第二十六章反比例函數1.結合具體情景體會反比例函數的意義,理解并掌握反比例函數的概念.2.能用待定系數法求反比例函數的解析式.3.會用描點法畫反比例函數圖象.4.掌握反比例函數的圖象和性質,并能運用相關性質解決有關問題.5.理解反比例函數中比例系數k的幾何意義.6.能根據實際問題確定變量之間是反比例關系,并確定反比例函數解析式,能靈活運用反比例函數的意義和性質解決相關的實際問題.1.從實際問題情景中經歷探索兩個變量之間關系的過程,使學生體驗如何用數學的方法去描述變量之間的數量關系,發展學生的觀察能力、探究能力及歸納總結能力.2.通過函數圖象探究函數性質,進一步體會數形結合思想在數學中的應用,經歷知識的形成過程,體會由特殊到一般的數學方法.3.通過探究反比例函數解決實際問題,體會數學知識的現實意義,提高分析問題、解決問題的能力,培養數學應用意識.4.經歷探索具體問題中數量關系和變化規律的過程,體會建立函數模型的思想.1.通過探索具體問題中數量關系和變化規律的過程,體驗數學來源于生活,又應用于生活,提高學生應用數學的意識,體驗數學活動中的探索性和創造性.2.讓學生經歷觀察、比較、歸納、應用以及猜想、驗證的學習過程,使學生掌握類比、轉化等學習數學的方法,養成既能自主探索,又能合作探究的良好學習習慣.3.通過分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的反比例函數關系,獲得用數學方法解決實際問題的經驗,感受數學模型思想在實際問題中的應用價值.函數知識是初中代數的核心內容,反比例函數也是新課標明確要求的初中學生必需體會和掌握的三種函數基本形式之一.本節課的內容,是在學生已經學習了函數及其圖象的初步知識,以及系統地研究了一次函數的概念、圖象、性質、簡單應用,是在學生已經初步掌握研究函數的基本方法的基礎上進行研究的.反比例函數是一種簡單而又重要的函數,作為重要的數學模型,在解決日常生活、物理化學學科學習等實際問題中發揮了重要作用.通過學習可以培養和提高學生用函數模型解決實際問題,逐步提高分析問題、解決問題的能力.本章內容從實際問題情景入手引出基本概念,引導學生進一步體會函數的模型思想,重點內容是對反比例函數的圖象和性質的理解與掌握,通過畫特殊的反比例函數的圖象,歸納出一般反比例函數的圖象特征和性質,體會由特殊到一般的數學學習方法,提高學生觀察、分析、歸納總結的能力.對于某些解決實際問題的安排,力圖加強反比例函數與實際問題的聯系,讓學生體會數學與生活息息相關,提高學生應用數學的意識.數形結合思想貫穿本章內容,函數圖象是研究函數性質的直觀載體,從圖象上直觀觀察函數的變化規律,整體把握函數的性質,而解析式是對函數性質的無限“解讀”,但抽象不直觀,所以將兩者結合起來,共同研究函數的性質.本章重點是反比例函數的概念、圖象、性質及應用,難點是反比例函數圖象的生成過程,以及函數圖象的間斷及漸近性特點.根據學生特點,以前面學過的函數為基礎,用類比的方法探究本章內容,重視反比例函數與一次函數、二次函數的聯系、差異和綜合運用.【重點】1.通過對實際問題情景的分析,確定反比例函數的解析式.2.會用描點法畫反比例函數圖象,并能從圖象中認識反比例函數的性質.3.能用反比例函數性質解決簡單的實際問題.【難點】1.能根據反比例函數圖象特征及其性質解決有關問題.2.應用反比例函數解決實際問題,能解決與其他函數結合的問題.初中階段從量變的角度研究函數,把函數定義為當一個量變化時,另一個量隨這個量的變化而變化.根據學生的知識基礎,一方面要以前面所學的函數概念及相關知識為基礎,另一方面要進一步深化對函數內涵的理解和掌握.反比例函數是初中階段學習的最后一類函數,因此,教學中要處理好新舊知識的聯系,通過復習相關內容,類比前邊所學函數的內容結構和思路,為全章的學習做好鋪墊,盡量減少學生接受新知識的困難.