2.2.2 圓錐的體積(一)u 教學(xué)內(nèi)容：教科書第32頁例2、例3，教材第33頁課堂活動第2題及教材第34頁練習(xí)九的第25題。u 教學(xué)提示：怎樣計算圓錐的體積呢？教科書中的例2改變了過去用等底等高的圓柱、圓錐容器裝沙（水）的辦法，而采用如下圖所示的實驗方法推導(dǎo)圓錐的體積計算公式：首先提出圓錐體積也等于底面積乘高的猜想，接著進行實驗：把等底等高的實心圓柱和實心圓錐分別沒入同一個水槽的水中，再分別記錄下實心圓柱和實心圓錐沒入水中后水位上升的厘米數(shù)。最后根據(jù)實驗發(fā)現(xiàn)水槽中水上升部分的體積與圓柱、圓錐體積的關(guān)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓錐沒入水中后，水位上升的高度只有圓柱沒入水中時水位上升高度的。通過這一探索活動，引導(dǎo)學(xué)生由圓柱體積推導(dǎo)出圓錐體積公式VSh。例3是對圓錐體積計算公式的直接應(yīng)用，教學(xué)時，可先讓學(xué)生自己說一說鉛錘是什么形狀，怎樣計算它的體積，然后獨立地運用圓錐體積公式計算出鉛錘的體積。u 教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技：通過學(xué)生參與實驗，從而推導(dǎo)出圓錐體積的計算公式，并運用公式計算圓錐的體積；解決一些有關(guān)圓錐體積的實際問題。2.過程與方法：通過實驗推導(dǎo)圓錐體積公式的過程，增強學(xué)生的實踐操作能力，并培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、總結(jié)歸納的學(xué)習(xí)方法。3.情感、態(tài)度與價值觀：通過實驗，引導(dǎo)學(xué)生探索知識的內(nèi)在聯(lián)系，滲透轉(zhuǎn)化思想，并感受發(fā)現(xiàn)知識的快樂，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的樂趣。u 重點難點：教學(xué)重點：理解并掌握圓錐的體積計算公式，能利用圓錐的體積公式解決簡單的問題。教學(xué)難點：圓錐體積公式的推導(dǎo)。u 教學(xué)準(zhǔn)備: 教具準(zhǔn)備：多媒體課件、等底等高的實心圓柱與圓錐、水槽。學(xué)具準(zhǔn)備：等底等高的實心圓柱與圓錐學(xué)具、水槽、直尺。u 教學(xué)過程：（一）新課導(dǎo)入如右圖，一個圓柱形物體和一個圓錐形物體，它們的底相等，圓柱的高是10厘米，圓錐的高是15厘米，這兩個物體哪一個的體積大呢？誰能解決這個問題？教師抽學(xué)生回答問題。預(yù)設(shè)：可能會出現(xiàn)以下幾種情形：第一種學(xué)生會認(rèn)圓柱的體積大。第二種學(xué)生會認(rèn)圓錐的體積大。第三種學(xué)生會認(rèn)為不能確定，理由是不知道誰的體積積大，無法比較。提示：看來這不是一件容易的事情，解決這個問題的關(guān)鍵在哪里？預(yù)設(shè)：學(xué)生明白首先要求出圓錐形物體的體積。怎樣計算圓錐的體積？這節(jié)課我們一起研究圓錐體積的計算方法。【設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)的情境，使枯燥的數(shù)學(xué)問題變?yōu)榛钌纳顚嶋H，讓數(shù)學(xué)充滿生命力，提出有一個富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，從而引發(fā)學(xué)生進一步探究的強烈欲望。】（二）探究新知1.提出猜想誰來猜猜圓錐的體積怎么算？預(yù)設(shè)：圓柱和圓錐的底面都是圓的，它們之間可能有聯(lián)系，可不可以把圓錐變成圓柱，求出圓柱的體積，從而得出圓錐的體積2.實驗探究圓錐的體積和圓柱的體積之間究竟有沒有關(guān)系呢？如果有關(guān)系的話，它們之間又是一種什么關(guān)系？通過什么辦法才能找到它們之間的關(guān)系呢？帶著這些問題，請同學(xué)們分組研究，通過實驗尋找答案。布置任務(wù)并提出要求。每個小組的桌上都有準(zhǔn)備好的器材：等底等高的實心的圓柱和圓錐、水、水槽等器材。四個人組成一個小組，每個小組的成員分工合作，利用提供的器材共同想辦法解決問題，找出圓錐體積的計算方法。根據(jù)小組研究方法寫好記錄。