28.2解直角三角形及其應(yīng)用1.理解直角三角形中五個(gè)元素之間的關(guān)系及什么是解直角三角形.2.會(huì)利用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.3.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)概念,知道坡度與坡角之間的關(guān)系.4.經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問題的探究,會(huì)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題.5.在具體情景中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.1.綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解直角三角形,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性.2.通過學(xué)習(xí),發(fā)展分析、歸納、抽象、概括的能力,培養(yǎng)學(xué)生從已有的知識(shí)、特殊圖形中去感知、遷移.3.通過畫示意圖,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.4.經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型的過程,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.1.在探索解直角三角形的過程中,滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.2.在探究活動(dòng)中,培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受成功的喜悅,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.3.通過根據(jù)實(shí)際問題畫示意圖的過程,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.4.通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)建模思想,提高分析問題、解決問題的能力.5.調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【重點(diǎn)】1.理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.2.用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)解決仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)問題.3.能根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形元素之間的關(guān)系.【難點(diǎn)】理解并掌握解直角三角形的方法；正確理解題意,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.28.2.1解直角三角形1.理解直角三角形中五個(gè)元素之間的關(guān)系及什么是解直角三角形.2.會(huì)利用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.1.綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解直角三角形,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.2.通過學(xué)習(xí),發(fā)展分析、歸納、抽象、概括的能力,培養(yǎng)學(xué)生從已有的知識(shí)、特殊圖形中去感知、遷移.1.在探索解直角三角形的過程中,滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.2.在探究活動(dòng)中,培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受成功的喜悅,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.【重點(diǎn)】理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.【難點(diǎn)】理解并掌握解直角三角形的方法.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)、記憶特殊三角函數(shù)值.導(dǎo)入一:【復(fù)習(xí)提問】1.在RtABC中,C=90,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則a,b,c,A,B這五個(gè)元素之間有哪些等量關(guān)系呢?【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,小組代表回答問題,教師點(diǎn)撥,并歸納五個(gè)元素之間的關(guān)系.【課件展示】(1)三邊之間關(guān)系:a2+b2=c2(勾股定理)；(2)兩銳角之間關(guān)系:A+B=90；(3)邊角之間關(guān)系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab.2.回憶30,45,60角的正弦、余弦、正切值.