第二十九章投影與視圖1.以豐富的實例為背景,認識投影與視圖的基本概念和基本性質.2.會在投影面上畫出平行投影、中心投影及簡單的平面圖形的正投影.3.理解視圖的概念,探索三視圖中三個視圖間的位置關系和大小關系.4.會畫簡單幾何體及簡單組合體的三視圖.5.學會根據物體的三視圖描述出幾何體的基本形狀或實物原型.6.通過制作立體模型的課題學習,進一步加強對投影與視圖的認識.1.通過聯系生活實際,初步感受平行投影、中心投影及正投影,體會數學與生活之間的密切聯系,提高學生的數學應用意識.2.通過具體的活動,培養學生動手實踐能力和數學思考能力,發展學生的空間觀念.3.通過觀察、操作、猜想、討論、合作等活動,使學生體會到三視圖中各部分之間位置及大小的對應關系,積累數學活動的經驗.4.通過觀察、探究等活動使學生能根據物體的三視圖還原出物體的形狀,進一步認識物體與其三視圖之間的關系.5.通過學習和實踐活動,激發學生對投影與視圖學習的好奇心,加強動手動腦、理論結合實際的能力.1.使學生學會關注生活中有關投影與視圖的數學問題,體會數學與生活實際密不可分,提高數學的應用意識,激發學生學習數學的興趣.2.學生通過觀察、思考、分析、探究得出結論,培養學生的觀察能力、實踐能力及歸納總結能力.3.通過自主學習與合作交流的學習方式,提高動手操作能力、分析問題及解決問題的能力,培養學生的合作精神.4.通過探究物體的三視圖,學會多角度看問題,品嘗成功的喜悅,激發學生學習數學的熱情,增強學好數學的信心.5.在探究三視圖向立體圖形轉化的過程中,使學生感受數學的和諧美,培養學生動手實踐能力,發展空間想象能力.本章的主要內容有平行投影、中心投影和簡單物體的三視圖.投影是生活中常見的現象,而三視圖又是特殊投影的產物,投影與三視圖的知識在日常生活和生產中有廣泛的應用,是培養學生空間觀念的有效平臺,空間觀念的形成是一個長期的過程,而使學生具有良好的空間觀念是義務教育階段數學教育的一個重要目標.本章內容在數學學習中起著承上啟下的作用,學生前邊學習過“圖形的初步知識”“圖形和變換”等幾何知識,在此基礎上本章繼續研究“投影與視圖”,它是反映空間觀念的重要內容,也為高中學習立體幾何做了鋪墊.教材以生活實例出發,引出投影的概念,觀察分析不同的投影,得到平行投影和中心投影的區別與聯系,然后以探究正方形的影子為例,得到平行投影中正投影的概念,而物體三個方向上的正投影就是該物體的三視圖,教材最后探究“由物到圖”和“由圖到物”,兩方面結合起來,就從不同角度反映了平面圖形與立體圖形是如何聯系的.本章的知識內容不太多,編寫本章最主要的目的不是介紹投影與視圖的知識,而是通過學習本章切實發展學生的空間想象能力.【重點】1.通過實例了解平行投影和中心投影的含義及簡單應用.2.會畫基本幾何體及簡單組合體的三視圖.3.能根據三視圖描述基本幾何體或實物的原型.【難點】了解基本幾何體與其三視圖、展開圖之間的聯系,通過典型實例知道這種關系在現實生活中的應用.教學中應重視借助直觀模型或動畫演示,幫助學生克服立體幾何知識不足的困難,在本章的教學中,不可避免地要涉及立體幾何中的一些基礎知識,但是學生此前缺乏對這些知識的系統學習,只是有一些感性認識,解決這個問題比較好的做法是選擇一些實例或通過課件展示,讓學生通過觀察、想象,由直觀認識結合實例了解空間關系,降低學習本章內容的難度,提高學生空間想象能力.數學是以數量關系和空間形式為主要研究對象的學科,數量關系和空間形式是從現實世界中抽象出來的.很明顯,關于投影和視圖的知識是從實際需要(建筑、制造等)中產生的,它們與實際問題聯系非常緊密.在本章之前,學生已經數次接觸過和幾何圖形有關的平面圖形知識及簡單立體圖形,對投影和視圖的知識已有初步的、朦朧的了解,只是還沒有明確接觸過一些基本名詞術語,對有關基本規律還缺乏歸納總結.所以在本章的學習中,以生活實例為載體,通過觀察學生熟悉的生活實例,抽象出有關概念和性質.實際教學要比教科書有更大的靈活性,教學中要動態地展示模型,直接面對學生授業解惑,應充分發揮這些優勢.