y 15x 2 1 4 - x c ab a bc 3 x 3 - x x - 4 5xy y a m - n m + n 15x 2 abc x（x + 2） x 2 + 4 MULU 目 錄 第一章 因式分解 1 因式分解 2 提公因式法 3 公式法 回顧與思考 復習題 第二章 分式與分式方程 1 認識分式 2 分式的乘除法 3 分式的加減法 4 分式方程 回顧與思考 復習題 2 5 9 16 16 因式分解號因式分解號整式乘法號整式乘法號 a 2 + 2ab ab + b b 2 =（ a （a + b） b） 2 a 2 - 2ab ab + b b 2 =（ a （a - b） b） 2 （ a （a + b） b） 2 = a 2 + 2ab ab + b b 2 （ a （a - b） b） 2 = a 2 - 2ab ab + b b 2 20 25 29 37 44 44 48 54 57 62 70 71 第三章 數據的分析 1 平均數 2 中位數與眾數 3 從統計圖分析數據的集中趨勢 4 數據的離散程度 回顧與思考 復習題 78 91 100 106 113 113 第五章 平行四邊形 1 平行四邊形的性質 2 平行四邊形的判定 3 三角形的中位線 4 多邊形的內角和與外角和 回顧與思考 復習題 綜合與實踐 平面圖形的鑲嵌 總復習題 120 127 137 143 148 149 153 158 綜合與實踐 哪個城市夏天更熱 75 第四章 圖形的平移與旋轉 1 圖形的平移 2 圖形的旋轉 3 中心對稱 4 圖形變化的簡單應用 回顧與思考 復習題 1 因式分解 1 第一章 因式分解 你能把 99 3 -99 化成幾個整數的乘積的形式嗎？類似地，你能把 a 3 -a 化 成幾個整式的乘積的形式嗎？ 本章將研究如何把一個多項式分解成若干個整式的乘積的形式，你將體會 到這一過程與整式乘法運算的聯系. 學習目標 體會因式分解的意義 能運用提公因式法和公式法進行因式分解，發展運算能力 體會因式分解與整式乘法之間的聯系與區別 因式分解號 整式乘法號 a 2 + 2 ab + b 2 = （a + b ） 2 a 2 - 2 ab + b 2 = （a - b ） 2 （a + b） 2 =a 2 + 2ab + b 2 （a - b） 2 =a 2 - 2ab + b 2 2 第一章 因式分解 1 因式分解 99 3 -99 能被 100 整除嗎？你是怎樣想的？與同伴進行交流. 小明是這樣做的： 99 3 -99 =99 99 2 -99 1 =99（99 2 -1） =99 （99 -1）（99 + 1） =98 99 100. 所以，99 3 -99 能被 100 整除. 在這里，解決問題的關鍵是把算式 99 3 - 99 化成了幾個數的積的形式. 99 3 -99 還能被 哪些正整數整除？ 你能嘗試把 a 3 -a 化成幾個整式的乘積的形式嗎？與同伴進行交流. 做一做 觀察下面的拼圖過程，寫出相應的關系式. 議一議 a + b + c （1） _________________________________=________________________________ . m m m m b a c 1 因式分解 3 _________________________________=________________________________ . 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做 因式分解 （ factorization） . 例如，a 3 -a=a（ a+1）（ a-1）， am+bm+cm=m（ a+ b +c），x 2 +2x+1= （x +1） 2 都是因式分解. 因式分解也可稱為分解因式. 做一做 做一做 計算下列各式： （1）3x（x -1） =___________； （2）m（a +b-1） =___________； （3）（ m+4）（ m-4） =___________；（4）（ y-3） 2 =___________. 根據上面的算式填空： （1）3x 2 -3x= （ ）（ ）； （2）ma +mb-m= （ ）（ ）； （3）m 2 -16= （ ）（ ）； （4）y 2 -6y+9= （ ）（ ） . 舉例說明因式分解與整式乘法之間的關系. 隨堂練習 1. 