七包裝盒長方體和正方體一、長方體和正方體1.長方體的特征(1)兩個面相交的線叫作棱,三條棱相交的點叫作頂點。(2)長方體有6個面,并且每個面都是長方形(特殊情況下有相對的兩個面是正方形)。(3)長方體有12條棱,相對的4條棱的長度相等。(4)長方體有8個頂點。(5)從一個方向觀察一個長方體,最多能同時看到3個面,這3個面相交于一個頂點,相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫作長方體的長、寬、高。長方體的棱長之和=長4+寬4+高4=(長+寬+高)42.正方體的特征(1)正方體有6個面,它們是完全相同的正方形。(2)正方體有12條棱,所有棱的長度都相等。(3)正方體有8個頂點。公式: 正方體的棱長之和=棱長12正方體的棱長=正方體的棱長之和12二、長方體和正方體的表面積1.長方體的表面積長方體6個面的總面積,叫作它的表面積。長方體有6個面,且相對的兩個面完全相同。從一個方向觀察一個長方體,最多能同時看到3個面,只要計算出這三個面的面積,就能算出長方體的表面積。公式:長方體前、后每個面的面積=長高長方體上、下每個面的面積=長寬長方體左、右每個面的面積=寬高長方體的表面積=長寬2+寬高2+長高2=(長寬+寬高+長高)22.正方體的表面積(1)正方體6個面的總面積,叫作它的表面積。(2)正方體6個面是完全相同的正方形,只要計算出一個面的面積,乘6就可算出正方體的表面積。公式:正方體的表面積=棱長棱長6三、體積、容積單位及進率1.體積、體積單位間的進率(1)體積的意義:物體所占空間的大小叫作物體的體積。(2)體積單位:常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分別為cm3、 dm3、 m3 。棱長為1厘米的正方體,體積是1立方厘米。如:一個手指尖的體積大約是1立方厘米,1粒花生米的體積大約是1立方厘米。棱長為1分米的正方體,體積是1立方分米。如:一個粉筆盒的體積大約是1立方分米。棱長為1米的正方體,體積是1立方米,如:裝洗衣機的紙箱的體積大約是1立方米。(3)體積單位之間的進率。計量一個物體的體積,就要看這個物體含有多少個體積單位。1分米=10厘米,兩個正方體的棱長相等,體積就相等。棱長是10厘米的正方體里有101010=1000(個)棱長為1厘米的正方體,棱長是10厘米的正方體,體積是1000立方厘米。1立方分米=1000立方厘米用同樣的方法可推出:1立方米=1000立方分米2. 容積及容積單位之間的進率(1)容積的意義:容器所能容納物體的體積,叫作它們的容積。(2)容積單位有升和毫升,分別用字母L和mL表示。計量物體的大小一般用體積單位,計量液體的體積常用容積單位。(3)1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1升=1000毫升四、長方體和正方體的體積1.推導(dǎo)體積公式(1)計算一個物體的體積的大小,就要看這個物體含有“體積單位”的數(shù)量。把上圖中的長方體和正方體切成以1立方厘米為體積單位的小正方體,數(shù)出含有“體積單位”的數(shù)量就知道了它們的體積大小。(2)通過切割發(fā)現(xiàn),長方體所含小正方體體積單位的個數(shù),同它本身的長、寬、高有一定關(guān)系,每排小正方體的個數(shù)相當(dāng)于長方體的長;排數(shù)相當(dāng)于長方體的寬;層數(shù)相當(dāng)于長方體的高。所含體積單位的個數(shù)正好等于長方體長、寬、高的積。2.長方體、正方體的體積公式長方體的體積=長寬高,用字母表示:V=abh。正方體的體積=棱長棱長棱長,用字母表示:V=aaa=a3。(1)也可以把aaa寫作“a3”,讀作“a的立方”,表示3個a相乘。正方體的體積公式一般寫成:V=a3。(2)長方體和正方體底面的面積叫作它們的底面積。用S表示底面積,V表示體積,高用h表示,則:長方體(或正方體)的體積=底面積高,用字母表示:V=Sh。3.長方體、正方體體積公式的變形長方體的高=體積(長寬),即h=V(ab)長方體的寬=體積(長高),即b=V(ah)長方體的長=體積(寬高),即a=V(bh)4.長方體、正方體容器的容積計算長方體或正方體容器的容積計算方法與體積的計算方法相同,但要從容器里面量長、寬、高。5.等體積變化問題生活中經(jīng)常遇到一些物體(固體或液體)的形狀發(fā)生了變化。但在變化的過程中,體積是沒有變化的。如圖所示用枚數(shù)相等的硬幣分別摞成下面的形狀,體積不變。五、測量不規(guī)則物體的體積 1.用排水法可以測量不規(guī)則物體的體積,放入不規(guī)則物體(被完全淹沒)后水面上升,上升的那部分水的體積就是不規(guī)則物體的體積。2.拿出放入水中的不規(guī)則物體(被完全淹沒)水面下降,下降的那部分水的體積就是不規(guī)則物體的體積。長方體的6個面中,相對的兩個面完全相同。長方體的擺放方式不同,長、寬、高也不同。正方體是特殊的長方體。計算長方體某個面的面積時,注意根據(jù)相對的4條棱的長度相等,把長方體的長、寬、高對應(yīng)到要計算的面上。對于看不到的面要利用“相對的兩個面完全相同”轉(zhuǎn)化到能看到的面上。簡記長方體表面積公式:長、寬、高交叉相乘再相加,最后加括號乘2。無論是計算長方體的表面積,還是計算正方體的表面積,都要根據(jù)實際情況進行計算,注意面的個數(shù)是幾個。所有的物體都占有一定的空間。立方厘米、立方分米、立方米,都是計量物體體積的單位,在計量一個物體的體積是多少時,就是看被測量的物體包含多少個什么樣的體積單位,從而知道物體的體積是多少。 用棱長是1厘米的小正方體拼圖形。用了幾個小正方體,拼成的圖形的體積就是幾立方厘米。高級單位化低級單位乘進率;低級單位化高級單位除以進率。在填合適的單位時,先看該物體裝的是液體還是固體,液體用容積單位,固體用體積單位,再看該物體的大小,大則用升或立方米作單位,小則用毫升或立方厘米作單位。把物體切割成若干個體積單位的大小,最后看切割成多少個體積單位,就能知道物體的體積具體是多少。通過這種方式,可以探索出切割數(shù)量與長方體或正方體體積之間的規(guī)律。特別要理解的是若切割出2個體積單位,則物體的體積就是2(立方厘米、立方分米或立方米),若切割出17個,則物體的體積就是17(立方厘米、立方分米或立方米),以此類推。已知長方體(正方體)的長、寬、高(棱長),就可以直接運用長方體(正方體)的體積公式進行計算。V=abh、V=a3、V=Sh這三個公式是相互聯(lián)系的,前兩個公式是第三個公式的基礎(chǔ)。長方體體積公式中的長寬就是長方體的底面積,正方體體積公式中的棱長棱長是正方體的底面積,可以把另一條棱長看作高。因此第三個公式,包括了前兩個公式。用這個公式既可以求長方體和正方體的體積,今后還可以用這個公式求其他柱體的體積。 在解答形狀變化問題時,要抓住體積不變這個關(guān)鍵點進行解答。用排水法測量不規(guī)則物體的體積,根據(jù)水的體積不變,而物體占用水的空間,則排開水的體積就等于物體占水的空間,即物體的體積