4.1.1 變量與函數教學目標知識與技能：借助簡單實例，學生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡單的數學問題，能指出具體問題中的常量、變量。初步理解存在一類變量可以用函數方式來刻畫，能舉出涉及兩個變量的實例，并指出由哪一個變量確定另一個變量，這兩個變量是否具有函數關系。初步理解對應的思想，體會函數概念的核心是兩個變量之間的特殊對應關系，能判斷兩個變量間是否具有函數關系。過程與方法：借助簡單實例，引領學生參與變量的發現和函數概念的形成過程,體會從生活實例抽象出數學知識的方法，感知現實世界中變量之間聯系的復雜性，數學研究從最簡單的情形入手，化繁為簡。情感態度與價值觀：從學生熟悉、感興趣的實例引入課題，引領學生參與變量的發現和函數概念的形成過程,體驗“發現、創造”數學知識的樂趣。學生初步感知實際生活蘊藏著豐富的數學知識，感知數學是有用、有趣的學科。重點: 借助簡單實例，從兩個變量間的特殊對應關系抽象出函數的概念難點: 怎樣理解“唯一對應”教學過程：1、 創設情境、導入新課我們生活在一個運動的世界中，周圍的事物都是運動的。例如，地球在宇宙中的運動這一問題，此時地球在宇宙中的位置隨著時間的變化而變化，這是生活中的常識，學生都很容易理解。再例如，氣溫隨著高度的升高而降低，年齡隨著時間的增長而增長。這幾個問題中都涉及兩個量的關系，地球的位置與時間，溫度與高度，年齡與時間。二、合作交流、解讀探究1、氣溫問題：下圖是北京春季某一天的氣溫隨時間t變化的圖象，看圖回答：（1）這天的8時的氣溫是 ，14時的氣溫是 ，最高氣溫是 ，最低氣溫是 。（2）這一天中，在4時12時，氣溫（ ），在16時24時，氣溫（ ）。A.持續升高 B.持續降低 C.持續不變思考：（1）氣溫隨 的變化而變化，即T隨 的變化而變化。（2）當時間t取定一個確定的值時，對應的溫度T的取值是否唯一確定？2、當正方形的邊長x分別取1、2、3、4、5、6、7，時，正方形的面積S分別是多少？3、某城市居民用的天然氣，1m3收費2.88元，使用xm3天然氣應繳納費用y=2.88x ,當x=10時，繳納的費用為多少？思考：上述三個問題，分別涉及哪些量的關系？哪些量是變化的？哪些量是不變的？哪個量的變化導致另一個量的變化而變化？在一個問題中，當一個量取了確定的值之后，另一個量對應的能取幾個值？在上面的三個問題中，其中一個量的變化引起另一個量的變化（按照某種規律變化），變化的量叫作變量；有些量的值始終不變（如正方形的面積）。并且當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就隨之確定，且它的對應值只有一個。教師根據學生的回答，在黑板上板書：時間氣溫正方形的邊長正方形的面積天然氣的費用天然氣的體積學生們會得出：師生對上述三個問題進行分析，找出它們的共性，歸納出函數的概念。在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y總有唯一的值與它對應，我們就說x是自變量，y是x的函數。三、應用遷移、鞏固提高例1 已知圓柱的高是4cm，底面半徑長是rcm，當圓柱的底面半徑長r由小變大時，圓柱的體積Vcm3是r的函數。（1）用含r的代數式表示圓柱的體積V，指出自變量r的取值范圍；（2）當r=5,10時，V是多少（結果保留）？（3）r的變化會引起圓柱中哪些量發生變化？這些變量是半徑長r的函數嗎？（4）試求體積V隨r變化的關系式，并指出其中的常量、變量與自變量。課堂練習1. 請同學們找出這些函數的常量、變量、自變量和函數：(1) y =3000-300x； (2) y=x； (3) S=。 解：(1)常量是3000，-300；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數。(2) 常量是1；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數。(3)常量是；變量是r，S；自變量是r；S是r的函數。2. 根據所給的條件，寫出y與x的函數關系式： y 比 x的少2。 y是x的倒數的4倍。 矩形的周長是18 cm ,它的長是ycm，寬是x cm。 等腰三角形的頂角度數y與底角x的關系。四、全課小結1這一節課你有什么收獲？還有什么疑問？你可以編一道題考一考同學，也可以向同學請教。2函數是一種“數”嗎？5、 作業：教材習題4.1A組 1題課后反思：4.1.2 函數的表示法教學目標:知識與技能：1.了解函數的三種表示法：(1)公式法；(2)列表法；(3)圖象法。2.進一步理解函數值的概念。3.會在簡單情況下，根據函數的表達式求函數的值。過程與方法：1. 經歷回顧思考，訓練提高歸納總結能力。 2. 利用數形結合思想，根據具體情況選用適當方法解決問題的能力。情感態度與價值觀：積極參與活動，提高學習興趣。重點: 認清函數的不同表示方法，知道各自的優缺點，能按具體情況選用適當的方法。難點: 函數表示方法的應用教學過程：一、創設情境問題1 小明的哥哥是一名大學生，他利用暑假去一家公司打工，報酬按16元時計算。