導(dǎo)入二:在本章引言中我們?cè)?jīng)描述過比薩斜塔傾斜程度的問題,把1972年的情形抽象為數(shù)學(xué)問題為:設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B,塔身中心線與垂直中心線的夾角為A,過點(diǎn)B向垂直中心線引垂線,垂足為C(如圖).在RtABC中,C=90,BC=5.2m,AB=54.5m,求A的度數(shù).【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后回答,教師點(diǎn)評(píng).sinA=BCAB=5.254.50.0954.利用計(jì)算器可得A528.【追問】在RtABC中,你還能求出其他的邊和角嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后回答解題思路,教師把問題一般化,引出本節(jié)課課題.過渡語(yǔ)一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五個(gè)元素,即三條邊和兩個(gè)銳角.在直角三角形中,已知三角形的一些邊角元素,我們可以求解直角三角形中的其他元素,什么情況能求解、如何求解就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖通過回顧直角三角形中邊與角、邊與邊、角與角之間的數(shù)量關(guān)系,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊,以實(shí)際問題導(dǎo)入新課,體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)通過已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地過渡到本節(jié)課的課題.一、共同探究思路一探究:(1)在RtABC中,A=60,AB=30,你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎?(2)在上圖中,若AC=2,BC=6,你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎?(3)在上圖中,若A=60,B=30,你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎?(4)在直角三角形中,知道幾個(gè)元素就可以求出其他元素?【師生活動(dòng)】小組合作交流解題思路,注意在解題過程中方法的多樣性,教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行匯總歸納.【課件展示】(1)在直角三角形的六個(gè)元素中,除直角外的五個(gè)元素,只要知道兩個(gè)元素(其中至少有一條邊),就可以求出其余的三個(gè)未知元素.(2)定義:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的過程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有兩種:已知兩條邊；已知一條邊和一個(gè)銳角.思路二【思考】如圖,在RtABC中,C=90,已知直角三角形的幾個(gè)元素可以求出其他元素?(1)已知直角三角形中的一個(gè)元素,能求其他元素嗎?(2)已知直角三角形中的兩個(gè)元素,有幾種可能的情況?(一邊和一角、兩邊、兩角)(3)舉例說明已知直角三角形的兩個(gè)元素,怎樣求其他元素?(4)你能歸納解直角三角形有幾種基本類型嗎?具體解法步驟是什么?【師生活動(dòng)】學(xué)生在教師提出的問題的引導(dǎo)下,小組合作交流,回答解題思路,教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行匯總歸納,學(xué)生回答問題過程中注意解題方法的多樣性.【課件展示】(1)在直角三角形的六個(gè)元素中,除直角外的五個(gè)元素,只要知道兩個(gè)元素(其中至少有一條邊),就可以求出其余的三個(gè)未知元素.(2)定義:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的過程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有兩種:已知兩條邊；已知一條邊和一個(gè)銳角.(4)解直角三角形的步驟:圖形已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊,一直角邊(如c,a)(1)b=c2-a2(2)由sin A=ac求A(3)B=90-A兩直角邊(a,b)(1)c=a2+b2(2)由tan A=ab求A(3)B=90-A一邊一角斜邊,一銳角(如c,A)(1)B=90-A(2)由sin A=ac,得a=csin A(3)由cos A=bc,得b=ccos A一直角邊,一銳角(如a,A)(1)B=90-A(2)由tan A=ab,得b=atanA(3)由sin A=ac,得c=asinA設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在教師問題的引導(dǎo)下思考分析,合作交流并歸納結(jié)論,學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程,理解掌握解直角三角形的概念,提高學(xué)生分析問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.二、例題講解如圖,在RtABC中,C=90,AC=2,BC=6,解這個(gè)直角三角形.教師引導(dǎo)分析:(1)已知線段AC,BC是A的鄰邊和對(duì)邊,用哪個(gè)三角函數(shù)可以表示它們之間的等量關(guān)系?(2)已知A的三角函數(shù)值可以求A的度數(shù)嗎?(3)已知A的度數(shù)怎樣求B的度數(shù)?(4)你有幾種方法可以求斜邊AB的長(zhǎng)?