教學課件數學九年級下冊華東師大版第26章二次函數26.2二次函數的圖像與性質第1課時函數y=ax+bx+c(abc是常數a0)叫做x的二次函數。什么叫二次函數我們學過用什么方法畫函數的圖象主要有哪些步驟觀察y=x2的表達式選擇適當的x的值并計算相應的y值完成下表：用描點法畫二次函數y=x2的圖象01230149描點連線y=x2觀察圖象回答問題串(1)你能描述圖象的形狀嗎與同伴進行交流.(2)圖象是軸對稱圖形嗎？如果是它的對稱軸是什么請你找出幾對對稱點并與同伴交流.(3)圖象與x軸有交點嗎？如果有交點坐標是什么(4)在對稱軸左側隨著x值的增大y的值如何變化？在對稱軸右側呢？(5)當x取什么值時y的值最小最小值是什么？你是如何知道的？這條拋物線關于y軸對稱y軸就是它的對稱軸.對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.二次函數y=x2的圖象形如物體拋射時所經過的路線我們把它叫做拋物線.()二次函數y=-x2的圖象是什么形狀？(2)它與二次函數y=x2的圖象有什么關系？你能根據表格中的數據作出猜想嗎？xy0-4-3-2-1123-10-8-6-4-22-1描點連線y=-x2拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y軸y軸在x軸的上方(除頂點外)在x軸的下方(除頂點外)向上向下當x=0時最小值為0.當x=0時最大值為0.在對稱軸的左側y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側y隨著x的增大而增大.在對稱軸的左側y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側y隨著x的增大而減小.函數y=ax2(a0)的圖象和性質.頂點坐標與對稱軸.位置與開口方向.增減性與最值1.拋物線y=ax2的頂點是原點對稱軸是y軸.2.當a0時，拋物線y=ax2在x軸的上方(除頂點外)它的開口向上并且向上無限伸展；當a0時拋物線y=ax2在x軸的下方(除頂點外)它的開口向下并且向下無限伸展.3.當a0時在對稱軸的左側y隨著x的增大而減小；在對稱軸右側y隨著x的增大而增大.當x=0時函數y的值最小.當a0時，在對稱軸的左側y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側y隨著x增大而減小當x=0時函數y的值最大.二次函數y=ax2的性質練習：已知拋物線y=ax2經過點A(-2-8)(1)求此拋物線的函數解析式；(2)判斷點B(-1-4)是否在此拋物線上(3)求出此拋物線上縱坐標為-6的點的坐標(4)若點(mn)在此拋物線上那么點(-mn)是否在此拋物線上點(m，-n)呢回味無窮2.當a0時拋物線y=ax2在x軸的上方（除頂點外）它的開口向上并且向上無限伸展；當a0時拋物線y=ax2在x軸的下方（除頂點外）它的開口向下并且向下無限伸展。3.當a0時在對稱軸的左側y隨著x的增大而減小；在對稱軸右側y隨著x的增大而增大.當x=0時函數y的值最小。當a0時在對稱軸的左側y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側y隨著x的增大而減小當x=0時函數y的值最大。1.拋物線y=ax2的頂點是原點對稱軸是y軸。由二次函數y=x2和y=-x2知：第2課時比較二次函數y=x和y=x圖象的異同：二次函數y=2x的圖象是什么形狀？它與二次函數y=x的圖象有什么相同和不同？（1）二次函數y=2x1的圖象與二次函數y=2x的圖象有什么關系？（2）二次函數y=3x1的圖象與二次函數y=3x的圖象有什么關系？試說出函數yax2k（a、k是常數，a0）的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并填寫下表向上向下y軸y軸(0，k)(0，k)練習1.把拋物線向下平移2個單位，可以得到拋物線，在向上平移5個單位，可以得到拋物線；2.對于函數y=x2+1，當x時，函數值y隨x的增大而增大；當x時，函數值y隨x的增大而減小；當x時，函數取得最值為。00=0大03.函數y=3x2+5與y=3x2的圖象的不同之處是()A.對稱軸B.開口方向C.頂點D.形狀4.已知拋物線y=2x2-1上有兩點(x1y1)(x1y1)且x1x20，則y1y2(填“”或“”)C5.已知一個二次函數圖像的頂點在y軸上，并且離原點1個單位，圖像經過點(10)，求該二次函數解析式。6.已知拋物線，把它向下平移，得到的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，若ABC是直角三角形，那么原拋物線應向下平移幾個單位？第3課時1.拋物線y=ax2的頂點是原點對稱軸是y軸.2.當a0時，拋物線y=ax2在x軸的上方(除頂點外)它的開口向上并且向上無限伸展；當a0時拋物線y=ax2在x軸的下方(除頂點外)它的開口向下并且向下無限伸展.3.當a0時在對稱軸的左側y隨著x的增大而減小；在對稱軸右側y隨著x的增大而增大.