解直角三角形教學(xué)設(shè)計一、教材分析解直角三角形是青島版九年級上冊第二章的內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)“圖形與變換”領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容。本節(jié)主要考查的知識點為銳角三角比、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形及其實際應(yīng)用，考查學(xué)生運用相關(guān)知識解決簡單實際問題的能力。為此本節(jié)復(fù)習(xí)課采用學(xué)生自主學(xué)習(xí)、教師點撥總結(jié)的方式掌握基礎(chǔ)知識，然后輔以常考題型加以鞏固。直角三角形的邊角關(guān)系，是現(xiàn)實世界應(yīng)用廣泛的關(guān)系之一， 如在測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到角度、高度、距離的計算問題，這些實際問題中的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三形中的邊角關(guān)系，因此本節(jié)對發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識及分析問題解決問題的能力有著重要的作用。直角三角形邊與角之間的關(guān)系要用數(shù)量的形式表示出來，因此本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想，體會數(shù)形結(jié)合的方法。非直角三角形通常要轉(zhuǎn)化為直角三角形，因此本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生進(jìn)一步感受轉(zhuǎn)化的思想。生活中的實際問題往往要轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)也有利于學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)建模的思想。本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形及勾股定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，還為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識及高中階段學(xué)習(xí)一般性三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)。這一部分內(nèi)容非常重要，學(xué)好這部份內(nèi)容，直接關(guān)系到今后的后續(xù)學(xué)習(xí)。2、 學(xué)情分析九年級學(xué)生的思維活躍，接受能力較強(qiáng)，具備了一定的數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)歷和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。并且學(xué)生已經(jīng)掌握直角三角形中各邊和各角的關(guān)系，有較強(qiáng)的推理證明能力，這為順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)。心理上九年級學(xué)生邏輯思維從經(jīng)驗型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展。學(xué)生要得出直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，需要觀察、思考、交流，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)建模思想，體會銳角三角比的意義，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)和合作交流的能力。學(xué)生已學(xué)習(xí)過銳角三角比的概念，能夠由已知銳角求出三角比的值或由三角比的值求出銳角，并會計算含30度、45度、60度角的三角函數(shù)值的問題，但對于應(yīng)用問題掌握的不熟練，缺乏做題技巧，效率低下。另外缺乏對直角三角形利用邊角關(guān)系解決現(xiàn)實生活中的實際問題的整體性認(rèn)識，運用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，綜合分析問題、解決問題的能力不足。因此本節(jié)課的主要任務(wù)是培養(yǎng)自主探索的能力，形成解決問題的基本策略與能力，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模的思想方法，并滲透解直角三角形中基本模型，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際的能力。