2.4過不共線三點作圓一、選擇題1已知O為ABC的外心，若A80，則BOC的度數為()A40 B80 C120 D1602下列說法錯誤的是()A三角形的外心到三角形各頂點的距離相等B. 三角形的外心到三角形三邊的距離相等C. 三角形的外心一定在三角形一邊的垂直平分線上D. 三角形任意兩邊的垂直平分線的交點，是這個三角形的外心3下列命題中正確的有()過兩點可以作無數個圓；經過三點一定可以作圓；任意一個三角形都有外接圓，而且只有一個外接圓；任意一個圓有且只有一個內接三角形A1個 B2個 C3個 D4個4若一個三角形的外心在這個三角形的一邊上，則這個三角形是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不能確定5小穎同學在手工制作中，把一個邊長為12 cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為()A2 cm B4 cm C6 cm D8 cm6A，B，C為平面上的三點，AB2，BC3，AC5，則()A可以畫一個圓，使點A，B，C都在圓周上B. 可以畫一個圓，使點A，B在圓周上，點C在圓內C. 可以畫一個圓，使點A，C在圓周上，點B在圓外D. 可以畫一個圓，使點A，C在圓周上，點B在圓內72017仙桃如圖K151所示，坐標平面上有A(0，a)，B(9，0)，C(10，0)三點，其中a0，若BAC100，則ABC的外心在()圖K151A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限二、填空題8在聯歡晚會上，有A，B，C三名同學站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩一個游戲要求在他們中間放一個木凳，使他們搶坐到凳子的機會相等，則凳子應放在ABC的三條________線的交點最適當. 9若AB4 cm，則過點A，B且半徑為3 cm的圓有________個10由正方形的四個頂點和它的中心這五個點能確定________個不同的圓11已知一個等邊三角形的外接圓的半徑為1，則圓心到三角形的邊的距離為________12如圖K152，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，分別以點A，C為圓心，以大于AC長為半徑畫弧，兩弧分別交于點E，F，直線EF與AD相交于點O，若OA2，則ABC的外接圓的面積為________圖K152132017寧夏如圖K153，點A，B，C均在66的正方形網格格點上，過點A，B，C的外接圓除經過A，B，C三點外還能經過的格點數為________圖K153三、解答題14某市要承辦一項大型比賽，在市內有三個體育館承接所有比賽，現要修建一個運動員公寓，使得運動員公寓到三個體育館的距離相等，若三個體育館的位置如圖K154所示，那么運動員公寓應建立在何處？請你作出圖形并加以說明圖K15415如圖K155所示，等腰三角形ABC的頂角A120，BC12 cm，求它的外接圓的直徑圖K155162017臨沂如圖K156，BAC的平分線交ABC的外接圓于點D，ABC的平分線交AD于點E.(1)求證：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC外接圓的半徑圖K15617如圖K157，四邊形ABCD為圓內接四邊形，對角線AC，BD交于點E，延長DA，CB交于點F，且CAD60，DCDE.求證：(1)ABAF；(2)點A為BEF的外心(即BEF外接圓的圓心)圖K157素養提升聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫作此三角形的準外心例：已知PAPB，則點P為ABC的準外心(如圖K158)(1)如圖，CD為等邊三角形ABC的邊AB上的高，準外心P在高CD上，且PDAB，求APB的度數；(2)如圖，若ABC為直角三角形，C90，AB13，BC5，準外心P在AC邊上，試求PA的長圖K158參考答案1解析 DO為ABC的外心，A80，BOC2A160.故選D.2解析 B三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點，所以到三個頂點的距離相等3解析 B正確，缺少“不在同一直線上的三點”的條件，任意一個圓有無數個內接三角形4B5.B6解析 DA，B，C是平面上的三點，AB2，BC3，AC5，ABBCAC，可以畫一個圓，使點A，C在圓上，點B在圓內7解析 DB(9，0)，C(10，0)，ABC的外心在直線x上BAC100，ABC的外心在三角形的外部，ABC的外心在第四象限8垂直平分9答案 2解析 這樣的圓能畫2個如圖，作AB的垂直平分線l，再以點A為圓心，3 cm為半徑作圓交l于O1和O2，然后分別以O1和O2為圓心，以3 cm為半徑作圓，則O1和O2為所求圓10511答案 0.5解析 如圖，連接OC.ABC是圓的內接正三角形，OCD30.又ODBC，OC1，ODOC0.5.12答案 4解析 ABAC，AD是BC邊上的中線，AD垂直平分BC.分別以點A，C為圓心，以大于AC長為半徑畫弧，兩弧分別交于點E，F，EF垂直平分AC.直線EF與AD相交于點O，點O為ABC外接圓的圓心，AO為ABC外接圓的半徑，ABC的外接圓的面積為4.13答案 5解析 如圖，分別作AB，AC的中垂線，兩直線的交點為O，以O為圓心、OA長為半徑作圓，則O即為過A，B，C三點的圓由圖可知，O還經過點D，E，F，G，H這5個格點故答案為5.14解：連接AB，AC，分別作AB，AC的垂直平分線MN，FD，交點G即為運動員公寓所建立的位置圖略15解：如圖，過點A作直徑AD，交BC于點E，連接OC.ABAC，AD垂直平分BC，ECBC6 cm.BAC120，OAC60.又OAOC，OAC為等邊三角形，AOC60.在RtOEC中，sinEOC，OC4 (cm)，它的外接圓的直徑為8 cm.16解：(1)證明：BE平分ABC，AD平分BAC，ABECBE，BAECAD，DBCBAE.DBECBEDBC，DEBABEBAE，DBEDEB，DEDB.(2)連接CD，如圖所示由(1)得，CDBD4.BAC90，BC是直徑，BDC90，BC4 ，ABC外接圓的半徑4 2 .17證明：(1)因為DCDE，所以DECACD，則ABFADC120ACD120DEC120(60ADE)60ADE，而F60ACF.因為ACFADE，所以ABFF，所以ABAF.(2)四邊形ABCD內接于O，所以ABDACD.又DEDC，所以ACDDECAEB，所以ABDAEB，所以ABAE.又因為ABAF，所以ABAFAE，即點A是BEF的外心素養提升解：(1)若PBPC，連接PB，則PCBPBC.CD為等邊三角形ABC的高，ADBD，PCB30，PBDPBC30，PDDBAB.與已知PDAB矛盾，PBPC.若PAPC，連接PA，則PCAPAC.CD為等邊三角形ABC的高，ADBD，PCA30，PADPAC30，PDDAAB.與已知PDAB矛盾，PAPC.若PAPB，由PDAB，得PDBD，BPD45，故APB90.(2)若PBPA，設PAx.C90，AB13，BC5，AC12，則CP12x，x2(12x)252，解得x，即PA.若PAPC，則PA6.若PCPB，由圖知，在RtPBC中，不可能存在此種情況綜上所述，PA或PA6