在教學中,要重視反比例函數與已學函數,特別是與正比例函數的對比,教學時應引導從以下方面對比思考:函數解析式與函數圖象的異同、常數k對函數圖象的分布、增減性、變化趨勢等性質的影響、自變量x的取值范圍的異同.同時要重視反比例函數與一次函數、二次函數的聯系、差異和綜合運用.滲透數學重要思想與方法成為本章的主要線索,類比思想、從特殊到一般、數形結合思想、方程思想及待定系數法等數學思想和方法,貫穿整章的教學,教學過程中每課時都要注重數學思想的培養.26.1 反比例函數26.1.1 反比例函數(1課時)26.1.2反比例函數的圖象和性質(2課時)3課時26.2 實際問題與反比例函數2課時單元概括整合1課時26.1反比例函數1.了解反比例函數的概念,能從實際問題中抽象出反比例關系.2.會畫反比例函數圖象,并結合圖象分析總結出反比例函數的性質.3.初步運用待定系數法確定反比例函數的解析式.4.能靈活運用反比例函數的意義和性質解決相關的問題.1.從實際問題情景中經歷探索兩個變量之間關系的過程,使學生體驗如何用數學的方法去描述變量之間的數量關系,發展學生的觀察能力、探究能力及交流總結能力.2.通過函數圖象探究函數性質,進一步體會數形結合思想在數學中的應用.3.經歷觀察、分析實際問題中變量之間的關系,建立反比例函數模型,進一步體會數學建模思想.1.通過探索具體問題中數量關系和變化規律的過程,體驗數學來源于生活,又應用于生活,提高學生應用數學的意識,體驗數學活動中的探索性和創造性.2.讓學生經歷觀察、比較、歸納、應用的學習過程,使學生掌握類比、轉化等學習數學的方法,養成既能自主探索,又能合作探究的良好學習習慣.3.體會數學與現實生活的緊密聯系,增強學生應用數學解決實際問題的意識.【重點】1.理解反比例函數的概念.2.畫反比例函數圖象,理解反比例函數的性質.3.利用反比例函數的性質解決有關問題.【難點】1.理解反比例函數的意義.2.通過圖象分析、總結反比例函數圖象的特征和性質.3.靈活運用反比例函數的圖象和性質解決綜合問題.26.1.1反比例函數1.理解并掌握反比例函數的概念.2.能判斷一個給定的函數是否為反比例函數.3.能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式及自變量的取值范圍.1.讓學生從實際問題情景中經歷探索、分析和建立兩個變量之間的反比例函數關系的過程.2.用類比的思想方法,從實際問題中抽象出反比例函數概念,發展學生的觀察能力、探究能力及交流總結能力.3.經歷探索具體問題中數量關系和變化規律的過程,體會建立函數模型的思想.1.通過對一些實際問題的探究,發展學生合理的猜想、推理能力,增強他們學習數學的興趣.2.通過探索具體問題中數量關系和變化規律的過程,體驗數學來源于生活,又應用于生活,提高學生應用數學的意識.【重點】1.理解并掌握反比例函數的定義,掌握反比例函數的一般形式.2.能根據已知條件確定反比例函數的解析式.【難點】經歷探索和表示反比例函數關系的過程,體驗用反比例函數表示變量之間的關系.導入一:【課件1】同一條鐵路線上,由于不同車次列車運行時間有長有短,所以它們的平均速度有快有慢.(1)如果速度v一定,那么路程s與時間t是什么關系?(s=vt,是正比例函數)(2)如果時間t一定,那么路程s與速度v又是什么關系呢?(s=vt,是正比例函數)(3)如果路程s一定,那么速度v和時間t又是什么關系呢?v=st,是函數關系【思考】以上關系是函數嗎?這個函數是不是我們前邊學過的函數?【導入語】問題(1)(2)中的函數是一次函數(正比例函數),(3)中的函數不是前邊學過的函數,這類函數就是本章要研究的反比例函數.設計意圖通過生活中的情景問題,引導學生發現不同于以往學過的新的函數關系,喚起學生對本課時的學習欲望,使學生帶著問題進入新課的學習.導入二:【課件2】我們知道,導體中的電流I與導體的電阻R、導體兩端的電壓U之間滿足關系式U=IR,當U=220 V時:(1)你能用含有R的代數式表示I嗎?