26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)1.能夠根據(jù)具體實(shí)際問題情景確定變量之間的反比例關(guān)系,并求出反比例函數(shù)解析式.2.能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際問題.3.能綜合運(yùn)用幾何、方程、不等式、反比例函數(shù)知識(shí)以及物理等跨學(xué)科知識(shí)解決相關(guān)的實(shí)際問題.1.經(jīng)歷利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的過程,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想方法去觀察、研究和解決日常生活中所遇到的問題,體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的思想.2.體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活緊密聯(lián)系,經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想.3.經(jīng)歷“實(shí)際問題建立模型求解模型拓展應(yīng)用”的過程,增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.1.通過將反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)靈活應(yīng)用于實(shí)際,讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并獲得成就感.2.通過小組合作交流學(xué)習(xí),共同探究反比例函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,提高合作意識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)新精神.【重點(diǎn)】從實(shí)際問題中建立反比例函數(shù)模型,運(yùn)用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決生活實(shí)際問題和跨學(xué)科問題.【難點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題情景建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.第課時(shí)1.能夠根據(jù)實(shí)際問題情景建立反比例函數(shù)的模型.2.能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決生活實(shí)際問題.1.通過探究生活中的實(shí)際問題,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想的構(gòu)建.2.通過探究反比例函數(shù)解決實(shí)際問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義,提高分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).1.通過將反比例函數(shù)的性質(zhì)靈活應(yīng)用于實(shí)際,讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.通過小組合作交流,提高合作意識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)新精神.3.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.【重點(diǎn)】從實(shí)際問題中建立反比例函數(shù)模型,運(yùn)用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決實(shí)際問題.【難點(diǎn)】根據(jù)具體實(shí)際問題情景建立反比例函數(shù)的模型.導(dǎo)入一:【復(fù)習(xí)提問】1.我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的哪些內(nèi)容?完成下列填空:(1)反比例函數(shù)的定義是. (2)反比例函數(shù)的圖象是,當(dāng)k0時(shí),；當(dāng)k0時(shí),. (3)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的步驟:. 2.前面學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù),類比前面的學(xué)習(xí)過程,我們將繼續(xù)探究什么?基本方法有哪些?3.在實(shí)際問題中建立函數(shù)模型,求解函數(shù)解析式的關(guān)鍵是什么?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立回答,教師觀察學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容及基本方法是否了解.導(dǎo)入二:【課件1展示】你吃過拉面嗎?知道在做拉面的過程中滲透著數(shù)學(xué)知識(shí)嗎?(1)將體積為20 cm3的面團(tuán)做成拉面,面條的長(zhǎng)度y與面條的粗細(xì)(橫截面面積)S有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)某家面館的師傅手藝精湛,她拉的面條粗1 mm2,面條總長(zhǎng)是多少?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成后,小組交流答案,學(xué)生展示結(jié)果,教師及時(shí)提醒學(xué)生注意單位換算,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評(píng).導(dǎo)入三:【課件2展示】市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104 m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.(1)儲(chǔ)存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500 m2,施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)多深?