設小明的哥哥這個月工作的時間為時，應得的報酬為元，填寫下表后回答下列問題：工作時間/時15101520報酬/元（1）在上述問題中，哪些是常量？哪些是變量？（常量16，變量、）（2）能用的代數式來表示的值嗎？（能，=16）教師指出：在這個變化過程中，有兩個變量，對的每一個確定的值，都有唯一確定的值與它對應。問題2 跳遠運動員按一定的起跳姿勢，其跳遠的距離(米)與助跑的速度(米秒)有關。根據經驗，跳遠的距離(010.5)， 然后回答下列問題：（1） 在上述問題中，哪些是常量？哪些是變量？（常量0.085，變量、） （2）計算當分別為7.5，8，8.5時，相應的跳遠距離是多少(結果保留3位小數)? (3)給定一個的值，你能求出相應的的值嗎?教師指出：在這個變化過程中，有兩個變量，對的每一個確定的值，都有唯一確定的值與它對應。二、探究新知函數的表示法：公式法：在問題1、2中，=16和這兩個函數用等式來表示，這種表示函數關系的等式，叫作函數的表達式，簡稱函數式。用函數表達式表示函數的方法也叫公式法。列表法：有時把自變量的一系列值和函數的對應值列成一個表。這種表示函數關系的方法是列表法。圖象法: 我們還可以用圖象法來表示函數。教師指出：（1）公式法、列表法、圖象法是表示函數的三種方法，都很重要。尤其是列表法、圖象法在今后代數、統計領域的學習中經常用到，教學中應引起學生的重視。（2）對于列表法，圖象法，如何表示兩個變量之間的函數關系，學生可能不太容易理解，教學中可以用課本表和圖來具體說明它們表示兩個變量之間的函數關系的方法。（3）函數值概念：與自變量對應的值叫作函數值，它與自變量的取值有關，通常函數值隨著自變量的變化而變化。若函數用公式法表示，只需把自變量的值代入函數式，就能得到相應的函數值。例如，函數=16，當=5時，把它代入函數解析式，得=165=80。=80叫作當自變量=5時的函數值。由于函數值的概念是由函數的概念派生出來，用列表法、圖象法表示函數時同樣存在函數值的概念，教學中也可以增加一些具體例子，來加深學生的印象。若函數用列表法表示。我們可以通過查表得到。例如，在正方形面積與邊長的函數關系中，當x=2時，函數值S=4；當x=6時，函數值S=36。若函數用圖象法表示。例如，在騎車時熱量消耗(焦)與身體質量(千克)之間的函數關系中，對給定的自變量的值，怎樣求它的函數值呢？如x=50，我們只要作一直線垂直于x軸，且垂足為點(50，0)，這條直線與圖象的交點P(50，399)的縱坐標就是當函數x=50時的函數值，即W=399(焦)。學生看書自學動腦筋和例2內容并完成練習。三、應用遷移、鞏固提高例1 等腰三角形ABC的周長為20，底邊BC長為，腰AB長為，求：（1） 關于的函數解析式；（2） 當腰長AB=7時，底邊的長；（3）當=11和=4時，函數值是多少？解：（1）=20-2；（2）當腰長AB=7，即=7時，=6，所以底邊長為6；（3）當=11和=4時，函數值不再有意義。說明（1）第1問中的函數解析式不能寫成的形式，一定要把寫成關于的代數式，（2）在實際問題中，自變量的取值范圍往往受到條件的限制，此題自變量的取值范圍是510,具體的求法本節課不作介紹，放到下一節課中去完成，當=11和=4時，盡管可求出它對應的值，但自變量的值都不在相應的取值范圍內，因此當=11和=4時，函數值不再有意義。例2 某城市自來水收費實行階梯水價，收費標準如下表:月用水量x/噸0x1212x18x18收費標準y/ （元/噸）4.004.505.00（1）y是x的函數嗎？為什么？（2）分別求當x=10,16,20時的函數值，并說明它的實際意義。解：（1）是，根據函數的概念，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值；（2） 當x=10時，y=410=40。月用水量10噸度需繳水費40元；當x=16時，y=412+44.50=66。月用水量16噸需繳水費66元；當x=20時，y=412+64.50+25=85。月用水量45噸需繳水費85元。說明 本例安排的目的有兩個：是讓學生進一步鞏固函數的概念；讓學生體會當函數用列表法給出時函數值的求法。本例教學時教師應向學生解釋“收費實行階梯水價”的含義，即月用水量不超過12噸時每噸4.00元，超過12噸不超過18噸時每4.50元，超過18噸時每噸5.00元，如月用水量為38噸時，應繳水費y =412+64.5+520=175（元）。四、課堂小結：1、我們認識了函數的三種不同的表示方法：(1)公式法；(2)列表法；(3)圖象法。并歸納總結出三種表示方法的優缺點，學會根據實際情況和具體要求選擇適當的表示方法來解決相關問題，進一步知道了函數三種不同表示方法之間可以轉化。其實函數圖象與函數性質之間存在著必然聯系，我們可以歸納如下：圖象特征 函數變化規律由左至右曲線呈上升狀態y隨x的增大而增大由左至右曲線呈下降狀態y隨x的增大而減小曲線上的最高點是（a，b）x=a時，y有最大值b曲線上的最低點是（a，b）x=a時，y有最小值b2、能夠分析圖象信息，解答有關問題。通過例題學會了用描點法畫出函數圖象，這樣我們又一次利用了數形結合的思想。五、作業 課本習題4.1第2、3、4、5、6、7題課后反思