北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案含教學(xué)反思（全冊(cè)共169頁(yè)）第一章 三角形的證明1 等腰三角形第1課時(shí) 等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理.【過(guò)程與方法】經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力.【情感態(tài)度】啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系.【教學(xué)重點(diǎn)】探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法.【教學(xué)難點(diǎn)】明確推理證明的基本要求,如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表達(dá)等.教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入提前請(qǐng)學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過(guò)的8條基本事實(shí)中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.【教學(xué)說(shuō)明】對(duì)以前所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.二、新課教授1.你能用所學(xué)知識(shí)證明嗎？已知：ABC與DEF，A=D,B=E,BC=EF.求證：ABCDEF.證明：A=D,B=E（已知），A+B+C=180，D+E+F=180（三角形內(nèi)角和等于180），C=180-(A+B)，F(xiàn)=180-(D+E).C=F（等量代換）.又BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）.【歸納結(jié)論】1.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.2.根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2.等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過(guò)折紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證和證明過(guò)程.具體操作中，可以讓學(xué)生先獨(dú)自折紙觀察.探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足.【歸納結(jié)論】（1）等腰三角形的兩底角相等.（簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”）（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上的高三條線重合.三.運(yùn)用新知，深化理解1.在ABC中，ABAC， A50，求B，C的度數(shù).解：在ABC中，ABAC，BC.（等邊對(duì)等角）ABC180，A50,BC65.2.在ABC中，ABAC，直線AE交BC于點(diǎn)D，O是AE上一動(dòng)點(diǎn)但不與A重合，且OBOC，試猜想AE與BC，BD與CD的關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想的理由.解：猜想：AEBC，BDCD.理由如下：ABAC，OBOC，AOAO，ABOACO（SSS）.BAOCAO.AE為BAC的平分線.AEBC，BD=CD.3.如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD=CB，E，F(xiàn)是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF，DE=BF.求證：（1）D=B；（2）AECF證明：（1）在ADE與CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,ADECBF（SSS）. D=B （2）ADECBF,AED=CFB,AEO=CFO.AECF.4.如圖，在ABC中，AB = AC，ADBC,BAC = 100.求1，3，B的度數(shù).解：在ABC中，AB = AC，ADBC,1=2.1=BAC=50.又ADBC,3=90.在ABC中,AB = AC,B=C=40.【教學(xué)說(shuō)明】在此練習(xí)過(guò)程中，一定要注意學(xué)生的書(shū)寫格式，必要時(shí)教師要在黑板上板書(shū)過(guò)程.4、 課堂小結(jié)在本節(jié)課的教學(xué)中，要采用小組合作的方式教學(xué)，在小組合作的基礎(chǔ)上教師通過(guò)分析、提問(wèn)，和學(xué)生一起完成以上幾個(gè)性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個(gè)學(xué)生板演證明,其余學(xué)生注意其證明過(guò)程的書(shū)寫是否規(guī)范.其后，教師作補(bǔ)充強(qiáng)調(diào).布置作業(yè)教材“習(xí)題1.1”中第1、3題.教學(xué)反思1.學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，較好地運(yùn)用其性質(zhì)解決等腰三角形的問(wèn)題.2.知道等腰三角形的頂角平分線、底邊中線與底邊上的高互相重合.第2課時(shí) 等邊三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書(shū)寫格式，體會(huì)證明的必要性.【過(guò)程與方法】把等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行比較，體會(huì)等腰三角形和等邊三角形的相同之處和不同之處.【情感態(tài)度】體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.【教學(xué)重點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì).【教學(xué)難點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)提問(wèn)的形式，復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.二、新課教授探究 1 在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明.【歸納結(jié)論】等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等如對(duì)于“等腰三角形兩底角的平分線相等”的證明方法：證明：AB=AC，ABC=ACBBD，CE為ABC，ACB的平分線，3=4在ABD和ACE中，3=4，AB=AC，A=A，ABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)你能證明其它兩個(gè)結(jié)論嗎？