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線與坐標軸的交點坐標；（3）當x取什么值時，？當x取什么值時，y的值隨x的增大而減??？15. 如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線與x軸正半軸的交點，點B在拋物線上，其橫坐標為2，直線AB與y軸交于點點M、P在線段AC上不含端點，點Q在拋物線上，且MQ平行于x軸，PQ平行于y軸設點P橫坐標為m（1）求直線AB所對應的函數表達式（2）用含m的代數式表示線段PQ的長（3）以PQ、QM為鄰邊作矩形PQMN，求矩形PQMN的周長為9時m的值答案一、選擇題1.【答案】B【解析】b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）20，正確；若ba+c，則的大小無法判斷，故不能得出方程有兩個不等實根，錯誤；b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因為a0，故（a+c）2與c2不會同時為0，所以b2-4ac0，正確；二次函數y=ax2+bx+c與y軸必有一個交點，而這個交點有可能跟圖象與x軸的交點重合，故正確故選B2.【答案】A【解析】由圖可知：y-3，即ax2+bx-3，ax2+bx+m=0，ax2+bx=-m，-m-3，m3故選A.3. 【答案】B【解析】A、由表格知，拋物線的頂點坐標是（1，4）故設拋物線解析式為y=a（x-1）2+4將（-1，0）代入，得a（-1-1）2+4=0，解得a=-1a=-10，拋物線的開口方向向下，故本選項錯誤；B、拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），對稱軸是x=1，則拋物線與x軸的另一個交點是（3，0），故本選項正確；C、由表格知，拋物線與y軸的交點坐標是（0，3），即與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；D、拋物線開口方向向下，對稱軸為x=1，則在直線x=1的左側部分是上升的，故本選項錯誤；故選B點睛：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解4. 【答案】B【解析】根據圖象得：a0，b0，拋物線與x軸交于A（1，0），與y軸交于點B （0，3），a+b=-3，b0，-3a0，故選B5. 【答案】D【解析】拋物線與x軸的兩交點坐標為（-3，0），（1，0），一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1=-3，x2=1，-3+1=-，即=2，一元二次方程ax2+bx+c-m=0的兩根之和=-=-2故選D6. 【答案】B【解析】令yx2+x=0，解得：x=，當自變量x取m時對應的值大于0，m，點（m+1，0）與（m-1，0）之間的距離為2，大于二次函數與x軸兩交點之間的距離，m-1的最大值在左邊交點之左，m+1的最小值在右邊交點之右點（m+1，0）與（m-1，0）均在交點之外，y10、y20故選B7. 【答案】C【解析】拋物線過（1，0），對稱軸是x=2，解得a=1，b=-4，y=x2-4x+3，當x=3時，y=0，小華正確；當x=4時，y=3，小彬也正確，小明也正確；拋物線被x軸截得的線段長為2，已知過點（1，0），另一點為（-1，0）或（3，0），對稱軸為y軸或x=2，此時答案不唯一，小穎錯誤故選C8. 【答案】C【解析】函數y=（x-x1）（x-x2）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別是x1、x2；函數y=（x-x1）（x-x2）-2的圖象是由函數y=（x-x1）（x-x2）的圖象向下平移2個單位得到的，則方程（x-x1）（x-x2）-2=0或方程（x-x1）（x-x2）=2的兩根x3、x4即為函數y=（x-x1）（x-x2）-2的圖象與x軸的交點的橫坐標，它們的大致圖象如圖所示,根據圖象知，x3x1x2x4故選C9. 【答案】A【解析】x=-1時，y0，方程ax2+bx+c=0的根為-1這種說法不正確，結論A不正確；二次函數y=ax2+bc+c的圖象與x軸有兩個交點，0，即b2-4ac0，結論B正確；x=-，b=2a，頂點的縱坐標是=2，a=c-2，結論C正確；二次函數y=ax2+bc+c的圖象的對稱軸是x=-1，與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，與x軸的另一個交點A在點（0，0）和（1，0）之間，x=1時，y0，a+b+c0，結論D正確；不正確的結論為：A故選A點睛：二次函數的圖象與系數的關系：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右（簡稱：左同右異）常數項c決定拋物線與y軸交點 拋物線與y軸交于（0，c）10. 