5.1.4 等式與方程u 教學內容：教科書第7677頁例1、例2、例3，教材第77頁課堂活動及教材第7778頁練習十九第15題。u 教學提示：這部分主要包括：用字母表示數的意義和方法、簡易方程的概念和解方程的方法、用方程解決問題。通過“議一議”對方程概念、等式性質整理的教學，主要是通過提出引導性問題啟發學生自主回憶和思考，并結合適當的、有針對性的練習加以鞏固。包括等式和方程的意義及其兩者的聯系和區別，等式的基本性質。例1：涉及到用字母表示數和用字母表示數量關系，通過本例題的教學，可以使學生對用字母表示數有更深刻的理解，促進學生抽象思維能力的發展，為列方程解決問題打下良好的基礎。教學時，首先可以采用適當的形式創設情境引出問題，然后讓學生獨立解決例題中的兩個問題，最后讓學生開展交流。可以通過一定的練習復習用字母表示運算定律、公式、計算法則，以及字母與字母、字母與數字相乘的書寫形式等。例2是復習解方程，可以讓學生自主解方程后交流解法。在交流時，重點強化如何根據方程的特點運用等式的性質解方程。例3是對列方程解決問題的復習。教學時，可以讓學生獨立解決再交流，交流時應重點強化學生對找等量關系的分析。u 教學目標：1.知識與技能：在具體情境中會用字母表示數，會用方程表示簡單情境的等量關系。進一步理解等式的性質，會用等式的性質解簡易的方程。2.過程與方法：引導學生通過回憶、討論、交流，結合練一練，加深對所學知識的理解，提高掌握水平。3.情感、態度與價值觀：在運用方程解決實際問題的過程中，體會到列方程解決問題在某些情況下的優越性，從中感受到數學的應用價值。u 重點難點：教學重點：會用方程表示簡單情境中的數量關系，能熟練地解簡單的方程。教學難點：能用方程解決問題，提高解決問題的能力。u 教學準備: 教具準備：多媒體課件學具準備：數量關系收集卡等u 教學過程：（一）新課導入談話：同學們，方程對于我們來講并不陌生，說一說你對方程的知識都有哪些了解？你認為自己對有關方程的哪些知識掌握的比較好?預設（生：解方程，大部分學生回答）是嗎？我要出一道題考考大家。（師板書：3x+7=22）【設計意圖：這是一道既包含運用等式性質一又包含運用等式性質二解方程的題目，為下面復習方程的意義，等式的性質，用字母表示數，方程的解，解方程，檢驗等數學概念進行鋪墊，這樣既給學生設置復習坡度，又復習了已經學過的概念，與此同時也讓學生理解了概念背后的知識。】（二）知識梳理1.教學議一議（1）你能舉出一些字母表示數和數量關系的例子嗎？（2）什么是方程？方程與等式有什么聯系和區別？（3）什么是方程的解？什么叫解方程？（4）你對等式的性質有哪些了解？先讓學生在小組內議一議，再組織學生進行全班交流。通過全班交流，師引導學生歸納總結。用字母表示數或數量關系的例子：一件商品單價a元，買4件這樣的商品一共需要4a元 S=vt S=r 方程：含有未知數的等式叫做方程。方程一定是等式，但是等式不一定都是方程。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。等式的性質：性質1：等式兩邊同時加上相等的數或式子，兩邊依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性質2：等式兩邊同時乘（或除）相等的非零的數或式子,兩邊依然相等。若a=b 那么有ac=bc 或ac=bc （a、b0 或 a=b ，c0）2.教學例1（1） 出示例1，引導學生獲取信息。（2） 獨立思考，獨立完成例1第（1）小題。（3）小組內交流、討論。小組匯報：他這次北京之行的伙食費為：6b元。