探究2 求證：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60.已知：在ABC中，AB=BC=AC求證：A=B=C=60.證明：在ABC中，AB=AC，B=C(等邊對(duì)等角) 同理C=A，A=B=C（等量代換）又A+B+C180，A=B=C60【歸納結(jié)論】等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60.【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測(cè)、測(cè)量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出結(jié)論.三、例題講解1.如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD.證明：ABC和BDE都是等邊三角形，ABE=CBD=60, AB=CB, BE=BD.在ABE與CBD中,AB=CB,ABE=CBD,BE=BD.ABECBD(SAS).AE=CD.2.如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，且EDBC于點(diǎn)D.求證：AE=AF.證明：AB=AC,B=C.EDBC,B+BFD=90,C+E=90.BFD=EFA,B+EFA=90.C+E=90,B=C,EFA=E0AE=AF.3.如圖，在ABC中，A=20，D在AB上，AD=DC，ACDBCD=23，求ABC的度數(shù).解：AD=DC，ACD=A=20.ACDBCD=23,BCD=30.ACB=50.ABC=110.【教學(xué)說(shuō)明】在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步對(duì)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行綜合應(yīng)用，在書(shū)寫過(guò)程中掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書(shū)寫格式四、課堂小結(jié)掌握證明的基本步驟和書(shū)寫格式，經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高），兩底角的平分線相等，等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60.布置作業(yè)教材“習(xí)題1.2”中第2、3 題.教學(xué)反思在探究時(shí)，對(duì)學(xué)生探究的結(jié)果予以匯總、點(diǎn)評(píng)，鼓勵(lì)學(xué)生在自己做題目的時(shí)候也要多思多想，并要求學(xué)生對(duì)猜測(cè)的結(jié)果給出證明.第3課時(shí) 等腰三角形的判定及反證法教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】探索等腰三角形的判定定理,掌握反證法.【過(guò)程與方法】理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.【情感態(tài)度】培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.【教學(xué)重點(diǎn)】理解等腰三角形的判定定理.【教學(xué)難點(diǎn)】了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入問(wèn)題1 等腰三角形的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？問(wèn)題2 我們是如何證明上述定理的？【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)問(wèn)題回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行交流.二、新課教授1.我們把等腰三角形的性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)還成立嗎？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等嗎？【歸納結(jié)論】有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）2.小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?我們來(lái)看一位同學(xué)的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得C=B，但已知條件是BC，“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC.你能理解他的推理過(guò)程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)A=90，B=90，可得A+B=180，但A+B+C=180, “A+B=180”與“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個(gè)直角 引導(dǎo)學(xué)生思考：上面兩道題的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?【歸納結(jié)論】都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法 【教學(xué)說(shuō)明】總結(jié)這一證明方法，敘述并闡釋反證法的含義，讓學(xué)生了解.三、例題講解1.已知：如圖，CAE是ABC的外角，ADBC，且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對(duì)等邊)2. 如圖，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，設(shè)AB=12，AC=18，求AMN的周長(zhǎng).解：BD平分CBA，CD平分ACB，MBD=DBC,NCD=BCD.MNBC,MDB=DBC,NDC=BCD.MDB=MBD,NDC=NCD. MB=MD,NC=ND.CAMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30.3.在ABC中，BDAC于點(diǎn)D，CEAB于點(diǎn)E，BD = CE.求證：ABC是等腰三角形.解：SABC=(ABCE)=(ACBD)且BD = CE，AB=AC.ABC是等腰三角形.4.如圖，在ABC中，AB = AC，DEBC.求證：ADE是等腰三角形.證明：AB = AC，B=C.DEBC，B=E，D=C.D=E.ADE是等腰三角形.5.求證：垂直于同一條直線的兩條直線平行.證明：如圖，假設(shè)a，b 不平行，那么a，b 相交 .ac，bc，1=900，2=900. 1+2=180.而a、b相交，則1+2180與1+2=180相矛盾.假設(shè)不成立. 垂直于同一條直線的兩條直線平行.