連一連： （2） 111 x x +1 x + 1 x x x 1 x 2 -y 2 （x +1） 2 9-25x 2 y（x -y） x 2 +2x+1 （3 -5x）（ 3+5x） xy-y 2 （x +y）（ x-y） 4 第一章 因式分解 2. 下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？為什么？ （1）（ a+3）（ a-3） =a 2 -9； （2）m 2 -4= （m +2）（ m-2）； （3）a 2 -b 2 +1= （a +b）（ a-b） +1；（4）2mR +2mr=2m（R +r） . 習題1.1 知識技能 數學理解 1. 連一連： 5.（1）1 999 2 + 1 999 能被 1 999 整除嗎？能被 2 000 整除嗎？ （2）16.9 1 8 + 15.1 1 8 能被 4 整除嗎？ 2. 下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？ （1）a（x + y）= ax + ay； （2）10 x 2 - 5x = 5x（2x - 1）； （3）y 2 - 4y + 4 =（y - 2） 2 ； （4）t 2 - 16 + 3t =（t + 4）（t - 4） + 3t. 3. 求代數式 IR 1 + IR 2 + IR 3 的值，其中 R 1 = 16.2，R 2 = 32.4，R 3 = 35.4，I = 2.5. 4. 將下列四個圖形，拼成一個大長方形，再據此寫出一個多項式的因式分解. x x1 1 （第 4 題） 問題解決 x 2 + 4x + 4 （x + 2）（x - 2） x 2 - 2x + 1 （x - 1）（x + 1） 4x 2 - 1 （x - 1） 2 x 2 - 1 （x + 2） 2 x 2 - 4 （2x - 1）（2x + 1） x x 2 2 2 提公因式法 5 議一議 （1）多項式 2x 2 +6x 3 中各項的公因式是什么？ （2）你能嘗試將多項式 2x 2 +6x 3 因式分解嗎？與同伴進行交流. 如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從 而將多項式化成兩個因式乘積的形式. 這種因式分解的方法叫做提公因式法. 例1 把下列各式因式分解： （1）3x +x 3 ； （2）7x 3 -21x 2 ； （3）8a 3 b 2 -12ab 3 c+ab. 解： （1）3x +x 3 =x3 +xx 2 =x（3 +x 2 ）； （2）7x 3 -21x 2 =7x 2 x -7x 2 3 =7x 2 （x -3）； （3）8a 3 b 2 -12ab 3 c+ab=ab8a 2 b-ab12b 2 c+ab1 =ab（8a 2 b-12b 2 c+1） . 2 提公因式法 多項式 ab+bc 各項都含有相同的因式嗎？多項式 3x 2 +x 呢？多項式 mb 2 + nb-b 呢？嘗試將這幾個多項式分別寫成幾個因式的乘積，并與同伴交流 . 多項式 ab+bc 的各項都含有相同的因式 b. 我們把多項式各項都含有的 相同因式，叫做這個多項式各項的公因式（ common factor） . 如 b 就是多項式 ab+bc 各項的公因式. 6 第一章 因式分解 想一想 （1）提公因式法因式分解與單項式乘多項式有什么關系？ （2）如何確定多項式各項的公因式？ 隨堂練習 把下列各式因式分解： （1）ma +mb； （2）5y 3 +20y 2 ； （3）6x -9xy； （4）a 2 b-5ab； （5）4m 3 -6m 2 ； （6）a 2 b-5ab+9b； （7）3a 2 y-3ay+6ay 2 ； （8）10a 2 x-15a 2 y+5a 2 . 習題1.2 知識技能 1. 把下列各式因式分解： （1）2x 2 -4x； （2）8m 2 n+2mn； （3）a 2 x 2 y-axy 2 ； （4）3x 3 -3x 2 -9x； （5）12a 2 b-9ab 2 -15a 2 b 2 ； （6）2a 2 b 2 c 3 -4ab 2 c 3 +6a 2 bc 3 ； （7）56ax 2 y+14ax 2 y 2 -21a 2 xy 2 ； （8）15x 3 y 3 +5x 2 y 2 -20 x 2 y 3 . 