三、教學(xué)目標(biāo)知識與技能1掌握銳角三角比的意義，熟記特殊角的三角比并會進(jìn)行簡單計算。2能利用銳角三角比解直角三角形，并能夠用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。過程與方法通過自主學(xué)習(xí)、交流展示復(fù)習(xí)鞏固本節(jié)知識點，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)建模思想在解直角三角形中的應(yīng)用。情感與態(tài)度引導(dǎo)學(xué)生積極思考，鞏固所學(xué)知識，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和推理能力，體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。四、教學(xué)重難點重點：熟練掌握解直角三角形的邊角關(guān)系，能利用銳角三角比解直角三角形，并能夠用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。難點：建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題。五、教學(xué)方法講練結(jié)合、問題教學(xué)六、教學(xué)手段利用多媒體輔助教學(xué)七、教學(xué)過程本節(jié)課共分三部分內(nèi)容：銳角三角比、解直角三角形、解直角三角形的應(yīng)用課前：發(fā)下導(dǎo)學(xué)案，學(xué)生自主復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。上課：直奔主題，揭示本節(jié)課所要復(fù)習(xí)的內(nèi)容，并板書題目解直角三角形多媒體展示復(fù)習(xí)框架圖，明確復(fù)習(xí)重點1、銳角三角比RtABC中，C=900, A、B、C的對邊分別為a、b、c，則A的正弦可表示為：sinA= ，A的余弦可表示為cosA= A的正切可以表示為：tanA= ，它們都稱為A的銳角三角函數(shù)。觀察銳角三角比式子，引導(dǎo)學(xué)生得出銳角三角比的實質(zhì)：銳角三角比實質(zhì)是直角三角形中兩個邊的比，反應(yīng)的是邊與角的關(guān)系。通過觀察學(xué)以致用中銳角三角比3個題共同點得出求銳角三角比的關(guān)鍵：求銳角三角比必須放到直角三角形中去。【設(shè)計意圖】明確銳角三角比的實質(zhì)及做題關(guān)鍵，幫助學(xué)生更好的尋找解題思路。1、 在RtABC中,C=90，若AB=10，AC=8，則2、 在RtABC中，C=90，如果，那么sinB的值是 。 3、 在RtABC中，BAC=90 ，AC=6，BC=10，ADBC，則sinBAD= 。學(xué)生獨立完成，然后讓一學(xué)生敘述自己答案。由于前兩題比較簡單，學(xué)生若無疑問不再進(jìn)行講解，對于第3題讓學(xué)生講解自己做題思路，最后老師予以總結(jié)。【設(shè)計意圖】考查對銳角三角比的運用，通過第3題的講解讓學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，掌握做題技巧提高效率。2、 解直角三角形1、 定義：由直角三角形中除直角外的 個已知元素，求出另外 個未知元素的過程叫解直角三角形。 2、解直角三角形中已知的兩個元素應(yīng)至少有一個是 ，當(dāng)沒有直角三角形時應(yīng)注意構(gòu)造直角三角形，再利用相應(yīng)的邊角關(guān)系解決。 3、解直角三角形的依據(jù)：在RtABC中，C=900 A，B,C的對邊分別為a、b、c，其中除直角C外，其余5個元素之間有以下關(guān)系：三邊關(guān)系： 兩銳角關(guān)系 邊角之間的關(guān)系：sinB= cosB= tanB= 【設(shè)計意圖】明確解直角三角形的定義和依據(jù)，為解直角三角形的應(yīng)用練習(xí)提供理論依據(jù)和做題技巧。4.如圖,在ABC中,已知A=60,B=45，AC=10，則AB= 。 5.如圖,在ABC中,已知A=60,B=45，AB=10，則AC= 。（第4題） （第5題）6.如圖,在ABC中,已知A=30,C=135，AB=10，則AC= 。7.如圖,在ABC中,已知A=30,C=135，AC=10，則AB= 。（第6題） （第7題）獨立完成4、5、6、7四個題，獨立解決不了的情況下同位或小組之間討論解決。這四個題都是非直角三角形，考查學(xué)生通過構(gòu)造直角三角形求相應(yīng)的邊、角問題的能力。前兩個題是一個類型，后兩個題是一個類型（5題是4題的變形，7題是8題的變形）這4個題分別找兩個同學(xué)在黑板板演講解，分析自己的解題思路和方法。