第三十二章 投影與視圖32.1 投 影學習目標1理解平行投影和中心投影的特征；(重點)2在投影面上畫出平面圖形的平行投影或中心投影(難點)教學過程一、情境導入北京故宮中的日晷聞名世界，是我國光輝燦爛文化的瑰寶它是我國古代利用日影測定時刻的儀器，它由“晷面”與“晷針”組成，當太陽光照在日晷中軸上產生投影，晷針的影子就會投向晷面，隨著時間的推移，晷針的影的長度發生變化，晷針的影子在晷面上慢慢移動，聰明的古人以此來顯示時刻本節課學習有關投影的知識二、合作探究探究點一：平行投影【類型一】 判斷影子的形狀例1下列圖形，表示兩棵小樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能是()解析：選項A.影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，正確；選項B.影子的方向不相同，錯誤；選項C.影子的方向不相同，錯誤；選項D.不同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，錯誤故選A.方法總結：平行投影特點：在同一時刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例【類型二】 平行投影作圖例2在某一時刻，操場上有三根測桿，如圖所示，其中測桿AB的影子為BC，你能畫出測桿MN的影子NP嗎？若測桿XY的影子的頂端恰好落在點B處，且XYMN，你能找出XY所在的位置嗎？請將上述問題畫在下面的示意圖中，并簡述畫法分析：過物體頂點作光線的平行線得到物體的平行投影，再根據平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的可找到XY的位置解：連接AC，過點M作MPAC交NC于點P，則NP為MN的影子過點B作BXAC，且BXMP，過X作XYNC交NC于點Y，則XY即為所求方法總結：先根據物體投影確定光線，然后利用兩個物體的頂端和各自影子的對應點的連線是一組平行線，過物體頂端作平行線與地面相交，從而確定影子【類型三】 平行投影的相關計算例3李航想利用太陽光測量樓高他帶著皮尺來到一棟樓下，發現對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設計了一種測量方案，具體測量方法如下：如示意圖，李航邊移動邊觀察，發現站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同此時，測得李航落在墻上的影子高度CD1.2m，CE0.6 m，CA30 m(點A、E、C在同一直線上)已知李航的身高EF是1.6m，請你幫李航求出樓高AB.分析：過點D作DNAB，可得四邊形CDME、ACDN是矩形，即可證明DFMDBN，從而得出BN，進而求得AB的長解：過點D作DNAB，垂足為N，交EF于M點，四邊形CDME、ACDN是矩形，ANMECD1.2 m，DNAC30 m，DMCE0.6 m，MFEFME1.61.20.4 m.EFAB，DFMDBN，即，BN20 m，ABBNAN201.221.2 m.答：樓高為21.2 m.方法總結：在同一時刻的物體高度與影長的關系：.探究點二：中心投影【類型一】 判斷是否是中心投影例4下面屬于中心投影的是()A太陽光下的樹影 B皮影戲C月光下房屋的影子 D海上日出解析：中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光在各選項中只有B選項得到的投影為中心投影故選B.方法總結：判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點，那么所得到的投影就是中心投影【類型二】 判斷影長的情況例5晚上小亮在路燈下散步，在小亮從遠處走到燈下，再遠離路燈這一過程中，他在地上的影子()A逐漸變短 B先變短后變長C先變長后變短 D逐漸變長解析：晚上小亮在路燈下散步，當小亮從遠處走到燈下的時候，他在地上的影子由長變短，當他再遠離路燈的時候，他在地上的影子由短變長故選B.方法總結：中心投影的光線特點是從一點出發的投射線物體與投影面平行時的投影是放大(即位似變換)的關系【類型三】 中心投影作圖例6如圖是小明與爸爸(線段AB)、爺爺(線段CD)在同一路燈下的情景，粗線分別表示三人的影子請根據要求，進行作圖(不寫畫法，但要保留作圖痕跡)(1)畫出圖中燈泡所在的位置；(2)在圖中畫出小明的身高分析：(1)利用中心投影的圖形的性質連接對應點得出燈泡位置即可；(2)根據燈泡位置即可得出小明的身高解：(1)如圖所示：O即為燈泡的位置；(2)如圖所示：EF即為小明的身高方法總結：連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經過點光源【類型四】 中心投影的相關計算例7如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1 m，繼續往前走3 m到達E處時，測得影子EF的長為2 m，已知王華的身高是1.5 m，求路燈A的高度AB.分析：根據在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的光線三者構成的兩個直角三角形相似解答解：當王華在CG處時，RtDCGRtDBA，即；當王華在EH處時，RtFEHRtFBA，即，.CGEH1.5 m，CD1 m，CE3 m，EF2 m，設ABx，BCy，解得y3，經檢驗y3是原方程的根，即，解得x6.即路燈A的高度AB6 m.方法總結：解題的關鍵是利用中心投影的特點可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關系求出所需要的線段，再求公共邊的長度三、板書設計1平行投影的定義及應用；2中心投影的定義及應用教學反思本節以自主探索、合作交流為設計主線，從皮影戲、手影、日晷等學生熟悉的生活實際出發，引入物體投影的相關概念，通過觀察圖片等活動，使學生認識中心投影和平行投影的區別與聯系，加強主動學習數學的興趣，體現數學的應用價值