第二單元 因數(shù)與倍數(shù)【例1】從圖中的3個橄欖枝可以讀出：（ ）和（ ）是（ ）的因數(shù)，（ ）是（ ）和（ ）的倍數(shù)。解析：本題考查的知識點有數(shù)學(xué)的“數(shù)形結(jié)合”思想和利用因數(shù)、倍數(shù)知識判斷誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。解答時要先讀懂圖形中隱含的數(shù)學(xué)信息：每支樹葉5片，3支共有15片樹葉。這樣就可以得出53=15、153=5、155=3，所以5和3是15的因數(shù)，15是5和3的倍數(shù)。解答：5 3 15 15 3 5【例2】小明家有三種塑料桶，分別是5千克裝，10千克裝，2千克裝的。媽媽計劃買75千克花生油，選（ ）塑料桶裝能正好把豆油裝完，需這樣的桶（ ）個。解析：本題考查的知識點是判斷一個數(shù)是不是另一個數(shù)的因數(shù)。解答時可以利用“篩選法”和“排除法”來進行分析和思考。先看5、10和2這三個數(shù)哪個數(shù)是75的因數(shù)。因為75的個位數(shù)字是5，所以排除10和2，所以選用5千克裝的。又因為755=15（個），因此需要15個油桶。解答：5 15【例3】體育課上，30名學(xué)生站成一行，按老師口令從左到右報數(shù)：1，2，3，4，30。（1）老師先讓所報的數(shù)是2的倍數(shù)的同學(xué)去跑步，參加跑步的有多少人？（2）余下學(xué)生中所報的數(shù)是3的倍數(shù)的同學(xué)進行跳繩訓(xùn)練，參加跳繩的有多少人？（3）兩批同學(xué)離開后，再讓余下同學(xué)中所報的數(shù)是5的倍數(shù)的同學(xué)去器材室拿籃球，有幾個人去拿籃球？（4）現(xiàn)在隊伍里還剩多少人？解析：本題考查的知識點：找一個數(shù)的倍數(shù)的方法，能被2、3、5整除的數(shù)的特征。由于數(shù)據(jù)較多，解答時可以采用“列舉法”先列出1至30數(shù)表，再利用排除法一一篩選來進行解答。（1）利用自然數(shù)中奇偶數(shù)的排列規(guī)律直接計算得出；（2）在余下的奇數(shù)中找出3的倍數(shù)；（3）找30以內(nèi)能被5整除且不能被3整除的奇數(shù)；在前三題的基礎(chǔ)上；（4）通過計算得出。解答（1）302=15（人） 答：參加跑步的有15人。（2）30以內(nèi)既能被3整除又是奇數(shù)的是：3，9，15，21，27。答：參加跳繩的有5人。（3）30以內(nèi)能被5整除不能被3整除，且是奇數(shù)的數(shù)是：5，25。答：有2個人去拿籃球。（4）30-15-5-2=8（人） 答：現(xiàn)在隊伍里還剩8人。【例4】學(xué)校要把74枝鉛筆和80本練習(xí)本平均獎給幾名優(yōu)秀學(xué)生，結(jié)果鉛筆多出4枝，練習(xí)本少了4本。得獎的同學(xué)最多有多少人？解析：本題考查的知識點是靈活應(yīng)用最大公因數(shù)的求解方法來解決實際問題。鉛筆74支減去4支，余下的70支是得獎同學(xué)人數(shù)的整數(shù)倍；80本練習(xí)本加上4本，得到84本是得獎同學(xué)人數(shù)的整數(shù)倍；所以得獎同學(xué)最多人數(shù)是70和84的最大公因數(shù)。方法提示：人數(shù)是鉛筆支數(shù)和練習(xí)本本數(shù)的最大公因數(shù)。解答：74-4=70 80+4=8470=25784=223770和84的最大公因數(shù)是27=14答：得獎的同學(xué)最多有14人。【例5】一盒棋子共有96個，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒數(shù)要相同，最后一次正好拿完。共有幾種拿法？解析：本題考查的知識點是找一個數(shù)的因數(shù)的方法。解答時要抓住拿完時又正好不多不少，說明每次拿出的個數(shù)都是96的因數(shù)來解答。解答：96=222223，那么96的因數(shù)可以表示為：96=196=248=332=616=424=812，一共有12個因數(shù)，不一次拿出，也不一個個地拿，96和1這對因數(shù)不要，這樣一共有10種拿法。