(3)當(dāng)施工隊(duì)按(2)中的計(jì)劃,掘進(jìn)到地下15 m時(shí),公司臨時(shí)改變計(jì)劃,把儲(chǔ)存室的深度改為15 m,相應(yīng)地,儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)該改為多少(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)?設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)及實(shí)際問題中找等量關(guān)系列函數(shù)解析式,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊.由學(xué)生熟悉的拉面問題及煤氣儲(chǔ)存室問題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際問題之間的關(guān)系,很自然地構(gòu)建出新知識(shí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望.一、共同探究一過渡語許多現(xiàn)實(shí)生活中存在著反比例函數(shù)關(guān)系,導(dǎo)入三實(shí)際問題中有怎樣的反比例關(guān)系?讓我們一起探討吧!思路一教師提出下列問題,學(xué)生思考回答,逐步解決.(1)圓柱的體積公式是什么?(2)問題中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是變量?(3)常量和變量之間存在著什么等量關(guān)系?(4)當(dāng)圓柱體的體積不變時(shí),底面積和高有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(5)已知函數(shù)S的值,怎樣求自變量d的值?(6)已知自變量d的值,如何求函數(shù)S的值?【師生活動(dòng)】先讓學(xué)生認(rèn)真審題,獨(dú)立思考,再通過設(shè)置的小問題,教師引導(dǎo)學(xué)生逐步思考,最后建立函數(shù)模型解決問題,學(xué)生完成解題過程,教師展示課件,糾正學(xué)生解題過程中的錯(cuò)誤.(詳細(xì)解題過程見思路二)思路二【師生活動(dòng)】學(xué)生認(rèn)真審題,獨(dú)立思考,類比前邊學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)解決實(shí)際問題的方法,完成該題的解答,然后小組合作交流,討論疑惑及解題思路和方法,教師巡視中解決學(xué)生的質(zhì)疑,并幫助有困難的學(xué)生解決該題,最后小組代表板書解題方法.解:(1)根據(jù)圓柱的體積公式,得Sd=104,S關(guān)于d的函數(shù)解析式為S=104d.(2)把S=500代入S=104d,得500=104d,解得d=20,把儲(chǔ)存室的底面積定為500 m2,施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)20 m深.(3)根據(jù)題意,把d=15代入S=104d,得S=10415,解得S666.67(m2),當(dāng)儲(chǔ)存室的深度改為15 m時(shí),底面積應(yīng)約改為666.67 m2.【追問】(1)在實(shí)際問題中求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是什么?(2)已知自變量的值求函數(shù)值,已知函數(shù)值求自變量的值的基本思想是什么?(代入函數(shù)解析式,用方程思想求解) 設(shè)計(jì)意圖通過教師引導(dǎo),學(xué)生動(dòng)手操作,給學(xué)生提供解決此類問題的思路,讓學(xué)生在問題解決的過程中體會(huì)反比例函數(shù)與實(shí)際問題的聯(lián)系.解決實(shí)際問題首先建立函數(shù)模型,然后利用函數(shù)意義或性質(zhì)解決問題,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的能力.二、共同探究二【課件3展示】碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物,裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.(1)輪船到達(dá)目的地后開始卸貨,平均卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)由于遇到緊急情況,要求船上的貨物不超過5天卸載完畢,那么平均每天至少要卸載多少噸?教師引導(dǎo)學(xué)生思考下列問題.(1)題中的等量關(guān)系是什么?貨物的總量= . 平均卸貨速度= . (2)如果要求貨物5天卸載完畢,那么平均每天要卸載多少噸?(3)如果要求貨物卸載的天數(shù)不超過5天的含義是什么?(4)自變量t越小,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值v怎樣變化?你有幾種解決這個(gè)問題的方法?【師生活動(dòng)】教師提出問題,學(xué)生自主探究后,小組合作交流,共同完成該題的解題過程,教師引導(dǎo)學(xué)生寫出函數(shù)解析式,提示學(xué)生用函數(shù)圖象、函數(shù)解析式、方程等多種方法解決問題.解:(1)設(shè)輪船上的貨物總質(zhì)量為k噸,則根據(jù)已知條件有k=308=240,所以v與t的函數(shù)解析式為v=240t.解法1:(2)把t=5代入v=240t,得v=2405=48.若全部貨物恰好用5天卸載完,那么平均每天卸載48噸.對(duì)于函數(shù)v=240t,當(dāng)t0時(shí),t越小,v越大.這樣若貨物不超過5天卸載完,則平均每天至少要卸載48噸.解法2:(2)由v=240t,得t=240v.因?yàn)閠5,所以240v5,又v0,所以2405v,解得v48.解法3:(2)畫出函數(shù)v=240t(t0)的圖象,當(dāng)t=5時(shí),v=48.根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì),在第一象限內(nèi),v隨t的增大而減小,所以當(dāng)0t5時(shí),v48.設(shè)計(jì)意圖通過探究實(shí)際運(yùn)輸中存在著的反比例函數(shù)關(guān)系,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生建立反比例函數(shù)模型的能力,鼓勵(lì)學(xué)生從函數(shù)圖象、不等式、方程等多角度思考問題,進(jìn)而把函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系起來,培養(yǎng)學(xué)生從不同角度看問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,提高用不同方法解決問題的能力.