第3單元 正比例和反比例例題1：數(shù)學(xué)課上文老師出了一道填數(shù)題：（）（）小麗馬上舉手回答：“填0，左邊00，右邊00，左邊右邊”小明也舉手回答：“根據(jù)乘法的交換律，左邊填，右邊填，左邊右邊”。（1）你能在橫線中填出其他適當(dāng)?shù)臄?shù)嗎？（）（） （）（）（）（） （）（）（2）你認(rèn)為可以填多少對數(shù)？將你的填數(shù)方法用文字表述出來。解析：可以利用比例的基本性質(zhì)解決本題：（1）我可以令算式的結(jié)果分別等于1、2、3、4，分別求出括號里需要填的數(shù)即可；（2）先把算式設(shè)為ab，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，然后找出a、b之間的關(guān)系即可。解答：（1）55 1081512 2016（2）設(shè)算式為：ab 所以: b:a:4:5也就是ba, 即第二個(gè)括號里的數(shù)是第一個(gè)個(gè)括號里的數(shù)的。例題2：買筆記本的數(shù)量和錢數(shù)的關(guān)系如下表：數(shù)量Z本0l234567總錢數(shù)/元01.534.567.5（1）將表格補(bǔ)充完整，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描點(diǎn)再順次連接。（2）哪個(gè)量沒變？數(shù)量和總價(jià)之間成什么比例？（3）從圖中可以看出，如果買9本筆記本，需要多少元錢？解析：此題涉及的知識點(diǎn)是：繪制折線統(tǒng)計(jì)圖的方法，以及成正比例關(guān)系的量的特點(diǎn)。（1）觀察表格中的數(shù)據(jù)，可知：每本的價(jià)格是1.5元，由此可以完成上表，從而完成統(tǒng)計(jì)圖；（2）根據(jù)數(shù)量和總價(jià)之間的變化關(guān)系得出數(shù)量與總價(jià)成正比例的特點(diǎn)；（3）將題中給出數(shù)據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可計(jì)算得出。解答：（1）根據(jù)題意可知：每本的價(jià)格為1.5元，由此可完成下表：數(shù)量Z本0l234567總錢數(shù)/元01.534.567.5910.5根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可在下圖中描點(diǎn)連線，得出統(tǒng)計(jì)圖如下圖：（2）單價(jià)沒有變，數(shù)量與總價(jià)之間成正比例。（3）91.513.5（元），答：單價(jià)不變，數(shù)量與總價(jià)之間成正比例，如果買9本筆記本，需要13.5元。例題3：同學(xué)們做早操，每行站的人數(shù)與站的行數(shù)關(guān)系如表：每行站的人數(shù)8l2l62448站的行數(shù)60403020l0解析：（1）寫出幾組對應(yīng)的行數(shù)和每行站的人數(shù)的乘積，并比較它們的大小。（2）這個(gè)乘積表示什么意義？用關(guān)系式表示它與以上兩種量之間的關(guān)系。解答：（1）8601240163024204810480（人）；（2）行數(shù)和每行站的人數(shù)的乘積表示總?cè)藬?shù)，行數(shù)每行站的人數(shù)總?cè)藬?shù)，所以行數(shù)和每行站的人數(shù)成反比例關(guān)系。例題4：觀察下面兩個(gè)表格，并回答問題。（1）搶運(yùn)救災(zāi)物資卡車的載重量和需要卡車的數(shù)量如下表卡車載重量/噸2451020需要卡車數(shù)量/輛502520105（2）用同樣的卡車搶運(yùn)救災(zāi)物資的噸數(shù)和需要卡車數(shù)量如下表物資總重量/屯1525303540需要卡車數(shù)量/輛35678根據(jù)表中信息，分別用數(shù)量關(guān)系式表示每個(gè)表中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系，再判斷哪兩個(gè)量成正比例，哪兩個(gè)量成反比例。解析：此題屬于辨識成正、反比例的量，判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個(gè)量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。解答：（1）因?yàn)椋?02100，254100，205100，1010100，1020100，由此可以得出：車輛的載重量所需車輛的數(shù)量這批救災(zāi)物資的總重（一定），所以卡車的載重量與所需車輛的數(shù)量成反比例；（2）因?yàn)?535，2555，3065，3575，4085，由此可以得出：物資總重量需要卡車的數(shù)量每輛卡車的載重量（一定），所以物資總重量和需要卡車的數(shù)量成正比例。例題5：江叔叔自駕車去中國最美的鄉(xiāng)村-婺源游玩，下面是他駕車從“小橋流水人家”景區(qū)到“臥龍谷”景區(qū)行駛路程與耗油量之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)表。路程/千米l020304050耗油量/升l2345（1）在如圖中描出表示路程和對應(yīng)耗油量的點(diǎn)，然后把它們按順序連起來（2）行駛路程與耗油量成什么比例？為什么？（3）“小橋流水人家”景區(qū)到“臥龍谷”景區(qū)的路程有75千米，汽車行駛需耗油多少升？（用比例解）（4）游玩完“臥龍谷”景區(qū)后，江叔叔還想去60千米外的“鴛鴦湖”景區(qū)參觀，此時(shí)油箱里大約還剩下30升油，他游完“鴛鴦湖”后，返回“小橋流水人家”中途他需要加油嗎？（直接口答）解析：（1）首先要根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，描出5個(gè)點(diǎn)，再連線。（2）如果兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們的比值是一定的，那么它們就成正比例關(guān)系（3）設(shè)需要耗油X升，由題意得：75：X10：1，解出即可。