2. （1）利用因式分解進行計算： mR 1 2 +mR 2 2 +mR 3 2 ，其中R 1 =20，R 2 =16，R 3 =12，m =3.14； （2）求 xz -yz 的值，其中 x =17.8，y =28.8，z = 7 11 ； （3）已知 ab =7，a +b=6，求多項式 a 2 b+ab 2 的值. 數學理解 3. 下列因式分解是否正確？為什么？ （1）2n 2 -nm-n=2n（n -m-1）； （2） -ab 2 +2ab-3b=-b（ab -2a-3）； （3）x（x -y） -y（x -y） =（x -y） 2 ； （4）a 2 -a-2=a（a -1） -2. 2 提公因式法 7 問題解決 4. 利用簡便方法計算： （1）121 0.13+12.1 0.9-12 1.21； （2）2.34 13.2+0.66 13.2-26.4. 做一做 例2 把下列各式因式分解： （1）a（x -3） +2b（x -3）； （2）y（x +1） +y 2 （x +1） 2 . 解： （1）a（x -3） +2b（x -3） =（x -3）（ a+2b）； （2）y（x +1） +y 2 （x +1） 2 =y（x +1） +y（x +1） =y（x +1）（ xy+y+1） . 請在下列各式等號右邊的括號前填入“ +”或“ -”，使等式成立： （1）2 -a=________（a -2）； （2）y -x=________（x -y）； （3）b +a=________（a +b）； （4）（ b-a） 2 =________（a -b） 2 ； （5） -m-n=________（m +n）； （6） -s 2 +t 2 =________（s 2 -t 2 ） . 你發現了什么規律？與同伴進行交流. 例3 把 -4m 3 +12m 2 -6m 因式分解. 解： -4m 3 +12m 2 -6m =-（4m 3 -12m 2 +6m） =-（2m2m 2 -2m6m +2m3） =-2m（2m 2 -6m+3） . 當 多 項 式 第 一 項 的 系 數是負數時，通常先提出 “ -”號，使括號內第一 項的系數成為正數 . 在提出 “ -”號時，多項式的各項 都要變號. 8 第一章 因式分解 例4 把下列各式因式分解： （1）a（x -y） +b（y -x）； （2）6（m -n） 3 -12（n -m） 2 . 解： （1）a（x -y） +b（y -x） =a（x -y） -b（x -y） =（x -y）（ a-b）； （2）6（m -n） 3 -12（n -m） 2 =6（m -n） 3 -12（m -n） 2 =6（m -n） 2 （m -n-2） . 隨堂練習 把下列各式因式分解： （1）x（a +b） +y（a +b）； （2）3a（x -y） -（x -y）； （3） -a 2 +ab-ac； （4） -2x 3 +4x 2 +2x； （5）6（p +q） 2 -12（q +p）； （6）a（m -2） +b（2 -m）； （7）2（y -x） 2 +3（x -y）； （8）mn（m -n） -m（n -m） 2 . 習題1.3 知識技能 1. 把下列各式因式分解： （1） -24x 3 +12x 2 -28x； （2） -4a 3 b 3 +6a 2 b-2ab； （3） -2x 2 -12xy 2 +8xy 3 ； （4） -3a 3 m+6a 2 m-12am. 2. 把下列各式因式分解： （1）7（a -1） +x（a -1）； （2）3（a -b） 2 +6（b -a）； （3）2（m -n） 2 -m（m -n）； （4）x（x -y） 2 -y（y -x） 2 ； （5）m（a 2 +b 2 ） +n（a 2 +b 2 ）； （6）（ 2a+b）（ 2a-3b） -3a（ 2a+b）； （7）18（a -b） 3 -12b（b -a） 2 ； （8）x（x +y）（ x-y） -x（x +y） 2 . 3. 先因式分解，再計算求值： （1）4x（m -2） -3x（m -2），其中 x =1.5，m =6； （2）（ a-2） 2 -6（2 -a），其中 a =-2. 3 公式法 9 3 公式法 觀察多項式 x 2 -25， 9x 2 -y 2 ，它們有什么共同特征？嘗試將它們分別寫 成兩個因式的乘積，并與同伴進行交流. 事實上，把乘法公式（a +b）（ a-b） =a 2 -b 2 反過來，就得到 a 2 -b 2 = （a +b）（ a-b） . 