(2)利用寫出的關系式完成下表:R/20406080100I/A當R越來越大時,I怎樣變化?當R越來越小呢?(3)變量I是R的函數嗎?為什么?設計意圖從學生身邊的生活和已有知識出發,創設情景,目的是讓學生感受到生活當中處處有數學,激發學生學習數學的興趣和愿望,同時也為抽象出反比例函數的概念做鋪墊.同時,這個事例的引入也有助于學生從學科綜合的角度進行學習.導入三:【復習提問】(1)什么是函數?什么是一次函數、二次函數?(2)一次函數、二次函數的學習過程是怎樣的?【課件3】出示以往研究函數的基本思路:【師生活動】學生思考回答,教師點撥.設計意圖通過復習一次函數、二次函數的概念,讓學生從已有的知識體系中自然地構建出新知識.回憶學習一次函數、二次函數的研究思路,引導學生用類比的方法學習本章的反比例函數,初步了解本章的基本內容和研究思路,為后續學習做好鋪墊.過渡語函數是初中數學中重要的數學模型,我們學習一次函數、二次函數時,在理解定義的基礎上,研究它們的圖象和性質,并用之解決實際問題,本章將用類似的方法研究一種新的函數反比例函數.思路一1.感知反比例函數【出示課件4】(1)京滬線鐵路全程為1463 km,某次列車的平均速度v(單位:km/h)隨此次列車的全程運行時間t(單位:h)的變化而變化；(2)某住宅小區要種植一塊面積為1000 m2的矩形草坪,草坪的長y(單位:m)隨寬x(單位:m)的變化而變化；(3)已知北京市的總面積為1.68104 km2,人均占有面積S(單位:km2/人)隨全市總人口n(單位:人)的變化而變化.教師引導學生針對上面三個事例思考:(1)每個事例中的兩個變量是什么?(2)當一個量變化時,另一個量怎樣變化?(3)有幾個值與變化的量相對應?這種變化說明變量之間是什么關系?(4)題目中的等量關系是什么?如果是函數關系,其解析式是什么?(5)所列出的函數關系式有什么特點?設計意圖通過問題組的形式,引導學生發現這些變量之間的關系是一種函數關系,并且這種函數的解析式不同于以往的一次函數和二次函數,為進一步研究反比例函數做知識準備,同時激發學生學習的欲望,實現了讓學生感知反比例函數的目的.【學生活動】獨立思考后,小組合作交流,確定三個問題中的變量關系都是函數關系,并列出具體的函數解析式.【參考答案】(1)v=1463t(2)y=1000x(3)S=1.68104n.2.反比例函數的概念過渡語剛才同學們總結的函數關系式,既不是一次函數,也不是二次函數,接下來讓我們一起研究這類函數的特征吧.觀察前面的三個函數關系式,思考:(1)這三個函數是一次函數或二次函數嗎?(2)這三個函數與前邊學過的函數有什么不同?你能說出它們的共同特征嗎?(3)通過觀察,你能歸納出這種函數的一般形式嗎?(4)你能給這類函數下一個定義嗎?【師生活動】學生思考后,逐一回答所提問題,教師適時啟發,共同歸納結論.教師引導學生從兩個方面思考:與一次函數和二次函數的解析式對比；給出的三個函數關系式等號右面是整式還是分式；三個函數關系式中的k值有什么特點.【總結(出示課件5)】一般地,形如y=kx(k為常數,k0)的函數,叫做反比例函數,其中x是自變量,y是函數.自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數.思考:(1)你身邊哪些量之間存在著反比例函數關系?(2)在反比例函數y=kx中,k,x,y可以取任意實數嗎?(3)反比例函數y=kx中,自變量x的指數是1嗎?為什么?(4)反比例函數除了這種分式的形式外,還有其他表示方法嗎?【師生活動】 學生獨立思考后,小組交流,學生回答時教師及時點評和引導,師生共同歸納反比例函數的概念的有關特點:反比例函數y=kx，等號右邊是分式形式.反比例函數中,比例系數k0,自變量x0,函數值y0.反比例函數的三種表示形式:y=kx,xy=k,y=kx-1.設計意圖通過學生觀察討論,依據老師設計的問題串,類比已學函數,抽象出函數的本質特征,歸納出反比例函數的特征,學生經歷概念的形成過程,從而達到真正理解定義的目的,同時培養學生的歸納總結能力.