之后老師根據(jù)學(xué)生的講解情況予以總結(jié)、歸納。總結(jié)1、 在利用解直角三角形的知識求三角形的邊或角時，如果是直角三角形我們可以根據(jù)所給的邊或角依據(jù)三邊關(guān)系、兩銳角關(guān)系和銳角三角比直接求出相應(yīng)的邊或角；2、 如果是非直角三角形我們可以通過構(gòu)造直角三角形來求相應(yīng)的邊或角，在構(gòu)造直角三角形時要注意不破壞特殊角；3、 對于構(gòu)造的的兩個直角三角形如果有某個完整的邊已知，可以直接利用解直角三角形的相關(guān)知識求相應(yīng)的邊或角，如果兩個三角形的邊都不知道我們可以通過設(shè)未知數(shù)來求，設(shè)的時候一般設(shè)最短邊或者公共邊，然后再利用解直角三角形的相關(guān)知識求解相應(yīng)的邊或角。【設(shè)計意圖】通過練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對于解直角三角形知識的理解與運用，能夠通過構(gòu)造直角三角形求出相應(yīng)的邊和角，為接下來要復(fù)習(xí)的實際應(yīng)用提供做題方法和思路。3、解直角三角形的實際應(yīng)用（1）坡角與坡度如圖，坡面AB與水平線l的夾角叫做 ；坡面 AB 的鉛直高度 h 與水平寬度 l的比，稱為 ，用 i 表示，則i= 。（2）仰角和俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做 ；視線在水平線下方的角叫做 。（3）方位角：以觀察點為中心，以正北或正南方向作為起始方向，旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的銳角，叫做方位角也稱為象限角。 表示方向時一般先說 方向，再說 方向。強(qiáng)調(diào)坡度問題實質(zhì)上是正切問題。【設(shè)計意圖】明確在解直角三角形的實際運用中的考查類型，并結(jié)合解直角三角形的相關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型解決生活中的實際問題。【類型一】坡度、坡角問題如圖，已知某水庫大壩的橫斷面是梯形 ABCD，壩頂寬 AD 是 6 米，壩高 24 米，背水坡AB 的坡度為 1：3，迎水坡 CD 的坡度為 1：2則（1）背水坡 AB = （2）壩底 BC= 【類型二】仰角、俯角問題2018年4月12日，菏澤國際牡丹花會拉開帷幕，菏澤電視臺用直升機(jī)航拍技術(shù)全程直播.如圖，在直升機(jī)的鏡頭下，觀測曹州牡丹園A處的俯角為30，B處的俯 角為45，如果此時直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為200米，點A、B、D在同一條直線上，則A、B兩點間的距離為 米？（結(jié)果保留根號）【類型三】方位角問題南沙群島是我國固有領(lǐng)土,現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè),當(dāng)漁船航行至B處時,測得該島位于正北方向海里的C處,為了防止某國海巡警干擾,就請求我A處的魚監(jiān)船前往C處護(hù)航,已知C位于A處的北偏東45方向上,A位于B的北偏西30的方向上，求A，C之間的距離為 米。（第6題） （第7題）如圖,某校一幢教學(xué)大樓的頂部豎有一塊“傳承文明,啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60,沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45.已知山坡AB的坡度,AB=10米,AE=15米,求這塊宣傳牌CD的高度.學(xué)生先進(jìn)行獨立思考完成，獨立解決不了的可進(jìn)行同位或小組之間討論解決，期間老師進(jìn)行巡視指導(dǎo)。前三個題較為基礎(chǔ)，如果絕大多數(shù)同學(xué)沒問題將不再進(jìn)行講解，只強(qiáng)調(diào)需要學(xué)生注意的細(xì)節(jié)（1、不要漏加單位2、多項式后面加單位時要把多項式用括號括起來）。最后一題綜合性較強(qiáng)，難度較大，根據(jù)巡視掌握學(xué)生的完成情況，讓完成情況良好的同學(xué)進(jìn)行講解，說明自己的思路和做題方法，最后老師根據(jù)情況進(jìn)行歸納。總結(jié)在實際的應(yīng)用中所給的特殊角并不是都在直角三角形中，要善于根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形建立數(shù)學(xué)模型。雖然生活中的實際應(yīng)用常以坡角與坡度、仰角與俯角、方位角這三種類型進(jìn)行考查，但并不是每次都單獨考查，要求學(xué)生一定要會綜合運用。