問題解決 4. 某大學有三塊草坪，第一塊草坪的面積為（ a+b） 2 m 2 ，第二塊草坪的面積 為 a（ a+b） m 2 ，第三塊草坪的面積為 b（ a+b） m 2 ，求這三塊草坪的總面積. 5. 已知實數 a，b 滿足 ab =3，a -b=2，求代數式 - 2 3 a 4 b 3 + 2 3 a 3 b 4 的值. 例1 把下列各式因式分解： （1）25 -16x 2 ； （2）9a 2 - 1 4 b 2 . 解： （1）25 -16x 2 =5 2 - （4x） 2 = （5 +4x）（ 5-4x）； （2）9a 2 - 1 4 b 2 = （3a） 2 - （ 1 2 b） 2 = （3a + 1 2 b）（ 3a- 1 2 b） . 例2 把下列各式因式分解： （1）9（m +n） 2 - （m -n） 2 ； （2）2x 3 -8x. 解： （1）9（m +n） 2 - （m -n） 2 =3（m +n） 2 - （m -n） 2 =3（m +n） +（m -n）3（m +n） -（m -n） 10 第一章 因式分解 =（3m +3n+m-n）（ 3m+3n-m+n） =（4m +2n）（ 2m+4n） =4（2m +n）（ m+2n）； （2）2x 3 -8x=2x（x 2 -4） =2x（x 2 -2 2 ） =2x（x +2）（ x-2） . 當多項式的各項含有公 因式時，通常先提出這個公因 式，再進一步因式分解. 隨堂練習 1. 判斷正誤： （1）x 2 +y 2 = （x +y）（ x+y）； （ ） （2）x 2 -y 2 = （x +y）（ x-y）； （ ） （3） -x 2 +y 2 = （ -x+y）（ -x-y）； （ ） （4） -x 2 -y 2 =-（x +y）（ x-y） . （ ） 2. 把下列各式因式分解： （1）a 2 b 2 -m 2 ； （2）（ m-a） 2 -（n +b） 2 ； （3）a 2 - （a +b-c） 2 ； （4） -16x 4 +81y 4 . 3. 如圖，在一塊邊長為 a cm 的正方形紙片的四角，各剪 去一個邊長為 b cm 的正方形，求剩余部分的面積 . 如 果 a =3.6，b =0.8 呢？ 習題1.4 知識技能 1. 把下列各式因式分解： （1）a 2 -81； （2）36 -x 2 ； （3）1 -16b 2 ； （4）m 2 -9n 2 ； （5）0.25q 2 -121p 2 ； （6）169x 2 -4y 2 ； （7）9a 2 p 2 -b 2 q 2 ； （8） 49 4 a 2 -x 2 y 2 . a b （第 3 題） 3 公式法 11 形如 a 2 2ab+b 2 的 式子稱為完全平方式. 問題解決 3. 如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是 R cm 和 r cm，求它們所圍成的環形的面積 . 如果 R=8.45，r =3.45 呢？（ 取 3.14） 把乘法公式（a +b） 2 =a 2 +2ab+b 2 ，（a -b） 2 =a 2 -2ab+b 2 反過來， 就得到 a 2 +2ab+b 2 = （a +b） 2 ，a 2 -2ab+b 2 = （a -b） 2 . 由因式分解與整式乘法的關系可以看出， 如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某 些多項式因式分解 . 通常我們把運用乘法公式 進行因式分解的方法叫做公式法. r R （第 3 題） 2. 把下列各式因式分解： （1）（ m+n） 2 -n 2 ； （2）49（a -b） 2 -16（a +b） 2 ； （3）（ 2x+y） 2 - （x +2y） 2 ； （4）（ x 2 +y 2 ） 2 -x 2 y 2 ； （5）3ax 2 -3ay 4 ； （6）p 4 -1. 例3 把下列完全平方式因式分解： （1）x 2 +14x+49； （2）（ m+n） 2 -6（m +n） +9. 解： （1）x 2 +14x+49=x 2 +2 7x+7 2 = （x +7） 2 ； （2）（ m+n） 2 -6（m +n） +9= （m +n） -3 2 = （m +n-3） 2 . 