學(xué)生小組合作探究，教師巡視指導(dǎo)，參與學(xué)生的活動。3小組交流匯報實驗結(jié)論各小組交流實驗方法和結(jié)果。你們采用了哪些方法研究等底等高的圓柱和圓錐之間的關(guān)系？通過實驗，你們發(fā)現(xiàn)了什么？投影展示：小組把實心圓錐沒入水中后，水面升高了3厘米。把實心圓柱沒入水中后，水面升高了9厘米。結(jié)論：圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的。聽取其他小組的匯報，得出相同的結(jié)論。4公式推導(dǎo)圓柱的體積怎樣計算？圓錐的體積又怎樣計算？教師引導(dǎo)學(xué)生理解只要求出與這個圓錐等底等高的圓柱的體積，再乘以三分之一，就得到圓錐的體積。圓錐的體積=底面積高圓柱的體積用字母V表示，圓錐的體積也用字母V表示。怎樣用字母表示圓錐的體積公式？V=Sh【設(shè)計意圖：大膽放手，讓學(xué)生自主探索，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，積極主動地發(fā)現(xiàn)了等底等高的圓柱與圓錐體積間的關(guān)系，進而推導(dǎo)出圓錐體積的計算公式。】5.鞏固運用教學(xué)例3，出示例3的問題一個鉛錘高6 cm，底面半徑4 cm。這個鉛錘的體積是多少立方厘米？引導(dǎo)學(xué)生找出題中的條件和問題并引導(dǎo)學(xué)生弄清鉛錘的形狀是圓錐形。學(xué)生獨立解答。抽學(xué)生上臺展示解答情況并說出思考過程。【設(shè)計意圖：推導(dǎo)出圓錐的體積計算公式之后，緊跟著教學(xué)例3，及時運用公式計算，使所學(xué)知識得到及時的鞏固，有利于學(xué)生對知識的掌握。】（三）鞏固新知完成教科書第34頁練習(xí)九第2題，第2題中的三個圓錐分別給出了底面直徑和高，底面半徑和高，底面周長和高，可以引導(dǎo)學(xué)生先求出圓錐的底面積，再利用公式求解，提醒學(xué)生在計算時不要漏乘。（四）達(dá)標(biāo)反饋1.判斷題。（1）圓錐的體積是圓柱體積的。 （ ）（2）如果一個圓錐的體積是一個圓柱體積的，那么它們等底等高。 （ ）2.填空題。（1）一個圓柱體積是18立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是（ ）立方厘米。（2）一個圓錐的體積是18立方厘米，與它等底等高的圓柱的體積是（ ）立方厘米。3.一個圓錐的底面半徑是6厘米，高是4厘米，求它的體積。答案：1.（1） （2）2.（1）6 （2）543. 3.1464=150.72（立方厘米）（五）課堂小結(jié)在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你都有哪些收獲？有關(guān)圓錐體積的知識還有哪些不清楚的？【設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生談收獲，總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識，找出本節(jié)課所學(xué)知識的重點，加深學(xué)生對知識的記憶和理解，同時可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生哪些知識還沒掌握，及時采取補救措施。】（六）布置作業(yè)1.填一填。（1）圓柱的體積字母表達(dá)式是（ ），圓錐的體積字母表達(dá)式是（ ）。（2）等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的（ ）倍。2.求下列圓錐體的體積。（1）底面半徑4厘米，高6厘米。（2）底面直徑6分米，高8厘米。（3）底面周長31.4厘米，高12厘米。答案：1.（1） V=Sh V=Sh （2）32.（1）3.14 4 6 = 100.48（立方厘米）（2）3.14（602）8 = 7536（立方厘米）（3）3.14（31.43.142）12 = 314（立方厘米）u 板書設(shè)計圓錐的體積（一）圓柱的體積底面積高h(yuǎn)圓錐的體積底面積高h(yuǎn)3.14426=3.14422=100.48（立方厘米）u 教學(xué)資料包（一） 教學(xué)精彩片段圓錐的體積教學(xué)片斷創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課1.