【學(xué)生活動(dòng)】思考后獨(dú)立完成,小組內(nèi)交流答案,小組代表板書過程.【課件展示】解:tanA=BCAC=62=3,A=60,B=90-A=90-60=30,AB=2AC=22.如圖,在RtABC中,C=90,B=35,b=20,解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).教師引導(dǎo)分析:由B=35,可得A=；由B=35及它的對(duì)邊b=20,根據(jù)可得a=；由B=35及它的對(duì)邊b=20,根據(jù)可得c=.【追問】你還有其他方法求c的值嗎?【學(xué)生活動(dòng)】在教師提出的問題的引導(dǎo)下,獨(dú)立完成解答過程,小組內(nèi)交流答案,組長(zhǎng)指出組內(nèi)成員的錯(cuò)誤,并幫助改正.教師對(duì)學(xué)生的板書進(jìn)行點(diǎn)評(píng),強(qiáng)調(diào)規(guī)范性,并鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法求解.【課件展示】解:A=90-B=90-35=55.tanB=ba,a=btanB=20tan3528.6.sinB=bc,c=bsinB=20sin3534.9.設(shè)計(jì)意圖通過例題理解和掌握解直角三角形的思路和方法,進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用直角三角形的有關(guān)知識(shí)解直角三角形,并體會(huì)從計(jì)算簡(jiǎn)便的角度選用適當(dāng)?shù)年P(guān)系式求解,同時(shí)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,通過規(guī)范書寫過程,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.知識(shí)拓展(1)直角三角形中一共有六個(gè)元素,即三條邊和三個(gè)角,除直角外,另外的五個(gè)元素中,只要已知一條邊和一個(gè)角或兩條邊,就可以求出其余的所有未知元素.(2)運(yùn)用關(guān)系式解直角三角形時(shí),常用到下列變形:銳角之間的關(guān)系:A=90-B,B=90-A.三邊之間的常用變形:a=c2-b2,b=c2-a2,c=a2+b2.(3)邊角之間的常用變形:a=csinA,b=ccosA,a=btanA,a=ccosB,b=csinB,b=atanB.(4)雖然求未知元素時(shí)可選擇的關(guān)系式有很多種,但為了計(jì)算方便,最好遵循“先求角后求邊”和“寧乘不除”的原則.(5)選擇關(guān)系式時(shí)要盡量利用原始數(shù)據(jù),以防“累積誤差”.(6)遇到不是直角三角形的圖形時(shí),要適當(dāng)添加輔助線,將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.1.解直角三角形的概念2.直角三角形中五個(gè)元素之間的關(guān)系:(1)三邊之間關(guān)系:a2+b2=c2(勾股定理)；(2)兩銳角之間關(guān)系:A+B=90；(3)邊角之間關(guān)系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab.3.解直角三角形的基本類型及解法步驟(參考前面表格).1.由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形.已知一個(gè)直角三角形中:(1)兩條邊的長(zhǎng)度；(2)兩個(gè)銳角的度數(shù)；(3)一個(gè)銳角的度數(shù)和一條邊的長(zhǎng)度.利用上述條件中的一個(gè),能解這個(gè)直角三角形的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)2.在ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊,如果a2+b2=c2,那么下列結(jié)論正確的是()A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.ctanB=b3.在RtABC中,C=90,B=30,BC=6,則AB的長(zhǎng)為.4.根據(jù)下列條件解直角三角形.(1)在RtABC中,C=90,b=4,c=8；(2)在RtABC中,C=90,A=60,a=12.【答案與解析】1.B 解析:能解的直角三角形有兩種:已知兩邊；已知一邊和一銳角.故選B.2.A 解析:由a2+b2=c2,得C=90,sin A=ac,cos B=ac,tan A=ab,tan B=ba,csin A=a,ccos B=a,btan A=a,atan B=b.故選A.3. 43解析:cos B=BCAB=32,BC=6,AB=BCcosB=43.4.解:(1)C=90,b=4,c=8,a=c2-b2=82-42=43.cos B=ac=32,B=30,A=180-90-30=60.(2)C=90,A=60,B=180-90-60=30.tan A=tan 60=ab=3,a=12,b=43,c=2b=83.28.2.1解直角三角形1.共同探究3.例題講解例1例2一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.在RtABC中,C=90,sinA=12,則B等于()A.30B.45C.60D.902.在RtABC中,C=90,B=35,AB=7,則BC的長(zhǎng)為()A.7sin35B.7cos35C.7cos35D.7tan353.在RtABC中,C=90,AC=1,BC=2,則下列結(jié)論正確的是()A.sinB=55B.cosB=25C.tanB=2D.AB=34.