p17.2勾股定理的逆定理第一課時第二課時人教版數學八年級下冊勾股定理的逆定理第一課時返回按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段然后以3個結，4個結，5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、互逆定理的概念、關系及勾股數.2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形.素養目標據說，古埃及人曾用如圖所示的方法畫直角.勾股定理的逆定理三邊分別為3，4，5，滿足關系：32+42=52，則該三角形是直角三角形問題1用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是做一做：下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些數為邊長畫出三角形(單位：cm).5，12，13；7，24，25；8，15，17下面有三組數分別是一個三角形的三邊長abc:512137242581517.問題2這三組數在數量關系上有什么相同點？51213滿足52+122=13272425滿足72+242=25281517滿足82+152=172.問題3古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？32+42=52，滿足.a2+b2=c2問題4據此你有什么猜想呢由上面幾個例子，我們猜想：命題2如果三角形的三邊長abc滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.已知：如圖，在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且ABbcab證明：作A1B1C1在ABC和A1B1C1中，Ca求證：C=90使C1=90根據勾股定理，則有BAB1C1=a，C1A1=bA1B12=B1C12+C1A12=a2+b2a2+b2=c2A1B1=c，AB=A1B1符號語言：在ABC中，若a2+b2=c2則ABC是直角三角形如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對應的角為直角.例1下面以abc為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個角是直角？(1)a=15，b=8，c=17解：(1)152+82=289，172=289，(2)a=13，b=14，c=15.(2)132+142=365，152=225，總結：根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形152+82=172，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且C是直角.132+142152，不符合勾股定理的逆定理，這個三角形不是直角三角形.1.下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是()A.123B.234C.456D.2.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三個內角比為1：2：1B.三邊之比為1：2：C.三邊之比為D.三個內角比為1：2：3DCDC例2若ABC的三邊abc，且a+b=4ab=1c=，試說明ABC是直角三角形.解：a+b=4ab=1a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又c2=14a2+b2=c2ABC是直角三角形.勾股定理的逆定理和乘法公式判斷三角形3.若ABC的三邊abc滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷ABC的形狀.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，a26a+9+b28b+16+c210c+25=0.即(a3)+(b4)+(c5)=0.a=3b=4c=5，即a2+b2=c2.ABC是直角三角形.勾股數如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.常見勾股數：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數拓展性質：一組勾股數，都擴大相同倍數k(k為正整數)，得到一組新數，這組數同樣是勾股數.4.下列各組數是勾股數的是()A.3，4，6B.6，7，8C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13D方法點撥：根據勾股數的定義，勾股數必須為正整數，先排除小數，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為ab斜邊為c那么a2+b2=c2.命題2如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.看下邊的兩個命題：互逆命題和互逆定理命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設結論它們是題設和結論正好相反的兩個命題.發現1兩個命題的條件和結論如下所示：發現2兩個命題的條件和結論有如下聯系：歸納總結：一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那么它也是一個定理，我們稱這兩個定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.題設和結論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.5.說出下列命題的逆命題這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內錯角相等；逆命題：內錯角相等，兩直線平行真命題（2）對頂角相等；逆命題：相等的角是對頂角假命題（3）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等逆命題：到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上真命題1.（2019威海模擬）已知M、N是線段AB上的兩點，AMMN2，NB1，以點A為圓心，AN長為半徑畫??；再以點B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC，BC，則ABC一定是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形鞏固練習B1.下列各組數是勾股數的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA3.寫出下列命題的逆命題，并判斷其逆命題的真假性.(1)如果兩個角是直角，那么它們相等.(2)在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.(3)如果，那么a0.解：(1)如果兩個角相等，那么這兩個角是直角.假命題.(2)在角的內部，角的平分線上的點到兩邊的距離相等.真命題.(3)如果a0，那么.真命題.4.若ABC的三邊abc滿足a:b:c=3:4:5，試判斷ABC的形狀.解：設a=3kb=4kc=5k(k0)(3k)2+(4k)2=25k2(5k)2=25k2(3k)2+(4k)2=(5k)2ABC是直角三角形，且C是直角.ABC三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？解：AB2+BC2122+52=144+25=169，AC2=132=169，AB2+BC2=AC2，ABC為直角三角形，且B=90，由于A地在B地的正東方向，所以C地在B地的正北方向.如圖，在正方形ABCD中，F是CD的中點，E為BC上一點，且CECB，試判斷AF與EF的位置關系，并說明理由解：AFEF.理由如下：設正方形的邊長為4a則ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF為直角三角形，且AE為斜邊AFE90，即AFEF.