因此,建議教學中在上述問題的處理上,能注意結合實物模型,充分利用直觀演示,達到由感性認識到理性認識的提高.29.1投影2課時29.2三視圖2課時29.3課題學習制作立體模型1課時單元概括整合1課時29.1投影1.通過實踐探索,了解投影、投影面、平行投影、中心投影及正投影的概念.2.了解平行投影和中心投影的含義,認識兩者之間的區別.3.會在投影面上畫出平行投影和中心投影.4.能根據正投影的性質畫出簡單的平面圖形的正投影.1.通過聯系生活實際,初步感受平行投影、中心投影及正投影,體會數學與生活之間的密切聯系,提高學生的數學應用意識.2.通過具體的活動,培養學生動手實踐能力和數學思考能力,發展學生的空間觀念.3.通過學習和實踐活動,激發學生對投影學習的好奇心,體會數學與現實生活的聯系.1.通過感受生活中的投影現象,體會數學與實際生活的密切聯系,激發學生學習數學的興趣.2.通過實物演示和多媒體教學,把抽象問題直觀化,激發學生的求知欲,感悟數學知識的奇妙無窮.3.學生通過觀察、思考、分析、探究得出結論,培養學生的觀察能力、實踐能力及歸納總結能力.4.通過探究正投影的性質,培養學生動手操作能力、分析問題及解決問題的能力.【重點】1.通過實例了解平行投影和中心投影的含義及簡單應用.2.能根據正投影的性質畫出簡單的平面圖形的正投影.【難點】在投影面上畫出平面圖形的平行投影、中心投影及正投影.第課時1.通過實踐探索,了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念.2.了解平行投影和中心投影的含義,認識兩者之間的區別.3.會在投影面上畫出平行投影和中心投影.1.通過聯系生活實際,初步感受平行投影和中心投影,體會數學與生活之間的密切聯系.2.認識中心投影和平行投影的區別與聯系,發展空間想象能力.1.通過觀察、分析、探究得出結論,激發學生學習數學的興趣,培養學生觀察能力和實踐能力.2.使學生學會關注生活中有關投影的數學問題,提高數學的應用意識,增強學好數學的信心.【重點】理解平行投影和中心投影的特征.【難點】在投影面上畫出平面圖形的平行投影或中心投影.導入一:【師生活動】教師課件展示“鳥巢”“水立方”等建筑圖片,學生觀察欣賞.過渡語你注意過周圍物體在日光或燈光下的影子嗎?影子和物體有著怎樣的聯系呢?人們從光線照射物體會產生影子得到啟發,得出了投影的有關知識,并用這些知識來繪制視圖.在生產實踐中,制造機器、建筑高樓、設計火箭無一不和視圖密切相關.本章我們將學習投影的有關知識,并借助投影認識視圖.導入二:你看過皮影戲嗎?皮影戲又名“燈影子”,是我國民間一種古老而奇特的戲曲藝術,在關中地區非常流行.皮影戲演出簡便,表演領域廣闊,演技細膩,活躍于廣大農村,深受農民的歡迎.【師生活動】教師課件展示圖片,學生欣賞圖片,有條件的可以放映電影小兵張嘎部分片段小胖墩和他父親在日軍炮臺內為日本人表演皮影戲,簡單介紹有關皮影戲的知識,導出本節課的課題.導入三:北京故宮中的日晷聞名世界,是我國光輝燦爛的文化瑰寶.它是我國古代利用日影測定時刻的儀器,它由“晷面”與“晷針”組成,太陽光照在日晷中軸上產生投影,晷針的影子就會投向晷面,隨著時間的推移,晷針的影子長度發生變化,晷針的影子在晷面上慢慢移動,聰明的古人以此來顯示時刻.【師生活動】教師展示圖片,引入新課,學生觀察思考,初步感知投影的概念.設計意圖通過欣賞大家熟悉的名建筑導出本章內容,讓學生體會數學與生活之間的密切聯系,激發學習本章的興趣.學生通過觀看電影片段或欣賞圖片,了解中國傳統文化,數學課堂上滲透德育教育,通過對皮影和日晷的介紹,讓學生初步感知投影的概念,為下面的學習做好鋪墊.過渡語影子隨處可見,你能舉出生活中關于物體在光線的照射下形成影子的實例嗎?一、認識概念思路一【師生活動】(1)學生舉出物體在光線的照射下形成影子的例子,教師點評.(2)教師出示投影圖片,讓學生感受日常生活中的一些投影現象.(3)學生嘗試總結什么是投影,互相補充,最后教師與學生一起歸納總結.課件展示圖片:【結論】一般地,用光線照射物體,在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線,投影所在的平面叫做投影面.過渡語我們生活中的所有投影是不是都一樣呢?