教師根據學生匯報情況給予鼓勵性表揚，同時提問：想一想，在一個含有字母的式子里，數與字母，字母與字母相乘，書寫時應注意什么？預設：生1：在一個含有字母的式子里，數與字母，字母與字母相乘，乘號可以省略不寫或者記作“”。生2：當數字與字母相乘時，一般數字寫在前面，字母寫在后面，中間的乘號省略不寫。（4）學生獨立完成例1第（2）小題.先組內交流然后全班交流、訂正。抽調學生板演。 這次旅游一共需要的錢數：（4162+4a+6b+600）=（832+4a+6b+600）元教師強調指出：在一個含有字母表示數的式子里有加減關系時，如果式子后面帶單位，要不這個式子用括號括起來。3.教學例2(1) 出示例2。(2) 先讓學生說一說，解方程的依據是什么？再讓學生獨立解決，并指名演板，全班交流。小組展示：3x+6=7 2x5-1.5=1.5解：3x+6-6=7-6 解： 2x5-1.5+1.5=1.5+1.53x = 1 2x5=33x3 = 13 2x =15x= x=7.54.教學例3出示例3，引導學生認真審題，從題目中獲取相關信息。問：根據題意你能說出哪些相等關系？預設：生1：已行的路程+未行的路程=總路程生2：總路程-已行的路程=未行的路程生3：路程=時間速度問：你能根據上面的相等關系列出方程嗎？學生獨立完成，小組內交流。小組匯報，指名演板，全班交流。3x+72=912x=280說一說：怎樣檢驗結果是否正確？學生思考后回答。引導學生總結列方程解應用題的步驟：審題找出相等的數量關系式設未知數列出方程計算并檢驗【設計意圖：找出數量間的相等關系是列方程解應用題的難點，因此我在教學時先讓學生找出題目中的相等關系，然后再讓學生根據相等關系列方程求解，這樣處理降低了難度，突破了列方程解應用題的瓶頸，收到了理想的效果。】（三）鞏固新知學生獨立完成課堂活動第1題，第（1）小題的字母表示數，這里首先要設出一個適當的未知數，然后在用字母表示出碼數與厘米之間的關系，第（2）小題是一道開放性的題目，學生可根據自己的實際情況計算。學生獨立完成課堂活動第2、3題，先在小組內交流，然后全班交流，集體訂正。（四）達標反饋1.填一填。（1）媽媽給明明a元，明明買了m個筆記本，還剩b元，每個筆記本( ) 元。（2）一塊長方形花壇的面積是 120平方米，長x米，寬 （ ）米。（3）三年級植樹68棵，六年級比三年級多植x棵，那么68x表示 （ ）。2.解方程：x0.751.25 xx8.1 40.7x102 3.六年級三個班共有51人，一班的人數是二班的，三班的人數是二班的，六年級二班有多少人？答案：1.（1）（a-b)m （2）120x （3）六年級植樹的棵數2.x1 x9 x140 3.解：設六年級二班有x人 x+x+x=51 x=20（五）課堂小結今天我們研究的課題是等式與方程的復習，同學們都有哪些收獲和不足，請說出來和大家共同分享。【設計意圖：通過學生總結本課所學內容收獲與不足，可以使學生對等式與方程的相關知識有一個系統的認識，使學生更加牢固的掌握等式與方程的相關知識。】（六）布置作業1.判斷題。（對的在括里面打“”，錯的在括號里面打“”）（1）含有未知數的式子叫方程。 （ ）（2）x=9是方程。 （ ）（3）方程一定是等式。 （ ）（4）a是自然數則2a+1一定是奇數。 （ ）2.解方程x5=18 3x+x=11 x+ 60x = 32 3.解決問題。水果商店原來有水果1500千克，其中蘋果占總數的25%后來又購進一些蘋果，這時蘋果占水果總數的40%,后來又購進多少千克蘋果？答案：1.（1）（2） （3）（4）2. x=90 x=3 x = 20 3.