三、共同歸納用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題,認(rèn)真分析題意,通過等量關(guān)系,建立反比例函數(shù)模型,寫出函數(shù)解析式,由函數(shù)圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問題.知識(shí)拓展(1)在利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí),要根據(jù)題目的實(shí)際意義找到基本的函數(shù)關(guān)系,再根據(jù)需要進(jìn)行變形或計(jì)算.(2)本節(jié)知識(shí)用到了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)建模思想,如將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合思想在本節(jié)中得到了廣泛的應(yīng)用.1.從實(shí)際問題中獲取信息,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立反比例函數(shù)模型,利用反比例函數(shù)知識(shí)解決問題.2.在解決實(shí)際問題中,根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.3.綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式及數(shù)形結(jié)合思想解復(fù)雜的實(shí)際問題.1.某村的糧食總產(chǎn)量為a(a為常數(shù))噸,設(shè)該村的人均糧食產(chǎn)量為y噸,人口數(shù)為x,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象應(yīng)為()2.一張正方形的紙片,剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“E”圖案,如圖,設(shè)小矩形的長(zhǎng)、寬分別為x,y,剪去部分的面積為20,若2x10,記y=f(x),則y=f(x)的圖象是()3.矩形的面積是2 cm2,設(shè)長(zhǎng)為ycm,寬為xcm,則y與x之間的函數(shù)解析式為. 4.一輛汽車勻速通過某段公路,所需時(shí)間t(h)與行駛速度v(km/h)滿足函數(shù)關(guān)系式:t=kv,其圖象為如圖的一段曲線且端點(diǎn)為A(40,1)和B(m,0.5).(1)求k和m的值.(2)若行駛速度不得超過60 km/h,則汽車通過該路段最少需要多長(zhǎng)時(shí)間?【答案與解析】1.C解析:題中等量關(guān)系為:人均糧食產(chǎn)量y人口數(shù)x=糧食總產(chǎn)量a,所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax(x0),所以該函數(shù)的圖象為雙曲線在第一象限內(nèi)的一支.故選C.2.A解析:由題意知2xy=20,所以y=10x(2x10),反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi),并且y隨x的增大而減小,當(dāng)x=2時(shí),y有最大值為5,當(dāng)x=10時(shí),y有最小值為1.故選A.3.y=2x(x0)解析:根據(jù)等量關(guān)系:長(zhǎng)寬=矩形面積,得xy=2,所以y與x之間的函數(shù)解析式為y=2x,根據(jù)x的實(shí)際意義知x應(yīng)大于0.故填y=2x(x0).4.解:(1)將(40,1)代入t=kv,得1=k40,解得k=40,所以函數(shù)解析式為t=40v.當(dāng)t=0.5時(shí),0.5=40m,解得m=80,所以k=40,m=80.(2)令v=60,得t=4060=23,結(jié)合函數(shù)圖象可知,汽車通過該路段最少需要23 h.第1課時(shí)1.共同探究一2.共同探究二3.共同歸納一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.下列各問題,兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是反比例關(guān)系的是()A.小明完成100 m賽跑時(shí),時(shí)間t(s)與他跑步的平均速度v(m/s)之間的關(guān)系B.菱形的面積為48 cm2時(shí),它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)y(cm)與x(cm)之間的關(guān)系C.一個(gè)玻璃容器的容積為30 L時(shí),所盛液體的質(zhì)量m與所盛液體的密度之間的關(guān)系D.壓力為600 N時(shí),壓強(qiáng)p與受力面積S之間的關(guān)系2.為了更好保護(hù)水資源,造福人類,某工廠計(jì)劃建一個(gè)容積V(m3)一定的污水處理池,池的底面積S(m2)與其深度h(m)滿足關(guān)系式:V=Sh(V0),則S關(guān)于h的函數(shù)圖象大致是()3.某廠現(xiàn)有300噸煤,這些煤能燒的天數(shù)y與平均每天燒的噸數(shù)x之間的函數(shù)解析式為()A.y=300x(x0)B.y=300x(x0)C.y=300x(x0)D.y=300x(x0)4.已知矩形的面積為36 cm2,相鄰的兩條邊長(zhǎng)為xcm和y cm,則y與x之間的函數(shù)圖象大致是()5.長(zhǎng)方體的體積為103 m3,底面積為S,高度為d,則S與d之間的函數(shù)關(guān)系式為；當(dāng)S=500時(shí),d=. 6.某一蓄水池的排水速度v(m3/h)與排完水池中的水所用的時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系圖象是一支雙曲線,圖象過點(diǎn)(4,12),則此函數(shù)的解析式為. 7.現(xiàn)有一批賑災(zāi)物資從A市運(yùn)往B市,如果兩市之間的路程為500 km,車的速度是x km/h,從A市運(yùn)往B市所用的時(shí)間是y h,那么y與x之間的函數(shù)解析式是,且y是x的. 8.將油箱注滿k升油后,轎車行駛的總路程s(單位:千米)與平均耗油量a(單位:升/千米)之間是反比例函數(shù)關(guān)系s=ka(k是常數(shù),k0).已知某轎車油箱注滿油后,以平均耗油量為每千米耗油0.1升的速度行駛,可行駛700千米.(1)求該轎車可行駛的總路程s與平均耗油量a之間的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)平均耗油量為0.08升/千米時(shí),該轎車可以行駛多少千米?