【師生活動】(1)教師展示探照燈發出的光線圖片,學生觀察.(2)學生思考:探照燈發出的光線與燈泡發出的光線是否相同?太陽光線與哪種光線相同?(3)學生小組合作交流,共同歸納,小組代表發言,教師點評,然后歸納有關概念.【結論】有時光線是一組互相平行的射線,例如太陽光或探照燈中的光線.由平行光線形成的投影叫做平行投影.例如,物體在太陽光的照射下形成的影子(簡稱日影)就是平行投影.由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影.例如,物體在燈泡發出的光照射下形成的影子就是中心投影.思路二【思考】(1)物體在日光或燈光的照射下會形成影子,影子的形成與哪些因素有關?(物體本身、照射光線、形成影子的平面)(2)你能舉出生活中的一些實例嗎?【師生活動】教師展示生活中的圖片(同思路一),學生觀察思考后,小組合作交流,教師結合學生的結論,給出投影的一些概念.【結論】一般地,用光線照射物體,在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線,投影所在的平面叫做投影面.【師生活動】教師展示分別用探照燈和燈泡作為光源,在教室的墻面上形成三角尺的影子.【思考】(1)探照燈的光線與燈泡發出的光線有什么不同?(2)太陽光與哪種光線相同?【師生活動】學生觀察思考后小組合作交流,教師對學生的回答進行點評,歸納概念.【結論】有時光線是一組互相平行的射線,例如太陽光或探照燈中的光線.由平行光線形成的投影叫做平行投影.例如,物體在太陽光的照射下形成的影子(簡稱日影)就是平行投影.由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影.例如,物體在燈泡發出的光照射下形成的影子就是中心投影.設計意圖通過觀察圖片,感知數學概念的形成來源于生活,通過觀察、思考,抽象出有關概念,對投影的感性認識上升到理性認識,通過理論聯系實際,不僅使學生加深了對概念的理解,而且突出了數學與現實的聯系,激發了學生的求知欲望.二、共同探究過渡語通過觀察我們知道有兩種不同的投影平行投影和中心投影,下面我們一起來探討它們的區別和聯系.【思考】(1)如圖(1)是同一時刻的兩棵樹及其影子,請你在圖中畫出形成樹影的光線,并判斷它是太陽光線還是燈光的光線.若是燈光的光線,請確定光源的位置.(2)請判斷如圖(2)的兩棵樹的影子是在太陽光下形成的還是在燈光下形成的,并畫出同一時刻旗桿的影子(用線段表示).(3)通過上邊的練習,請觀察平行投影和中心投影,它們有什么相同點與不同點?【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,動手操作后交流答案,教師進行點評,共同歸納.【課件展示】【課件展示】平行投影與中心投影的區別與聯系:區別聯系平行投影平行的投影線都是物體在光線的照射下在某個平面內形成的影子(即都是投影)中心投影從一點發出的投影線設計意圖通過解決設計的練習,學生經歷觀察、思考、操作、交流、歸納等數學活動,得出平行投影和中心投影的區別與聯系,不僅加深了對平行投影和中心投影的概念的理解和掌握,同時提高了學生的應用意識和能力,讓學生獲得了成功的體驗.三、例題講解(1)地面上直立一根標桿AB,如圖(1),桿長為2m.當陽光垂直照射地面時,標桿在地面上的投影是什么圖形?當陽光與地面的傾斜角為60時,標桿在地面上的投影是什么圖形?并畫出投影示意圖.(2)一個正方形紙板ABCD和投影面平行(如圖(2),投影線和投影面垂直,點C在投影面上的對應點為C,請畫出正方形紙板的投影示意圖.教師引導分析:(1)當陽光垂直照射地面時,點A的影子落在什么地方?(2)當陽光與地面的傾斜角為60時,點A的影子落在什么地方?(3)在直角三角形中,已知一銳角和一直角邊,怎樣求出三角形的另一直角邊?(4)當投影線與投影面垂直時,如何畫出頂點A,B,C,D的投影?【師生活動】學生獨立思考,動手操作完成畫圖及求解,小組代表展示成果,教師點評.解:(1)當陽光垂直照射地面時,標桿在地面上的投影是一個點.