在RtACB中,C=90,AB=10,sinA=35,則BC的長(zhǎng)為()A.6B.7.5C.8D.12.55.如果等腰三角形的底角為30,腰長(zhǎng)為6cm,那么這個(gè)三角形的面積為()A.4.5cm2B.93cm2C.183cm2D.36cm26.在RtABC中,C=90,b=10,A=30,則a=.7.在RtABC中,C=90,AC=5,AB=52,則A=,BC=.8.如圖,在RtABC中,斜邊BC上的高AD=4,cosB=45,則AC=.9.根據(jù)下列條件解直角三角形.(1)在RtABC中,C=90,AB=10,BC=5.(2)在RtABC中,C=90,A=60,BC=3.10.如圖,已知在ABC中,AD是BC邊上的高,E為邊AC的中點(diǎn),BC=14,AD=12,sinB=45.求:(1)線段DC的長(zhǎng)；(2)tanEDC的值.【能力提升】11.如圖,在RtABC中,ACB=90,若AB=4,sinA=35,則斜邊AB上的高CD為.12.如圖,在ABC中,AB=2,AC=2,以點(diǎn)A為圓心,1為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)D,則BAC的度數(shù)是.13.如圖,在ABC中,A=30,B=45,AC=23,則AB的長(zhǎng)為.14.如圖,在菱形ABCD中,DEAB于點(diǎn)E,cosA=35,BE=4,求tanDBE的值.【拓展探究】15.如圖,在RtABC中,ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,過點(diǎn)A作AECD,AE分別與CD,CB相交于點(diǎn)H,E,AH=2CH.(1)求sinB的值；(2)如果CD=5,求BE的長(zhǎng).【答案與解析】1.C解析:由sinA=12,得A=30,則B=90-A=60.故選C.2.C解析:cosB=BCAB=BC7,BC=7cosB=7cos35.故選C.3.A解析:在RtABC中,C=90,AC=1,BC=2,AB=5,sinB=55,cosB=255,tanB=12.故選A.4.A解析:C=90,AB=10,sinA=BCAB=35,BC=3510=6.故選A.5.B解析:如圖,作底邊上的高AD.若B=30,AB=6cm,則AD=ABsinB=612=3(cm),BD=ABcosB=632=33(cm).BC=2BD=63cm,SABC=12ADBC=12363=93(cm2).故選B.6.1033解析:cosA=bc=32,b=10,c=2033,a=12c=1033.7.455解析:cosA=ACAB=22,A=45.C=90,B=A=45,BC=AC=5.8.5解析:在RtABC中,cosB=45,sinB=35,tanB=sinBcosB=34.在RtABD中,AD=4,AB=ADsinB=435=203.在RtABC中,tanB=ACAB,AC=34203=5.9.解:(1)根據(jù)勾股定理可得AC=102-52=53,又sinA=BCAB=12,A=30,B=90-A=60.(2)在RtABC中,C=90,B=90-A=30.又sinA=BCAB=32,AB=2,由勾股定理可得AC=22-(3)2=1.10.解:(1)AD是BC邊上的高,ABD和ACD都是直角三角形.在RtABD中,sinB=45,ADAB=45.又AD=12,AB=15,BD=AB2-AD2=9.又BC=14,CD=5.(2)在RtACD中,E為斜邊AC的中點(diǎn),ED=EC=12AC,C=EDC,tanEDC=tanC=ADDC=125.11.4825解析:在RtABC中,AB=4,sinA=35,BC=ABsinA=125.根據(jù)勾股定理得AC=AB2-BC2=165.SABC=12ACBC=12ABCD,CD=ACBCAB=1651254=4825.12.105解析:如圖,連接AD,則ADBC.在RtABD中,AB=2,AD=1,則sinB=ADAB=12,B=30,BAD=60.同理,在RtACD中,得到CAD=45,因而BAC的度數(shù)是105.13. 3+3解析:如圖,過C作CDAB于D,ADC=BDC=90.B=45,BCD=B=45,CD=BD.A=30,AC=23,CD=3,BD=CD=3,由勾股定理得AD=AC2-CD2=3,AB=AD+BD=3+3.14.解:四邊形ABCD是菱形,AD=AB.cosA=35,BE=4,DEAB,設(shè)AD=AB=5x,AE=3x,則5x-3x=4,x=2,即AD=10,AE=6.在RtADE中,由勾股定理得DE=102-62=8.在RtBDE中,tanDBE=DEBE=84=2.15.解:(1)AECD,ACB=90,AHC=ACB=90.CD是AB上的中線,CD=AD=BD=12AB,DAC=DCA,B=DCB,B=CAH.AH=2CH,CHAHAC=125,sinB=sinCAH=CHAC=55.(2)由(1)可知ACBCAB=125,CEACAE=125.CD=5,AB=25,AC=2,BC=4,CE=1,BE=BC-CE=4-1=3.在教學(xué)設(shè)計(jì)中,通過回顧復(fù)習(xí)直角三角形中邊與邊、角與角、邊與角之間的關(guān)系,為下一步解直角三角形打下基礎(chǔ),再通過解決比薩斜塔問題引入解直角三角形知識(shí)的必要性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)解決章前導(dǎo)入問題,做到首尾呼應(yīng).通過解含有特殊角的直角三角形的探究活動(dòng),歸納出解直角三角形的概念及基本形式和方法步驟,由淺入深地引導(dǎo)探究,學(xué)生更易于掌握本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力.通過例題學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用直角三角形知識(shí)解決問題,加深對(duì)解直角三角形的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厍髮W(xué)精神.