【能力提升】9.一個(gè)容積為180升的太陽能熱水器,工作時(shí)間是y分鐘,每分鐘的排水量為x升,則y與x之間的函數(shù)解析式為,若熱水器持續(xù)工作最長(zhǎng)時(shí)間為1小時(shí),則自變量x的取值范圍是. 10.一塊長(zhǎng)方體大理石板的A,B,C三個(gè)面上的邊長(zhǎng)如圖所示(單位:米),如果大理石板的A面向下放在地上時(shí)地面所受壓強(qiáng)為m帕,則把大理石板B面向下放在地上,地面所受壓強(qiáng)是m帕. 11.某商場(chǎng)出售一批進(jìn)價(jià)為2元的賀卡,在市場(chǎng)營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價(jià)x(單位:元)與日銷售量y(單位:個(gè))之間有如下關(guān)系:日銷售單價(jià)x/元3456日銷售量y/個(gè)20151210(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫出圖象；(2)設(shè)經(jīng)營此賀卡的銷售利潤為W元,求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式.若物價(jià)局規(guī)定此賀卡的單價(jià)最高不能超過10元,請(qǐng)你求出當(dāng)日銷售單價(jià)x定為多少元時(shí),才能獲得最大日銷售利潤.【拓展探究】12.“保護(hù)生態(tài)環(huán)境,建設(shè)綠色社會(huì)”已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆?dòng).某化工廠2018年1月的利潤為200萬元.設(shè)2018年1月為第1個(gè)月,第x個(gè)月的利潤為y萬元.由于排污超標(biāo),該廠決定從2018年1月底起適當(dāng)限產(chǎn),并投入資金進(jìn)行治污改造,導(dǎo)致月利潤明顯下降, 從1月到5月,y與x成反比例.到5月底,治污改造工程順利完工,從這時(shí)起,該廠每月的利潤比前一個(gè)月增加20萬元(如圖).(1)分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后y與x之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(不用寫出自變量取值范圍)(2)治污改造工程完工后經(jīng)過幾個(gè)月,該廠月利潤才能達(dá)到2018年1月的水平?(3)當(dāng)月利潤少于100萬元時(shí)為該廠資金緊張期,則該廠資金緊張期共有幾個(gè)月?13.某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥,經(jīng)多年動(dòng)物實(shí)驗(yàn),首次用于臨床人體實(shí)驗(yàn).測(cè)得成人服藥后血液中藥物濃度y (微克/毫升)與服藥時(shí)間x(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖(當(dāng)4x10時(shí),y與x成反比).(1)根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時(shí)間為多少小時(shí)?【答案與解析】1.C解析:根據(jù)各小題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式,解析式符合y=kx(k0)的形式即為反比例函數(shù).函數(shù)關(guān)系式為t=100v,是反比例函數(shù),A正確；函數(shù)關(guān)系式為12xy=48,y=96x,是反比例函數(shù),故B正確；函數(shù)關(guān)系式為m=30,是正比例函數(shù),C錯(cuò)誤；函數(shù)關(guān)系式為p=600S,是反比例函數(shù),D正確.故選C.2.C解析:由題意可得S=Vh,且h0,所以S關(guān)于h的函數(shù)圖象是在第一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象.故選C.3.A解析:根據(jù)題意得xy=300,所以y=300x,且x0.故選A.4.A解析:根據(jù)題意,得xy=36,即y=36x(x0),是一個(gè)反比例函數(shù).故選A.5.S=103d2解析:因?yàn)轶w積V=Sd,所以S=Vd=103d,把S=500代入函數(shù)解析式得d=2.故填S=103d,2.6.v=48t(t0)解析:設(shè)函數(shù)解析式為v=kt,把(4,12)代入函數(shù)解析式得k=412=48,所以所求的函數(shù)解析式為v=48t.故填v=48t(t0).7.y=500x(x0)反比例函數(shù)解析:根據(jù)路程=速度時(shí)間,得xy=500,所以y=500x(x0),y是x的反比例函數(shù).8.解:(1)由題意得a=0.1,s=700,代入反比例函數(shù)關(guān)系式,解得k=sa=70,函數(shù)關(guān)系式為s=70a.(2)將a=0.08代入s=70a得s=70a=700.08=875,故該轎車可以行駛875千米.9.y=180xx3解析:工作時(shí)間y(分)每分鐘的排水量x(升)=總?cè)萘?所以可得出y與x的解析式為y=180x,熱水器可連續(xù)工作的最長(zhǎng)時(shí)間為1小時(shí),即0y60,x3.10.3解析:設(shè)大理石板的重力為F.由圖可知A面的面積=36=18(平方米),則F=pS=18m,因?yàn)锽面的面積=16=6(平方米),所以此時(shí)的壓強(qiáng)p=FS=18m6=3m.故填3.11.解:(1)y=60x(x0),圖象略.(2)W=(x-2)y=-120x+60,因?yàn)?x10,所以當(dāng)x=10時(shí),獲得最大日銷售利潤48 元.12.解:(1)設(shè)反比例函數(shù)為y= kx, 則k1=200, 解得k=200, 反比例函數(shù)的解析式為y=200x.當(dāng)x=5時(shí),y=40.設(shè)改造工程完工后函數(shù)解析式為y=20x+b, 則205+b=40,解得b=-60, 改造工程完工后函數(shù)解析式為y=20x-60.(2)當(dāng)y=200時(shí),20x-60=200, 解得x=13.13-5=8,經(jīng)過8個(gè)月,該廠利潤才能達(dá)到200萬元.(3)當(dāng)y=100時(shí),200x=100,解得x=2, 20x-60=100,解得x=8, 資金緊張期共有8-2-1=5(個(gè))月.13.