專題復習：“幾何最值問題”河源中學實驗學校 黃孝榮2019.5.一、教材分析：幾何中的最值問題變幻無窮，教學中如何引導學生在復雜條件變化中發現解決問題的路徑，核心問題是訓練學生在題目中尋找不變的已知元素，從這些已知的不變元素，運用“兩點間線段最短”、“垂線段最短”等知識源，實現問題的轉化與解決。二、教學目標：學會準確審題，根據題意畫出滿足條件的圖形，并能計算出最值。掌握解決求一類幾何最值問題的方法，會解相關的最值題，培養運用轉化思想、變與不變思想解決問題的能力。三、核心思想方法由于這類問題目標不明確，具有很強的探索性，解題時需要運用動態思維、數形結合、模型思想、特殊與一般相結合、轉化思想和化歸思想、分類討論思想、函數和方程思想、從變化中尋找不變性的數學思想方法、邏輯推理與合情猜想相結合等思想方法解這類試題關鍵是要結合題意，借助相關的概念、圖形的性質，將最值問題化歸與轉化為相應的數學模型進行分析與突破。四、復習過程：（一）、知識準備1、兩點之間，_______________；如圖1中線段AB；2、直線外一點到直線上所有點的連線中，______________最短；如圖2中線段AD；3、三角形兩邊之和_________第三邊，兩邊之差__________第三邊；如圖3；（圖1） （圖2） （圖3）（通過三個小問題回憶起初中三年學過的幾個跟本節課有關的公理或定理，為整節課打下一個思維的基礎。）（二）、幾何最值題型（一）：一定一動型【例1】如圖4，圓O半徑為5，弦AB=8，點M是弦AB上的一動點，則線段OM的最小值是_____（九年級下學期剛學完圓，同學們對圓的相關知識還比較熟悉，借助此題展示“一定一動型”最值題型。點O為定點，點M為線段上的動點，自然的引出垂線段最短公理的應用。）【例2】如圖5，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，點P為邊BC上一動點，PEAB于點E，PFAC于點F，則EF的最小值為_______；（一道綜合性很強的小題，考察了勾股定理逆定理、矩形判定、矩形性質、等面積法等核心知識最重要的是轉化思想、運動過程中的變化與不變思想在此題中的應用 ） （圖5） 【方法總結】1、對于一定一動型最值問題，一般采取公理“垂線段最短”來畫出此時的圖形；2、利用勾股定理、等面積法、相似等知識計算出最小值；3、轉化思想、變與不變思想在題目中的應用。（三）、幾何最值題型二：兩定一動型【知識引入】如圖，在直線m上找一點P，使PA+PB的值最小（1） 點A、B在m異側 （2）點A、B在m同側（在老師引導下，學生思考探究，特別是同側兩點的最值問題，給與學生充分思考和交流時間，最后利用幾何畫板技術展示動畫過程，學生能深刻領會通過對稱這種轉化手段將同側兩點變為異側兩點）【例1】如圖6，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為_______；（在正方形情景下滲透同側兩點（即“將軍飲馬”型）最值問題。通過此題讓學生領悟在對稱D點時更加優越。B、D兩點為正方形中天然的對稱點）（圖6）【例2】如圖7，在平面直角坐標系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0）、B（2，0）是x軸上兩點，則PA+PB的最小值為________此時點P的坐標為_______；（在坐標系函數環境下滲透同側兩點（即“將軍飲馬”型）最值問題。讓同學們感受在此題中對稱A點、B點可以達到同等效果。本題可用相似法、交點法、三角函數法等多種方法求點P的坐標） （圖7）【合作探究】根據例1、例2的啟發：請設計求兩條線段之和最小值問題（用圖形展示，并簡單說明條件及所求哪兩條線段之和）（學生先獨立思考，再小組合作展示出本組創作成果。一改傳統的老師直接給題模式，而是由學生根據例1、例2的啟示自我編題，加深對數學本質的理解，符合核心素養下的教學觀。一方面，激活思維活力，培養學生發現問題和提出問題的能力。另一方面積累應用模型的經驗。）【方法總結】1、 將異側兩點通過對稱轉化為同側兩點；（轉化思想）2、題目展現出的情景不同，但是將軍飲馬型的最值問題本質相同；【拓展提升】如圖8所示，已知平面直角坐標系中，點A（2，-3）、B（4，-1），若P（x，0）是x軸上的一個動點.（1） 根據已知條件，你能提出哪些問題？（2） 若Q（0，y）是y軸上一動點，請問：是否存在這樣的點P（x，0），Q（0，y），使四邊形ABPQ的周長最短？若存在，求出x、y的值.（3） 若P（x，0）、Q（x+3，0）是x軸上的兩個動點，則當x=___時，四邊形ABPQ的周長最短（第一問學生可能會有多種不同的問題，比如形成的等腰三角形、直角三角形、將軍飲馬型最值問題；體現發散性思維。）（第二問在老師的引導下，對稱兩個點，將三條變化的邊長集合在同一條線上。（兩定兩動變為兩定一動） （圖8）（第三問有難度，需要通過平移轉化，引導學生發現變化中的不變（即PQ的長為定值）三個問題設計逐級而上，有利于激發學生深度思考。）（四）、課后作業1、如圖9，拋物線與x軸交于B、C點，與y軸交于點A.頂點為D（1）A坐標為____；B坐標為______；C坐標為______；（2）拋物線的對稱軸為________；頂點坐標為________；（3）點M是x軸上一點，當MA+MD取最小值時，點M的坐標為_____；（4）點P是對稱軸上一點，當PA+PB達到最小值時，則P的坐標為_______；（圖9） （備用圖1） 2、如圖10，在平面直角坐標系中，P為直線上一動點，點A為（6，0），當AP取最小值時，P的坐標為_____；（圖10） 3、如圖11，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為__________；（圖11）4、如圖12，等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，C的半徑為1，點P在斜邊AB上，PQ切O于點Q，則切線長PQ長度的最小值為_____；（圖12）5、如圖13，已知圓O的直徑CD為4，AOD的度數為60，點B為的中點，在直徑CD上找一點P，使得BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值；（圖13）6、如圖14，點A、B均在面積為1的小正方形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系，如圖所示，若P是x軸上使得|PA-PB|的值最大的點，則點P的坐標為___________ （圖14）7、如圖15，線段AB的長為4，C為線段AB上一動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE的長最小值為_______；（圖15）6