因為標桿與地面垂直,陽光垂直照射地面時與標桿平行,使得影子與點B重合.當陽光與地面的傾斜角為60時,如圖(3).在RtABC中,ACB=60,AB=2,tanACB=ABBC=3,BC=AB3=233.標桿在地面上的投影是長為233m的線段,如圖(3)的BC.(2)因為紙板與投影面平行,投影線和投影面垂直,所以分別過點A,B,D作投影面的垂線,垂足分別為A,B,D,順次連接A,B,C,D即可.如圖(4)為所畫的投影.設計意圖通過例題的教學進一步加深對投影的理解和掌握,在鞏固所學的知識的同時,為下節課的正投影做鋪墊,通過分析、思考、交流、解答等數學活動,培養學生分析問題、解決問題的能力.知識拓展(1)光線移動時,物體影子的大小、方向也隨著變化,物體的形狀與影子的形狀有密切的聯系.(2)光是沿直線傳播的,因此我們可以由投影與物體確定光線方向.(3)平行投影的應用:根據陽光下影子的大小、位置的變化判斷時刻的不同；已知一個物體及其在陽光下的影子,可作出同一時刻另一個物體在陽光下的影子；根據物高和影長的關系可以求物高或影長.(4)中心投影的應用:根據點光源下兩種或兩種以上物體及影子的情況判斷點光源的位置；已知點光源的位置,可以畫物體在點光源下的影子.1.一般地,用光線照射物體,在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.2.有時光線是一組互相平行的射線,例如太陽光或探照燈中的光線.由平行光線形成的投影叫做平行投影.3.由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影.1.平行投影中的光線是()A.平行的B.聚成一點的C.不平行的D.向四面八方發散的2.下列投影中屬于中心投影的是()A.陽光下跑動的運動員的影子B.陽光下木桿的影子C.陽光下汽車的影子D.路燈下行人的影子3.下圖是小紅在某天四個時刻看到一根木棒及其影子的情況,那么她看到的先后順序是.4.下列影子:陽光下遮陽傘的影子；燈光下小明讀書的影子；陽光下大樹的影子；陽光下農民鋤地的影子；路燈下木桿的影子.其中屬于平行投影的是,屬于中心投影的是.5.某一廣告牌PQ旁有兩根直立的木桿AB和CD,某一時刻在太陽光下,木桿CD的影子剛好不落在廣告牌PQ上.(1)在圖中畫出此時的太陽光線CE及木桿AB的影子BF；(2)若AB=5米,CD=3米,CD到PQ的距離DQ的長為4米,求此時木桿AB的影長.【答案與解析】1.A 解析:平行投影中的光線是平行的.故選A.2.D 解析:中心投影的光源為點光源,平行投影的光源為陽光、探照燈光等平行光,在各選項中只有D選項中的投影為中心投影.故選D.3.解析:根據平行投影的特點以及北半球影長的規律可知影子由長變短再變長.故填.4.解析:陽光下遮陽傘的影子；陽光下大樹的影子；陽光下農民鋤地的影子都是太陽光線形成的影子,故屬于平行投影.燈光下小明讀書的影子及路燈下木桿的影子都是燈光形成的影子.故屬于平行投影的是,屬于中心投影的為.5.解:(1)如圖.(2)設木桿AB的影長BF為x米.由題意,得5x=34,解得x=203.答:此時木桿AB的影長是203米.第1課時1.認識概念平行投影中心投影2.共同探究3.例題講解例題一、教材作業二、課后作業【基礎鞏固】1.下面說法正確的是()A.所有的光線都是平行的B.太陽光線是平行的C.同一組物體的平行投影與中心投影是相同的D.以上說法都不對2.在同一時刻,兩根長度不等的竹竿置于陽光之下,但它們的影長相等,那么這兩根竹竿的相對位置是()A.兩根都垂直于地面B.兩根平行斜插在地上C.兩根竹竿不平行D.一根倒在地上3.下列投影不是中心投影的是()4.如圖,晚上小亮在路燈下散步,在小亮由A處走到B處這一過程中,他在地上的影子()A.逐漸變短B.逐漸變長C.先變短后變長D.先變長后變短5.下列結論正確的有()同一時刻物體在陽光照射下影子的方向是相同的；物體在任何光線照射下影子的方向都是相同的；物體在路燈照射下,影子的方向與路燈的位置有關；物體在光線照射下,影子的長短僅與物體的長短有關.A.1個B.2個C.3個D.4個6.