27.3位似1.了解位似圖形及其有關概念,了解位似與相似的聯系和區別,掌握位似圖形的性質.2.掌握位似圖形的畫法,能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小.3.了解用坐標描述位似變換的基本原理,理解以原點為位似中心的坐標變化規律.4.能利用以原點為位似中心的坐標變化規律找出對應點的坐標.5.能運用位似原理作出位似圖形.1.學生經歷對位似圖形的觀察、畫圖、分析、交流,體驗探索得出結論,培養學生分析問題、解決問題的能力.2.進一步提高學生利用圖形的變換解決問題的能力及小組合作、共同探究的能力,養成良好的數學思維習慣.3.在探究活動中,讓學生感受、體會幾何圖形之美,提高對數學美的認識.4.讓學生在應用位似知識解決問題的過程中,體驗數形結合的思想方法在解題中的應用.1.經歷從實際問題中建立數學模型的過程,增強應用意識,提高實踐能力.2.經歷將一個圖形放大或者縮小的過程,培養學生動手操作的良好習慣,培養學生的數學應用意識.3.進一步提高合作互助及交流能力,感受數學創造的樂趣,增強學好數學的信心.【重點】1.位似圖形的有關概念、性質及作位似圖形.2.運用坐標系下的位似變換原理作出位似圖形.【難點】1.利用位似圖形將一個圖形放大或縮小.2.把一個圖形放大或縮小后,理解點的坐標變化的規律.第課時1.了解位似圖形及其有關概念,了解位似與相似的聯系和區別,掌握位似圖形的性質.2.掌握位似圖形的畫法,能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小.1.學生經歷對位似圖形的觀察、畫圖、分析、交流,體驗探索得出結論,培養學生分析問題、解決問題的能力.2.進一步提高學生利用圖形的變換解決問題的能力及小組合作、共同探究的能力,養成良好的數學思維習慣.1.使學生親身經歷位似圖形的概念的形成過程和位似圖形、位似變換的性質的探索,感受數學學習的應用性和挑戰性.2.經歷將一個圖形放大或者縮小的過程,培養學生動手操作的良好習慣,培養學生的數學應用意識.3.通過探究等數學活動,讓學生感受成功的快樂,體驗獨自克服困難、解決數學問題的過程,有克服困難的勇氣,具備學好數學的信心.【重點】位似圖形的有關概念、性質及作位似圖形.【難點】利用位似圖形將一個圖形放大或縮小.導入一:【欣賞圖片】【師生活動】教師用多媒體出示圖片,引出課題,學生觀察思考各圖片中的兩個圖形有什么共同特征.導入二:【復習提問】(1)什么是相似圖形?(2)相似圖形的性質是什么?【師生活動】學生思考回答,教師點評.導入三:圖中有相似多邊形嗎?如果有,這種相似有什么特征?【師生活動】學生觀察、思考,小組合作交流,共同歸納總結圖形特征,教師用多媒體出示圖片,適當點撥,讓學生大膽猜想、歸納.設計意圖先由生活圖片導入新課,讓學生體會生活中處處有數學,激發學生的學習興趣,教師很自然地導出課題,然后復習相似三角形的概念和性質,為本節課的學習做好鋪墊,最后再觀察思考、交流課本中的幾何圖形,通過歸納相似的特征,很流暢地歸納出位似的概念.過渡語我們可以得到以上多邊形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,這樣特殊的相似圖形就是我們今天要探究的內容.一、位似圖形的概念【課件展示】如果兩個相似多邊形的對應頂點的連線相交于一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這點叫做位似中心.這時我們說這兩個圖形關于這點位似.【思考】(1)位似圖形一定是相似圖形嗎?反之成立嗎?(位似圖形一定是相似圖形,相似圖形不一定是位似圖形,位似圖形是特殊的相似圖形)(2)如何判斷兩個圖形是位似圖形?(首先判定兩個圖形是相似圖形,其次判定每一對對應點所在的直線都經過同一點)(3)判斷下列圖形是不是位似圖形?【師生活動】學生獨立思考回答,教師適當點評.二、位似圖形的性質思路一如圖的兩組多邊形是位似圖形,觀察思考.(1)在各圖中,位似圖形的位似中心與這兩個圖形有什么位置關系?(2)在各圖中,對應點到位似中心的距離與兩個圖形的相似比有什么關系?(3)在各圖中,兩個圖形中的對應線段有什么位置關系?【師生活動】學生獨立思考后,小組交流討論,小組代表展示本小組成果,教師巡視時輔導個別學生,對學生的展示給予鼓勵和表揚,師生共同歸納位似圖形的性質.【課件展示】(1)位似圖形可能在位似中心的同側,也可能在位似中心的異側.(2)位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上,它們到位似中心的距離之比等于相似比.(3)位似圖形中的對應線段平行或在同一條直線上.思路二教師引導,共同分析歸納.如圖(同思路一圖),兩組多邊形都是位似圖形,思考回答.(1)圖(1)中的兩個位似圖形在位似中心的,圖(2)中的兩個位似圖形在位似中心的,故位似圖形和位似中心的位置關系是.(2)各圖中兩個圖形的對應邊的位置關系是.(教師舉例說明位似的對應邊可能在同一條直線上)(3)各圖中OAOA, OBOB,OCOC之間的數量關系是；它們與兩個圖形的相似比之間的數量關系是；故用語言敘述為.