例4 把下列各式因式分解： （1）3ax 2 +6axy+3ay 2 ； （2） -x 2 -4y 2 +4xy. 12 第一章 因式分解 隨堂練習 1. 下列多項式中，哪幾個是完全平方式？請把是完全平方式的多項式因式分解： （1）x 2 -x+ 1 4 ； （2）9a 2 b 2 -3ab+1； （3） 1 4 m 2 +3mn+9n 2 ； （4）x 6 -10 x 3 -25. 2. 把下列各式因式分解： （1）x 2 -12xy+36y 2 ； （2）16a 4 +24a 2 b 2 +9b 4 ； （3） -2xy-x 2 -y 2 ； （4）4 -12（x -y） +9（x -y） 2 . 讀一讀 智慧數 如果一個正整數能表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”. 例如，16 =5 2 -3 2 ，16 就是一個智慧數. 在正整數中，從 1 開始，第 2 012 個智慧數是 哪個數？ 小穎的方法是一個一個找出來： 3=2 2 -1 2 ，5 =3 2 -2 2 ，7 =4 2 -3 2 ， 8=3 2 -1 2 ，9 =5 2 -4 2 ，11 =6 2 -5 2 ， 小明認為小穎的方法太麻煩. 他想到： 設 k 是正整數，由于 （k +1） 2 -k 2 =（k +1+k）（k+1-k）=2k+1， 所以，除 1 外，所有的奇數都是智慧數. 解： （1）3ax 2 +6axy+3ay 2 =3a（x 2 +2xy+y 2 ） =3a（x +y） 2 ； （2） -x 2 -4y 2 +4xy=-（x 2 +4y 2 -4xy） =-（x 2 -4xy+4y 2 ） =-x 2 -2x2y + （2y） 2 =-（x -2y） 2 . 3 公式法 13 又因為（k +1） 2 -（k -1） 2 =（k +1+k-1）（k+1-k+1）=4k， 所以，除 4 外，所有能被 4 整除的偶數都是智慧數. 還剩什么數沒搞清楚呢？還剩被 4 除余 2 的數. 試一下，2，6，10 都不是智慧數. 能否下結論：被 4 除余 2 的正整數都不是智慧 數？不行！特殊不能代替一般. 那怎么辦呢？小明“卡殼”了！ 小亮認為，如果 4k +2 是智慧數，那么必有兩個正整數 m 和 n，使得 4k+2=m 2 -n 2 ， 即 2（2k +1）=（m +n）（m-n）. （ * ） 因為 m+n 和 m-n 這兩個數的奇偶性相同，所以（ * ）式右邊要么是 4 的倍數， 要么是奇數，而左邊一定是偶數，但一定不是 4 的倍數，可見左、右兩邊不相等. 所以 4k+2 不是智慧數，即被 4 除余 2 的正整數都不是智慧數. 至此，問題就比較清楚了，把從 1 開始的正整數依次每 4 個分成一組，除第一組 有 1 個智慧數外，其余各組都有 3 個智慧數，而且每組中第二個不是智慧數. 有了這些結論，再找第 2 012 個智慧數就容易多了！同學們，你們知道這個智慧 數是多少嗎？ 習題1.5 知識技能 1. 把下列各式因式分解： （1）x 2 y 2 -2xy+1； （2）9 -12t+4t 2 ； （3）y 2 +y+ 1 4 ； （4）25m 2 -80m+64； （5） x 2 4 +xy+y 2 ； （6）a 2 b 2 -4ab+4. 2. 把下列各式因式分解： （1）（ x+y） 2 +6（x +y） +9； （2）a 2 -2a（b +c） +（b +c） 2 ； （3）4xy 2 -4x 2 y-y 3 ； （4） -a+2a 2 -a 3 . 14 第一章 因式分解 數學理解 問題解決 3. 已知多項式 x 2 +1 與一個單項式的和是一個整式的完全平方，請你找出一個滿 足條件的單項式. 4. 兩個連續奇數的平方差能被 8 整除嗎？為什么？ 想一想 多項式 x（x +6） +9 能因式分解嗎？與同伴進行交流. 例5 把 y（y +4） -4（y +1）因式分解. 解：y（y +4） -4（y +1） =y 2 +4y-4y-4 =y 2 -4 =（y +2）（ y-2） . 例6 把（x 2 +1） 2 -4x 2 因式分解. 解： （x 2 +1） 2 -4x 2 =（x 2 +1） 2 - （2x） 2 =（x 2 +2x+1）（ x 2 -2x+1） =（x +1） 2 （x -1） 2 . 議一議 多項式因式分解的一般步驟是什么？與同伴進行交流. 3 公式法 15 1. 