p18.2特殊的平行四邊形18.2.1矩形第一課時(shí)第二課時(shí)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)矩形的性質(zhì)第一課時(shí)返回在推動(dòng)平行四邊形的變化過程中，你有沒有發(fā)現(xiàn)一種熟悉的、更特殊的圖形？我們都知道三角形具有穩(wěn)定性，平行四邊形是否也具有穩(wěn)定性？1.理解矩形的概念，明確矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.2.探索并證明矩形的性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)解決簡單的問題.素養(yǎng)目標(biāo)3.探索并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)定理.一個(gè)角是直角兩組對(duì)邊分別平行矩形我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)，同樣對(duì)于平行四邊形來說也有特殊情況即特殊的平行四邊形，這堂課我們就來研究一種特殊的平行四邊形矩形矩形的定義【思考】從圖形上看矩形是平行四邊形嗎若是它們之間有何關(guān)系呢有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.矩形的定義：矩形是特殊的平行四邊形具備平行四邊形所有的性質(zhì).對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分矩形的一般性質(zhì)：矩形的性質(zhì)矩形是一個(gè)特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有哪些特殊性質(zhì)呢？ABCD做一做：準(zhǔn)備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位測量身邊的矩形（如書本課桌鉛筆盒等）的四條邊長度、四個(gè)角度數(shù)和對(duì)角線的長度及夾角度數(shù)并記錄測量結(jié)果.ABCDO物體測量（實(shí)物）（形象圖）（2）根據(jù)測量的結(jié)果你有什么猜想？猜想1矩形的四個(gè)角都是直角.猜想2矩形的對(duì)角線相等.求證：矩形的四個(gè)角都是直角已知：如圖，四邊形ABCD是矩形求證：A=B=C=D=90證明：四邊形ABCD是矩形A=90又矩形ABCD是平行四邊形A=CB=DA+B=180A=B=C=D=90即矩形的四個(gè)角都是直角.已知：如圖四邊形ABCD是矩形求證：AC=BD證明：在矩形ABCD中ABC=DCB=90又AB=DC，BC=CBABCDCB(SAS)AC=BD即矩形的對(duì)角線相等.求證:矩形的對(duì)角線相等矩形特殊的性質(zhì):矩形的四個(gè)角都是直角矩形的兩條對(duì)角線相等從角上看：從對(duì)角線上看：矩形的兩條對(duì)角線互相平分矩形的兩組對(duì)邊分別相等矩形的兩組對(duì)邊分別平行矩形的四個(gè)角都是直角矩形的兩條對(duì)角線相等邊對(duì)角線角數(shù)學(xué)語言：四邊形ABCD是矩形ADBC，CDABAD=BC，CD=ABAC=BDAO=CO，OD=OB矩形的性質(zhì)A=B=C=D=90例1如圖在矩形ABCD中兩條對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)OAOB=60AB=4求矩形對(duì)角線的長.解：四邊形ABCD是矩形.AC=BD，OA=OC=ACOB=OD=BDOA=OB.又AOB=60OA=AB=4，AC=BD=2OA=8.ABCDO利用矩形的性質(zhì)求線段的長矩形的對(duì)角線相等且互相平分OAB是等邊三角形，1.如圖，EF過矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_________.例2將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD對(duì)折，再折疊使AD與對(duì)角線BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的長.解:矩形紙片ABCD中，DAB=90，AD=BCAB=CD，又ADG沿DG折疊得到ADGADGADGx2+42=(8-x)2解得：x=3.設(shè)AG=x，則BG=AB-AG=8-x，在RtGAB中，由勾股定理得：AB2+AG2=BG2AD=ADAG=AG，AB=AB-AD=10-6=4，利用矩形的性質(zhì)解答折疊問題2.如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C處，BC交AD于點(diǎn)E，AD8，AB4，求BED的面積解：四邊形ABCD是矩形，ADBC，A90，又由折疊知12，13，BEDE.設(shè)BEDEx，則AE8x.在RtABE中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2，解得x5，即DE5.SBEDDEAB5410.23.【思考】矩形ABCD是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸有幾條？矩形是中心對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱中心是什么？ABCDEFGH.O矩形的對(duì)稱性及相關(guān)性質(zhì)矩形的性質(zhì)：對(duì)稱性：.對(duì)稱軸：.軸對(duì)稱圖形2條矩形的性質(zhì)：中心對(duì)稱：.對(duì)稱中心：.中心對(duì)稱圖形對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分中心對(duì)稱圖形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角為直角對(duì)角線互相平分且相等中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形O兩對(duì)全等的等腰三角形.你在矩形中還發(fā)現(xiàn)了哪些基本圖形？四個(gè)全等的直角三角形.如圖，一張矩形紙片，沿著對(duì)角線剪去一半，你能得到什么結(jié)論？RtABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系？一般地，這個(gè)結(jié)論對(duì)所有直角三角形都成立嗎？直角三角形的性質(zhì)猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.OD證明:延長BO至D使OD=BO連接AD、DC.AO=OCBO=OD，四邊形ABCD是平行四邊形.ABC=90平行四邊形ABCD是矩形，AC=BD，如圖，在RtABC中，ABC=90，BO是AC上的中線.