當x=0時函數y的值最小.當a0時，在對稱軸的左側y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側y隨著x增大而減小當x=0時函數y的值最大.二次函數y=ax2的性質在同一個直角坐標系里畫出函數與的圖象.xy0-8-6-4-2246820161284-2描點連線1012-10-122觀察這兩個函數的圖象它們有什么關系2xyO函數y=(x-2)2的圖象與y=x2的圖象有什么關系它是軸對稱圖形嗎它的對稱軸和頂點坐標分別是什么二次項系數相同a0開口都向上2xyO頂點坐標是點(20).2xyO在對稱軸(直線:x=2)左側(即x2時)y的值隨x的增大而減小.想一想這個函數的圖象和性質會是什么樣在同一個直角坐標系里畫出函數和的圖象xy0-8-6-4-2246820161284-2描點連線1012-10-122函數與的圖象有什么關系說出它的頂點坐標和對稱軸直線x=-21.當a0時拋物線在x軸的上方(除頂點外)它的開口向上并且向上無限伸展；當a0時拋物線在x軸的下方(除頂點外)它的開口向下并且向下無限伸展.2.當a0時在對稱軸(x=h)的左側y隨著x的增大而減小在對稱軸(x=h)右側y隨著x的增大而增大當x=h時函數y的值最小(是0).當a0時在對稱軸(x=h)的左側y隨著x的增大而增大在對稱軸(x=h)的右側y隨著x增大而減小當x=h時函數y的值最大(是0).二次函數y=a(x-h)2的性質.頂點坐標與對稱軸.位置與開口方向.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2(a0)（h，0）（h，0）直線x=h直線x=h在x軸的上方(除頂點外)在x軸的下方(除頂點外)向上向下當x=h時最小值為0.當x=h時最大值為0.在對稱軸的左側y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側y隨著x的增大而增大.在對稱軸的左側y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側y隨著x的增大而減小.第4課時你能用配方的方法把y=3x2-6x+5變形成y=a(x-h)2+k的形式嗎函數y=ax+bx+c的圖象二次函數y=3x2-6x+5的圖象是什么形狀它與我們已經作過的二次函數的圖象有什么關系在同一坐標系中作出二次函數y=3x2和y=3(x-1)2的圖象由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2因此我們先作二次函數y=3(x-1)2的圖象觀察圖象回答問題(1)函數y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關系它是軸對稱圖形嗎它的對稱軸和頂點坐標分別是什么(2)x取哪些值時函數y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大x取哪些值時函數y=3(x-1)2的值隨x的增大而減少？我思考，我進步在同一坐標系中作出二次函數y=3xy=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.二次函數y=3xy=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象有什么關系它們的開口方向對稱軸和頂點坐標分別是什么作圖看一看二次函數y=3(x-1)2+2的圖象和拋物線y=3xy=3(x-1)2有什么關系它的開口方向對稱軸和頂點坐標分別是什么先猜一猜再做一做在同一坐標系中作二次函數y=3(x-1)2-2會是什么樣二次函數y=3(x-1)2-2的圖象與拋物線y=3x2和y=3(x-1)2有何關系它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么想一想二次函數y=-3(x-1)2+2和y=-3xy=-3(x-1)2的圖象有什么關系它們的開口方向對稱軸和頂點坐標分別是什么再作圖看一看我思考，我進步在同一坐標系中作出二次函數y=-3(x-1)2+2y=-3(x-1)2-2y=-3x和y=-3(x-1)2的圖象二次函數y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2和y=-3xy=-3(x-1)2的圖象有什么關系它們是軸對稱圖形嗎它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小二次函數y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3xy=-3(x-1)2有什么關系它的開口方向對稱軸和頂點坐標分別是什么想一想二次函數y=-3(x+1)2+2與y=-3(x+1)2-2的圖象和拋物線y=-3xy=-3(x+1)2二次函數y=-3(x+1)2+2與y=-3(x+1)2-2的圖象和拋物線y=-3xy=-3(x+1)2有什么關系它的開口方向對稱軸和頂點坐標分別是什么先想一想再總結二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質.