解:(1)由圖象可知,當(dāng)0x4時(shí),y與x成正比例關(guān)系,設(shè)y=kx(k0).由圖象可知,當(dāng)x=4時(shí),y=8,4k=8,解得k=2,y=2x(0x4).又由題意可知,當(dāng)4x10時(shí),y與x成反比例關(guān)系,設(shè)y=mx(m0).由圖象可知,當(dāng)x=4時(shí),y=8,m=48=32.y=32x(4x10).即血液中藥物濃度上升時(shí)y=2x(0x4)；血液中藥物濃度下降時(shí),y=32x(4x10).(2)血液中藥物濃度不低于4微克/毫升即y4, 2x4且32x4,解得x2且x8,2x8,即持續(xù)時(shí)間為6小時(shí).本節(jié)課是用反比例函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題,課堂上學(xué)生可以體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活中多個(gè)領(lǐng)域,教學(xué)過程中,教師不把現(xiàn)成的結(jié)論和方法直接告訴學(xué)生,而是設(shè)計(jì)了一系列問題,通過學(xué)生合作交流解決問題,激發(fā)學(xué)生的探索精神和求知欲望,同時(shí)營造一種寬松、和諧、積極民主的學(xué)習(xí)氛圍,使每位學(xué)生都成為問題的探索者、研究中的發(fā)現(xiàn)者,教師不僅僅充當(dāng)知識(shí)傳授者的角色,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣,教會(huì)他們?cè)鯓訉W(xué)習(xí),怎樣思考,從而使教學(xué)工作收到事半功倍的效果.本節(jié)課的重點(diǎn)是建立函數(shù)模型,應(yīng)用反比例函數(shù)求實(shí)際問題中的最值,進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),在課堂上雖然有意識(shí)讓學(xué)生主動(dòng)探索、討論,尋求問題解決的途徑,但是在實(shí)施過程中,教師對(duì)問題的解決還是急于求成,尤其是學(xué)生探索過程中出現(xiàn)困難時(shí),教師急于引導(dǎo)解決,在以后的課堂上,應(yīng)注意給學(xué)生更為廣闊的思維空間.本節(jié)課在探索過程中,教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)以學(xué)生熟悉的實(shí)際問題為主線,以“學(xué)生思考小組討論學(xué)生展示同學(xué)質(zhì)疑教師點(diǎn)評(píng)”的螺旋上升的進(jìn)程,力爭(zhēng)充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用.同時(shí)從生活實(shí)例出發(fā),進(jìn)一步滲透建模思想,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和分析實(shí)際問題,提高對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.(1)現(xiàn)實(shí)世界到處都有變化的量,而函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量之間變化規(guī)律的一種常見的數(shù)學(xué)模型.“函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,本節(jié)課的主要內(nèi)容是應(yīng)用反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等知識(shí)通過建立數(shù)學(xué)模型解決有關(guān)實(shí)際問題.教學(xué)設(shè)計(jì)中設(shè)置的兩個(gè)問題都是從熟悉的生活場(chǎng)景中抽取的,其本質(zhì)體現(xiàn)的都是反比例函數(shù)的關(guān)系.通過學(xué)習(xí),讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)反比例函數(shù)的運(yùn)用和理解,更深層次體會(huì)建模的數(shù)學(xué)思想,在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,經(jīng)歷“建立函數(shù)模型,運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題”的過程,體現(xiàn)反比例函數(shù)是解決實(shí)際問題的有效數(shù)學(xué)工具.(2)本節(jié)課的難點(diǎn)是把實(shí)際問題利用反比例函數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決,通過思考教師設(shè)計(jì)的小問題,小組活動(dòng),討論交流,共同探究的學(xué)習(xí)方式逐層分散難點(diǎn),同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生與他人合作的能力,活躍了課堂,提高了用數(shù)學(xué)解決問題的能力.本節(jié)課的學(xué)習(xí)架起了抽象的數(shù)學(xué)與精彩的生活之間的橋梁,讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用于生活中去.為了預(yù)防疾病,某單位對(duì)辦公室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時(shí),室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間x(分)成正比例,藥物燃燒后y與x成反比例(如圖所示),現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢,此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克,請(qǐng)根據(jù)題中提供的信息,解答下列問題.(1)藥物燃燒時(shí),y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,自變量x的取值范圍是;藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為; (2)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過分鐘后,學(xué)生才能回到教室; (3)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí),才能有效殺滅空氣中的病毒,那么此次消毒有效嗎?