如圖,小華為了測量所住樓房的高度,他請來同學幫忙,測得同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米,已知小華的身高為1.6米,那么他所住樓房的高度為米.7.如圖,光源P在橫桿AB的正上方,AB在燈光下的影子為CD,ABCD,AB=2m,CD=6m,點P到CD的距離是2.7m,則AB與CD之間的距離是m.8.如圖,趙亮同學想利用影長測量學校旗桿的高度,他在某一時刻直立1米長的標桿測得其影長為1.2米,同時旗桿的影子一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墻上,分別測得其長度分別為9.6米和2米,則學校旗桿的高度為米.9.如圖,AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m,某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m.(1)請在圖中畫出此時DE在陽光下的投影；(2)在測量AB的投影時,同時測量出DE在陽光下的投影長為6m,請你計算DE的長.10.如圖,小華、小軍、小麗同時站在路燈下,其中小軍和小麗的影子分別是AB,CD.(1)請你在圖中畫出路燈燈泡所在的位置(用點P表示)；(2)畫出小華此時在路燈下的影子(用線段EF表示).【能力提升】11.三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成影子(如圖).現測得OA=20cm,OA=50cm,這個三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比值是.12.如圖,小明在A時測得某樹的影長為2m,B時又測得該樹的影長為8m,若兩次日照的光線互相垂直,則樹的高度為m.13.如圖,光源L距地面(LN)8米,距正方形頂端(LM)2米,已知在光源照射下,正方形在左側的影子BE長5米,求正方形在右側的影子CF的長.【拓展探究】14.如圖,王琳同學在晚上由路燈A走向路燈B,當他行到P處時發現,他在路燈B下的影長為2米,且恰好位于路燈A的正下方,接著他又走了6.5米到Q處,此時他在路燈A下的影子恰好位于路燈B的正下方.(已知王琳身高1.8米,路燈B高9米)(1)標出王琳站在P處在路燈B下的影子；(2)計算王琳站在Q處在路燈A下的影長；(3)計算路燈A的高度.【答案與解析】1.B解析:只有平行投影的光線是平行的,而中心投影的光線是不平行的,故A錯誤；太陽光線是平行的,B正確；根據平行投影及中心投影的定義及特點知同一組物體的平行投影與中心投影是不相同的,故C錯誤；因為B選項正確,所以D選項錯誤.故選B.2.C解析:在同一時刻,兩根長度不等的竹竿置于陽光之下,但它們的影長相等,那么這兩根竹竿不平行.故選C.3.D解析:分別連接頭頂和影子的端點,A,B,C中的兩條光線交于一點,是中心投影,D中的兩條光線平行,是平行投影.故選D.4.C解析:因為小亮由A處走到B處這一過程中,離光源是由遠到近再到遠的過程,所以他在地上的影子先變短后變長.故選C.5.B解析:因為太陽光線是平行光線,所以同一時刻物體在陽光照射下,影子的方向是相同的,故正確；物體在燈光的照射下影子的方向與物體的位置有關,故錯誤；物體在路燈照射下,影子的方向與路燈的位置有關,故正確；物體在點光源的照射下,影子的長短與物體的長短和光源的位置有關,故錯誤.所以正確的有2個.故選B.6.48解析:如圖,易證ABCDEF,則有ACBC=DFEF,解得DF=48米.7. 1.8解析:ABCD,PABPCD,ABCD=點P到AB的距離點P到CD的距離.26=點P到AB的距離2.7,點P到AB的距離為0.9m,則AB與CD之間的距離為2.7-0.9=1.8(m).8. 10解析:如圖,作DEAB于點E.根據題意得AEED=11.2,即AE9.6=11.2,解得AE=8米,則AB=AE+BE=8+2=10(米).即旗桿的高度為10米.9.解:(1)如圖,連接AC,過點D作DFAC,交直線BC于點F,線段EF即為DE的投影.