解：設后來又進了x千克蘋果 （1500+x)（1-40%）=1500（1-25%） x=375u 板書設計等式與方程用字母表示數的意義等式 等式的性質：性質1：等式兩邊同時加上相等的數或式子，兩邊依然相等。性質2：等式兩邊同時乘（或除）相等的非零的數或式子,兩邊依然相等。方程：含有未知數的等式叫做方程。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。方程與等式的關系：方程一定是等式，但是等式不一定都是方程。u 教學資料包（一） 教學精彩片段等式與方程（教學片斷）教學內容：教科書第76頁例1等。1.怎樣用字母表示數的復習教師：我們知道，用字母可以簡明地表達數量關系、運算定律和計算公式，為研究和解決問題帶來了很多方便。想一想，在一個含有字母的式子里，字母與數字、字母與字母相乘應該怎樣書寫？如a乘2.5可以怎樣寫？用S表示三角形的面積，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，你可以怎樣表示三角形的面積公式？學生：數字與字母相乘，可以省略乘號，但數字必須寫在前面，如a2.5可以這樣寫：2.5a。學生：字母與字母相乘，可以省略乘號，如三角形的面積公式：S=12ah。2.用字母表示數的應用情景（教師口述）：暑假快到了，辛苦了一學期的劉老師準備利用假期到北京去旅游。劉老師預計去北京有以下幾方面的費用開支（出示下表）：教師：據劉老師調查，他去北京的火車票是每張416元，其他開支包括在北京的交通、購物等費用，預計600元（隨著教師的口述，一并在上表中出示這兩個數據）。其他的開支，劉老師還沒有確定，你能用字母表示嗎？隨著學生說，教師在上表中分別出示a，b。于是上表變成教師：如果劉老師在北京游覽4天，根據表中的信息，你能提出哪些數學問題？預計學生可能提出的問題有：（其中天數不一定是4天，只要恰當即可）學生：劉老師在北京游覽4天的住宿費要多少？學生：劉老師在北京游覽4天的伙食費要多少？學生：劉老師在北京游覽4天，他這次北京之行的全部費用是多少？學生獨立解決第三個同學提出的問題，再交流。學生可能這樣說：劉老師北京之行的費用就是要把火車費、住宿費、伙食費和其他開支加起來，乘火車的費用是4162832元，住宿費是4a元，伙食費是6b元（含在火車上2天），所以北京之行的總費用應是：8324a6b600。教師：式子中的a,b可以代表多少呢？學生：a,b是字母，可以代表任何數。教師：可以代表任何數，真的隨便哪個數都可以嗎？學生：不對，a,b在這里是代表劉老師每天在北京的住宿費和伙食費，因此它代表的數要符合實際。教師：你們認為a,b在這里應是多少合適呢？請根據你的理解和對北京生活的了解，給劉老師確定一個標準，并算出劉老師北京之行究竟需要多少錢。并說說你這樣確定的理由。學生獨立解決后交流可能出現：學生：北京的生活很高，但考慮到劉老師的經濟不太寬余，標準不能定得太高，所以，我給劉老師的住宿費確定的標準是每天80元，生活費平均每天定為40元。因此算出劉老師北京之行的費用是：8324806406001992元。學生：我想給劉老師的住宿和生活定高一點，因為教師：你認為劉老師在北京游覽4天合適嗎？如果不合適，請你確定一個天數，并用含有字母的式子表示劉老師北京之行的費用。【設計意圖：讓學生利用已有知識在情景中用字母表示數，這樣不但符合學生的實際學習狀況，也使他們感受到用字母表示數的應用價值，同時，還能有效地促進學生的數學思考，提高學生用數學語言刻畫現實世界的能力；給學生自主的空間，培養學生的實踐能力。】（二） 數學資源1.填空題。（1）使方程左右兩邊相等的（ ），叫做方程的解。