思路二1.認識新的函數反比例函數【出示課件6】下列五個事例:(1)某住宅小區要種植一塊面積為1000 m2的矩形草坪,草坪的長y(單位:m)與寬x(單位:m)有何關系?(2)物理學中電流I、電阻R、電壓U之間滿足關系式U=IR.當U=220 V時,R與I有何關系?當R=10 時,I與U有何關系?(3)京滬線鐵路全程為1463 km,某次列車的平均速度v(單位:km/h)與此次列車的全程運行時間t(單位:h)有何關系?(4)用10 m長的籬笆圍成矩形的小花園.如果花園的長為y m,寬為x m,那么y與x有何關系?如果花園的長為x m,面積為y m2,那么y與x又有何關系?(5)已知北京市的總面積為1.68104 km2,人均占有面積S(單位:km2/人)與全市總人口n(單位:人)有何關系?教師引導學生針對上面五個事例思考:(1)每個事例中的兩個變量是什么?(2)當一個量變化時,另一個量隨著怎樣變化?這種變化說明變量之間是什么關系?(3)題目中的等量關系是什么?如果是函數關系,其解析式是什么?(4)所列出的函數關系式有什么特點?設計意圖問題情景既有教材“思考”欄目的問題,又有新增設的跨學科的物理問題,這些事例都要求學生從實際問題中找到兩個變量,確定函數解析式.使已學函數和要研究的新函數都呈現在學生面前,引發學生的認識沖突,為形成反比例函數的概念、辨析反比例函數做好準備.【總結】經過學生交流研討,確認五個問題中的變量關系都是函數關系,并列出具體的函數解析式.(1)y=1000x.(2)R=220I;I=U10.(3)v=1463t.(4)y=5-x；y=5x-x2.(5)S=1.68104n.2.反比例函數的概念過渡語剛才同學們列出了相關的7個函數關系式,接下來我們開始研究這些函數解析式的特征吧.(1)反比例函數的一般形式【出示課件7】思考下列問題:【問題1】哪些是正比例函數、一次函數、二次函數?【問題2】哪些函數與問題1中的函數不同?能給這類函數下定義嗎?【問題3】你能嘗試寫出類似問題1中這種函數的一般形式嗎?【問題4】上述函數中的常數k分別是多少?【問題提示】上述情景中給出七個函數,其中第一、二、三、四個及第七個函數不是以往學習過的函數.通常情況下,我們用y表示函數,用k表示常量,用x表示自變量.這幾個特殊的函數學生可以初步總結為y=kx.(2)理解反比例函數的概念【問題1】反比例函數的一般式y=kx的等號右邊是什么式子?(提示:分式,其他的函數都是單項式或多項式)【問題2】反比例函數y=kx的比例系數k、自變量x取值有什么要求?(提示:都是不能為0的實數)【問題3】反比例函數的解析式還可以寫成其他形式嗎?(提示:兩個變量的乘積為定值；自變量x的指數為-1)設計意圖通過前面的三個問題,觀察學生是否能理解反比例函數的意義,是否能用數學語言表達反比例函數的解析式,是否理解自變量的取值范圍(實際問題中自變量取值有所不同),是否掌握判斷反比例函數的標準和方法. 通過學生的觀察、思考、合作、交流,反比例函數的概念及模型的建立也就會水到渠成.3.例題講解過渡語我們通過實例歸納總結了反比例函數的概念,試試能不能解決下列問題.下列函數:(1)y=5x；(2)y=0.4x；(3)y=3x；(4)y=12x；(5)xy=2；(6)y=5x+2.其中是反比例函數的是(填序號),它們的比例系數分別是.解析根據反比例函數的概念進行判斷,易得(1)(2)(4)(5)是反比例函數,其中k分別為5,0.4,12,2.答案(1)(2)(4)(5)5,0.4,12,2若y=(a-2)x|a|-3是反比例函數,則a的值為.【師生活動】學生獨立思考后,小組交流答案,教師對學生的答案進行點評,并強調易錯點.解析根據反比例函數的概念可得,反比例函數滿足兩個條件:(1)常數k0；(2)自變量x的指數為-1.由題意可得|a|-3=-1,且a-20,解得a=-2.故填-2.