為什么?解:(1)設(shè)藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x(k10),將(8,6)代入得6=8k1,k1=34.設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x(k20),將(8,6)代入得6=k28,k2=48,藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=34x(0x8),藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=48x(x8).(2)結(jié)合實(shí)際,令y=48x中y=1.6得x=30,即從消毒開始,至少經(jīng)過30分鐘后學(xué)生才能進(jìn)入教室.(3)把y=3代入y=34x,得x=4；把y=3代入y=48x,得x=16.16-4=1210,這次消毒是有效的.第課時(shí)1.能根據(jù)與其他學(xué)科聯(lián)系的公式確定反比例關(guān)系,并求出反比例函數(shù)的解析式.2.能夠根據(jù)實(shí)際問題情景建立反比例函數(shù)的模型,解決與其他學(xué)科知識(shí)相聯(lián)系的問題.1.通過探究與其他學(xué)科相聯(lián)系的實(shí)際問題,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想的構(gòu)建.2.通過探究反比例函數(shù)解決實(shí)際問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義,提高分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).1.通過將反比例函數(shù)知識(shí)靈活應(yīng)用于其他學(xué)科,讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.通過小組合作交流,提高合作意識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)新精神,同時(shí)感受數(shù)學(xué)模型思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值.【重點(diǎn)】利用反比例函數(shù)的知識(shí)解決跨學(xué)科問題.【難點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題情景建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】預(yù)習(xí)教材P1415.導(dǎo)入一:【復(fù)習(xí)提問】(1)反比例函數(shù)y=6x的圖象形狀、位置、增減性是怎樣的?當(dāng)x=3時(shí),y=；當(dāng)y=3時(shí),x=. (2)結(jié)合一個(gè)反比例函數(shù)實(shí)例,說說反比例函數(shù)兩個(gè)變量之間的關(guān)系.【師生活動(dòng)】教師出示問題后,學(xué)生獨(dú)立思考回答,教師點(diǎn)評(píng).導(dǎo)入二:有一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳,當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí),氣體的密度也會(huì)隨之改變,密度(單位:kg/m3)是體積V(單位:m3)的反比例函數(shù),它的圖象如圖所示,當(dāng)V=2 m3時(shí),氣體的密度是多少?【導(dǎo)入語】數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)學(xué)科緊密相連,如何用數(shù)學(xué)知識(shí)解決這樣的物理、化學(xué)問題,通過今天的學(xué)習(xí),我們可以輕松解決.導(dǎo)入三:“給我一個(gè)支點(diǎn),我可以撬動(dòng)地球”是古希臘科學(xué)家阿基米德說的一句話,他發(fā)現(xiàn)若杠桿上的兩物體與支點(diǎn)的距離和其重量成反比,則杠桿平衡.后來人們把它歸納為“杠桿原理”.通俗地說,杠桿原理為:阻力阻力臂=動(dòng)力動(dòng)力臂.當(dāng)阻力和阻力臂不變,動(dòng)力與動(dòng)力臂有怎樣的函數(shù)關(guān)系?設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),理解反比例函數(shù)兩個(gè)變量之間的關(guān)系,為本節(jié)課的例題學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.以物理學(xué)科中密度問題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與物理學(xué)科密切相關(guān),由科學(xué)家阿基米德著名的杠桿原理導(dǎo)入新課,為本節(jié)課的例題提供理論依據(jù),同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.過渡語應(yīng)用杠桿原理,可以解決與杠桿有關(guān)的實(shí)際問題,讓我們一起探究下邊和杠桿有關(guān)的實(shí)際問題吧!一、共同探究一【課件展示】小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1200 N和0.5 m.(1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動(dòng)力臂為1.5 m時(shí),撬動(dòng)石頭至少需要多大的力?(2)若想使動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半,則動(dòng)力臂l至少要加長(zhǎng)多少?思路一教師引導(dǎo)學(xué)生思考回答下列問題.(1)杠桿原理中的等量關(guān)系是什么?(2)阻力和阻力臂一定時(shí),其乘積是常數(shù),動(dòng)力F與動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(3)如何求動(dòng)力F與動(dòng)力臂l之間的函數(shù)解析式?(4)當(dāng)自變量l=1.5時(shí),你能否求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值F?(5)在動(dòng)力F與動(dòng)力臂l的函數(shù)關(guān)系中,函數(shù)值隨自變量的增大怎樣變化?(6)“動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半”的含義是什么意思?