把下列各式因式分解： （1）a（a -2） +1； （2）m（m +9） -9（m +1）； （3）x（4 -x） -4. 2. 把下列各式因式分解： （1）x 4 -2x 2 +1； （2）（ y 2 +9） 2 -36y 2 ； （3）2（x 2 - 1 2 ） -x 4 . 隨堂練習 讀一讀 可化為 x 2 +（ a+b） x+ab型的二次三項式的因式分解 利用多項式的乘法法則，可以得到 （x +a）（x+b）=x 2 +（a +b）x +ab. 反過來，則有 x 2 +（a +b）x +ab=（x +a）（x+b）. 這就是說，對一個二次項系數為 1 的二次三項式 x 2 +mx+n，如果能夠把常數 項 n 分解成兩個因數 a，b 的積，并且 a 與 b 的和恰好等于一次項的系數 m，那么，這 個二次三項式就可以分解成（x +a）（x+b）的積，即 x 2 +mx+n=（x +a）（x+b）， 其中，ab =n，a +b=m. 例 把二次三項式 x 2 -4x-12 因式分解. 分析：常數項- 12 可以分解為： -12=1 （-12）=（-1） 12 =2 （-6）=（-2） 6 =3 （-4）=（-3） 4， 其中，恰有 2 +（-6）=-4. 解： x 2 -4x-12 =（x +2）x +（-6） =（x +2）（x-6）. 利用上述方法，可以將部分特殊的二次三項式便捷地解出來. 同學們可以仿照上 述方法將二次三項式 x 2 +2x-15 因式分解. 16 第一章 因式分解 回顧與思考 1. 舉例說明什么是因式分解. 2. 因式分解與整式乘法有什么關系？ 3. 因式分解常用的方法有哪些？ 4. 用適當的方式梳理本章的知識，并與同伴進行交流. 復習題 知識技能 1. 把下列各式因式分解： （1）7x 2 -63； （2）a 3 -a； （3）3a 2 -3b 2 ； （4）y 2 -9（x +y） 2 ； （5）a（x -y） -b（y -x） +c（x -y）； （6）x（m +n） -y（n +m） +（m +n）； 習題1.6 知識技能 1. 把下列各式因式分解： （1）（ x+1） 2 -4x； （2）（ m+n） 3 -4（m +n）； （3）（ x+1）（ x-1） -3； （4）（ x+2）（ x+3） + 1 4 . 2. 把下列各式因式分解： （1）x 4 -8x 2 y 2 +16y 4 ； （2）（ b 2 +c 2 ） 2 -4b 2 c 2 ； （3）（ x 2 -2） 2 -4； （4）x 4 -18x 2 +81. 復習題 17 （7）（ x+y） 2 -16（x -y） 2 ； （8）a 2 （a -b） 2 -b 2 （a +b） 2 ； （9）（ x+y+z） 2 - （x -y-z） 2 ； （10）（ x+y） 2 -14（x +y） +49. 2. 把下列各式因式分解： （1）a 2 b 2 -0.01； （2）x 2 y-2xy 2 +y 3 ； （3）16 - （2a +3b） 2 ； （4）（ a 2 +4） 2 -16a 2 ； （5）x 2 -xy+ 1 4 y 2 ； （6）a 2 x 2 +16ax+64； （7）a 4 -8a 2 b 2 +16b 4 ； （8）9a 2 -6a（a +b） +（a +b） 2 . 3. 先因式分解，然后計算求值： （1）9x 2 +12xy+4y 2 ，其中 x = 4 3 ，y =- 1 2 ； （2）（ a + b 2 ） 2 - （ a - b 2 ） 2 ，其中 a =- 1 8 ，b =2. 4. 把下列各式因式分解： （1）2x 2 +2x+ 1 2 ； （2）（ x+1）（ x+2） + 1 4 . 問題解決 數學理解 7. 利用因式分解計算： （1）2 2 014 -2 2 013 ； （2）（ -2） 101 + （ -2） 100 . 8. 如圖，在半徑為 R 的圓形鋼板上，沖去半徑為 r 的四個小圓，利用因式分解計算當 R=7.8 cm，r =1.1 cm 時剩余部分的面積（ 取 3.14） . （第 8 題） 5. 利用因式分解說明：25 7 -5 12 能被 120 整除. 6. 已知 x + y = 1，求 1 2 x 2 + xy + 1 2 y 2 的值. l dD （第 9 題） 18 第一章 因式分解 9. 如圖，某農場修建一座小型水庫，需要一種空心混凝土管道，它的規格是內徑 d=45 cm，外徑 D =75 cm，長 l =300 cm. 