設計意圖通過練習讓學生進一步理解和掌握反比例函數的一般形式及特點,特別是忽略考慮k0這一易錯點.已知y是x的反比例函數,并且當x=2時,y=6.(1)寫出y關于x的函數解析式；(2)當x=4時,求y的值.【師生活動】師生共同復習待定系數法求函數解析式,然后學生獨立完成,并板書過程,學生之間互相糾正錯誤答案,教師點評,并歸納待定系數法求函數解析式的一般步驟.解析類比一次函數、二次函數求解析式的方法待定系數法,設出函數解析式,將一對x,y的值代入,求出待定系數k.解:(1)設所求函數解析式為y=kx.因為當x=2時,y=6,所以有6=k2，解得k=12.因此所求函數解析式為y=12x.(2)把x=4代入y=12x,得y=124=3.設計意圖通過復習待定系數法,再次用這一方法求反比例函數的解析式,并讓學生體會反比例函數解析式中只有一個待定系數,所以代入一組值即可求出函數解析式.同時讓學生體會建模思想在數學中的應用,提高學生的歸納能力.知識拓展(1)反比例函數y=kx(k0)，等號右邊分式的分母不能是多項式,只能是x的一次單項式,如y=1x,y=32x等都是反比例函數,但y=2x+1中,y就不是x的反比例函數.(2)反比例函數可以理解為兩個變量的乘積是一個不為0的常數,因此可以寫成xy=k(k0),y=kx-1(k0)的形式.1.反比例函數的定義:形如y=kx(k為常數,且k0)的函數叫做反比例函數.2.反比例函數滿足的條件:(1)函數右邊是分式形式；(2)自變量的指數是-1；(3)比例系數不為0.3.反比例函數的三種表示形式:y=kx(k0);xy=k(k0);y=kx-1(k0).4.反比例函數自變量的取值范圍:x0.1.下列函數,是反比例函數的是()A.y=2x+1 B.y=0.75xC.y=1x-1 D.xy=1解析:A中函數是一次函數；B中函數是正比例函數；C中函數右邊分母不是x的單項式,所以A,B,C都不是反比例函數,只有D符合反比例函數的定義.故選D.2.反比例函數y=(m+1)x-1中m的取值范圍是()A.m1 B.m-1C.m1 D.全體實數解析:在反比例函數y=kx-1中,比例系數k0,所以m+10,所以m-1.故選B.3.若函數y=x2m-1為反比例函數,則m的值是.解析:根據反比例函數的定義可得2m-1=-1,解得m=0.故填0.4.某蓄水池的排水管每小時排水8 m3,6 h可將滿池水全部排空.(1)蓄水池的容積為；(2)若每小時排水用Q(m3)表示,則排水時間t(h)與Q(m3)的函數解析式為.解析:由題意可得等量關系為:單位時間內的排水量排水時間=總排水量,所以蓄水池的容積為86=48(m3),故Qt=48,即t=48Q.答案:(1)48 m3(2)t=48Q5.已知y與3x成反比例,且當x=1時,y=23.(1)寫出y與x的函數解析式；(2)當x=13時,求y的值；(3)當y=12時,求x的值.解:(1)設y與x的函數解析式為y=k3x.把x=1,y=23代入,得23=k3,所以k=2,所以y與x的函數解析式為y=23x.(2)當x=13時,y=2.(3) 當y=12時,12=23x,解得x=43.26.1.1反比例函數思路一1.感知反比例函數2.反比例函數的概念思路二1.認識新的函數反比例函數2.反比例函數的概念3.例題講解例1例2例3一、教材作業二、課后作業【基礎鞏固】1.下列函數,不是反比例函數的是()A.y=- 3x B.y=-32xC.y=1x-1D.3xy=22.下列反比例函數,當x=2時,y的值為-3的是()A.y=6xB.y=-6xC.y=-32xD.y=-23x3.若y=(a+1)xa2-2是反比例函數,則a的值為()A.1B.-1C.1D.任意實數4.若一個矩形的面積為10,則這個矩形的長與寬之間的函數關系是()A.正比例函數關系B.反比例函數關系C.一次函數關系D.不能確定5.下列函數:y=2x-1；y=-5x；y=x2+8x-2；y=2x3；y=12x；y=ax.