【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交流,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.四、課堂小結(jié)結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)的判定的區(qū)別和聯(lián)系布置作業(yè)教材“習(xí)題1.3”中第1、2、3 題.教學(xué)反思通過(guò)學(xué)生的練習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定定理掌握的較好，而用反證法證明定理的應(yīng)用掌握不夠好，應(yīng)在這方面多加練習(xí)講解.第4課時(shí) 等邊三角形的判定教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】理解等邊三角形的判定條件及其證明，理解含有30角的直角三角形的性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.【過(guò)程與方法】經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維.【情感態(tài)度】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.【教學(xué)重點(diǎn)】等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.【教學(xué)難點(diǎn)】了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入1.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是什么？2.等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等邊三角形呢？【教學(xué)說(shuō)明】開(kāi)門見(jiàn)山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊.二、新課教授1.一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？請(qǐng)證明自己的結(jié)論，并與同伴交流. 【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)要求學(xué)生給出相對(duì)規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié).2.用含30角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說(shuō)說(shuō)你的理由【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、觀察，找出一些線段存在相等關(guān)系.從而得出結(jié)論，并加深印象.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【歸納結(jié)論】1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形.三、例題講解1.見(jiàn)教材P11例3.2.已知：如圖，在RtABC中，C=90，BC=AB求證：BAC=30證明：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD=CB，連接AD.ACB=90，ACD=90又AC=AC，ACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等邊三角形B=60在RtABC中，BAC=303.如圖，ABC是等邊三角形，BD = CE，1 =2.求證：ADE是等邊三角形.證明：ABC是等邊三角形,AB=AC.在ABD與ACE中,AB=AC,1 =2,BD = CE,ABDACE（SAS）.BAD=CAE,AD=AE.EAD=BAC=60.ADE是等邊三角形(有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形).4.如圖，在RtABC中，B = 30，BD = AD，BD = 12，求DC的長(zhǎng).解：BD = AD，B =BAD= 30.ADC=60.C=90,DAC=30.在RtADC中,DAC=30，CD=AD(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).BD = AD=12,CD=6. 【教學(xué)說(shuō)明】變式訓(xùn)練,鞏固新知.注意幾何語(yǔ)言.熟練運(yùn)用直角三角形的有關(guān)性質(zhì).四、課堂小結(jié)掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理.布置作業(yè)教材“習(xí)題1.4”中第3、5題.教學(xué)反思通過(guò)反復(fù)練習(xí)，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)掌握的較好，就是幾何證明過(guò)程不夠嚴(yán)密，有待加強(qiáng).2 直角三角形第1課時(shí) 直角三角形的性質(zhì)定理教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能運(yùn)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題.2.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.【過(guò)程與方法】進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維【情感態(tài)度】體驗(yàn)生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法.【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入我們學(xué)過(guò)直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？與同伴交流.【教學(xué)說(shuō)明】回顧舊知，也為后續(xù)探索提供了鋪墊.二、新課教授探究1 直角三角形的性質(zhì)和判定.直角三角形的兩個(gè)銳角有什么關(guān)系？為什么？如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是什么三角形？為什么？【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，總結(jié)直角三角形的一般性質(zhì).【歸納結(jié)論】直角三角形的兩個(gè)銳角互余；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.探究2 勾股定理及其逆定理.教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎?【教學(xué)說(shuō)明】教師引導(dǎo)學(xué)生思考，寫出證明過(guò)程.