本節(jié)課的重點(diǎn)是解直角三角形,教學(xué)設(shè)計(jì)中追求新理念在課堂中的應(yīng)用,重視學(xué)生參與課堂,所以教學(xué)設(shè)計(jì)中以問題為引領(lǐng),小組合作交流為主要教學(xué)活動(dòng)形式,預(yù)期學(xué)生課堂氣氛活躍,人人參與課堂,讓每個(gè)學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂,但在授課過程中過于追求形式,課堂中的討論交流只是流于形式,所以在以后的教學(xué)活動(dòng)中多關(guān)注學(xué)生小組交流時(shí)的效率.復(fù)習(xí)直角三角形三邊之間的關(guān)系、角之間的關(guān)系及邊角之間的關(guān)系,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),同時(shí)以生活實(shí)際問題導(dǎo)入新課,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.通過探究已知直角三角形的兩個(gè)元素求其他元素的過程,很自然地引出解直角三角形的概念,學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程,更利于理解與掌握.例題的分析講解,讓學(xué)生體會(huì)解直角三角形的方法,提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力,培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣.更新教學(xué)理念,提高課堂效率(1)新課程改革要求:讓學(xué)生通過交流、合作、討論的方式,積極探索,改進(jìn)學(xué)習(xí)方法,提高學(xué)習(xí)質(zhì)量,逐步形成正確地?cái)?shù)學(xué)價(jià)值觀.以這一理念為前提,在教學(xué)設(shè)計(jì)中以解決章前比薩斜塔問題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在各個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)中,始終以學(xué)生活動(dòng)為主,教師只是課堂的引導(dǎo)者,通過動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、小組合作、共同歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),讓學(xué)生參與課堂活動(dòng),注重學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度是否積極主動(dòng),注重以問題形式引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去思考問題,同時(shí)利用嘗試教學(xué),讓學(xué)生暴露思維過程,通過學(xué)生之間的質(zhì)疑解決問題.在課堂上留給學(xué)生足夠的空間思考和展示自己,讓學(xué)生在充滿情感的、和諧的課堂氛圍中體驗(yàn)成功的快樂,從而提高了學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)效率.(2)本節(jié)課是解直角三角形的第一課時(shí),在本章內(nèi)容中起著承上啟下的作用,通過前邊學(xué)過的三角函數(shù)知識(shí),結(jié)合勾股定理和直角三角形中的有關(guān)性質(zhì),求出直角三角形中的未知元素是本節(jié)課的重點(diǎn),它是下節(jié)課解決實(shí)際問題的基礎(chǔ),要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維的提高.如圖,在RtABC中,C=90,點(diǎn)O在AB上,以O(shè)為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC,AB分別交于點(diǎn)D,E,且CBD=A,若ADAO=85,BC=2,求BD的長(zhǎng).解:連接DE.AE是O的直徑,ADE=90.ADAO=85,cosA=ADAE=45.C=90,CBD=A,cosCBD=BCBD=45.BC=2,BD=52.如圖,AC是矩形ABCD的對(duì)角線,AB=2,BC=23,點(diǎn)E,F分別是線段AB,AD上的點(diǎn),連接CE,CF,當(dāng)BCE=ACF,且CE=CF時(shí),AE+AF=.433解析如圖,作FGAC于G,易證BCEGCF,BE=GF,BC=CG.在RtABC中,tanACB=ABBC=223=33,ACB=30,AC=2AB=4,DAC=ACB=30.FGAC,AF=2GF,AE+AF=AE+2BE=AB+BE.設(shè)BE=x,在RtAFG中,AG=3GF=3x,AC=AG+CG=3x+23=4,解得x=433-2,AE+AF=AB+BE=2+433-2=433.28.2.2應(yīng)用舉例1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)概念,知道坡度與坡角之間的關(guān)系.2.經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問題的探究,會(huì)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題.3.在具體情景中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.1.