求證:BO=AC.BO=BD=AC.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例3如圖，在ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)(1)若AB10，AC8，求四邊形AEDF的周長；解：AD是ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，DEAEAB105，DFAFAC84，四邊形AEDF的周長AEDEDFAF554418；利用直角三角形的性質(zhì)解答題目(2)求證：EF垂直平分AD.證明：DEAE，DFAF，E、F在線段AD的垂直平分線上，EF垂直平分AD.提示：當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形的條件時(shí)，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行求解3.三位學(xué)生正在做投圈游戲，他們分別站在一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，目標(biāo)物放在斜邊的中點(diǎn)處三個(gè)人的位置對(duì)每個(gè)人公平嗎？請(qǐng)說明理由答：公平.因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹芯€等于斜邊的一半.1.（2018株洲）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=10，P、Q分別為AO、AD的中點(diǎn)，則PQ的長度為_____鞏固練習(xí)2.52.（2019福建）如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點(diǎn)，且DFBE求證：AFCE鞏固練習(xí)證明：四邊形ABCD是矩形，DB90，ADBC，ADFCBE（SAS），AFCEADBC，DB，DFBE，在ADF和CBE中，1.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列說法錯(cuò)誤的是（）AABDCBAC=BDCACBDDOA=OBABCDOC2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12則斜邊上的中線長為()A.13B.6C.6.5D.不能確定C3.如圖，在ABC中ABC=90BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm則AC=_____cm(2)若C=30AB=5cm則AC=_____cmBD=_____cm.61054.如圖在矩形ABCD中E是BC上一點(diǎn)AE=ADDFAE垂足為F.求證：DF=DC.ABCDEF證明：連接DE.AD=AEAED=ADE.四邊形ABCD是矩形ADBCC=90.ADE=DECDEC=AED.又DFAEDFE=C=90.又DE=DEDFEDCEDF=DC.如圖，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE：BAE3：1，求BAE和EAO的度數(shù)解：四邊形ABCD是矩形，DAB90，AOAC，BOBD，ACBD，BAEDAE90，AOBO.又DAE：BAE3：1，BAE22.5，DAE67.5.AEBD，OABABE67.5EAO67.522.545.ABE90BAE9022.567.5，如圖，已知BD，CE是ABC不同邊上的高，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，試說明GFDE.解：連接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，EGBC，DGBC.EGDG.又點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，GFDE.矩形的相關(guān)概念及性質(zhì)具有平行四邊形的一切性質(zhì)四個(gè)內(nèi)角都是直角，對(duì)角線相等既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形定義性質(zhì)矩形的判定第二課時(shí)返回一位很有名望的木工師傅，招收了兩名徒弟，一天，師傅有事外出，兩徒弟就自已在家練習(xí)用兩塊四邊形的廢料各做了一扇矩形式的門，做完之后，兩人都說對(duì)方的門不是矩形，而自已的是矩形.你能想一個(gè)辦法確定誰做的門是矩形嗎？2.能應(yīng)用矩形定義、判定等知識(shí)，解決簡單的證明題和計(jì)算題.1.理解并掌握矩形的判定方法.素養(yǎng)目標(biāo)小明利用周末的時(shí)間，為自己做了一個(gè)相框問題1:請(qǐng)你利用直尺和三角板幫他檢驗(yàn)一下，相框是矩形嗎？除了矩形的定義外，有沒有其他判定矩形的方法呢？矩形的判定定理1證明問題2:你還記得學(xué)習(xí)平行四邊形的判定時(shí)，我們是如何猜想并進(jìn)行證明的嗎？同樣，小明通過研究矩形性質(zhì)的逆命題，得到判定矩形的方法呢？小明的猜想:對(duì)角線相等的四邊形是矩形問題3上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對(duì)角線相等”，反過來，小明猜想對(duì)角線相等的四邊形是矩形，你覺得對(duì)嗎？【討論】你能證明這一猜想嗎？猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.已知：平行四邊形ABCD中，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:AB=DCABCDCB（SSS）ABCDABC+DCB=180ABC=DCB=90又四邊形ABCD是平行四邊形四邊形ABCD是矩形.ABC=DCB四邊形ABCD是平行四邊形又AC=DB，BC=CB對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.矩形的判定定理1：幾何語言：四邊形ABCD是平行四邊形且AC=BD四邊形ABCD是矩形.（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）（或OA=OC=OB=OD）解：四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD，AC=BD，四邊形ABCD是矩形，BAD=90.又OAD=50，OAB=40.