【歸納結(jié)論】勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形探究3 互逆命題和互逆定理.觀察上面兩個(gè)命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎?上面兩個(gè)定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個(gè)定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個(gè)定理的條件在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎?【教學(xué)說(shuō)明】教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語(yǔ)言上不嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，要先讓這個(gè)疑問(wèn)交給學(xué)生來(lái)剖析，然后再總結(jié).【歸納結(jié)論】在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆.三、例題講解1.說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假:（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）如果ab0，那么a0， b0.解：（1）多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題（2）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行原命題與逆命題同為真命題（3）如果a0，b0，那么ab0原命題是假命題，而逆命題是真命題2.如圖，BADA于點(diǎn)A，AD = 12，DC = 9，CA = 15.求證：BADC.證明：在ADC中，AD = 12，DC = 9，CA = 15.AD2+DC2=CA2,ADC是直角三角形.ADCD.BADA,BADC.3.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖所示，ACB90，AC80米，BC60米，若線段CD是一條小渠，且點(diǎn)D在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，問(wèn)點(diǎn)D在距點(diǎn)A多遠(yuǎn)處時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？解：當(dāng)CDAB時(shí)，CD最短，造價(jià)最低.ACB90，AC80，BC60，AB=100.設(shè)AD=x,則BD=100-x.在RtADC與RtBDC中,CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.AC2-AD2=BC2-BD2，即802-x2=602-（100-x）2. 解得x=64.在RtADC中，CD=48.最低造價(jià)是：4810=480（元）.你還能用其他方法求出CD的長(zhǎng)嗎？（提示：用面積法）4.已知：如圖，在ABC中，C90，BCa，ACb，ABc求證：a2+b2c2證明：延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使BDb，作EBDA，并取BEc，連接ED、AE（如圖），則ABCBEDBDE90，EDa四邊形ACDE是直角梯形S梯形ACDE(a+b)(a+b)（a+b）2ABE180（ABCEBD）1809090，ABBE，SABEc2 . S梯形ACDESABE+SABC+SBED，（a+b）2c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2c2 + ab.a2+b2c2四、課堂小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進(jìn)一步提高了演繹推理的能力布置作業(yè)教材“習(xí)題1.5”中第2、3題.教學(xué)反思在教學(xué)互逆命題和互逆定理時(shí)，要強(qiáng)調(diào)互逆命題是相對(duì)兩個(gè)命題而言的，單獨(dú)一個(gè)命題稱不上互逆命題；一個(gè)命題是真，它的逆命題可能是真，也可能是假.第2課時(shí) 直角三角形全等的判定教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】能夠證明直角三角形全等的“HL”定理，進(jìn)一步理解證明的必要性.【過(guò)程與方法】進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感.【情感態(tài)度】進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力.【教學(xué)重點(diǎn)】能夠證明直角三角形全等的“HL”定理.【教學(xué)難點(diǎn)】進(jìn)一步理解證明的必要性.教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？2.已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形.想一想，怎么畫？同學(xué)們相互交流.3.有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【教學(xué)說(shuō)明】教師順?biāo)浦郏儐?wèn)能否證明：“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等”，從而引入新課.二.思考探究，獲取新知探究 “HL”定理.已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求證：RtABCRtABC.證明：在RtABC中，C=90，AC2=AB2一BC2(勾股定理)同理A C 2=AB2一BC2AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)【歸納結(jié)論】斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等這一定理可以簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”【教學(xué)說(shuō)明】講解學(xué)生的板演，借此進(jìn)一步規(guī)范學(xué)生的書(shū)寫和表達(dá).三、例題講解1.見(jiàn)教材P20例題.2.填空：如下圖，RtABC和RtDEF，C=F=90.（1）若A=D，AC=DF，則RtABCRtDEF的依據(jù)是 ；（2）若A=D，AB=DE，則RtABCRtDEF的依據(jù)是 ；（3）若AC=DF，AB=DE，則RtABCRtDEF的依據(jù)是 ；（4）若AC=DF，CB=FE，則RtABCRtDEF的依據(jù)是 ；答案（1）ASA （2）AAS （3）HL（4）SAS3.已知：RtABC和RtABC，C=C=90，BC=BC，BD,BD分別是AC,AC邊上的中線，且BD=BD. 