通過畫示意圖,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.2.經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型的過程,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.通過探究將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性.1.通過根據(jù)實(shí)際問題畫示意圖的過程,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.2.通過自主學(xué)習(xí)、合作交流,體驗(yàn)成功的快樂,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的創(chuàng)新精神.3.調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【重點(diǎn)】1.用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)解決仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)問題.2.能根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形元素之間的關(guān)系.【難點(diǎn)】正確理解題意,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.第課時(shí)1.了解仰角、俯角等有關(guān)概念,經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問題的探究,會(huì)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題.2.通過在具體情景中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.1.經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的探究過程,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.2.通過探索用解直角三角形知識(shí)解決仰角、俯角等有關(guān)問題,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用過程,并發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手能力.3.經(jīng)歷從實(shí)際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活.1.學(xué)生積極參與探索活動(dòng),并在探索過程中發(fā)表自己的見解,體會(huì)三角函數(shù)是解決實(shí)際問題的有效工具.2.通過探索三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活以及勇于探索的創(chuàng)新精神.3.讓學(xué)生在自主探索、合作交流中獲得成功的體驗(yàn),建立自信心,讓學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的樂趣.【重點(diǎn)】能根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形元素之間的關(guān)系.【難點(diǎn)】正確理解題意,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的建模過程.導(dǎo)入一:【復(fù)習(xí)提問】1.如圖,在RtABC中,C=90,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.(1)三邊a,b,c有什么關(guān)系?(2)A,B有怎樣的關(guān)系?(3)邊與角之間有怎樣的關(guān)系?2.解直角三角形應(yīng)具備怎樣的條件?【師生活動(dòng)】學(xué)生回答問題,教師點(diǎn)評(píng)歸納.導(dǎo)入二:如圖,要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子AB的頂端,梯子與地面所成的角一般要滿足5075.現(xiàn)有一架長(zhǎng)6m的梯子.(1)使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻?(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí),等于多少度?此時(shí)人能否安全使用這架梯子?【師生活動(dòng)】學(xué)生小組內(nèi)討論解題思路,小組代表回答解題思路,教師巡視中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的回答作出點(diǎn)評(píng),然后導(dǎo)出新課.設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)解直角三角形的有關(guān)知識(shí),為本節(jié)課的用解直角三角形解決實(shí)際問題做好鋪墊,以舊引新,幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系,以解決生活實(shí)際問題引出新課,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的意義.過渡語(yǔ)剛才的導(dǎo)入中用解直角三角形的知識(shí)解決了實(shí)際生活問題,在生活實(shí)際中還有許多問題可以用解直角三角形的知識(shí)解決,讓我們一起去探究吧!