其中y是x的反比例函數的有(填序號). 6.若反比例函數y=kx,當x=-1時,y=2,則k的值是.7.已知y是x的反比例函數,且當x=3時,y=8,那么當x=4時,y=.8.若梯形的下底長為x,上底長為下底長的13,高為y,面積為60,則y與x的函數解析式是(不考慮x的取值范圍).9.分別寫出下列函數的解析式,指出是哪種函數,并確定其自變量的取值范圍.(1)在路程為60 km的運動中,速度v(單位:km/h)關于運動時間t(單位:h)的函數關系式.(2)某校要在校園中開辟出一塊面積為84 m2的矩形土地做花圃,這個花圃的長y(單位:m)關于寬x(單位:m)的函數關系式.(3)市政府計劃建設一項水利工程,工程需要運送的土石總量為106米3,某運輸公司承辦了該項工程運送土石的任務,運輸公司的平均工作量V(單位:米3/天)與完成運送任務所需要的時間t(單位:天)之間的函數關系式.10.已知y與x的反比例函數的解析式為y=3x.(1)請完成下表:x-3-113y(2)求當x=-10時函數y的值.(3)求當y=6時自變量x的值.【能力提升】11.將x=23代入反比例函數y=-1x中,所得函數值記為y1,又將x=y1+1代入原反比例函數中,所得函數值記為y2,再將x=y2+1代入原反比例函數中,所得函數值記為y3,如此繼續下去,則y2018=.12.已知一個長方體的體積是100 cm3,它的長是y cm,寬是5 cm,高是xcm.(1)寫出用高表示長的解析式；(不用寫出自變量的取值范圍)(2)當x=3時,求y的值.【拓展探究】13.已知y=y1+y2,y1與x2成正比例關系,y2與x成反比例,且當x=1時,y=3；當x=-1時,y=1.求當x=12時y的值.【答案與解析】1.C解析:A,B,D符合反比例函數的定義,C函數中的分母不是關于x的單項式,所以不是反比例函數.故選C.2.B解析:把x=2分別代入各選項求出y的值,只有B中y的值為-3.故選B.3.A解析:根據反比例函數的定義,得a2-2=-1,且a+10,解得a2=1,a-1,a=1.故選A.4.B解析:題目中的等量關系為長寬=矩形面積,所以長寬=10,即長等于10除以寬,所以長與寬是反比例函數關系.故選B.5.解析:是一次函數,不是反比例函數；y=x2+8x-2是二次函數,不是反比例函數；的分母中x的指數是3,不是反比例函數；y=ax,a0時,是反比例函數,沒有此條件則不一定是反比例函數.只有符合反比例函數的定義.故填.6.-2解析:把x=-1,y=2代入可得k=(-1)2=-2.故填-2.)7.6解析:設y=kx,把x=3,y=8代入,得k=24,所以y與x之間的函數解析式為y=24x,把x=4代入得y=6.故填6.8.y=90x解析:根據梯形的面積公式可得12x+13xy=60,化簡得y=90x.故填y=90x.9.解:(1)v=60t,是反比例函數,t0.(2)y=84x,是反比例函數,x0.(3)V=106t,是反比例函數,t0.10.解:(1)-1-331 (2)當x=-10時,y=-310.(3)當y=6時,6=3x,解得x=12.11.2 解析:把x=23代入得y1=-32,則 x2=-32+1=-12,所以y2=2,則 x3=2+1=3,所以y3=-13,則x4=-13+1=23,所以y4=-32,.觀察y1=y4 ,所以三組一循環,2018除以3余2,所以y2018=y2= 2.12.解:(1)y=20x.(2)當x=3時,y=203.13.解:設y1=k1x2,y2=k2x,則y=y1+y2=k1x2+k2x.把x=1,y=3；x=-1,y=1分別代入得k1+k2=3,k1-k2=1.解得k1=2,k2=1.所以y=2x2+1x.當x=12時,y=2122+2=52.本課時精心設計了課程導入環節,順利地把學生帶入課時學習的情景之中,為學好本課時的內容做了很好的鋪墊.