1 公因數、最大公因數 第一課時 n 教學內容教材29-30頁，公因數和最大公因數。n 教學提示公因數、最大公因數一課是在學生已經學過因數、倍數，初步學會找一個數的倍數和因數，知道一個數的倍數和因數的特點的基礎上進行教學的。這部分內容既是“數與代數”領域基礎知識的重要組成部分，又是進一步學習約分和分數四則計算的基礎。本節課的設計由學生喜聞樂見的剪紙活動入手，提出問題并引出新課，充分激發了學生的學習熱情。在教學中，教師要劉多數時間留給學生，讓學生自己去獲取知識，首先讓學生利用自己的學具擺一擺，拼一拼，得出什么樣的情況能夠正合適，什么樣的情況有剩余。通過學生小組交流，得出出現這種現象的原因并總結出公因數和最大公因數的概念。n 教學目標知識與能力：結合解決實際問題，理解公因數和最大公因數的意義，學會求兩個數的最大公因數的方法。過程與方法：在探索公因數和最大公因數意義的過程中，經歷觀察、猜測、歸納等數學活動，進一步發展初步的推理能力。在解決問題的過程中，能進行有條理、有根據地進行思考。情感、態度與價值觀：在學生探索新知的過程中，體驗學習和探索的樂趣，培養學生學好數學的信心以及小組成員之間互相合作的精神。n 重點、難點重點理解公因數和最大公因數的意義難點選用恰當的方法求兩個數的最大公因數的方法。n 教學準備教師準備：多媒體課件學生準備：n 教學過程（一）新課導入：創設情境，提出問題。師：剪紙是我國的一種民間藝術，剪紙具有裝飾性，它可以美化環境，陶冶情操。老師帶來了幾幅剪紙作品，大家請看大屏幕。師：觀察這些美麗的剪紙，他們都是用什么形狀的彩紙剪出來的？（正方形）師：剪紙的第一步是裁紙。裁紙可不簡單啊！請看，這些剪紙小組的同學，他們下裁紙的過程中就遇到了一些問題。（課件出示情境圖）師：仔細閱讀里面的信息，你能說出同學們遇到了哪些問題嗎?生：他們把一張長24厘米，寬18厘米的長方形剪成邊長是整厘米的正方形。剪完后沒有剩余。想知道正方形的邊長可以是幾厘米，最長是幾厘米。師：再認真讀一遍看同學們對剪紙有什么要求？讓學生注意“整厘米數”“沒有剩余”談談自己的想法。師：下面我們就一起幫助他們解決這個問題。設計意圖：把一張長方形紙剪成邊長是整厘米且沒有剩余的小正方形紙，這是“公因數和最大公因數”在生活中的一個原型，為更好的揭示概念提供了一個實例，同時更重要的是讓學生明白了這節課要解決的問題。（二）合作交流、探究新知：（1）嘗試猜想。師：正方形的邊長可能是幾厘米？請同學們大膽的猜測一下。（2厘米）師：怎樣想到的是2厘米的？生：因為24和18都是2的倍數。師：你的猜想有道理，還有其他的猜想嗎？這時學生就會猜測正方形的邊長可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米，師：剛才同學們能根據我們以前學過的知識進行猜想，非常好，但是，猜想知識成功的開始，究竟正方形的邊長可能是多少呢?我們還需要怎么辦？生：驗證。設計意圖：引導學生根據以前學過的知識，進行猜想，為下一步的驗證做好鋪墊。（2）操作驗證。師：口說無憑，你們想用什么方法來驗證呢？老師為大家準備了材料，小組合作驗證我們的猜想。（出示操作素材和操作記錄單）操作素材1.長24厘米，寬18厘米的長方形紙8張。2.邊長是17厘米的小正方形紙。3.直尺操作記錄正方形的邊長是（ ）厘米，沒有剩余。正方形的邊長是（ ）厘米，有剩余。（學生動手操作，教師巡回指導）設計意圖：驗證可以有很多方法，本節課的驗證采用動手操作的方式。可以擺一擺，也可以畫一畫的方法，使學生更好的領會到“沒有剩余”“有剩余”（3）交流展示。師：通過操作，找到符合要求的正方形了嗎？哪個小組匯報一下你們的探究結果。小組匯報交流。小組1：我們小組用擺一擺的方法，用邊長1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形紙片擺都正好擺滿，沒有剩余，用4厘米、5厘米、7厘米的正方形紙片擺，有剩余。小組2：我們小組用了畫一畫的方法，也得到了同樣的結論。師：通過擺一擺、畫一畫的方法，同學們找出了正方形的邊長可能是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米，現在我們回顧一下操作的過程，（課件演示）設計意圖：本環節學生通過親自動手操作，得出結論，讓學生經歷了驗證的過程。（4）揭示公因數和最大公因數的意義。