一、活動(dòng)一2012年6月18日,“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接.“神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行,如圖,當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方時(shí),從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置?最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少(地球半徑約為6400km,取3.142,結(jié)果取整數(shù))?思路一師生合作探究:(1)從組合體上最遠(yuǎn)能直接看到的地球上的點(diǎn),應(yīng)該是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn).(2)根據(jù)題意畫出平面圖形.(3)所要求的距離是圖形中的哪條線段的長(zhǎng)度?(4)已知中有哪些條件?求弧長(zhǎng)需要知道哪些條件?(5)弧所對(duì)的圓心角在哪個(gè)三角形中?你能求出這個(gè)角的度數(shù)嗎?(如圖,O表示地球,點(diǎn)F是組合體的位置,FQ是O的切線,切點(diǎn)Q是從組合體中觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn).弧PQ的長(zhǎng)就是地面上P,Q兩點(diǎn)間的距離.為計(jì)算弧PQ的長(zhǎng)需先求出POQ(即)的度數(shù))【師生活動(dòng)】教師通過提出的問題引導(dǎo)學(xué)生分析思考,指導(dǎo)學(xué)生畫出平面圖形,分析已知條件和所求的結(jié)論,師生共同分析題意及解題思路后,學(xué)生獨(dú)立完成并板書解題過程.【課件展示】解:設(shè)POQ=,在圖中,FQ是O的切線,FOQ是直角三角形.cos=OQOF=64006400+3430.9491,18.36.弧PQ的長(zhǎng)為18.36180640018.363.14218064002051(km).由此可知,當(dāng)組合體在P點(diǎn)正上方時(shí),從中觀測(cè)地球表面時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2051km.思路二教師引導(dǎo)思考:(1)要解決實(shí)際問題,首先要做什么?(將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題)(2)如何根據(jù)題意畫出平面圖形?(地球平面圖形是圓,組合體近似看作點(diǎn))(3)從組合體中看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置?(過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)即為所求)學(xué)生操作:畫出平面示意圖.(4)最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離在示意圖中指的是什么的長(zhǎng)?(5)如何求這段距離?和圓有什么關(guān)系?(6)如何將所需數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)?【師生活動(dòng)】學(xué)生嘗試根據(jù)圖形寫出解題思路,教師巡視過程中及時(shí)幫助有困難的學(xué)生,課件展示解題過程,規(guī)范解題格式.【課件展示】解答同思路一.設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生畫出示意圖,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題,讓學(xué)生經(jīng)歷作圖、分析過程,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.二、活動(dòng)二【思考】平時(shí)我們觀察物體時(shí),我們的視線相對(duì)于水平線來說可有幾種情況?【歸納】視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角是仰角,視線在水平線下方的角是俯角.熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30,看這棟樓底部的俯角為60,熱氣球與樓的水平距離為120m,這棟樓有多高(結(jié)果取整數(shù))?教師引導(dǎo)分析:(1)如何根據(jù)題意畫出符合題意的幾何圖形?(畫出示意圖如圖)(2)分析題意,已知條件有哪些?(3)你能直接求出AB的長(zhǎng)嗎?(4)如何求出BC的長(zhǎng)?(線段BD與線段CD的和)(5)在RtABD中,能否求線段BD的長(zhǎng)?(6)在RtACD中,能否求線段CD的長(zhǎng)?【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生思考問題,然后獨(dú)立完成解題過程,教師巡視過程中及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,并幫助有困難的學(xué)生解決問題,然后課件展示解題過程,規(guī)范解題格式.【課件展示】解:如圖,=30,=60,AD=120.tan=BDAD,tan=CDAD,BD=ADtan=120tan30=12033=403,CD=ADtan=120tan60=1203=1203.BC=BD+CD=403+1203=1603277(m).因此,這棟樓高約為277m.