教學課件數學九年級下冊湘教版第2章圓2.3垂徑定理（1）回顧導入1、什么叫軸對稱圖形？2、圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑（過圓心的直線）。1300多年前我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m拱高(弧的中點到弦的距離也叫弓形高)為7.2m求橋拱的半徑(精確到0.1m).如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為E你能發現圖中有那些相等的線段和弧？為什么？CD為O的直徑CDAB條件結論AE=BE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦對的兩條弧。應用垂徑定理的書寫步驟CD是直徑CDABAM=BM是否符合垂徑定理的條件，主要看兩點：一是直徑；二是要與弦垂直。注意幾個基本圖形：(1)、(2)、(3)、(4)在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？例1如圖，已知在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑。解：連結OA由勾股定理得：圓心到弦的距離、半徑、弦的一半構成直角三角形，便將問題轉化為直角三角形的問題。18.7R-7.2R解決“趙州橋”問題：如圖，OA=OC=R，OD=OC-CD=R-7.2AB=18.7AD2+OD2=OA2即：18.72+(R-7.2)2=R2R27.9(m)答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.3、已知：如圖所示，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。求證：AC=BD.AE=BE，CE=DEAE-CE=BE-DEAC=BD4、已知O的半徑為13cm，該圓的弦ABCD，且AB=10cm，CD=24cm，求弦AB和弦CD之間的距離。ABCD在RtOCE中，OE=5cm在RtOAF中，OF=12cmEF=OF-OE=7cm弦AB、CD在圓心兩側時，EF=OE+OF=17cm1半徑為4cm的O中，弦AB=4cm那么圓心O到弦AB的距離是。2O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長是。8cm3半徑為2cm的圓中，過半徑中點且垂直于這條半徑的弦長是。4.弓形的弦長AB為24cm，弓形的高CD為8cm，則這弓形所在圓的半徑為.13cm鞏固練習6、如圖，AB是O的弦，P是AB上一點，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，則O的半徑等于cm。7、已知，M是O內一點，已知過點M的O最長的弦為10cm，最短的弦長為8cm，則OM=_____cm.735、如圖，ACBO，AC=8cm，BA=5cm，則O的半徑為，AC的弦心距為。9、求證：同圓中，兩平行弦所夾得弧相等。8、在直徑為650毫米的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示。若油面寬AB600毫米，求油的最大深度。課堂小結請圍繞以下兩個方面小結本節課：1、從知識上學習了什么？垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦對的兩條弧。2、從方法上學習了什么？（1）垂徑定理是圓中一個重要的結論敘述語言要準確一條直線只要滿足過圓心；垂直于弦；則可得平分弦；平分弦所對的優弧；平分弦所對的劣弧。（2)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形（3）解決有關弦的問題時，經常連結半徑；過圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應用垂徑定理創造條件。第2章圓2.3垂徑定理（2）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。回顧導入探究一、AB是O的一條弦（非直徑），且AM=BM，過點M作直徑CD.你發現圖中有哪些等量關系說說你的想法和理由.CDAB由CD是直徑AM=BMABDC（E）（不是直徑）連接OAOB則OA=OB.OAMOBM.AMO=BMO.CDABO關于直徑CD對稱探究二：AB是O的一條弦且AM=BM。且CDAB于點M，CD與圓心有何位置關系？還有什么結論？為什么？CDAB于MCD是直徑AM=BM根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優弧（5）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論找到本質：1、判斷正誤：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。（4）弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。2.已知A、B、C是O上三點，且AB=AC，圓心O到BC的距離為3厘米，圓的半徑為5厘米，求AB長。3.如圖，已知圓O的直徑AB與弦CD相交于G，AECD于E，BFCD于F，且圓O的半徑為10，CD=16，求AE-BF的長。OD=3OB=5BD=4AD=8解：連結OC，過點O作OMCD于M，則CM=MDCD=16，CM=8，在RtOMC中，因OC=10OM=6AECD，BFCD，OMCD，AEOMBFAE-BF=2OM=124.如圖，某地有一圓弧形拱橋，橋下水面寬為7.2米，拱頂高出水面2.4米。現有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？如圖，將問題轉化為數學問題。AB=7.2，CD=2.4由垂徑定理：AD=3.6HN=1.5設圓弧的半徑OA為r，OD=r-2.4在RtOAD中，由勾股定理，得:r3.9（m）DH=OH-OD=3.6-1.5=2.12此貨船能順利通過這座拱橋.1、判斷：(1)垂直于弦的直線平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧.（）(2)平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧.（）(3)經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（）(4)圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.(5)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.（）2.已知：如圖O中弦ABCDABCD直徑MNAB垂足為E交弦CD于點F.圖中相等的線段有:.圖中相等的劣弧有:.AE=EBCF=FD3、如圖，點P是半徑為5cm的O內一點，且OP=3cm則過P點的弦中，（1）最長的弦=cm（2）最短的弦=cm（3）弦的長度為整數的共有（）A、2條B、3條C、4條D、5條C4、如圖，O的直徑為10，弦AB=8P為AB上的一個動點，那么OP長的取值范圍是。3cmOP5cm5、如圖，點A、B是O上兩點，AB=8點P是O上的動點（P與A、B不重合）連接AP、BP過點O分別作OEAP于EOFBP于F，EF=。41086、已知O的半徑為5cm，弦AB的長為8cm，求此弦的中點到這條弦所對的弧的中點的距離。8、如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的長。DE=2cm8cmAPC=COF=60由條件：DC=12，OC=6，OE=OC-EC=3CEB=30=FEOOF=1.59.如圖圓O與矩形ABCD交于E、F、G、HEF=10，HG=6，AH=4，求BE的長.10、如圖，在O中，AB為O的弦，C、D是直線AB上兩點，且ACBD求證：OCD為等腰三角形。11、已知：AB是O直徑，CD是弦，AECD，BFCD，求證：ECDFBE=2作OECD，AE=BEACBDCE=BEOCEODE.OC=OD作OMCD，AECD，BFCDAEOMBFOA=OB，EM=MFCM=MD，EC=DF1、垂徑定理及推論：對于一個圓和一條直線來說，如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優弧（5）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論2、垂徑定理及其推論和勾股定理相結合，方程的思想來解決問題。drh對于一個圓中的弦長a、圓心到弦的距離d、圓半徑r、弓形高h，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外兩個量，如圖有：（1）r=d+h