8.3實際問題與二元一次方程組第一課時第二課時人教版數學七年級下冊利用二元一次方程組解答實際問題第一課時返回悟空順風探妖蹤，千里只行四分鐘.歸時四分行六百，風速多少才稱雄？1.能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題.2.學會利用二元一次方程組解決幾何、行程問題.素養目標3.經歷用方程組解決實際圖形問題的過程，體會方程組是刻畫現實世界的有效數學模型.養牛場原有30只大牛和15只小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購進12只大牛和5只小牛，這時1天約用飼料940kg.飼養員李大叔估計每只大牛1天約需飼料18到20kg，每只小牛1天約需飼料7到8kg.你認為李大叔估計的準確嗎？列二元一次方程組解答較簡單問題問題1：題中有哪些未知量，你如何設未知數？未知量:每頭大牛1天需用的飼料每頭小牛1天需用的飼料.問題2：題中有哪些等量關系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用飼料為675kg(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用飼料為940kg.設未知數：設每頭大牛和每頭小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg，解:設每頭大牛和小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg，根據等量關系，列方程組：答:每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料為20kg和5kg，飼養員李大叔估計每天大牛需用飼料18到20千克，每頭小牛一天需用7到8千克與計算有一定的出入.+=675+=940.30 x15y42x20y解方程組，得：x=y=.205例1醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配制營養品每克甲原料含0.5單位蛋白質和1單位鐵質每克乙原料含0.7單位蛋白質和0.4單位鐵質若病人每餐需要35單位蛋白質和40單位鐵質那么每餐甲、乙原料各多少克恰好滿足病人的需要列二元一次方程組解答數量問題解:設每餐甲、乙原料各x克，y克.則有下表:0.5xx0.7y0.4y3540根據題意得方程組化簡得-得5y=150y=30把y=30代入得x=28答：每餐甲原料28克乙原料30克恰好滿足病人的需要.歸納總結用二元一次方程組解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意和題目中的_________；(2)設元：用___________表示題目中的未知數；(3)列方程組：根據___個等量關系列出方程組；(4)解方程組：利用__________法或___________解出未知數的值；(5)檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答.數量關系字母2代入消元加減消元法1.某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經過測試：同時開放1個大餐廳和2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳和1個小餐廳，可供2280名學生就餐.（1）求1個大餐廳和1個小餐廳分別可供多少名學生就餐？（2）若7個餐廳同時開放，請估計一下能否供應全校的5300名學生就餐？請說明理由.解:(1)設1個大餐廳和1個小餐廳分別可供x名y名學生就餐，x+2y=16802x+y=2280解得:x=960y=360(2)若7個餐廳同時開放，則有5960+2360=5520答：(1)1個大餐廳和1個小餐廳分別可供960名360名學生就餐.(2)若7個餐廳同時開放，可以供應全校的5300名學生就餐.55205300依題意得據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比1:2現要把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4？列二元一次方程組解答幾何問題轉換成數學語言：已知：長方形ABCD，AB=CD=200m，AD=BC=100m，長方形ABCD分割為兩個小長方形，長方形1和長方形2分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產量的比是1:2.這里研究的實際上是什么問題？把一個長方形分成兩個小長方形有哪些分割方式？