求證：RtABCRtABC證明：在RtBDC和RtBDC中，BD=BD,BC=BC,RtBDCRtBDC (HL)CD=CD又AC=2CD，AC=2CD，AC=AC在RtABC和RtABC中，BC=BC，C=C=90，AC=AC，RtABCRtABC(SAS)4.如圖，在ABCABC中，CD，CD分別分別是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACB求證：ABCABC證明：CD，CD分別是ABC，ABC的高，ADC=ADC=90在RtADC和RtADC中，AC=AC，CD=CD ，RtADCRtADC (HL)A=A在ABC和ABC中，A=A，AC=AC ，ACB=ACB ，ABCABC (ASA)四、課堂小結(jié)直角三角形的判定方法有五種，注意“HL”僅適用于直角三角形.布置作業(yè)教材“習(xí)題1.6”中第3、4、5 題.教學(xué)反思本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等而當(dāng)一邊的對(duì)角是直角時(shí)，這兩個(gè)三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開(kāi)放性的問(wèn)題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力同學(xué)們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得夸贊3線段的垂直平分線第1課時(shí) 線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理【過(guò)程與方法】經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力,豐富對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)【情感態(tài)度】通過(guò)小組活動(dòng)，學(xué)會(huì)與他人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果.【教學(xué)重點(diǎn)】運(yùn)用幾何符號(hào)語(yǔ)言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.【教學(xué)難點(diǎn)】垂直平分線的性質(zhì)定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用.教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?【教學(xué)說(shuō)明】從實(shí)際問(wèn)題入手，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，用于生活.二.思考探究，獲取新知探究1 垂直平分線的性質(zhì).已知：直線MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意點(diǎn)求證：PA=PB證明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)【歸納結(jié)論】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等探究2 垂直平分線判定.你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?逆命題就很容易寫出來(lái)，“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”寫出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明引導(dǎo)學(xué)生分析證明過(guò)程.已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上證明：過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PCA=PCB=90. PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL)AC=BC，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上【教學(xué)說(shuō)明】此處證明可讓學(xué)生用多種方法證明.【歸納結(jié)論】到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.三、例題講解1.已知：如圖，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 OB = OC.求證：直線 AO 垂直平分線段BC證明： AB = AC， 點(diǎn) A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn) O 在線段 BC 的垂直平分線上. 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.2.如圖，DE為ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于點(diǎn)E， AC = 5，BC = 8，求AEC的周長(zhǎng).解：DE為ABC的AB邊的垂直平分線,AE=BE.CAEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.3.如圖，已知：線段CD垂直平分AB，AB平分DAC. 求證：ADBC證明：CD是AB的垂直平分線，AC=BC,CAB=B,又CAB=DAB,DAB=B,ADBC.4.如圖，已知：AD是ABC的高，E為AD上一點(diǎn)，且BE=CE. 求證：ABC是等腰三角形.證明：BE=CE，ADBCAD是BC的垂直平分線，AB=AC,ABC是等腰三角形.5.如圖，已知：ABBC，CDBC，AMB=75,DMC=45，AM=DM. 求證：AB=BC.證明：連接AC.AMD=1807545=60，且AM=DM，AMD是等邊三角形.AM=AD. 又MDC=9045=45，MDC=DMC，CD=CM，AC為DM的垂直平分線，又CD=CMCH是DCM角平分線.ACM=9045=45.BAC=180-B=ACM=90-ACM=45AB=BC.【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過(guò)程.四、課堂小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？布置作業(yè)教材“習(xí)題1.7”中第1、3 題.教學(xué)反思由于本節(jié)課是對(duì)垂直平分線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，學(xué)生掌握起來(lái)難度較大，所以要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過(guò)程.第2課時(shí) 垂直平分線的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn).2.垂直平分線的應(yīng)用.