30.5 二次函數(shù)與一元二次方程的關系一、選擇題1. 下列命題：若，則；若，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；若，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；若，則二次函數(shù)的圖象與坐標軸的公共點的個數(shù)是2或3其中正確的是A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有2. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，若一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是A. B. C. D. 3. 已知二次函數(shù)的圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表：x012y0343那么關于它的圖象，下列判斷正確的是A. 開口向上 B. 與x軸的另一個交點是C. 與y軸交于負半軸 D. 在直線的左側部分是下降的4. 在平面直角坐標系xOy中，開口向下的拋物線的一部分圖象如圖所示，它與x軸交于，與y軸交于點B，則a的取值范圍是A. B. C. D. 5. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一元二次方程為常數(shù)且的兩根之和為A. 1 B. 2 C. -1 D. -26. 已知二次函數(shù)，當自變量x取m時對應的值大于0，當自變量x分別取、時對應的函數(shù)值為、，則、必須滿足A. 、 B. 、 C. 、 D. 、7. 如圖，教師在小黑板上出示一道題，小華答：過點；小彬答：過點；小明答：；小穎答：拋物線被x軸截得的線段長為你認為四人的回答中，正確的有A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個8. 已知函數(shù)，其中、為常數(shù)，且，若方程的兩個根為、，且，則、的大小關系為A. B. C. D. 9. 拋物線的頂點為，與x軸的一個交點A在點和之間，其部分圖象如圖，其中錯誤的結論為A. 方程的根為 B. C. D. 10. 已知拋物線的對稱軸為，若關于x的一元二次方程在的范圍內(nèi)有解，則c的取值范圍是A. B. C. D. 二、解答題11. 拋物線經(jīng)過點、兩點（1）求拋物線頂點D的坐標；（2）拋物線與x軸的另一交點為A，求的面積12. 在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線，經(jīng)過點、（1）求此拋物線頂點C的坐標；（2）聯(lián)結AC交y軸于點D，聯(lián)結BD、BC，過點C作，垂足為點H，拋物線對稱軸交x軸于G，聯(lián)結HG，求HG的長13. 已知拋物線的對稱軸是直線，（1）求證：；（2）若關于x的方程，有一個根為4，求方程的另一個根14. 拋物線與y軸交于點（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線與坐標軸的交點坐標；（3）當x取什么值時，？當x取什么值時，y的值隨x的增大而減小？15. 如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線與x軸正半軸的交點，點B在拋物線上，其橫坐標為2，直線AB與y軸交于點點M、P在線段AC上不含端點，點Q在拋物線上，且MQ平行于x軸，PQ平行于y軸設點P橫坐標為m（1）求直線AB所對應的函數(shù)表達式（2）用含m的代數(shù)式表示線段PQ的長（3）以PQ、QM為鄰邊作矩形PQMN，求矩形PQMN的周長為9時m的值答案一、選擇題1.【答案】B【解析】b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）20，正確；若ba+c，則的大小無法判斷，故不能得出方程有兩個不等實根，錯誤；b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因為a0，故（a+c）2與c2不會同時為0，所以b2-4ac0，正確；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸必有一個交點，而這個交點有可能跟圖象與x軸的交點重合，故正確故選B2.【答案】A【解析】由圖可知：y-3，即ax2+bx-3，ax2+bx+m=0，ax2+bx=-m，-m-3，m3故選A.3. 【答案】B【解析】A、由表格知，拋物線的頂點坐標是（1，4）故設拋物線解析式為y=a（x-1）2+4將（-1，0）代入，得a（-1-1）2+4=0，解得a=-1a=-10，拋物線的開口方向向下，故本選項錯誤；B、拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），對稱軸是x=1，則拋物線與x軸的另一個交點是（3，0），故本選項正確；C、由表格知，拋物線與y軸的交點坐標是（0，3），即與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；D、拋物線開口方向向下，對稱軸為x=1，則在直線x=1的左側部分是上升的，故本選項錯誤；故選B點睛：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解4. 【答案】B【解析】根據(jù)圖象得：a0，b0，拋物線與x軸交于A（1，0），與y軸交于點B（0，3），a+b=-3，b0，-3a0，故選B5. 【答案】D【解析】拋物線與x軸的兩交點坐標為（-3，0），（1，0），一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1=-3，x2=1，-3+1=-，即=2，一元二次方程ax2+bx+c-m=0的兩根之和=-=-2故選D6. 【答案】B【解析】令yx2+x=0，解得：x=，當自變量x取m時對應的值大于0，m，點（m+1，0）與（m-1，0）之間的距離為2，大于二次函數(shù)與x軸兩交點之間的距離，m-1的最大值在左邊交點之左，m+1的最小值在右邊交點之右點（m+1，0）與（m-1，0）均在交點之外，y10、y20故選B7. 【答案】C【解析】拋物線過（1，0），對稱軸是x=2，解得a=1，b=-4，y=x2-4x+3，當x=3時，y=0，小華正確；當x=4時，y=3，小彬也正確，小明也正確；拋物線被x軸截得的線段長為2，已知過點（1，0），另一點為（-1，0）或（3，0），對稱軸為y軸或x=2，此時答案不唯一，小穎錯誤故選C8. 【答案】C【解析】函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別是x1、x2；函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）-2的圖象是由函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）的圖象向下平移2個單位得到的，則方程（x-x1）（x-x2）-2=0或方程（x-x1）（x-x2）=2的兩根x3、x4即為函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）-2的圖象與x軸的交點的橫坐標，它們的大致圖象如圖所示,根據(jù)圖象知，x3x1x2x4故選C9. 