【答案】D【解析】由拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1，=1，=1， 解得：b=-2，x2-bx-c=x2+2x-c，令y1=x2+2x-c，可求其對稱軸為：x=-1，根據題意，當x=2時，y10，x2+2x-c0，且當x=-1時，y10，x2+2x-c0，或當x=-3時，y0，9-6-c0，且當x=-1時，y10，x2+2x-c0，解得：-1c8，或-1c3，綜上所述，-1c8故選D二、解答題11. 【答案】（1）D（1，4）；（2）6.【解析】（1）利用待定系數法代入求出a，c的值，進而利用配方法求出D點坐標即可；（2）首先求出圖象與x軸的交點坐標，進而求出ABC的面積解：（1）由題意，得，解得，則y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，則D（1，4）；（2）由題意，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3；則A（-1，0），又B（3，0）、C（0，3），SABC436.12. 【答案】（1）C（2，-3）；（2）.【解析】（1）已知拋物線過A，B兩點，可將A，B的坐標代入拋物線的解析式中用待定系數法即可求出拋物線的解析式然后可根據拋物線的解析式得出頂點C的坐標（2）分別求直線AC的解析式和BD的解析式，直線AC：y=-x-1，直線BD：y=x-1，可得D和P的坐標，證明BPGCPH和HPGCPB，列比例式可得HG的長.解：（1）把A（-1，0）、B（5，0）代入拋物線解析式，得，解得，拋物線的解析式為：yx2x (x2)23，頂點C（2，-3）（2）設BD與CG相交于點P，設直線AC的解析式為：y=kx+b把A（-1，0）和C（2，-3）代入得：，解得：則直線AC：y=-x-1，D（0，-1），同理可得直線BD：y=x-1，P(2，)CHP=PGB=90，GPB=CPHBPGCPH， ，HPGCPB，HG.13. 【答案】（1）見解析；（2）方程的另一個根為x=-2.【解析】（1）根據拋物線的對稱軸為x=-=1可得；（2）根據拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點可得答案解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=1，-=1，2a+b=0；（2）關于x的方程ax2+bx-8=0，有一個根為4，拋物線與x軸的一個交點為（4，0），拋物線的對稱軸為x=1，拋物線與x軸的另一個交點為（-2，0），方程的另一個根為x=-214.【答案】（1）；（2）x軸：、；Y軸：（3）見解析.【解析】（1）將點（0，3）代入拋物線的解析式中，即可求得m的值；（2）可以令y=0，可得出一個關于x的一元二次方程，方程的解就是拋物線與x軸交點的橫坐標；（3）根據（2）中拋物線與x軸的交點以及拋物線的開口方向即可求得x的取值范圍解：（1）將點（0，3）代入拋物線y=-x2+（m-1）x+m，m=3，拋物線的解析式y=-x2+2x+3；（2）令y=0，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1；x軸：A（3，0）、B（-1，0）；y軸：C（0，3）（3）拋物線開口向下，對稱軸x=1；所以）當-1x3時，y0；當x1時，y的值隨x的增大而減小15. 【答案】（1）直線AB的解析式為；（2）見解析；（3）m的值為或【解析】（1）先利用二次函數解析式求出A點和B點坐標，然后利用待定系數法求直線AB的解析式；（2）設P（m，-m+8），則Q（m，-m2+4m），討論：當0m2時，PQ=m2-5m+8；當2m8時，PQ=-m2+5m-8；（3）先表示出M（m2-4m+8，-m2+4m），討論：當0m2，QM=m2-5m+8，利用矩形周長列方程得到（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值；當2m8，QM=-m2+5m-8，利用矩形周長列方程得到2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值解：（1）當y=0時，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=8，則A（8，0）；當x=2時，y=-x2+4x=6，則B（2，6），設直線AB所對應的函數表達式為y=kx+b，將A（8，0），B（2，6）代入可得，解得，所以直線AB的解析式為y=-x+8；（2）設P（m，-m+8），則Q（m，-m2+4m），當0m2時，PQ=-m+8-（-m2+4m）=m2-5m+8；當2m8時，PQ=-m2+4m-（-m+8）=-m2+5m-8；（3）MQx軸，M點的縱坐標為-m2+4m，M點的橫坐標為m2-4m+8，即M（m2-4m+8，-m2+4m），當0m2，QM=m2-4m+8-m=m2-5m+8，2（PQ+QM）=9，2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，整理得2m2-20m+23=0，解得m1=，m2=（舍去）；當2m8，QM=m-（m2-4m+8）=-m2+5m-8，2（PQ+QM）=9，2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，整理得2m2-20m+41=0，解得m1=，m2=（舍去）；綜上所述，m的值為或