(7)你能結(jié)合函數(shù)圖象,用方程思想求解(2)嗎?(8)你還能用不等式等其他方法求解(2)嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生在教師提出的問題引導(dǎo)下,思考并回答問題,教師點(diǎn)評(píng)答案,及時(shí)糾正學(xué)生回答中的錯(cuò)誤,然后學(xué)生完成解題過程,教師通過課件展示解題過程.思路二獨(dú)立完成下列填空后,嘗試解答該題.“杠桿原理”是,即Fl=,故F與l之間的函數(shù)解析式為,所以當(dāng)l=1.5 m時(shí),F=. “動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半”即F ,因?yàn)楹瘮?shù)F隨自變量l增大而,所以動(dòng)力臂至少為m,即動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)m. 【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后嘗試完成該題的解答,然后小組內(nèi)成員對(duì)解答過程和解題思路進(jìn)行討論交流,教師在巡視過程中對(duì)學(xué)生的困難給予幫助,及時(shí)發(fā)現(xiàn)小組中不同的解題方法,并示意板書解題過程,對(duì)學(xué)生的板書點(diǎn)評(píng)指導(dǎo).解:(1)根據(jù)“杠桿原理”,得Fl=12000.5,所以F關(guān)于l的函數(shù)解析式為F=600l.當(dāng)l=1.5 m時(shí),F=6001.5=400(N).對(duì)于函數(shù)F=600l,當(dāng)l=1.5 m時(shí),F=400 N,此時(shí)杠桿平衡.因此,撬動(dòng)石頭至少需要400 N的力.(2)對(duì)于函數(shù)F=600l,F隨l的增大而減小.因此,只要求出F=200 N時(shí)對(duì)應(yīng)的l的值,就能確定動(dòng)力臂l至少應(yīng)加長(zhǎng)的量.當(dāng)F=40012=200時(shí),由200=600l得:l=600200=3,3-1.5=1.5(m).對(duì)于函數(shù)F=600l,當(dāng)l0時(shí),l越大,F越小.因此,若想用力不超過400 N的一半,則動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)1.5 m.另解:由F=600l得l=600F,因?yàn)镕200,所以l3,3-1.5=1.5(m),所以若想用力不超過400 N的一半,則動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)1.5 m.【追加思考】此題利用反比例函數(shù)知識(shí)解釋:為什么使用撬棍時(shí),動(dòng)力臂越長(zhǎng)越省力?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后小組討論交流,教師點(diǎn)評(píng)得出結(jié)論:對(duì)于函數(shù)F=600l,當(dāng)l0時(shí),F隨l的增大而減小,所以使用撬棍時(shí),動(dòng)力臂越長(zhǎng)越省力.設(shè)計(jì)意圖本例利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用,促使學(xué)生主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋求解決問題的方法策略,培養(yǎng)學(xué)生建模思想的構(gòu)建,提高學(xué)生解決問題的能力和應(yīng)用意識(shí).二、共同探究二【課件展示】一個(gè)用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的,其范圍為110220 ,已知電壓為220 V,這個(gè)用電器的電路圖如圖.(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)這個(gè)用電器的功率的范圍是多少?思路一教師引導(dǎo)學(xué)生分析:(1)電學(xué)知識(shí)中,用電器的功率P(W)、電阻R()、兩端的電壓U(V)之間的等量關(guān)系式是PR=,也可以寫成P=,或R=. (2)由(1)得功率P與電阻R之間的關(guān)系為. (3)由反比例函數(shù)性質(zhì)可得功率P隨著電阻R的增大而. (4)當(dāng)電阻最小R=110 時(shí),功率有最值,P=,當(dāng)電阻最大R=220 時(shí),功率有最值,P=,所以用電器功率的范圍是. 【師生活動(dòng)】學(xué)生在教師的問題的引導(dǎo)下思考回答問題,然后完成解題過程,小組代表板書,教師對(duì)學(xué)生的回答給予評(píng)價(jià)和指導(dǎo),并對(duì)學(xué)生的板書過程進(jìn)行點(diǎn)評(píng).解:(1)根據(jù)電學(xué)知識(shí),當(dāng)U=220時(shí),得P=2202R.(2)根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知,電阻越大,功率越小.把電阻的最小值R=110代入P=2202R,得到功率的最大值,P=2202110=440(W)；把電阻的最大值R=220代入P=2202R,得到功率的最小值,P=2202220=220(W).因此用電器功率的范圍為220440 W.思路二【思考】(1)電學(xué)知識(shí)中,用電器的功率P(W)、電阻R()、兩端的電壓U(V)之間的等量關(guān)系是什么?(2)你能根據(jù)上邊的等量關(guān)系寫出功率P與電阻R之間的函數(shù)解析式嗎?(3)根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì),功率P隨電阻R的增大怎樣變化?(4)當(dāng)電阻R取最小值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值P有最小值還是最大值?當(dāng)電阻R最大時(shí)呢?(5)自變量R的取值范圍是什么?對(duì)應(yīng)的函數(shù)值P的取值范圍是什么?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,共同探究解題過程,教師在巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng).【追問】為什么收音機(jī)的音量、某些臺(tái)燈的亮度以及電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速可以調(diào)節(jié)?