方法1豎著畫，把長分成兩段，則寬不變方法2橫著畫，把寬分成兩段，則長不變我們可以畫出示意圖來幫助分析動手試著畫一畫目標：甲、乙兩種作物的總產量的比是3:4問題分析豎著畫，把長分成兩段，則寬不變ADCFBE1.大長方形的長=200m2.甲、乙兩種作物總產量比=3:4等量關系式有幾個？方法1豎著畫，把長分成兩段，則寬不變ADCFBE1.大長方形的長=200m2.甲、乙兩種作物總產量比=3:4設AExm，BEym.先求出兩種作物的面積SAEFD=100 xSEFCB=100y再寫出兩種作物的總產量甲：100 x1乙：100y2則列方程為100 x:200y=3:4總產量=？1:2xy200m100如何設未知數呢？則列方程為x+y=200單位面積產量面積方法1豎著畫，把長分成兩段，則寬不變ADCFBE根據題意列方程組為100 x:200y=3:4xy200m100mx+y=200解得x=120y=80甲種作物乙種作物解：過點E作EFAB，交CD于點F.設AExm，BEym.答：將這塊土地分為長120m寬100m和長100m寬80m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.方法1解法一橫著畫，把寬分成兩段，則長不變ADCBExyFx+y=100乙種作物甲種作物解：過點E作EFBC，交BC于點F.設DExm，AEym.200 x:400y=3:4200y200 xx=60y=40解得根據題意列方程組為200m100m答：將這塊土地分為長200m寬60m和長200m寬40m的兩個小長方形分別種植甲、乙兩種作物.方法2解法二例2某校現有校舍20000m2計劃拆除部分舊校舍，改建新校舍，使校舍總面積增加30%.若建造新校舍的面積為被拆除的舊校舍面積的4倍，那么應該拆除多少舊校舍，建造多少新校舍？（單位為m2）解：設應拆除舊校舍xm2，建造新校舍ym2列二元一次方程組解答幾何問題由題意得：解得：答：應該拆除2000m2舊校舍，建造8000m2新校舍.2.8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少（單位cm）解:設小長方形地磚的長為x寬為y由題意得解此方程組得：x=45y=15.答:小長方形地磚的長為45cm寬為15cm.小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.問小華家離學校多遠？列二元一次方程組解答行程問題分析：小華到學校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60mmin下坡路：80mmin上坡路：40mmin走平路的時間+走下坡路的時間=________，走上坡路的時間+走平路的時間=_______路程=平均速度時間1015方法一（直接設元法）解：設小華家到學校平路長xm，下坡路長ym.根據題意，可列方程組：解方程組，得所以小明家到學校的距離為700m.方法二（間接設元法）解：設小華下坡路所花時間為xmin上坡路所花時間為ymin.根據題意，可列方程組：解方程組，得所以小明家到學校的距離為700m.故平路距離：60（10-5）=300（m）坡路距離：805=400（m）例3張強與李毅二人分別從相距20千米的兩地出發，相向而行.若張強比李毅早出發30分鐘，那么在李毅出發后2小時，他們相遇；如果他們同時出發，那么1小時后兩人還相距11千米.求張強、李毅每小時各走多少千米？列二元一次方程組解答行程問題2y千米張強2.5小時走的路程李毅2小時走的路程11千米0.5x千米2x千米x千米y千米解：設張強、李毅每小時各走xy千米，由題意得答：張強、李毅每小時各走45千米.分析：如下圖（1）、（2）所示3.巴廣高速公路在5月10日正式通車，從巴中到廣元全長約126km，一輛小汽車、一輛貨車同時從巴中、廣元兩地相向開出，經過45分鐘相遇，相遇時小汽車比貨車多行6km，設小汽車和貨車的速度分別為xkmh、ykmh，則下列方程組正確的是（）A.B.C.D.D（2019舟山）中國清代算書御制數理精蘊中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩問馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可列方程組為（）ABCD鞏固練習D1.某校春季運動會比賽中，八年級（1）班、（5）班的競技實力相當，關于比賽結果，甲同學說：（1）班與（5）班得分比為6:5；乙同學說：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分若設（1）班得x分，（5）班得y分，根據題意所列的方程組應為（）B.C.D.D2.一只蛐蛐6條腿，一只蜘蛛8條腿，現有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68條腿，若設蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，則列出方程組為______________解析:根據蛐蛐和蜘蛛共10只，可得xy10蛐蛐和蜘蛛共有68條腿，可得6x8y68.3.