二次函數y=a(x-h)+k與y=ax的關系一般地由y=ax的圖象便可得到二次函數y=a(x-h)+k的圖象:y=a(x-h)+k(a0)的圖象可以看成y=ax的圖象先沿x軸整體左(右)平移|h|個單位(當h0時向右平移當h0時向上平移當k0時向下平移)得到的.因此二次函數y=a(x-h)+k的圖象是一條拋物線它的開口方向、對稱軸和頂點坐標與ahk的值有關.二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質.頂點坐標與對稱軸.位置與開口方向.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直線x=h直線x=h由h和k的符號確定由h和k的符號確定向上向下當x=h時最小值為k.當x=h時最大值為k.在對稱軸的左側y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側y隨著x的增大而增大.在對稱軸的左側y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側y隨著x的增大而減小.根據圖形填表：1.指出下列函數圖象的開口方向對稱軸和頂點坐標:2.(1)二次函數y=3(x+1)2的圖象與二次函數y=3x2的圖象有什么關系它是軸對稱圖形嗎它的對稱軸和頂點坐標分別是什么(2)二次函數y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數y=-3x2的圖象有什么關系對于二次函數y=3(x+1)2當x取哪些值時y的值隨x值的增大而增大當x取哪些值時y的值隨x值的增大而減小二次函數y=3(x+1)2+4呢2.不同點:只是位置不同(1)頂點不同:分別是(hk)和(00).(2)對稱軸不同:分別是直線x=h和y軸.(3)最值不同:分別是k和0.3.聯系:y=a(x-h)+k(a0)的圖象可以看成y=ax的圖象先沿x軸整體左(右)平移|h|個單位(當h0時向右平移當h0時向上平移當k0時向下平移)得到的.1.相同點:(1)形狀相同(圖像都是拋物線開口方向相同).(2)都是軸對稱圖形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0時開口向上在對稱軸左側y都隨x的增大而減小在對稱軸右側y都隨x的增大而增大.a0時開口向下在對稱軸左側y都隨x的增大而增大在對稱軸右側y都隨x的增大而減小.二次函數y=a(x-h)+k與y=ax的關系1.指出下列函數圖象的開口方向對稱軸和頂點坐標.必要時作出草圖進行驗證.2.填寫下表:第5課時回答問題:說出下列函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標：函數y=ax+bx+c的對稱軸，頂點坐標是什么？回答問題:1.說出下列函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標：例指出拋物線的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與x軸的交點坐標。并畫出草圖。對于y=ax2+bx+c我們可以確定它的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與x軸的交點坐標（有交點時），這樣就可以畫出它的大致圖象。練習1.拋物線y=2x2+8x-11的頂點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不論k取任何實數，拋物線y=a(x+k)2+k(a0)的頂點都在A.直線y=x上B.直線y=-x上C.x軸上D.y軸上3.若二次函數y=ax2+4x+a-1的最小值是2則a的值是4B.-1C.3D.4或-14.若二次函數y=ax2+bx+c的圖象如下與x軸的一個交點為(10)則下列各式中不成立的是()A.b2-4ac0B.abc0C.a+b+c=0D.a-b+c01xyo-1()（）5.若把拋物線y=x2+bx+c向左平移2個單位再向上平移3個單位得拋物線y=x2-2x+1則A.b=2B.b=-6c=6C.b=-8D.b=-8c=186.若一次函數y=ax+b的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y=ax2+bx-3的大致圖象是()()-3-3-3-37.在同一直角坐標系中二次函數y=ax2+bx+c與一次函數y=ax+c的大致圖象可能是（）第6課時問題1如圖，要用長為20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃，怎樣圍法才能使圍成的花圃面積最大？根據題意，得y=-2x2+20 x（0x10）配方，得y=-2（x-5）2+50。函數圖象開口向下，頂點坐標為（5，50），即當x=5時，函數取得最大值50.