師：大家看這里，教師指黑板上的學生的猜測。為什么正方形的邊長可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米？1、2、3、6這些數字與24和18什么關系呢？先獨立思考，再小組內交流一下你的想法。師：1、2、3、6是24的因數，1、2、3、6也都是18的因數。（板書既是24的因數，又是18的因數）師：是這樣嗎？你也用他們說的方法找一找。（學生自主找）師：怎樣我們才能形象的看出1、2、3、6既是24的因數，又是18的因數呢？我們可以用集合的形式表示出來。（出示多媒體課件）24的因數 18的因數師：想一想，中間的重合部分應該填哪些數？引導學生試著填一填。（課件出示公因數的韋恩圖）師：1、2、3、6既是24的因數，又是18的因數，是他們公有的因數，叫做這兩個數的公因數。其中6是最大的，叫做這兩個數的最大公因數。這就是我們這節課學習的內容（板書：公因數和最大公因數）師：回到我們最初研究的問題，通過裁紙我們認識了公因數和最大公因數，他們把一張長24厘米，寬18厘米的長方形剪成邊長是整厘米的正方形。剪完后沒有剩余。想知道正方形的邊長可以是幾厘米，其實就是求什么？生：24和18的公因數。師：現在我們為了好設計圖案，要裁成盡量大的正方形紙，可以選擇邊長是幾厘米的正方形呢？其實就是求什么？生：24和18的最大公因數。師：那我們還用不用擺一擺，畫一畫了。生：不用了。師：看來，同學們已經很好的將生活中的問題轉化成數學問題了。設計意圖：這一環節的設計，體現了課程標準中所提出的課程內容的組織要重視過程，處理要過程與結果的關系。，教師引導學生從正方形的邊長為什么是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米這一實際問題抽象出數學問題：1、2、3、6這些數字與24和18什么關系呢？通過小組合作交流，并通過韋恩圖，讓學生經歷觀察、思考、歸納、總結的過程。同時與課一開始創設的問題情境相呼應，幫助學生感受到公因數和最大公因數的現實意義。（三）鞏固新知：1.牛刀小試王叔叔家最近買了一套新房子，正考慮裝修，他請我們幫忙設計一下。我們家的儲藏室長16分米，寬12分米，如果要用邊長整分米的正方形的地磚把儲藏室的地面鋪滿，可以選擇邊長是幾分米的地磚，邊長最大是幾分米？請你想出簡單的方案。2.大顯身手，我是優秀策劃師。光明小學五（2）班學生24名男生和30名女生參加了“爭做環保小衛士”活動，如果男、女分別進行分組，每組的人數一樣多，每組可以有幾人？最多有幾人？小組討論解決方案，如果你選擇，你認為每組幾個人比較合適？說說你的理由。設計意圖： 這一組練習的設計不僅緊緊的圍繞教學目標和教學重難點，還體現了練習的層次性、趣味性、拓展性。照顧到學生的個體差異，激發學生的思維，學生參與度高，能夠很好的鞏固深化新知。（四）達標反饋1.48的因數有：（ ）2.72的因數有:（ ）3.48和72的公因數有：（ ）4.48和72的最大公因數是：（ ）答案：1. 1、 2、 3、4、6、8、12、16 、 24、 482. 1、2、3、4 、6、8、9、12、18、24、36、723. 1、2、3、4、6、8、12、24 4.24（五）體驗成功、升華新知。師：剛才大家是應用什么知識解決生活中的問題的？什么叫公因數？什么叫最多公因數？師：你們是怎樣學會公因數和最大公因數的知識的？你認為小組合作學習有什么好處？以后我們在進行小組合作學習時還要注意什么？師：在生活中還有哪些問題解決時需要用到公因數和最大公因數的知識？根據學生回答出示知識樹。（多媒體出示）師：同學們，當設計師的感覺怎么樣？如果你們家或親戚家的新房子需要裝修，鋪地磚，貼墻紙，想讓你幫助設計，你敢拿下這個活嗎？師：看到大家這么自信，老師真的特別高興！希望同學們活學活用，能把所學的數學知識靈活運用到生活中去！下課！設計意圖：這一環節結合練習題自然而然進行總結，然后根據學生回答出示知識樹，引領學生對本節課整體建構-梳理知識，反思學法，應用于生活，增強自信心。課末回歸角色激勵話題，引導學生用數學的眼光去觀察生活，使學生能夠成為數學資源的開發者，有助于進一步提高學生學習數學的興趣。（六）布置作業1.幾個數（ ），叫做這幾個數的公因數。其中，（ ）叫做這幾個數的最大公因數。2.16的因數有（ ），18的因數有（ ），16和18的公因數有（ ），16和18的最大公因數是（ ）。