(2)ACDF,ACB=DFE.ABC=DEF=90,ABCDEF,ABDE=BCEF,5DE=36,DE=10m.10.解:如圖.(1)點P為所求的點.(2)EF為小華此時在路燈下的影子.11.25解析:由題意知三角尺與其影子相似,它們周長的比就等于相似比.因為OAOA=2050=25,所以三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比值是25.12.4解析:如圖,過點C作CDEF.由題意，得EFC是直角三角形,且ECF=90.又EDC=CDF=90,E+ECD=ECD+DCF=90,E=DCF,RtEDCRtCDF,則有EDDC=DCFD,即DC2=EDFD,代入數據可得DC2=16,則DC=4m.13.解:由題意知四邊形DEFG是正方形,且LNBC,DGEF,MN=DE=FG,四邊形DENM與四邊形MNFG是矩形,DLMBLN,DMBE+EN=LMLN,解得DM=53,MG=133,同理,MGNF+FC=LMLN,解得FC=13.正方形在右側的影子CF的長為13米.14.解:(1)線段CP為王琳站在P處在路燈B下的影子.(2)由題意得RtCEPRtCBD,EPBD=CPCD,1.89=22+6.5+QD,解得QD=1.5,即影長為1.5米.(3)由題意得RtDFQRtDAC,FQAC=QDCD,1.8AC=1.51.5+6.5+2,解得AC=12.答:路燈A的高度為12米.本節課由鳥巢、水立方等建筑實物圖片引出教學內容,激發學生學習本節課內容的興趣,學生欣賞皮影和日晷了解中國文化的同時,導出本節課的課題,讓學生體會數學與生活之間的聯系,激發學生學習本節課的欲望.結合生活中的影子圖片,感知投影的概念,并觀察不同的投影之間的區別與聯系,歸納出平行投影和中心投影的概念.師生通過解決實際問題,畫出圖形,共同探究平行投影與中心投影的區別和聯系,學生在教師的引導下,通過觀察、思考、交流等數學活動,加深對有關投影概念的理解和掌握的同時,培養了歸納總結能力,并為下節課做好鋪墊,學生在課堂上思維活躍,人人學有價值的數學.本節課的主要內容是投影的有關概念,通過聯系生活實際,觀察、思考、交流、歸納等數學活動,感知投影、平行投影與中心投影的概念,課堂上學生氣氛活躍,回答問題積極,但是由實際問題抽象出數學概念使學生難于理解和掌握,沒有給學生更多的時間交流,在以后的教學中,應多舉一些實例,讓學生通過思考、交流,更深入地理解和掌握數學概念.本節課的重點是理解和掌握投影的有關概念,以建筑實例引出本節內容,激發學生學習興趣,再以和影子有關的生活實例導出本節課課題,讓學生體會數學與生活息息相關,激發學生的好奇心和求知欲.從學生舉出的與影子有關的生活實例中抽象出投影的概念,再從觀察不同的投影過程中抽象出平行投影和中心投影的概念,并歸納兩者的區別和聯系,培養學生的觀察能力和實踐能力,最后師生共同探究有關的例題,加深對概念的理解和掌握,提高學生的分析問題和解決問題的能力.1.數學是以數量關系和空間形式為研究對象的學科,數量關系和空間形式都是從現實世界中抽象出來的,投影是從實際需要(建筑、制造等)中產生的,它們與實際生活緊密相連.教科書從學生熟悉的生活經驗出發,引出投影的概念,讓學生體會數學與生活的聯系,激發學生的學習興趣.2.教科書以物體在陽光下的影子引出平行投影的概念.中心投影的特征是投影線是由一點發出的,也就是說投影線是具有公共端點的射線.而平行投影的特征是由光源發出的光線是平行的.如圖,王華晚上由路燈A下的B處走到C處時,測得影子CD的長為1米,繼續往前走3米到達E處時,測得影子EF的長為2米,已知王華的身高是1.5米,那么路燈A的高度AB是多少?分析由于人和地面是垂直的,即和路燈到地面的垂線平行,故構成相似三角形.根據對應邊成比例列方程解答即可.解:由題意知GCBC,ABBC,GCAB,GCDABD,DCDB=GCAB.設BC=x,則1x+1=1.5AB,同理,得2x+5=1.5AB,1x+1=2x+5,x=3,AB=6.答:路燈A的高度AB是6米.第課時1.了解正投影的概念.2.能根據正投影的性質畫出簡單的平面圖形的正投影.1.