利用因式分解計算澆制一節這樣的管 道約需要多少立方米的混凝土（ 取 3.14，結果精確到 0.01 m 3 ） . 10. 已知正方形的面積是 9x 2 +6xy+y 2 （x 0，y 0），利用因式分解寫出表示該正 方形的邊長的代數式. 11. 當 x 取何值時，多項式 x 2 +2x+1 取得最小值？ 12. 正方形的周長比正方形的周長長 96 cm，它們的面積相差 960 cm 2 . 求這兩個 正方形的邊長. 聯系拓廣 13. 當 k 取何值時，100 x 2 -kxy+49y 2 是一個完全平方式？ 14. 計算下列各式： （1）1 - 1 2 2 =_________； （2）（ 1- 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ） =_________； （3）（ 1- 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ）（ 1- 1 4 2 ） =_________. 你能根據所學知識找到計算上面算式的簡便方法嗎？請你利用你找到的簡便方法 計算下式： （1 - 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ）（ 1- 1 4 2 ）（1 - 1 9 2 ）（ 1- 1 10 2 ）（1 - 1 n 2 ） . 15. 2 48 -1 可以被 60 和 70 之間的某兩個數整除，求這兩個數. 1 認識分式 19 第二章 分式與分式方程 y 15x 2 1 4 - x c ab a bc 3 x 3 - x x - 4 5xy y a m - n m + n 15x 2 abc x（x + 2） x 2 + 4 學習目標 了解分式的概念，探索分式的基本性質 能進行分式的四則運算，發展運算能力 會解可化為一元一次方程的分式方程 能運用分式方程解決一些簡單的實際問題，發展應用意 識，體會模型思想 我們在數學學習中會遇到諸如 a+1 2a ， 8 a-x ， x + 2 y 之類的式子，你知道這 些式子與整式有什么區別嗎？你認為 x（x +2） xy 與 x + 2 y 相等嗎？ 你見過類似于 1 x-2 = 3 x 這樣的方程嗎？你能求出它的解嗎？ 本章將學習分式的概念、性質和四則運算，以及分式方程的解法，并應用 分式方程解決一些簡單問題. 20 第二章 分式與分式方程 議一議 做一做 （ 1） 2010年上海世博會吸引了成千上萬的參觀者，某一時段內的統計 結果顯示，前 a 天日均參觀人數 35 萬人，后 b 天日均參觀人數 45 萬人，這 （a +b）天日均參觀人數為多少萬人？ （ 2）某書店庫存一批圖書，其中一種圖書的原價是每冊 a 元，現每冊降 價 x 元銷售，當這種圖書的庫存全部售出時，其銷售額為 b 元 . 降價銷售開始 時，該書店這種圖書的庫存量是多少？ 上面問題中出現了代數式 2 400 x ， 2 400 x + 30 ， 35a + 45b a + b 和 b a - x ，它們有什 面對日益嚴重的土地沙化問題，某縣決定在一定期限內固沙造林 2 400 公 頃，實際每月固沙造林的面積比原計劃多 30 公頃，結果提前完成原計劃的 任務 . 如果設原計劃每月固沙造林 x 公頃，那么 （1）原計劃完成造林任務需要多少個月？ （2）實際完成造林任務用了多少個月？ 1 認識分式 1 認識分式 21 么共同特征？它們與整式有什么不同？ 一般地，用 A， B 表示兩個整式， A B 可以表示成 A B 的形式 . 如果 B 中 含有字母，那么稱 A B 為分式（ fraction），其中 A 稱為分式的分子，B 稱為分式 的分母. 對于任意一個分式，分母都不能為零. 例1 （1）當 a =1， -2 時，分別求分式 a + 1 2a - 1 的值； （2）當 a 取何值時，分式 a + 1 2a - 1 的值為零？ （3）當 a 取何值時，分式 a + 1 2a - 1 有意義？ 解： （1）當 a =1 時， a + 1 2a - 1 = 1 + 1 2 1 - 1 =2； 當 a =-2 時， a + 1 2a - 1 = -2 + 1 2 （- 2） - 1 = 1 5 . （2）當分子的值為零，分母的值不為零時，分式的值為零. 由于 a +1=0 時，a =-1，此時分母 2a -1 0. 