在教學設計思路上,不是把概念直接交給學生,而是讓學生通過比較反比例函數與其他函數區別的基礎上得出結論,這樣既鞏固了先前的知識,又很好地做到了知識的遷移和延伸.依托教材的素材對教材進行了開發,依據教材的情景,設計了對學生具有啟發性和引導性的問題,精心設置了教材例題之外的例題,更好地為實現本節課的教學目標服務.在復習一次函數和二次函數等函數知識的時候,給學生的時間較少,部分同學還沒有很好地回憶和總結先前的知識,這在一定程度上造成了學生理解知識存在銜接的困難.在討論問題組的時候,讓學生自我學習和交流做得不夠深入,老師過早地把問題結論提示給學生,對學生的思維活動沒有做到很好的引導.在習題處理環節上,第一個例題可以讓學生通過交流合作去完成.因為本課時的學習內容需要聯系以往的函數知識,教師應該在課前讓學生進行有針對性的復習.降低補充的兩個例題的綜合程度,把處理的重點放在鞏固基礎知識上,而不是強調對知識的綜合練習.在明確了反比例函數的定義之后,建議學生利用函數解析式把不同的函數特點進行對比,這樣更有利于學生對知識的掌握.反比例函數與正比例函數的異同.函數名稱正比例函數反比例函數一般形式y=kx(k0)y=kx(k0)自變量x的取值范圍任意實數x0函數y的取值范圍任意實數y0自變量x的次數1-1函數y與自變量x的數量關系商為定值k(k0)積為定值k(k0)(1)本節課要學習的內容是反比例函數的概念,通過具體實例中的變量關系的特征,感受反比例函數的特征和意義,從而形成反比例函數的初步認識,本節課的重點是在實際問題中建立數學模型及用待定系數法求函數解析式.教師引導學生分析實際問題,并用解析式表示實際問題中的等量關系,從而引出反比例函數的概念,讓學生獲得用反比例函數表示變量關系的體驗,學生在教師的引導下,通過自主探索與合作交流,理解并掌握本節課的重點,同時學生通過主動探究,獲取了知識,豐富了數學活動的經驗,逐步達到學會學習.(2)對于九年級的學生來說,之前已經學習過一次函數和正比例函數、二次函數,對于函數是刻畫變量之間關系的數學模型思想也有了一定的認識,可以在此基礎上用類比的方法繼續深入學習反比例函數,所以在學習本節課內容時,要重視新舊知識之間的聯系,如適時復習函數、自變量、函數值、正比例函數、一次函數及二次函數等有關概念,為學習反比例函數的概念做好鋪墊.已知關于x的函數y=(5m-3)x2-n+(m+n).(1)當m,n為何值時,該函數為一次函數?(2)當m,n為何值時,該函數為正比例函數?(3)當m,n為何值時,該函數為反比例函數?解:(1)由題意可得2-n=1,5m-30,解得n=1,m35,所以當n=1,m35時該函數為一次函數.(2)由題意可得2-n=1,m+n=0,5m-30,解得n=1,m=-1.所以當n=1,m=-1時該函數為正比例函數.(3)由題意可得2-n=-1,5m-30,m+n=0,解得n=3,m=-3,m35,所以當n=3,m=-3時該函數為反比例函數.26.1.2反比例函數的圖象和性質1.能用描點法畫出反比例函數y=kx的圖象.2.能根據圖象理解和掌握反比例函數y=kx的性質,并能靈活運用解決函數問題.3.理解反比例函數中比例系數k(k0)的幾何意義.4.初步建立反比例函數解析式與圖象之間的關系.1.經歷探索和發現反比例函數的圖象的特點和性質的過程,獲得研究函數性質的經驗.2.通過函數圖象探究函數性質,進一步體會運用數形結合思想研究函數的性質.3.經歷知識的形成過程,了解從特殊到一般的認識過程,培養學生觀察、探究、歸納及動手能力.1.經歷觀察、推理、交流等過程,獲得研究問題和合作交流的方法與經驗,體驗數學活動中的探索性和創造性.2.在數學學習過程中,進一步理解變量和常量間的辨證關系,培養嚴謹的科學態度,感受數學美,并發現學習的樂趣.【重點】用描點法畫反比例函數的圖象，探索反比例函數的圖象特點和性質.【難點】探究反比例函數的圖象特點和性質的過程及比例系數的幾何意義.第課時1.能用描點法畫出反比例函數y=kx的圖象.2.