通過動手操作畫圖形的正投影,培養學生動手實踐能力,發展空間想象能力.2.通過探究生活中有關正投影的數學問題,體會數學與實際生活的緊密聯系,提高學生的數學應用意識.1.感受日常生活中的一些投影現象,體會數學與生活實際密不可分,激發學生學習數學的興趣.2.通過觀察、思考、分析、探究得出結論,培養學生的觀察能力、實踐能力及歸納總結能力.3.通過探究正投影的性質,培養學生動手操作能力、分析問題及解決問題的能力.4.通過實物演示和多媒體教學,把抽象問題直觀化,激發學生的求知欲.【重點】1.正投影的含義.2.能根據正投影的性質畫出簡單的平面圖形的正投影.【難點】歸納正投影的性質,正確畫出簡單平面圖形的正投影.導入一:【復習提問】(1)什么叫投影、投影線、投影面、平行投影、中心投影?(2)平行投影與中心投影有什么區別和聯系?(3)你能舉出一些投影的生活實例嗎?(4)陽光可能與物體垂直嗎?如果陽光垂直照在線段上,會得到什么圖形?【師生活動】學生思考后回答問題,第(4)問讓學生小組內交流,回答,教師點評,導入新課.導入二:【課件展示】下圖表示一塊三角尺在光線照射下形成的投影,其中哪個是平行投影?哪個是中心投影?如圖(2)(3)的投影線與投影面的位置關系有什么區別?【師生活動】學生思考后小組內交流,學生回答后教師點評,導出新課.解:圖(1)中的投影線集中于一點,形成中心投影；圖(2)(3)中,投影線互相平行,形成平行投影.圖(2)中,投影線斜著照射到投影面；圖(3)中投影線垂直照射到投影面.設計意圖通過復習投影的有關概念和學生的觀察、分析、交流,使學生體會將實際問題抽象成幾何圖形的過程,有助于分析問題的本質,為引出正投影的概念做好鋪墊.過渡語由剛才的討論我們知道,在平行投影中,可能出現投影線與投影面垂直這種特殊的投影,這就是我們這節課要學習的正投影.一、認識概念【課件展示】投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.【思考】(1)平行投影一定是正投影嗎?正投影一定是平行投影嗎?(平行投影不一定是正投影,正投影一定是平行投影)(2)正投影與物體的放置有關嗎?(正投影是光線與投影面之間的關系,與物體的放置無關)【師生活動】學生獨立思考后,小組交流得出答案,教師對學生的答案進行點評.設計意圖經過課前導入的觀察、分析、比較的過程,抽象出正投影的概念,學生通過思考教師提出的問題,加深對正投影的概念的理解.二、探究性質探究一:線段在平面上的正投影思路一【課件展示】如圖,把一根直的細鐵絲(記為線段AB)放在三個不同位置:(1)鐵絲平行于投影面；(2)鐵絲傾斜于投影面；(3)鐵絲垂直于投影面(鐵絲不一定要與投影面有公共點).【思考】三種情形下鐵絲的正投影各是什么形狀?大小有什么關系?【解析】通過觀察,我們可以發現:(1)當線段AB平行于投影面P時,它的正投影是線段A1B1,線段與它的投影的大小關系為ABA1B1；(2)當線段AB傾斜于投影面P時,它的正投影是線段A2B2,線段與它的投影的大小關系為ABA2B2；(3)當線段AB垂直于投影面P時,它的正投影是.【師生活動】教師課件展示問題,學生觀察思考后,小組合作交流得出答案,小組代表展示成果,教師點評,共同歸納結論.【課件展示】線段平行于投影面時的正投影是線段,線段長等于正投影的長；線段傾斜于投影面時的正投影是線段,線段長大于正投影的長；線段垂直于投影面時的正投影是一個點.思路二過渡語由課前討論我們知道,線段相對于平面有三種位置關系,你能分別畫出它們在平面上的正投影嗎?【動手操作】畫出線段在平面上的正投影.【觀察思考】線段在平面上的正投影的形狀是什么?與線段之間的大小關系如何?【師生活動】學生動手畫圖,教師提醒學生注意分類討論,學生畫完后小組合作交流答案,教師課件展示答案,學生根據所畫圖形小組討論線段的正投影的形狀及大小關系.【課件展示】線段平行于投影面時的正投影是線段,線段長等于正投影的長；線段傾斜于投影面時的正投影是線段,線段長大于正投影的長；線段垂直于投影面時的正投影是一個點.設計意圖通過觀察思考、小組合作交流(或通過動手操作、合作交流)探究線段在平面上的正投影的形狀和大小,并歸納總結線段的正投影的規律.