所以當AB長為5m，BC長為10m時，花圃的面積最大，為50m2.問題2某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件。該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤。經過市場調查，發現這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加約10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？根據題意，得關系式為y=-100 x2+100 x+200你能完成嗎？例5用6m長的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框應做成長、寬各為多少時，才能使做成的窗框的透光面積最大？最大透光面積是多少？即在實際問題中自變量往往是有一定取值范圍的.因此在根據二次函數的頂點坐標求出當自變量取某個值時二次函數取最大值(或最小值)還要根據實際問題檢驗自變量的這一取值是否在取值范圍內才能得到最后的結論.注意(1)設矩形的一邊AB=xm那么AD邊的長度如何表示？(2)設矩形的面積為ym2當x取何值時y的值最大最大值是多少如圖在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上.xmbm練一練1何時窗戶通過的光線最多某建筑物的窗戶如圖所示它的上半部是半圓下半部是矩形制造窗框的材料總長(圖中所有的黑線的長度和)為15m.當x等于多少時窗戶通過的光線最多(結果精確到0.01m)此時窗戶的面積是多少練一練2用48米長的竹籬笆圍建一矩形養雞場養雞場一面用磚砌成另三面用竹籬笆圍成并且在與磚墻相對的一面開2米寬的門(不用籬笆)問養雞場的邊長為多少米時養雞場占地面積最大最大面積是多少ym2xmxm練一練3正方形ABCD邊長5cm等腰三角形PQR中PQ=PR=5cmQR=8cm點D、C、Q、R在同一直線l上，當C、Q兩點重合時，等腰PQR以1cms的速度沿直線l向左方向開始勻速運動，ts后正方形與等腰三角形重合部分面積為Scm2，解答下列問題：(1)當t=3s時，求S的值；(2)當t=3s時，求S的值；(3)當5st8s時，求S與t的函數關系式，并求S的最大值。練一練4課堂小結這節課，你學到了什么？第7課時(1)一般式：(2)頂點式：回味知識點：頂點坐標（h，k）目前接觸的二次函數的關系式有哪些？例6一個二次函數的圖象過點（01）它的頂點坐標是（89）求這個二次函數的關系式。已知：二次函數的圖像的頂點的坐標是（14）并且拋物線與x軸的兩個交點的距離是4求這個函數的解析式。練一練練一練已知：二次函數的圖像的對稱軸為直線x=3，并且函數有最大值為5，圖像經過點(13)，求這個函數的解析式。解：由題意可知，該函數的頂點的坐標是（3，5），所以設y=a(x+3)5又拋物線經過點（1，3），得3=a(1+3)5a=2所求的函數解析式為y=2(x+3)5即y=2x12x13例7一個二次函數的圖象過（01）、（24）、（3，10）三點，求這個二次函數解析式.解：設所求二次函數為y=ax2+bx+c，有這個函數的圖象過（0，1），可得c=1.又由圖象過（2，4）（3，10），得解得因此所求二次函數的關系式是已知：二次函數的圖像經過點A(1，6)、B(3，0)、C(0，3)，求這個函數的解析式。解：設所求函數解析式為y=ax+bx+c.由已知函數圖象過(-16)(30)(03)三點，得解這個方程組，得a=0.5，b=2.5，c=3所求得的函數解析式為y=0.5x2.5x+3練一練已知拋物線y=ax2+bx+c過直線與x軸、y軸的交點，且過（1，1），求拋物線的解析式.分析：直線與x軸、y軸的交點為（2，0），（0，3）則：練一練交點式拓廣探索例已知：如圖求二次函數關系式y=ax+bx+c.解：如圖由題意得：拋物線與x軸交點的橫坐標為1和3設所求函數關系式為y=a(x1)(x3)圖象過點（0，3）3=a(01)(03)a=1所求的函數關系式為y=(x1)(x3)，即y=x+2x+3拓廣探索例已知：拋物線與坐標軸交于ABC三個點，其中A的坐標為（-1，0），B的坐標為（3，0），并且ABC的面積是6，求這個函數的解析式。分析：由題意可知OC的長是3，所以點C的坐標為（0，3)或（0，-3）當C（0，3）時，函數的解析式為：y=-x+2x+3當C（0，-3）時，函數的解析式為：-y=-x+2x+3即y=x-2x-3拓廣探索二次函數解析式的確定:歸納小結求二次函數解析式可用待定系數法.(1)當已知圖象上任意三點的坐標或已知三對對應值時，使用一般式：來解；(2)當已知頂點坐標或最值時，使用頂點式來解，比較簡單。二次函數解析式的確定:（3）過與x軸的兩個交點和一普通點的二次函數解析式確定.交點式（1）列出二次函數的解析式，并根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內，運用公式法或通過配方求出二次函數的最大值或最小值。解這類題目的一般步驟