利用對(duì)角線判定矩形12解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形AO=CODO=BO.又1=2，AO=BO，AC=BD，四邊形ABCD是矩形.問題1:前邊我們學(xué)習(xí)了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.成立.問題2:四邊形至少有幾個(gè)角是直角就是矩形呢？矩形的判定定理2做一做：李芳同學(xué)由“邊直角、邊直角、邊直角、邊”這樣四步，畫出了一個(gè)四邊形，她說這就是一個(gè)矩形，她的判斷對(duì)嗎？為什么？猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.你能證明上述結(jié)論嗎？已知：如圖在四邊形ABCD中A=B=C=90.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:A=B=C=90A+B=180B+C=180，ADBCABCD.四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.A=B=C=90四邊形ABCD是矩形.幾何語言：矩形的判定定理2：歸納總結(jié)矩形的幾種判定方法:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.方法1：方法2：方法3：例2如圖在ABC中點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)O作直線MNBC若MN交BCA的平分線于點(diǎn)E交BCA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證:OE=OFEF證明：CF平分ACD，1=2又MNBC，1=32=3，同理可證：OC=OEOE=OFD(2)當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)四邊形AECF為矩形利用角判斷四邊形是矩形OC=OF(1)答：當(dāng)點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.理由：由（1）知OE=OF又AO=CO四邊形AECF是平行四邊形又EC、FC分別平分ACB、ACD2+4=90即ECF=90四邊形AECF是矩形(2)EFD2.如圖，ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形證明：在ABCD中，ADBCDAB+ABC=180.AE與BG分別為DAB、ABC的平分線四邊形EFGH是矩形同理可證AED=EHG=90AFB=90，GFE=90.BAE+ABF=DAB+ABC=90.1.（2018上海）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）AA=BBA=CCAC=BDDABBCB2.（2019懷化）已知：如圖，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F(xiàn)分別為垂足（1）求證：ABECDF；（2）求證：四邊形AECF是矩形（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BD，ABCD，ADBC，AEBAECCFDAFC90，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）證明：ADBC，EAFAECAFC90，ABCD，BD，AEBCFD，四邊形AECF是矩形EAFAEB90，AEBC，CFAD，1.如圖，在ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，則下面條件能判定ABCD是矩形的是（）AAC=BDBAC=BCCAD=BCDAB=ADA2.如圖直線EFMNPQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn)AB、CB、CD、AD分別是EAC、MCA、ACN、CAF的平分線則四邊形ABCD是（）A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.不能確定C3.如圖矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn)且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.證明：四邊形ABCD是矩形，AC=BD，AO=BO=CO=DO，AE=BF=CG=DH，OE=OF=OG=OH，四邊形EFGH是平行四邊形，EO+OG=FO+OH，即EG=FH，四邊形EFGH是矩形.4.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=5，BC=12，AC=13求證：四邊形ABCD是矩形證明：四邊形ABCD中，ABCD，BAD=90，ADC=90.又ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，即ABC是直角三角形，且B=90，四邊形ABCD是矩形如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形證明：在ABC中，ABAC，ADBC，BADDAC，即DACBAC.又AN是ABC外角CAM的平分線，MAECAECAMDAEDACCAE(BACCAM)90.又ADBC，CEAN，ADCCEA90四邊形ADCE為矩形如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cms的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cms的速度運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)(1)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形PQCD是平行四邊形？解：設(shè)經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形，即PDCQ，所以24x3x，解得x6.即經(jīng)過6s，四邊形PQCD是平行四邊形；(2)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形PQBA是矩形？解：設(shè)經(jīng)過ys，四邊形PQBA為矩形，即APBQ，y263y，解得y6.5，即經(jīng)過6.5s，四邊形PQBA是矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和證明矩形的判定定義判定定理課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊(cè)練習(xí)/p