【設(shè)計意圖】通過練習(xí)，明確解直角三角形在生活中的實際應(yīng)用。提高分析、解決問題的能力，掌握數(shù)學(xué)建模思想，體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心與興趣。課堂小結(jié)首先讓學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@及疑問，然后同學(xué)們集體回顧本節(jié)重點知識，再次在多媒體展示知識框圖。當(dāng)堂檢測1、如圖，在ABC 中，ADBC 于 D，如果 AD12，DC5，E 為 AC 的中點， 則 sinEDC = 。2、如圖，已知 AB 是O 的直徑，CD 是弦，且 CDAB，BC6，AC8，求則sinABD = 。（第1題） （第2題）【設(shè)計意圖】及時檢測學(xué)生對于解直角三角形知識的掌握情況，根據(jù)掌握情況進(jìn)行個別輔導(dǎo)并確定后續(xù)的練習(xí)。課后練如圖,某小區(qū)號樓與號樓隔河相望,李明家住在號樓,他很想知道號樓的高度,于是他做了一些測量,他先在B點測得C點的仰角為60,然后到42米高的樓頂A處,測得的仰角為30，請你幫助李明計算號樓的高度CD.【設(shè)計意圖】由于課上時間有限，學(xué)習(xí)不僅僅是課上的45分鐘，課后的及時復(fù)習(xí)鞏固同樣重要。板書設(shè)計解直角三角形一、銳角三角比特殊角的銳角三角比 多媒體展示二、解直角三角形定義：知二求三依據(jù)：兩銳角之間：三邊之間：邊角之間：銳角三角比2、 實際應(yīng)用坡角與坡度仰角與俯角方向角課后反思本節(jié)課的復(fù)習(xí)任務(wù)是：掌握直角三角形的邊角關(guān)系并能靈活運用;會運用解直角三角形的知識，利用已知的邊和角，求未知的邊和角;能結(jié)合坡角與坡度、仰角俯角、方位角等知識，綜合運用勾股定理、兩銳角關(guān)系與直角三角形的邊角關(guān)系解決生活中的實際問題。我將本節(jié)課分三部分進(jìn)行：銳角三角比、解直角三角形、解直角三角形的應(yīng)用，由淺入深、層層推進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并且能夠幫助學(xué)生明確復(fù)習(xí)側(cè)重點，更好的掌握所學(xué)知識。針對每個知識點的復(fù)習(xí)我都設(shè)置了相應(yīng)的練習(xí)，讓學(xué)生通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識，加深對知識的理解并內(nèi)化。教師是課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者、幫助者。由于是復(fù)習(xí)課，學(xué)生對于該部分內(nèi)容有一定的基礎(chǔ)，在學(xué)生選擇解直角三角形的諸多方法和解決實際問題的過程中，我并沒有過多地干預(yù)學(xué)生的思維，而是通過問題引導(dǎo)學(xué)生自己想辦法解決問題，教師通過巡視、指導(dǎo)了解學(xué)生掌握情況，然后由學(xué)生講解自己的做題思路和方法，在培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力上下了功夫。通過學(xué)生的講解可以及時了解學(xué)生對于問題的掌握情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的易錯點并能夠有針對性的予以糾正和強(qiáng)調(diào)。學(xué)生明確自己的不足再去進(jìn)行強(qiáng)調(diào)總結(jié)要比老師一味地講解效果要好。本節(jié)課的設(shè)計，力求體現(xiàn)新課程理念。給學(xué)生自主探索的時間，給學(xué)生寬松和諧的氛圍，讓學(xué)生學(xué)得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新精神、合作精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動性。通過本節(jié)課的實踐，我覺得也存在一些需要自己深刻反思和改進(jìn)的地方。一、課堂語言上有待加強(qiáng)，應(yīng)該加強(qiáng)書面語言的練習(xí)，避免有些口語化的語言，另外語言上有些地方不是太精煉，應(yīng)加強(qiáng)語言組織能力。二、由于時間安排上的不合理，課堂小結(jié)時有些倉促，下一步應(yīng)在備課時再認(rèn)真些，合理安排時間。三、板書上不是太規(guī)范美觀，有待加強(qiáng)。總之，在今后的教學(xué)中，我還要加強(qiáng)備課，使每堂課的知識點和時間的分布更加合理，注重語言的組織和板書，在教學(xué)時多注重學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和對差生的輔導(dǎo)工作