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的問題串的引導(dǎo)下思考,獨(dú)立完成解題過程,進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程,培養(yǎng)學(xué)生建模思想,靈活應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解決有關(guān)線段的長(zhǎng)的計(jì)算問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及解題能力.三、活動(dòng)三:【思考】你能總結(jié)利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后小組合作交流,共同歸納解題過程,教師對(duì)學(xué)生的回答以鼓勵(lì)為主,將學(xué)生的回答補(bǔ)充完整.【歸納】(1)將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(畫出示意圖,將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；(2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實(shí)際問題的答案.設(shè)計(jì)意圖通過例題的探究,歸納解決實(shí)際問題的一般步驟,培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力和建模思想.知識(shí)拓展仰角與俯角都是視線與水平線的夾角.用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程:(1)將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(畫出示意圖,將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；(2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實(shí)際問題的答案.1.如圖,由D點(diǎn)測(cè)塔頂A點(diǎn)和塔基B點(diǎn)的仰角分別為60和30.已知塔基高出地平面20米(即BC長(zhǎng)為20米),塔身AB的高為()A.60米B.403米C.40米D.20米2.如圖,一飛機(jī)從一地平面指揮臺(tái)C正上方2000米D處經(jīng)過,沿水平方向飛行,稍后到達(dá)B點(diǎn),這時(shí)從地平面指揮臺(tái)看飛機(jī)的仰角為45,1分鐘后,飛機(jī)到達(dá)A點(diǎn),這時(shí)從地平面指揮臺(tái)看飛機(jī)的仰角為30,則飛機(jī)從B到A的速度(精確到1米)是()A.1461米/分B.1462米/分C.1463米/分D.1464米/分3.如圖,從山頂A處看地面C點(diǎn)的俯角為45,看地面D點(diǎn)的俯角為30,測(cè)得CD=100米,求山AB的高度.(結(jié)果保留根號(hào))【答案與解析】1.C 解析:ADC=60,BDC=30,ADB=30,A=30,AB=BD.在RtBCD中,BC=20,BD=20sin 30=40,AB=40米,塔身的高為40米.故選C.2.D解析:由題意知在RtADC中,AD=20003米.在RtBDC中,BD=CD=2000米,則AB=(20003-2000)米,由此求得飛機(jī)的速度約為1464米/分.故選D.3.解:設(shè)山AB的高度為x米.在RtABD中,ADB=30,BD=ABtan 30=3x.在RtABC中,ACB=45,BC=x,CD=DB-BC=3x-x=100,x=503+50.答:山AB的高度為(503+50)米.第1課時(shí)1.活動(dòng)一2.活動(dòng)二3.活動(dòng)三一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.課外活動(dòng)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度.如圖,當(dāng)太陽(yáng)光線與地面成30角時(shí),測(cè)得旗桿AB在地面上的影長(zhǎng)BC為24米,那么旗桿AB的高度是()A.12米B.83米C.24米D.243米2.如圖,為測(cè)量一棵與地面垂直的樹OA的高度,在距離樹的底端30米的B處,測(cè)得樹頂A的仰角ABO為,則樹OA的高度為()A.30tan米B.30sin米C.30tan米D.30cos米3.如圖,小穎利用有一個(gè)銳角是30的三角板測(cè)量一棵樹的高度,已知她與樹之間的水平距離BE為5m,AB為1.5m(即小穎的眼睛到地面的距離),那么這棵樹高是()A.533+32mB.53+32mC.533mD.4m4.一棵樹因雪災(zāi)于A處折斷,如圖,測(cè)得樹梢觸地點(diǎn)B到樹根C處的距離為4米,ABC約45,樹干AC垂直于地面,那么此樹在未折斷之前的高度約為米(答案保留根號(hào)).5.如圖,兩建筑物的水平距離BC為18m,從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角為30,測(cè)得C點(diǎn)的俯角為60,則建筑物CD的高度為m.6.如圖,張華同學(xué)在學(xué)校某建筑物的C點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為30,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45.若旗桿底部B點(diǎn)到建筑物的水平距離BE=9米,旗桿臺(tái)階高1米,求旗桿頂點(diǎn)A離地面的高度.(結(jié)果保留根號(hào))【能力提升】7.如圖,小陽(yáng)發(fā)現(xiàn)垂直于地面的