某電腦經銷商計劃同時購進一批電腦機箱和液晶顯示器，若購進電腦機箱10臺和液晶顯示器8臺，共需資金7000元；若購進電腦機箱2臺和液晶顯示器5臺，共需資金4120元則每臺電腦機箱和液晶顯示器的進價各多少元？解：設每臺電腦機箱和液晶顯示器的進價分別為x元和y元，答：每臺電腦機箱和液晶顯示器的進價分別是60元、800元解得則4.A市至B市的航線長1200km，一架飛機從A市順風飛往B市需2小時30分，從B市逆風飛往A市需3小時20分.求飛機的平均速度與風速.解：設飛機的平均速度為xkmh風速為ykmh根據題意可列方程組答：飛機的平均速度為420kmh，風速為60kmh.我國的長江由西至東奔騰不息，其中九江至南京約有450千米的路程，某船從九江出發9個小時就能到達南京；返回時則用多了1個小時.求此船在靜水中的速度以及長江水的平均流速.解：設輪船在靜水中的速度為x千米時，長江水的平均流速為y千米時.答：輪船在靜水中的速度為47.5千米時，長江水的平均流速為2.5千米時.解得：即甲、乙兩人都從A地到B地，甲步行，乙騎自行車，如果甲先走6千米乙再動身，則乙走小時后恰好與甲同時到達B地；如果甲先走1小時，那么乙用小時可追上甲，求兩人的速度解：設甲的速度為x千米時，乙的速度為y千米時則答：甲的速度為4千米時，乙的速度為12千米時.解得：二元一次方程組的應用應用步驟簡單實際問題行程問題路程=平均速度時間審題：弄清題意和題目中的數量關系設元：用字母表示題目中的未知數列方程組:根據2個等量關系列出方程組檢驗作答幾何問題列二元一次方程組解答較復雜問題第二課時返回1把長方形紙片折成面積相等的兩個小長方形，有哪些折法？2把長方形紙片折成面積之比為1：2的兩個小長方形，又有哪些折法？2.進一步經歷和體驗方程組解決實際問題的過程.1.學會運用二元一次方程組解決較復雜的實際問題.素養目標如圖，長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成每噸8000元的產品運到B地.公路運價為1.5元(tkm)，鐵路運價為1.2元(tkm)，這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？列二元一次方程組解答較復雜問題列二元一次方程組解答運費問題問題1要求“這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？”我們必須知道什么？銷售款與產品數量有關，原料費與原料數量有關，而公路運費和鐵路運費與產品數量和原料數量都有關因此，我們必須知道產品的數量和原料的數量銷售款原料費運輸費（公路和鐵路）產品數量原料數量問題2本題涉及的量較多，這種情況下常用列表的方式來處理，列表直觀、簡潔本題涉及哪兩類量呢？一類是公路運費，鐵路運費，價值；另一類是產品數量，原料數量問題3你能完成教材上的表格嗎？問題4你發現等量關系了嗎？如何列方程組并求解？是原方程組的解解：先化簡，得由，得代入，得代入，得問題5這個實際問題的答案是什么？銷售款：8000300=2400000；原料費：1000400=400000；運輸費：15000+97200=1122002400000-400000-112200=1887800這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多1887800元思考：（1）在什么情況下考慮選擇設間接未知數？當直接將所求的結果當作未知數無法列出方程時，考慮選擇設間接未知數（2）如何更好地分析數量關系比較復雜的實際問題？實際問題設未知數、找等量關系、列方程（組）數學問題方程(組)解方程（組）數學問題的解雙檢驗實際問題的答案1.一批貨物要運往某地，貨主準備用汽車運輸公司的甲乙兩種貨車，已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表(兩次兩種貨車都滿載)：現租用該公司3輛甲種貨車和5輛乙種貨車一次剛好運完這批貨，如果按每噸付運費30元計算，你能算出貨主應付運費多少元嗎？解:設甲、乙兩種貨車每輛每次分別運貨x噸、y噸，解得2x+3y=15.5，5x+6y=35.總運費為：30(3x+5y)=30(34+52.5)=735(元).答:貨主應付運費735元.例2某牛奶加工廠現有鮮奶9噸若在市場上直接銷售鮮奶每噸可獲利潤500元若制成酸奶銷售每噸可獲利潤1200元若制成奶片銷售每噸可獲利潤2000元.該廠生產能力如下:每天可加工3噸酸奶或1噸奶片受人員和季節的限制兩種方式不能同時進行.