【師生活動(dòng)】學(xué)生小組討論后,大家積極發(fā)表自己的見解,教師及時(shí)點(diǎn)評(píng).【結(jié)論】收音機(jī)的音量、某些臺(tái)燈的亮度以及電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速都由這些電器的輸出功率決定,在電壓一定的情況下,用電器的輸出功率是用電器電路中電阻的反比例函數(shù).設(shè)計(jì)意圖通過物理學(xué)科中已學(xué)過的電學(xué)公式,建立公式與反比例函數(shù)之間的聯(lián)系,用反比例函數(shù)知識(shí)解決跨學(xué)科問題,感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力.知識(shí)拓展(1)在利用反比例函數(shù)解決跨學(xué)科問題時(shí),要根據(jù)物理、化學(xué)等學(xué)科中的公式建立函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)需要進(jìn)行變形或計(jì)算.(2)本節(jié)知識(shí)用到了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)學(xué)建模思想,如將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)關(guān)系.1.建立反比例函數(shù)模型,解決跨學(xué)科問題一般步驟:(1)審題:弄清題意,分析問題中等量關(guān)系；(2)建模:根據(jù)等量關(guān)系,將跨學(xué)科問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,利用反比例函數(shù)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.(3)解模:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題.2.本節(jié)課用到的思想和方法.1.一定質(zhì)量的干松木,當(dāng)它的體積V=2 m3時(shí),它的密度=0.5103 kg/m3,則與V的函數(shù)關(guān)系式是()A.=1000VB.=V+1000C.=500VD.=1000V2.如果變阻器兩端電壓不變,那么通過變阻器的電流y(A)與電阻x()之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是()3.二氧化碳的密度(kg/m3)關(guān)于其體積V(m3)的函數(shù)關(guān)系如圖所示,那么函數(shù)關(guān)系式是. 4.在壓力不變的情況下,某物體承受的壓強(qiáng)p(Pa)是它的受力面積S(m2)的反比例函數(shù),其圖象如圖.(1)求p與S之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)求當(dāng)S=0.5 m2時(shí)物體承受的壓強(qiáng)p.(3)若要獲得2500 Pa的壓強(qiáng),受力面積應(yīng)為多少?【答案與解析】1.D解析:根據(jù)物理知識(shí)得=mV,體積V=2 m3時(shí),它的密度=0.5103 kg/m3,m=20.5103=1000,=1000V.故選D.2.B解析:依題意,得電壓(U)=電阻(x)電流(y),當(dāng)U一定時(shí),可得y=Ux(x0,y0),函數(shù)圖象為雙曲線在第一象限的部分.故選B.3.=9.9V解析:由題意得與V成反比例函數(shù)的關(guān)系,設(shè)=kV,根據(jù)圖象信息可得當(dāng)=0.5時(shí),V=19.8,k=V=19.80.5=9.9,即可得=9.9V.故填=9.9V.4.解:(1)設(shè)p=kS.點(diǎn)(0.25,1000)在這個(gè)函數(shù)的圖象上,1000=k0.25,k=250,p與S的函數(shù)關(guān)系式為p=250S(S0).(2)當(dāng)S=0.5 m2時(shí),p=2500.5=500(Pa).(3)令p=2500,S=2502500=0.1(m2) .第2課時(shí)1.共同探究一例12.共同探究二例2一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的某種氣體,密度(單位:kg/m3)與體積V(單位:m3)滿足函數(shù)關(guān)系式 =kV(k為常數(shù),k0),其圖象如圖,則k的值為()A.9B.-9C.4D.-42.用電器的輸出功率P與通過的電流I、用電器的電阻R之間的關(guān)系是P=I2R,下面說法正確的是()A.當(dāng)P為定值時(shí),I與R成反比例B.當(dāng)P為定值時(shí),I2與R成反比例C.當(dāng)P為定值時(shí),I與R成正比例D.當(dāng)P為定值時(shí),I2與R成正比例3.某同學(xué)做物理實(shí)驗(yàn),他使用的蓄電池的電壓為定值,電流I(A)與電阻R()的關(guān)系如圖,若該電路內(nèi)的用電器限制電流不得超過8 A,則此用電器的可變電阻R()的范圍應(yīng)為()A.R5B.R5C.R5D.R54.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓p(單位:kPa)是氣體體積V(單位:m3)的反比例函數(shù),其圖象如圖.當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120 kPa時(shí),氣球?qū)⒈?為了安全起見,氣球的體積應(yīng)()A.不大于54 m3B.大于54 m3C.不小于45 m3D.小于54 m35.近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例,已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5 m,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是. 6.將50 N的壓力作用在1 cm2的面積上所產(chǎn)生的壓強(qiáng)是Pa,如果保持壓力不變,要產(chǎn)生5103 Pa的壓強(qiáng)應(yīng)使受力面積變?yōu)閏m2. 7.實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)導(dǎo)線的長(zhǎng)度一定時(shí),導(dǎo)線的電阻與它的橫截面面積成反比例,一條長(zhǎng)為100 km的鋁導(dǎo)線的電阻R()與它的橫截面面積S(cm2)的函數(shù)關(guān)系如圖,那么當(dāng)S=5 cm2時(shí),R