勾股定理的逆定理內容作用從三邊數量關系判定一個三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.注意最長邊不一定是c，C也不一定是直角.勾股數一定是正整數勾股數互逆命題和互逆定理勾股定理的逆定理的應用第二課時返回工廠生產的產品都有一定的規格要求，如圖所示：該模板中的AB、BC相交成直角才符合規定。你能測出這個零件是否合格呢？(身邊只有刻度尺)在軍事和航海上經常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數學知識和方法，其中勾股定理的逆定理經常會被用到，這節課讓我們一起來學習吧.2.進一步加深對勾股定理與其逆定理之間關系的認識.1.應用勾股定理的逆定理解決實際問題.素養目標3.將實際問題轉化成用勾股定理的逆定理解決的數學問題.12如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行“遠航”號每小時航行16海里“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點QR處，且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEPQR利用勾股定理的逆定理解答角度問題【思考】1.認真讀題，找已知是什么？“遠航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離已知，如下圖.12NEPQR161.5=24121.5=18303.由于我們現在所能得到的都是線段長，要求角，由此我們想到利用什么思想？要解決的問題是求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理【思考】2.需要解決的問題是什么？轉化的思想4.知道線段長度，通過線段長度來求角的度數，我們可以利用什么轉化呢？解：根據題意得PQ=161.5=24(海里)PR=121.5=18(海里)QR=30海里.242+182=302，即PQ2+PR2=QR2QPR=90.由“遠航”號沿東北方向航行可知1=45.2=45，即“海天”號沿西北方向航行.方法點撥：解決實際問題的步驟：標注有用信息明確已知和所求；構建幾何模型(從整體到局部)；應用數學知識求解.1.在尋找馬航MH370航班過程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標A、B.接到消息后，一艘艦艇以16海里時的速度離開港口O(如圖所示)向北偏東40方向航行，另一艘艦艇在同時以12海里時的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個半小時后相距30海里，問另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？解：由題意得，OB121.518海里，OA161.524海里，又AB30海里，182242302，即OB2OA2AB2，AOB90.DOA40，BOD50.則另一艘艦艇的航行方向是北偏西50.如圖，四邊形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在RtABD中由勾股定理得BD2=AB2+AD2，BD=5cm.又CD=12cm，BC=13cmBC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形.S四邊形ABCD=SRtBCDSRtABD=BDCDABAD=(51234)=24(cm2)CBAD利用勾股定理的逆定理解答面積問題2.如圖，在四邊形ABCD中，ACDC，ADC的面積為30cm2，DC12cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面積.解:SACD=30cm2，DC12cm.AC=5cm.又ABC是直角三角形B是直角.如圖，是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現ABDC8m，ADBC6m，AC9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解：ABDC8m，ADBC6m，AB2BC282626436100.又AC29281，AB2BC2AC2，ABC90，該農民挖的不合格利用勾股定理的逆定理解答檢測問題3.一個零件的形狀如圖所示按規定這個零件中A和DBC都應為直角工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖所示這個零件符合要求嗎DABC4351312DABC圖圖在BCD中，BCD是直角三角形，DBC是直角.因此，這個零件符合要求.解：在ABD中，ABD是直角三角形，A是直角.DABC4351312圖AB2+AD2=32+42=25=52=BD2BD2+BC2=52+122=169=132=CD2（2018長沙）我國南宋著名數學家秦九韶的著作數書九章里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）A7.5平方千米B15平方千米C75平方千米D750平方千米鞏固練習ABB1.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現將他們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是（）DA.B.C.D.2.如圖是醫院、公園和超市的平面示意圖，超市在醫院的南偏東25的方向，且到醫院的距離為300m，公園到醫院的距離為400m，若公園到超市的距離為500m，則公園在醫院的()A.北偏東75的方向上B.北偏東65的方向上C.北偏東55的方向上D.無法確定B3.如圖，某探險隊的A組由駐地O點出發，以12kmh的速度前進，同時，B組也由駐地O出發，以9kmh的速度向另一個方向前進，2h后同時停下來，這時A，B兩組相距30km此時，A，B兩組行進的方向成直角嗎？請說明理由.解：出發2小時，A組行了122=24(km)，B組行了92=18(km)，又A，B兩組相距30km，且有242+182=302，A，B兩組行進的方向成直角4.在城市街路上速度不得超過70千米時，一輛小汽車某一時刻行駛在路邊車速檢測儀的北偏東30距離30米處，過了2秒后行駛了50米，此時小汽車與車速檢測儀間的距離為40米.問：2秒后小汽車在車速檢測儀的哪個方向這輛小汽車超速了嗎車速檢測儀小汽車30米30北60解：小汽車在車速檢測儀的南偏東60方向或北偏西60方向.25米秒=90千米時70千米時小汽車超速了.40米如圖，四邊形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13求四邊形ABCD的面積.分析：連接AC，把四邊形分成兩個三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷ACD是直角三角形.解：連接AC.在RtABC中，在ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，ACD是直角三角形，且ACD=90.S四邊形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.如圖，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒2cm的速度移動，點Q從點C沿CB邊向點B以每秒1cm的速度移動，如果同時出發，則過3s時，求PQ的長解：設AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，周長為36cm，即AB+BC+AC=36cm，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，過3秒時，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，在RtPBQ中，由勾股定理得3x+4x+5x=36，解得x=3.P勾股定理的逆定理的應用應用航海問題方法認真審題畫出符合題意的圖形熟練運用勾股定理及其逆定理來解決問題與勾股定理結合解決不規則圖形等問題課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習/p