受季節的限制這批牛奶必須在4天內加工并銷售完畢為此該廠制定了兩套方案:方案一:盡可能多的制成奶片其余直接銷售鮮牛奶方案二:將一部分制成奶片其余制成酸奶銷售并恰好4天完成(1)你認為哪種方案獲利最多為什么(2)本題解出之后你還能提出哪些問題列二元一次方程組解答利潤問題其余5噸直接銷售獲利5005=2500(元)共獲利:8000+2500=10500(元)方案二:設生產奶片用x天生產酸奶用y天另：設x噸鮮奶制成奶片y噸鮮奶制成酸奶方案一:生產奶片4天共制成4噸奶片獲利20004=80002.北京和上海都有某種儀器可供外地使用其中北京可提供10臺，上海可提供4臺.已知重慶需要8臺，武漢需要6臺，從北京、上海將儀器運往重慶、武漢的費用如下表所示.有關部門計劃用8000元運送這些儀器，請你設計一種方案，使武漢、重慶能得到所需儀器，而且運費正好夠用.解:設從北京運往武漢x臺，則運往重慶(10-x)臺，設從上海運往武漢y臺，則運往重慶(4-y)臺，解方程組得x+y=6，400 x+300y+800(10-x)+500(4-y)=8000.答:從北京運往武漢4臺，運往重慶6臺，從上海運往武漢2臺，運往重慶2臺.例3某車間每天能生產甲種零件600個或乙種零件300個，或丙種零件500個，甲、乙、丙三種零件各1個就可以配成一套，要在63天內的生產中使生產的零件全部成套，問甲、乙、丙三種零件各應生產幾天？列二元一次方程組解答配套問題解：設甲零件生產x天，乙零件生產y天，則丙零件生產（63-x-y)天，根據題意，得所以63-x-y=18.答：甲、乙、丙三種零件各應生產15天、30天和18天.解得3.某車間有22名工人，每人每天可以生產1200個螺釘或2000個螺母.1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套，應各安排多少名工人生產螺釘和螺母？分析：將題中出現的量在表格中呈現螺母總產量是螺釘的2倍人數和為22人1200 x2000y解：設生產螺釘的x人，生產螺母的y人.依題意，可列方程組：解方程組，得答：設生產螺釘的10人，生產螺母的12人.提示：解決配套問題要弄清：（1）每套產品中各部分的比例；（2）生產各部分的工人數之和=工人總數.（2019邵陽）某出租車起步價所包含的路程為02km，超過2km的部分按每千米另收費津津乘坐這種出租車走了7km，付了16元；盼盼乘坐這種出租車走了13km，付了28元設這種出租車的起步價為x元，超過2km后每千米收費y元，則下列方程正確的是（）ABCD鞏固練習D1.小明家去年結余5000元，估計今年可結余9500元，并且今年收入比去年高15，支出比去年低10，求去年的收入與支出各是多少？解：設去年收入x元，支出y元，根據題意，得答：去年小明家收入20000元，支出15000元.解得2.某工地挖掘機的臺數和裝卸機的臺數之和為21，如果每臺挖掘機每天平均挖土750m3，每臺裝卸機每天平均運土300m3，要使挖出的土及時運走，問挖掘機有多少臺？裝卸機有多少臺？解：設挖掘機x臺，裝卸機y臺，根據題意列出方程組得解得答：挖掘機有6臺，裝卸機有15臺.3.一個工廠共42名工人每個工人平均每小時生產圓形鐵片120片或長方形鐵片80片.已知兩片圓形鐵片與一片長方形鐵片可以組成一個圓柱形密封的鐵桶.你認為如何安排工人的生產才能使每天生產的鐵片正好配套解：設生產圓形鐵片的工人x人，生產長方形鐵片的工人y人，解得答：生產圓形鐵片的工人24人，生產長方形鐵片的工人18人.根據題意列方程組得某村18位農民籌集5萬元資金，承包了一些低產田地.根據市場調查，他們計劃對種植作物的品種進行調整，改種蔬菜和蕎麥.種這兩種作物每公頃所需的人數和需投入的資金如下表：在現有情況下這18位農民應承包多少公頃田地怎樣安排種植才能使所有人都參與種植且資金正好夠用？將題中出現的量在表格中呈現解：設蔬菜種植x公頃蕎麥種植y公頃根據題意可列出方程組：解得：故，承包田地的面積為：x+y=4公頃人員安排為：5x=52=10(人)；4y=42=8(人)答：這18位農民應承包4公頃田地，種植蔬菜和蕎麥各2公頃，并安排10人種植蔬菜，8人種植蕎麥，這樣能使所有人都參與種植且資金正好夠用.李大叔銷售牛肉干，已知甲客戶購買了12包五香味的和10包原味的共花了146元，乙客戶購買了6包五香味的和8包原味的共花了88元.（1）現在老師帶了200元，能否買到10包五香味牛肉干和20包原味牛肉干？解：設五香味每包x元，原味每包y元.依題意，可列方程組：解得所以老師帶200元能買到所需牛肉干.解：設剛好買五香味x包，原味y包.（2）現在老師想剛好用完這200元錢，你能想出哪些牛肉干的包數組合形式？因為x，y為非負整數1.在很多實際問題中，都存在著一些等量關系，因此我們往往可以借助列方程組的方法來處理這些問題.3.要注意的是，處理實際問題的方法往往是多種多樣的，應根據具體問題靈活選用.通過本課時的學習，需要我們掌握：2.這種處理問題的過程可以進一步概括為：課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習