3.在3、5、7、8中，只有公因數1的有（ ）對。A.3 B.4 C.5 D.64.最大公因數是1的一組數是（ ）。A.7和14 B.12和20 C.15和35 D.13和55.在集合圈內填兩個數的公因數，并寫出公因數和最大公因數。9的因數 18的因數9和18的公因數（ ）9和18的公因數（ ）9和18的最大公因數（ ）6. 在集合圈內填兩個數的公因數，并寫出公因數和最大公因數。24的因數 32的因數24和32的公因數（ ）24和32的公因數（ ）24和32的最大公因數（ ）7.按要求回答下列各題。25和45的公因數和最大公因數。25的因數：（ ）45的因數：（ ）25和45的公因數：（ ）25和45的最大公因數：（ ）8.按要求填表。公因數最大公因數12和1618和2724和16你有什么發現？答案：1.共同的因數 共同的因數中最大的一個 2.1、 2、 4、 8、 16 1、 2 、3 、6、9 、18 1、2 2 3. D 4. D 5. 9和18的公因數:1、3、9 9和18的最大公因數96. 24和32的公因數：1、2、4、8、24和32的最大公因數87. 25的因數：1、5、25 45的因數：1 3 5 9 15 45 25和45的公因數：1、5 25和45的最大公因數：58. 公因數最大公因數12和161、2、4418和271、3、9924和161、2、4、88我的發現：（1）公因數是最大公因數的因數。（2）最大公因數是公因數的倍數。（3）公因數的個數不止一個，而最大公因數一定是其中最大的一個。（答案不唯一）n 板書設計 公因數、最大公因數 24的因數 18的因數4、8 1、2、 9、1812、24 3、618和24公有的因數，最大的是6,是他們的最大公因數n 教學資料包（一）教學精彩片段（以裝修房子選地磚導入的）小組合作，探究新知 師：“請同學們想一想，按楊老師的要求，可以選擇邊長是幾分米的地磚呢？.看來，一下子解決這個問題有些困難，我們可以借助學具來完成。” 準備：長方形方格紙、邊長分別為1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、6厘米、8厘米的正方形、水彩筆。每小組一份。 1、小組合作：擺一擺、畫一畫。 匯報：你們小組采用的什么方法，找到的結果是什么？ （同時課件分別展示鋪的過程，和畫的過程。） 師小結：同學們通過擺一擺，畫一畫的方法找出了邊長是1分米、2分米、和4分米的正方形地磚正好把貯藏室鋪滿，那么如果用1分米的地磚，沿著貯藏室的長邊要鋪幾塊？寬邊要鋪幾塊？2分米和4分米呢？ 課件展示：11616 11212 2816 2612 4416 4312 師：如果只考慮長邊，我們還可以選擇邊長是幾分米的地磚，如果只考慮寬邊呢？ “為什么我們沒有選擇這些方磚，而選擇了邊長是1、2、4分米的呢？” 生說出自己的想法。 師：“請同學們想一想，正方形的邊長1、2、4和長方形的長和寬有什么關系？ 小組討論，說說你的發現。（引導學生發現公因數和最大公因數） 師：同學們真了不起，發現里面有我們學過的因數的知識，要使正方形的地磚是整塊的，它的邊長必須既是16的因數又是12的因數，下面，就讓我們用因數的知識來研究為什么要用邊長是1分米、2分米、和4分米的方磚，請同學們說，我來寫： 板書：16的因數：1、2、4、8、16 12的因數：1、2、3、4、6、12 1、2、4是16的因數，也是12的因數，誰能用一句簡潔的話來說說，他們是16和12的什么數呢？ 板書：公因數 16和12的公因數有：1、2、4 我們還可以用不同的形式來表示兩個數的因數，請同學們看： 課件展示： 16的因數 12的因數（集合圈形式） 師：在16和12的公因數中，最大的是幾？ 板書：16和12的最大公因數是4. 師：通過幫助楊老師解決鋪地磚的問題，我們認識了公因數和最大公因數，如果楊老師想用盡量少的地磚，應該選擇邊長是幾分米的地磚呢？” 4是16和12的最大公因數，就是我們要探討的問題， 板書：最大公因數。 師：如果現在讓我們解決邊長用幾分米的地磚，我們還用不用再動手擺一擺、畫一畫了？可以怎么辦？” 這一環節的設計通過求方磚的邊長及最大值，抽象出公因數、最大公因數的概念。這一解決問題，引出概念的過程，使公因數、最大公因數這兩個抽象的概念，變得非常具體、直觀，學生摸得著，看得見。從而增強了感知事實、建立概念的效果