投影呈現(xiàn)出情境小白兔去買了一個圓柱形的雪糕，狐貍看見了，它也去買了一個圓錐形的雪糕，小白兔剛想吃，狐貍拿著一個圓錐形的雪糕跑過來。2.引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題展開討論問題一：狐貍狡猾的問：“小白兔，用我手中的雪糕跟你換，怎么樣？”（如果這時小白兔和狐貍換了雪糕，你覺得小白兔有沒有上當(dāng)？）問題二：狐貍手上又多出了一個同樣大小的圓錐形的雪糕。（小白兔這時和狐貍換雪糕，你覺得公平嗎？）問題三：如果你是小白兔，狐貍手中的圓錐形雪糕有幾個，你才肯交換？（小組討論匯報）師：小白兔究竟跟狐貍怎樣交換才公平呢？學(xué)習(xí)了圓錐的體積后，你就會明白。【設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)的情境，使枯燥的數(shù)學(xué)問題變?yōu)榛钌纳顚嶋H，讓數(shù)學(xué)充滿生命力，提出有一個富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，從而引發(fā)學(xué)生進一步探究的強烈欲望。】（二） 數(shù)學(xué)資源1.求等底等高圓錐(圓柱)的體積（1）圓柱的體積是15立方米，圓錐的體積是( )立方米。（2）圓錐的體積是75立方厘米，圓柱的體積是( ) 立方厘米。（3）圓柱的體積是159立方厘米，圓錐的體積是( ) 立方厘米。2.判斷對錯： （1）圓柱體積是圓錐體積的3倍（ ）（2）圓柱的體積大于與它等底等高的圓錐的體積。（ ）（3）圓錐的高是圓柱高的3倍，它們的體積一定相等。（ ）答案：1.（1）5 （2）225 （3）53 2.（1）（2） （3）資料鏈接中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)中的貢獻(xiàn)中國是世界文明發(fā)達(dá)最早的國家之一，與古代埃及、印度、巴比倫并稱為四大文明古國。在綿延不斷的五千年文明史中，中華民族集累了極其豐富的文化遺產(chǎn)。在這個多姿多彩的歷史文化寶庫中，數(shù)學(xué)無疑是其中一顆特別璀璨的明珠。它在世界數(shù)學(xué)史上，乃至在整個人類文明發(fā)展史上都光彩奪目，具有極其重要的地位和價值。中國古代的數(shù)學(xué)成就如同造紙、火藥、指南針、印刷術(shù)這四大發(fā)明一樣，是中華民族對世界文明的一項重大貢獻(xiàn)，是值得炎黃子孫珍視的一份驕傲。幾何是一門古老的學(xué)科，它是在人們的生產(chǎn)和生活等實踐活動中逐步形成和發(fā)展起來的。“幾何”是一個翻譯名詞，由我國明代科學(xué)家徐光啟首先使用但是我國古代勞動人民在長期的生產(chǎn)勞動和社會生活中早已積累了大量的幾何知識，其成就是十分突出的，如流傳至今的墨經(jīng)、周髀算經(jīng)、九章算術(shù)等自然科學(xué)和數(shù)學(xué)著作，都記載下了很多幾何方面的知識。九章算術(shù)九章算術(shù)是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書(漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書)中最重要的一種。魏晉時劉徽為九章算術(shù)作注時說:“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則九章是矣”，又說“漢北平侯張蒼、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補，故校其目則與古或異，而所論多近語也”。根據(jù)研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過增補。最后成書最遲在東漢前期，但是其基本內(nèi)容在東漢后期已經(jīng)基本定型。漢書藝文志(班固根據(jù)劉歆七略寫成者)中著錄的數(shù)學(xué)書僅有許商算術(shù)、杜忠算術(shù)兩種，并無九章算術(shù)，可見九章算術(shù)的出現(xiàn)要晚于七略。后漢書馬援傳載其侄孫馬續(xù)“博覽群書，善九章算術(shù)”，馬續(xù)是公元1世紀(jì)最后二、三十年時人。再根據(jù)九章算術(shù)中可供判定年代的官名、地名等來推斷，現(xiàn)傳本九章算術(shù)的成書年代大約是在公元1世紀(jì)的下半葉。九章算術(shù)將書中的所有數(shù)學(xué)問題分為九大類，就是“九章