所以，當 a =-1 時，分 式 a + 1 2a - 1 的值為零. （3）當分母的值等于零時，分式沒有意義，除此之外，分式都有意義. 由分母 2a -1=0，得 a = 1 2 . 所以，當 a 取 1 2 以外的任何實數時，分式 a + 1 2a - 1 都有意義. 隨堂練習 1. 當 x 取什么值時，下列分式有意義？ （1） 8 x - 1 ； （2） 1 x + 9 . 2. 當 x =0， -2， 1 2 時，分別求分式 2x -1 3x + 2 的值. 3. 把甲、乙兩種飲料按質量比 x y 混合在一起，可以調制成一種混合飲料 . 調制 1 kg 這種混合飲料需多少千克甲種飲料？ 22 第二章 分式與分式方程 習題2.1 知識技能 問題解決 1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） b 2a ； （2） a + b 2 ； （3） - x + 1 4 - x ； （4） 1 2 xy +x 2 y . 2. 當 x 取什么值時，下列分式無意義？ （1） x 2x - 3 ； （2） x - 1 5x - 10 . 3. 當 a =-1，b = 2 3 時，求分式 a - b 4a + 3b 的值. 4. 列代數式： （1）水果店購進一箱橘子需要 a 元，已知橘子與箱子的總質量為 m kg，箱子的 質量為 n kg，為了不虧本，這箱橘子的零售價至少應定為每千克多少元？ （2）有兩塊棉田，第一塊 x 公頃，收棉花 m 千克，第二塊 y 公頃，收棉花 n 千 克，這兩塊棉田平均每公頃的棉產量是多少？ （ 3）一件商品售價 x 元，利潤率為 a%（ a 0），則這種商品每件的成本是多 少元？ 你認為分式 a 2a 與 1 2 相等嗎？ n 2 mn 與 n m 呢？與同伴交流. 分式的基本性質 分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于零的 整式，分式的值不變. 這一性質可以用式子表示為： b a = b m a m ， b a = b m a m （m 0） . 例2 下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？ （1） b 2x = b y 2xy （y 0）； （2） ax bx = a b . 解： （1）因為 y 0，所以 b 2x = b y 2x y = b y 2xy ； 1 認識分式 23 議一議 在化簡 5x y 20 x 2 y 時，小穎和小明出現了分歧. 做一做 化簡下列分式： （1） 5x y 20 x 2 y ； （2） a 2 +ab b 2 +ab . 5x y 20 x 2 y = 5x 20 x 2 . 5x y 20 x 2 y = 5x y 4x5xy = 1 4x . 你對他們兩人的做法有何看法？與同伴交流. 在小明的化簡結果中，分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為 最簡分式 . 化簡分式時，通常要使結果成為最簡分式或者整式. （2）因為 x 0，所以 ax bx = ax x bx x = a b . 例3 化簡下列分式： （1） a 2 bc ab ； （2） x 2 -1 x 2 -2x +1 . 解： （1） a 2 bc ab = abac ab =ac； （2） x 2 -1 x 2 -2x +1 = （x -1）（x +1） （x -1） 2 = x +1 x -1 . 例 3 中， a 2 bc ab =ac，即分子、分母同時約去了整式 ab； x 2 -1 x 2 -2x +1 = x +1 x -1 ， 即分子、分母同時約去了整式 x -1. 把一個分式的分子和分母的公因式約去， 這種變形稱為分式的約分（ reduction of a fraction） 在例 2（ 2）中， 為什么 x 0？ 24 第二章 分式與分式方程 隨堂練習 1. 填空： （1） 2x x - y = （ ） （x - y）（x + y） （ x+y 0）； （2） y +2 y 2 - 4 = 1 （ ） . 2. 化簡下列分式： （1） -14mn 2 k 4m 2 n ； （2） x -y （x -y） 3 ； （3） 4 -x 2 x 2 -2x . 想一想 （1）