答：共有10種拿法。【例6】小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。（1）小船擺渡11次后，船在南岸還是在北岸，為什么？（2）有人說擺渡100次后，小船在北岸，他的說法對嗎？為什么？解析：本題考查的知識點是奇數(shù)和偶數(shù)的特征。解答時，可以采用列舉法列舉出小船最初在南岸（如下圖），則第一次擺渡后到達北岸，第二次擺渡到達南岸；第三次到達北岸，第四次南岸，這樣在南北岸之間不斷往返。由此發(fā)現(xiàn)，在擺渡奇數(shù)次后，船在北岸，擺渡遇數(shù)次后，船在南岸。解答：在擺渡奇數(shù)次后，小船在北岸，擺渡遇數(shù)次后，小船在南岸。（1）11為奇數(shù)，所以擺渡11次后，小船在北岸；（2）100為偶數(shù)，所以擺渡100次后，小船在南岸。【例7】在1100這100個自然數(shù)中任取其中的幾個數(shù)，要使這幾個數(shù)中至少有一個合數(shù)，則至少取（ ）個數(shù)。解析：本題考查的知識點有100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)、抽屜原理。解答時先用列舉法列舉出1到100這100個自然數(shù)中共有25個質(zhì)數(shù)，其中1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。在最壞的情況下，拿到這26個非合數(shù)之后，只要在拿一個數(shù)，必然會出現(xiàn)一個合數(shù)。因此要保證多少取出一個合數(shù)，至少取27個數(shù)。解答：27【例8】幼兒園里有一些小朋友，王老師拿了48顆糖平均分給他們，正好分完。小朋友的人數(shù)可能是多少？解析：本題考查的知識點是靈活運用一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)來解答簡單的實際問題。解答時先用“列舉法”列舉出48的因數(shù)：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48。根據(jù)題意可以知道，不可能分給1個小朋友，因此可以平均分給2，3，4，6，8，12，16，24，48個小朋友。解答：小朋友的人數(shù)可能是2，3，4，6，8，12，16，24，48。【例9】仔細觀察填一填。（12,18,6,14,80,52,74,96）（11,9,23,29,35,49,81,97）（1）從第一個括號里任意取2個數(shù)和是( ),從第2個括號里任意取2個數(shù)和是（ ）。（2）分別從第1個括號里和第2個括號里各取一個數(shù)相加和是（ ）。（3）偶數(shù)+偶數(shù)=（）奇數(shù)+奇數(shù)=（ ）偶數(shù)奇數(shù)（）。解析：本題考查的知識點是用不完全歸納法概括奇數(shù)和偶數(shù)的運算性質(zhì)。解答時，可以按照要求多列舉幾個數(shù)求和，然后再進行歸納和概括。解答：（1）偶數(shù) 偶數(shù) （2）奇數(shù) （3）偶數(shù) 偶數(shù) 奇數(shù)【例10】在17的后面添上三個數(shù)字，使這個五位數(shù)既是偶數(shù)，同時又有因數(shù)3和5，這個五位數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。解析：本題考查的知識點有偶數(shù)、3、5倍數(shù)的特征，解答時要利用推理分析以及排除法來進行解答。首先，寫出來的數(shù)是偶數(shù)，這個數(shù)的個位數(shù)字只能是0、2、4、6、8；其次，這個數(shù)有因數(shù)5，說明個位數(shù)字只能是0或5，這樣可以確定個位數(shù)字只能是0；接著看含有因數(shù)3的數(shù)：寫出來的這個數(shù)的后三位要保證和是3的倍數(shù)，因為1+7=8，所以最大的數(shù)的百位上的數(shù)是9，十位上的數(shù)是7；最小的數(shù)百位上的數(shù)是0，十位上的數(shù)是1。解答：17970 17010