能根據圖象理解和掌握反比例函數y=kx的性質.3.能運用反比例函數的性質解決有關問題.1.經歷探索和發現反比例函數的圖象的特點和性質的過程,獲得研究函數性質的經驗.2.通過函數圖象探究函數性質,進一步體會運用數形結合思想研究函數的性質.3.經歷知識的形成過程,了解從特殊到一般的認識過程,培養學生觀察、探究、歸納及動手能力.1.經歷畫圖、觀察、猜想、思考、交流等活動,獲得研究問題和合作交流的方法與經驗,體驗數學活動中的探索性和創造性.2.在數學學習過程中,體驗與領悟數學發現的成功感,感受數學美,發現學習的樂趣.【重點】用描點法畫反比例函數的圖象，探索反比例函數的圖象特點和性質.【難點】探究反比例函數的圖象特點和性質的過程.導入一:【課件1展示】校園內有一塊矩形草坪的面積為200 m2,它的長y(單位:m)與寬x(單位:m)之間滿足的函數關系是什么?當它的長y(單位:m)增加時,它的寬x(單位:m)將怎樣變化?【師生活動】學生思考回答,并觀察該反比例函數中y隨x的增大而減小,教師引出課題.設計意圖由生活實際情景導入新課,讓學生體會生活中處處有數學,激發學生學習興趣,同時通過觀察,思考問題中長y與寬x之間的關系,很自然地由實際問題抽象出本課時學習重點之一的反比例函數圖象的增減性.導入二:【復習提問】(1)以前學習一次函數、二次函數時,是用什么思路和方法研究的?(先根據函數解析式畫出函數的圖象,然后觀察、分析、歸納得到函數的性質)(2)一次函數、二次函數的圖象分別是什么?(直線、拋物線)(3)請你說出一次函數、二次函數的性質是什么.(一次函數增減性、圖象所經過象限；二次函數圖象開口方向、對稱軸、增減性等)(4)畫函數圖象的基本步驟是什么?(列表、描點、連線)【導入語】我們可以類比研究一次函數、二次函數的性質的方法來研究反比例函數的性質,如果可以,應先研究什么? 設計意圖通過復習畫函數圖象的基本步驟,為本節課的學習做好鋪墊,復習通過畫函數圖象來研究一次函數、二次函數的性質的方法,讓學生用類比的方法自然地構建出新知識,降低本節課的學習難度.過渡語這節課我們通過畫反比例函數的圖象來研究它的一般性質.一、描點法畫反比例函數圖象畫函數y=6x與y=12x的圖象.思路一教師引導,師生共同完成,同時展示畫圖象的過程.(1)自變量x的取值范圍是什么?函數值y的取值范圍是什么?(2)畫函數圖象時取哪些x的值列表,使函數圖象完整、準確?(師生共同完成列表)(3)在平面直角坐標系中描點.(4)如何用平滑的曲線連接各點?(5)從左到右連線時,圖象與x軸、y軸有沒有交點?為什么?教師強調連線時從左到右依次用平滑曲線連接,由自變量、函數值的取值范圍可得函數圖象與兩坐標軸沒有交點,故畫反比例函數圖象時與畫一次函數、二次函數圖象時不同,坐標軸把圖象分成兩部分.設計意圖通過師生合作,經歷用描點法畫函數圖象的過程,培養學生動手操作能力,理解描點法畫函數圖象的本質,經歷知識的形成,進一步體會數形結合思想,通過課件展示畫圖的過程,直觀形象,學生既感興趣又記憶深刻.思路二【任務】同桌合作,每人在課前準備的平面直角坐標系中畫一個函數圖象.【師生活動】學生獨立完成列表、描點、連線,畫圖后,小組合作交流,發現組內成員的畫圖錯誤,并幫助改正,教師在巡視過程中及時發現常見典型錯誤,進行匯總,在展示完整畫圖過程后展示典型畫圖錯誤.【課件2展示】(1)列表:在x的取值范圍內列出函數對應值表:(教師強調:列表時取值不能太少,也不能只取正值)x-6-4-3-2-112346y=6x-1-1.5-2-3-66321.51y=12x-2-3-4-6-12126432(2)描點.(教師強調:描點時橫、縱坐標易混淆)(3)連線.(教師強調:連線時用平滑曲線,不能畫成折線,因為自變量x不等于0,所以畫函數圖象時,不能將左右兩個圖象連接起來)設計意圖通過動手操作,讓學生自己經歷畫反比例函數圖象的過程,進一步了解用描點法的方法畫圖象的基本步驟,培養學生動手操作能力,經歷知