（4）算出從“臥龍谷”到“鴛鴦湖”需要多少升油，然后乘以2再加上（3）求出的7.5，算出的得數(shù)，與30比較。解答：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，描出5個(gè)點(diǎn)，連線如下：（2）10（一定），所以行駛路程與耗油量成正比例答：行駛路程與耗油量成正比例。（3）設(shè)需要耗油X升，由題意得：75:X10:110X75X7.5答：汽車行駛需耗油7.5升。（4）他不需要加油。60106（升）62+7.512+7.519.5（升）19.530答：他中途不需要加油。例題6：同一時(shí)間、同一地點(diǎn)測得樹高和影長的數(shù)據(jù)如表：樹高/m2346影長/m1.62.43.24.8(1）在圖中描出表示樹高和對應(yīng)影長的點(diǎn)，然后把它們連起來。（2）連線以后觀察，它們是在一條直線上嗎？說明樹高和影長成什么比例關(guān)系？（3）不計(jì)算，利用圖象判斷，樹高8米時(shí)，影長是多少米？影長4米時(shí)，樹高多少米？解析：（1）先依據(jù)所給數(shù)據(jù)描出對應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而可以連接各點(diǎn)，再觀察圖象的特點(diǎn)即可；（2）通過圖象特點(diǎn)，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）依據(jù)樹高和影長的比例關(guān)系，即可判斷樹高8米時(shí)，影子的長度；以及影長4米時(shí)，樹高的長度。解答：（1）所作圖象如下圖，觀察發(fā)現(xiàn)：表示樹高和對應(yīng)影長的點(diǎn)，都在一條直線上。（2）連線以后，發(fā)現(xiàn)表示樹高和對應(yīng)影長的點(diǎn)，都在一條直線上，這說明樹高和影長成正比例關(guān)系，因?yàn)殡S著樹的高度的增加，影長也在增加，且樹高與影長的商是一定的，所以樹高和影長成正比例關(guān)系；（3）設(shè)樹高8時(shí)，影長為x米，影長4m時(shí)，樹高y米，則有2:1.68:x2x81.62x12.8x6.4；2:1.6y:41.6y421.6y8y5答：樹高8m時(shí)，影長6.4米，影長4m時(shí)，樹高5米。例題7：一輛汽車從甲地到乙地，計(jì)劃每時(shí)行50千米，8時(shí)到達(dá)。但實(shí)際上3時(shí)就行了240千米，照這樣的速度，汽車一共幾時(shí)就可以到達(dá)乙地? (要求:先用正比例的方法解答，再用反比例的方法解答。)解析：首先找出題目中的兩種相關(guān)聯(lián)的量，然后分別按照正比例的意義和反比例分意義列出算式，由此解決問題。方法一:用正比例的方法解答。因?yàn)槁烦虝r(shí)間速度（一定），所以速度一定，路程和時(shí)間成正比例。方法二：用反比例的方法解答因?yàn)樗俣葧r(shí)間路程（一定），所以路程一定，速度和時(shí)間成反比例。解答：方法一：設(shè)汽車一共行x時(shí)就可以到達(dá)乙地。240 : 3（508）: x240x1200x5答：汽車一共5時(shí)就可以到達(dá)乙地.方法二：設(shè)汽車一共行x時(shí)就可以到達(dá)乙地，由題意可得（2403）x50880x400x5答：汽車一共5時(shí)就可以到達(dá)乙地.例題7：觀察下面兩個(gè)關(guān)于購買方便面的統(tǒng)計(jì)表.回答問題。第一個(gè)統(tǒng)計(jì)表：數(shù)量（包）51015總價(jià)（元）7.51522.5上表中。購買方便面的數(shù)量和總價(jià)是怎樣變化的?它們成什么比例?第二個(gè)統(tǒng)計(jì)表：單價(jià)（元/包）1.21.82.4數(shù)量（包）302015上表中，購買方便面的單價(jià)和數(shù)量是怎樣變化的?它們成什么比例?議一議:當(dāng)總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成什么比例?當(dāng)數(shù)量一定時(shí)，總價(jià)和單價(jià)成什么比例?當(dāng)單價(jià)一定時(shí)，總價(jià)和數(shù)量成什么比例?解析：觀察第一個(gè)統(tǒng)計(jì)表，發(fā)現(xiàn)隨著購買數(shù)量的增加，總價(jià)也在不斷地增加，數(shù)量越少，總價(jià)越少。由1.5，1.5，1.5，可以看出單價(jià)（一定），由此可以判斷購買數(shù)量和總價(jià)成正比例。第二個(gè)統(tǒng)計(jì)表，發(fā)現(xiàn)購買方便面的單價(jià)越高，購買的數(shù)量越少，單價(jià)越低，購買的數(shù)量越多，即單價(jià)X數(shù)量總價(jià)(一定)，也就是說在總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和購買數(shù)量成反比例。0.74028,1.42028,2.81028，可以看出單價(jià)數(shù)量總價(jià)（一定），所以當(dāng)總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例。根據(jù)上述分析可以知道正比例和反比例的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：1都有兩種相關(guān)聯(lián)的量。2一種量隨著另一種量變化。3都必須有一個(gè)量一定。不同點(diǎn)：正比例：1.變化方向相同，一種量擴(kuò)大或縮小，另一種量也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)；2.相對應(yīng)的兩種量的比值(商)一定。反比例：1.變化方向相反，一種量擴(kuò)大或縮小，另一種量反而縮小或擴(kuò)大相同的倍數(shù)；2、相對應(yīng)的兩種量的積一定。解答：(1)當(dāng)總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例;(2)當(dāng)數(shù)量一定時(shí)，總價(jià)和單價(jià)成正比例;(3)當(dāng)單價(jià)一定時(shí).總價(jià)和數(shù)量成正比例