提高學生觀察、思考能力,培養歸納總結能力.探究二:正方形紙板在平面上的正投影【課件展示】如圖,把一塊正方形硬紙板P(記為正方形ABCD)放在三個不同位置:(1)紙板平行于投影面；(2)紙板傾斜于投影面；(3)紙板垂直于投影面.【思考】三種情形下紙板的正投影各是什么形狀?大小有什么關系?【解析】通過觀察,我們可以發現:(1)當紙板P平行于投影面時,P的正投影與P的形狀、大小；(2)當紙板P傾斜于投影面時,P的正投影與P的形狀、大小；(3)當紙板P垂直于投影面時,P的正投影成為.【師生活動】教師課件展示問題,學生觀察思考后,小組合作交流得出答案,對學生的答案,教師進行點評,師生共同歸納結論.【課件展示】(1)當紙板P平行于投影面Q時,P的正投影與P的形狀、大小一樣；(2)當紙板P傾斜于投影面Q時,P的正投影與P的形狀、大小不完全一樣；(3)當紙板P垂直于投影面Q時,P的正投影成為一條線段.探究三:正投影的性質【思考】根據以上探究,當物體的某個面平行于投影面時,這個面的正投影與這個面有怎樣的關系?【師生活動】學生獨立思考,大膽猜想,然后小組合作交流,共同歸納性質,教師對學生的回答進行點評,并課件展示結論.【課件展示】正投影的性質:當物體的某個面平行于投影面時,這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同.設計意圖學生通過觀察、探究、體驗和交流,歸納總結得出物體正投影的規律,進一步培養學生抽象概括能力,發展學生的空間觀念.由線段到正方形的學習過程滲透了從簡單到復雜、由特殊到一般的認知規律,發揮了學生的主體作用.三、例題講解畫出如圖擺放的正方體在投影面上的正投影.(1)正方體的一個面ABCD平行于投影面(如圖(1)；(2)正方體的一個面ABCD傾斜于投影面,底面ADEF垂直于投影面,并且其對角線AE垂直于投影面(如圖(2).教師引導分析:(1)當正方體在如圖(1)的位置時,正方體的一個面ABCD及其相對的另一面與投影面,這兩個面的正投影是與正方體的一個面的形狀、大小的正方形ABCD.正方形ABCD的四條邊分別是正方體其余四個面(這些面垂直于投影面)的.因此,正方體的正投影是.(2)當正方體在如圖(2)的位置時,它的面ABCD和面ABGF傾斜于投影面,它們的投影是；正方體其余兩個側面的投影也分別是；上、下底面的投影分別是和.因此,正方體的投影是.解:(1)如圖(1),正方體的正投影為正方形ABCD,它與正方體的一個面是全等關系.(2)如圖(2),正方體的正投影為矩形FGCD,這個矩形的長等于正方體的底面對角線長,矩形的寬等于正方體的棱長.矩形上、下兩邊中點連線AB是正方體的側棱AB及它所對的另一條側棱EH的投影.【歸納】物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關.設計意圖通過例題訓練,達到鞏固正投影相關知識的目的,提高學生觀察、歸納和空間想象能力,提高學生的應用意識.知識拓展(1)當物體的某個面平行于投影面時,這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同.(2)只有在平行投影中,才會出現正投影.正投影是光線與投影面的關系,與物體的放置無關.(3)人們在實際作圖中,經常采用正投影,正投影有如下性質:線段AB在平面上的正投影.線段AB平行于投影面P時的正投影是線段,線段長等于正投影的長；線段AB傾斜于投影面P時的正投影是線段,線段長大于正投影的長；線段AB垂直于投影面P時的正投影是一個點.長方形硬紙板ABCD在平面上的正投影.長方形硬紙板ABCD平行于投影面時,長方形ABCD的正投影與長方形ABCD的形狀和大小一樣；長方形硬紙板ABCD傾斜于投影面時,長方形ABCD的正投影與長方形ABCD的形狀和大小不完全一樣；長方形硬紙板ABCD垂直于投影面時,ABCD的正投影成為一條線段.1.正投影:投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.2.正投影的性質:當