（2）求（ ）的過程叫做解方程。（3）小明買5支鋼筆，每支a 元；買4支鉛筆，每支b 元一共付出（）元。2.判斷題。（對的在括里面打“”，錯的在括號里面打“”）（1）含有未知數的式子叫做方程。 （ ） （2）4x+5 、6x=8 都是方程。 （ ）（3）18x=6 的解是x3。 （ ） （4）等式不一定是方程，方程一定是等式。 （ ）三、選擇題。（1）下面的式子中，（ ）是方程。A.25x B.15312 C.6x16 （1）方程9.5x =9.5的解是（ ）。A.x9.+5 B.x19 C.x0（1）x 3.7是下面方程（ ）的解。A.6x 915 B.3x 4.5 C.14.8x 44.解方程。52x 15 913.5x 1.3 x +8.3=10.7 15x 3答案:1.（1）等式 （2）方程的解 （3）5a+4b 2. （1）（2）（3）（4）3.（1）C （2）C （3）C4. x=74 x=20 x=6 x=0.2資料鏈接“方程”的由來同學們，我們已經知道了方程的意義。但是，“含有未知數的等式”絲毫沒有“方”的意思，為什么叫做“方程”呢？要說明“方程”的由來，先得從我國古代的“籌算”說起。我們現在都用拉丁字母表示數，用阿拉伯數字寫數。可是我國古代的人們既不知道拉丁字母，也不認識阿拉伯數字。他們是用“算籌”記數的。你看這個“算”字多有意思！上面是“竹”字，下面是“具”字，所以，“算”就是“竹制的計算工具”。從漢朝開始，人們用竹子制成許多長六寸（合現在的4.15市寸）的小竹棒，這些小竹棒就叫“算”，或者叫“籌”，我們現在把它叫做“算籌”，用算籌來計算的方法叫做“籌算”。那么算籌又怎樣表示方程呢？公元263年，數學家劉徽所注九章算術一書里有一個例子：“今有牛五、羊二，值金十兩；牛二、羊五，值金八兩。問牛羊各值金幾何？”劉徽就是用算籌表示出上面的問題的，要寫成現在的方程，就得先設未知數，用x表示一頭牛的價錢，用y表示一只羊的價錢，就得到：5x2y=10（右行）2x5y=8（左行）這是兩個方程所組成的方程組，這種方程組要在初中數學才學到。現在小朋友該明白了：在“方程”這個詞里，“方”就是“列籌成方”的意思，劉徽用算籌列出的方程不就是把算籌擺成了一個長方形嗎？“程”就是“課程”，所以“方程”就是“列籌成方的課程”。方程的英語是equation，就是“等式”的意思。這里當然不會有“方”的含義。清朝初年。中國的數學家把equation譯成“相等式”，到清朝咸豐九年（公元1859年）才譯成“方程”。從這時候起，“方程”這個詞就表示含有未知數的等式，而劉徽所說的“方程”就叫做“方程組”了。劉徽劉徽是中國古代最偉大的數學家之一他是三國時代魏國人，籍貫山東，生卒年不詳，約死于西晉初年劉徽出身平民，終生未仕，稱為“布衣”數學家。劉徽在童年時代學習數學時，是以九章算術為主要讀本的，成年后又對該書深入研究，于元263年左右寫成九章算術注，劉徽自序說：“徽幼習九章，長再詳覽觀陰陽之割裂，總算術之根源。探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。劉徽在研究九章算術的基礎上，對書中的重要結論一一證明，對其錯誤予以糾正，方法予以改并提出一些卓越的新理論、新思想九章算術注是劉徽留給后世的十分珍貴的數學遺產，是中傳統數學理論研究的奠基之作。劉徽還著有重差一卷，專講測量問題他本來把重差作為九章算術注的第十卷，代初年改為單行本，并將書名改作海島算經，流傳至今。從劉徽著作來看，他學風嚴謹，實事求是，而且富于批判精神，敢于創新，理論研究相當深入堪稱數學史上的一代楷模