【答案】A【解析】x=-1時，y0，方程ax2+bx+c=0的根為-1這種說法不正確，結論A不正確；二次函數(shù)y=ax2+bc+c的圖象與x軸有兩個交點，0，即b2-4ac0，結論B正確；x=-，b=2a，頂點的縱坐標是=2，a=c-2，結論C正確；二次函數(shù)y=ax2+bc+c的圖象的對稱軸是x=-1，與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，與x軸的另一個交點A在點（0，0）和（1，0）之間，x=1時，y0，a+b+c0，結論D正確；不正確的結論為：A故選A點睛：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右（簡稱：左同右異）常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點 拋物線與y軸交于（0，c）10. 【答案】D【解析】由拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1，=1，=1， 解得：b=-2，x2-bx-c=x2+2x-c，令y1=x2+2x-c，可求其對稱軸為：x=-1，根據(jù)題意，當x=2時，y10，x2+2x-c0，且當x=-1時，y10，x2+2x-c0，或當x=-3時，y0，9-6-c0，且當x=-1時，y10，x2+2x-c0，解得：-1c8，或-1c3，綜上所述，-1c8故選D二、解答題11. 【答案】（1）D（1，4）；（2）6.【解析】（1）利用待定系數(shù)法代入求出a，c的值，進而利用配方法求出D點坐標即可；（2）首先求出圖象與x軸的交點坐標，進而求出ABC的面積解：（1）由題意，得，解得，則y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，則D（1，4）；（2）由題意，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3；則A（-1，0），又B（3，0）、C（0，3），SABC436.12. 【答案】（1）C（2，-3）；（2）.【解析】（1）已知拋物線過A，B兩點，可將A，B的坐標代入拋物線的解析式中用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式然后可根據(jù)拋物線的解析式得出頂點C的坐標（2）分別求直線AC的解析式和BD的解析式，直線AC：y=-x-1，直線BD：y=x-1，可得D和P的坐標，證明BPGCPH和HPGCPB，列比例式可得HG的長.解：（1）把A（-1，0）、B（5，0）代入拋物線解析式，得，解得，拋物線的解析式為：yx2x (x2)23，頂點C（2，-3）（2）設BD與CG相交于點P，設直線AC的解析式為：y=kx+b把A（-1，0）和C（2，-3）代入得：，解得：則直線AC：y=-x-1，D（0，-1），同理可得直線BD：y=x-1，P(2，)CHP=PGB=90，GPB=CPHBPGCPH， ，HPGCPB，HG.13. 【答案】（1）見解析；（2）方程的另一個根為x=-2.【解析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為x=-=1可得；（2）根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點可得答案解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=1，-=1，2a+b=0；（2）關于x的方程ax2+bx-8=0，有一個根為4，拋物線與x軸的一個交點為（4，0），拋物線的對稱軸為x=1，拋物線與x軸的另一個交點為（-2，0），方程的另一個根為x=-214.【答案】（1）；（2）x軸：、；Y軸：（3）見解析.【解析】（1）將點（0，3）代入拋物線的解析式中，即可求得m的值；（2）可以令y=0，可得出一個關于x的一元二次方程，方程的解就是拋物線與x軸交點的橫坐標；（3）根據(jù)（2）中拋物線與x軸的交點以及拋物線的開口方向即可求得x的取值范圍解：（1）將點（0，3）代入拋物線y=-x2+（m-1）x+m，m=3，拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+2x+3；（2）令y=0，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1；x軸：A（3，0）、B（-1，0）；y軸：C（0，3）（3）拋物線開口向下，對稱軸x=1；所以）當-1x3時，y0；當x1時，y的值隨x的增大而減小15. 【答案】（1）直線AB的解析式為；（2）見解析；（3）m的值為或【解析】（1）先利用二次函數(shù)解析式求出A點和B點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；（2）設P（m，-m+8），則Q（m，-m2+4m），討論：當0m2時，PQ=m2-5m+8；當2m8時，PQ=-m2+5m-8；（3）先表示出M（m2-4m+8，-m2+4m），討論：當0m2，QM=m2-5m+8，利用矩形周長列方程得到（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值；當2m8，QM=-m2+5m-8，利用矩形周長列方程得到2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值解：（1）當y=0時，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=8，則A（8，0）；當x=2時，y=-x2+4x=6，則B（2，6），設直線AB所對應的函數(shù)表達式為y=kx+b，將A（8，0），B（2，6）代入可得，解得，所以直線AB的解析式為y=-x+8；（2）設P（m，-m+8），則Q（m，-m2+4m），當0m2時，PQ=-m+8-（-m2+4m）=m2-5m+8；當2m8時，PQ=-m2+4m-（-m+8）=-m2+5m-8；（3）MQx軸，M點的縱坐標為-m2+4m，M點的橫坐標為m2-4m+8，即M（m2-4m+8，-m2+4m），當0m2，QM=m2-4m+8-m=m2-5m+8，2（PQ+QM）=9，2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，整理得2m2-20m+23=0，解得m1=，m2=（舍去）；當2m8，QM=m-（m2-4m+8）=-m2+5m-8，2（PQ+QM）=9，2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，整理得2m2-20m+41=0，解得m1=，m2=（舍去）；綜上所述，m的值為或