【過(guò)程與方法】經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力體驗(yàn)解決問(wèn)題的方法，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).【情感態(tài)度】體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.【教學(xué)重點(diǎn)】作已知線段的垂直平分線.【教學(xué)難點(diǎn)】垂直平分線的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理是什么？【教學(xué)說(shuō)明】回顧舊知，為本節(jié)課作準(zhǔn)備.二、新課教授探究1 請(qǐng)同學(xué)們剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生自己經(jīng)歷探究的過(guò)程，不要直接給出答案或很有指向性的提示.【歸納結(jié)論】三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.探究2：已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形已知：線段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1作BC=a；2作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；3以D為圓心，h長(zhǎng)為半徑作弧交MN于A點(diǎn)；4連接AB、AC.ABC就是所求作的三角形(如圖所示)探究3：已知直線 l 和 l 上一點(diǎn) P，用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) P.如果點(diǎn) P 是直線 l 外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 呢？【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生先獨(dú)立思考完成，然后交流，說(shuō)出做法并解釋作圖的理由.三、例題講解1.如圖，已知：在ABC中，AB、BC邊上的垂直平分線相交于點(diǎn)P. 求證：點(diǎn)P在AC的垂直平分線上.證明：P是AB、BC邊上的垂直平分線，AP=BP,BP=CP，AP=CP，P點(diǎn)在AC的垂直平分線上.2.如圖所示，在RtABC中，C=90，A=30（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在已作的圖形中，若l分別交AB、AC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F，連接BE求證：EF=2DE.解：（1）直線l即為所求（2）證明：在RtABC中，A=30，ABC=60.又l為線段AB的垂直平分線，EA=EB，EBA=A=30，AED=BED=60.EBC=30=EBA，F(xiàn)EC=60又EDAB，ECBC，ED=EC在RtECF中，F(xiàn)EC=60，EFC=30.EF=2EC.EF=2ED四、課堂小結(jié)本節(jié)課通過(guò)推理證明了“到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”的結(jié)論，并能根據(jù)此結(jié)論“已知等腰三角形的底和底邊的高，求作等腰三角形”布置作業(yè)教材“習(xí)題1.8”中第1、2 題.教學(xué)反思讓學(xué)生動(dòng)手畫出符合要求的三角形，訓(xùn)練他們的作圖技能，要注意提醒學(xué)生正確使用直尺和圓規(guī)，規(guī)范作圖.4 角平分線第1課時(shí) 角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】會(huì)證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理【過(guò)程與方法】經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步提高學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力體驗(yàn)解決問(wèn)題的方法，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).【情感態(tài)度】經(jīng)歷探索、猜想、證明使學(xué)生掌握研究解決問(wèn)題的方法.【教學(xué)重點(diǎn)】正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明.【教學(xué)難點(diǎn)】正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明.教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入讓學(xué)生到黑板上畫出他們收集到的日常生活中應(yīng)用角平分線的例子，并分別說(shuō)出它們的作用.【教學(xué)說(shuō)明】高度評(píng)價(jià)學(xué)生的參與熱情和學(xué)習(xí)成果，激勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力.尤其是對(duì)于其中很有創(chuàng)意的發(fā)現(xiàn)，可以以該學(xué)生名字命名，以此鼓勵(lì).提高學(xué)生的積極性.二、新課教授探究1 角平分線定理已知：如圖，OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別為D、E求證：PD=PE證明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)【教學(xué)說(shuō)明】請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試著證明上述結(jié)論，然后在全班進(jìn)行交流教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)有困難的學(xué)生要給予指導(dǎo).【歸納結(jié)論】角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等. 探究2 角平分線的判定定理.已知：在AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PDOA，PEOB，D、E為垂足且PD=PE.求證：點(diǎn)P在AOB的角平分線上證明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90在RtODP和RtOEP中,OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP(HL定理)1=2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)點(diǎn)P在AOB的角平分線上.【歸納結(jié)論】在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離