【師生活動】學生在教師的問題下思考、回答,教師點撥,共同歸納總結.【課件展示】(1)位似圖形可能在位似中心的同側,也可能在位似中心的異側.(2)位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上,它們到位似中心的距離之比等于相似比.(3)位似圖形中的對應線段平行或在同一條直線上.設計意圖通過師生合作,經歷探索位似圖形的性質的過程,理解并掌握位似圖形的性質,為后面學習畫圖做好鋪墊,同時提高學生分析問題的能力和歸納總結的能力.三、 將圖形放大或縮小過渡語根據位似圖形的性質,我們可以將一個圖形放大或縮小,讓我們一起嘗試畫出下面的圖形吧!如圖,將四邊形ABCD縮小為原來的12.思路一【教師溫馨提示】將四邊形縮小為原來的12,可以畫出與該四邊形相似比為12的位似圖形,利用位似圖形的性質可以將圖形放大或縮小.【師生活動】學生獨立思考,嘗試畫圖后,小組合作交流,小組代表展示自己的畫法,教師巡視過程中及時幫助有困難的學生,并對學生的展示給出點評.【教師繼續提示】位似圖形一定在位似中心的同側嗎?嘗試畫出位似圖形在位似中心異側的圖形.【課件展示】作法:如圖.(1)在四邊形ABCD外任取一點O；(2)過O點分別作射線OA,OB,OC,OD；(3)分別在射線OA,OB,OC,OD上取點A,B,C,D,使得OAOA=OBOB=OCOC=ODOD=12；(4)順次連接A,B,C,D.所得的四邊形ABCD就是所求作的四邊形.類似的方法可以畫出在位似中心異側的位似圖形,如圖.當位似中心選取在四邊形內部時,畫出的圖形如圖.歸納作位似圖形的一般步驟:(1)確定位似中心,畫位似圖形時,位似中心可能在圖形的內部,也可能在圖形的外部,還可能在圖形的邊上.(2)找出關鍵點(多邊形常取頂點),連接位似中心和關鍵點.(3)根據相似比,確定能代表所作的位似圖形的關鍵點,順次連接所得的關鍵點,得到新的圖形.(4)寫出作圖的結論.思路二教師引導思考:(1)利用位似圖形可以將一個圖形放大或縮小嗎?放大或縮小的比例與兩個圖形的相似比有什么關系?(利用位似圖形可以將圖形放大或縮小,放大或縮小的比例與相似比相等)(2)根據位似圖形的性質,對應點到位似中心的距離比有什么數量關系?(位似圖形對應點到位似中心的距離比等于相似比)(3)如何選取位似中心的位置?與四邊形有什么位置關系?(平面上任意一點,可能在圖形內部,也可能在圖形外部,還可能在圖形的邊上)(4)如何選取縮小后圖形的各個頂點?(連接位似中心和各個頂點,根據對應點到位似中心的距離比等于相似比得到各頂點)(5)順次連接各頂點可得所求作的四邊形.【師生活動】學生在教師的引導下思考,然后獨立完成畫圖,教師及時發現學生畫圖中出現的錯誤,并及時糾正,強調易錯點.【課件展示】歸納畫位似圖形的方法:(1)確定位似中心；(2)對應點與位似中心的距離比相等,且等于相似比.設計意圖教師提出問題,引導畫圖方法,讓學生獨立完成畫圖,或學生通過合作交流,共同探究、歸納畫圖方法,培養學生的作圖能力與語言表達能力,體驗成功的快樂,增強學習數學的信心.知識拓展(1)位似是一種具有特殊位置關系的相似.兩個圖形是位似圖形,必定是相似圖形,而兩個圖形是相似圖形,不一定是位似圖形.(2)位似中心可以在兩個圖形內部,兩個圖形之間,兩個圖形的同一側,也可以在一個圖形的一條邊上或某一頂點上.(3)利用位似,可以將一個圖形放大或縮小.(4)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊或兩邊的延長線相交,所構成的三角形與原三角形位似.(5)作位似圖形時,要弄清相似比.(6)一般情況下,作已知圖形的位似圖形的結果不唯一.1.位似圖形的概念.2.位似圖形與相似圖形的關系:位似圖形一定是相似圖形,相似圖形不一定是位似圖形.3.位似圖形的性質:位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上,它們到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形中的對應線段平行或在同一條直線上.4.畫位似圖形: 確定位似中心；對應點與位似中心的距離比相等.1.下列說法:相似圖形一定是位似圖形；位似圖形一定是相似圖形；兩個位似圖形若全等,則位似中心在兩個圖形之間；若五邊形ABCDE與五邊形ABCDE位似,則其中ABC與ABC也是位似的,且相似比相等.其中正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.ABC和ABC是位似圖形,且面積之比為19,則ABC和ABC的對應邊AB和AB的比為()A.31B.13C.19D.1273.ABC與ABC是位似圖形,且ABC與ABC的相似比是12,已知ABC的周長是3,則ABC的周長是.4.如圖,已知EFH和MNK是位似圖形,那么其位似中心是點.5.如圖,頂點都在網格線交點處的三角形叫做格點三角形,已知圖中的每個小正方形的邊長都是1個單位長度,在圖中選擇適當的位似中心,畫一個與格點DEF位似且相似比不等于1的格點三角形.【答案與解析】1.C 解析:利用位似的定義可知,位似圖形一定是相似圖形,因為它是一種特殊的相似,但是相似圖形不一定是位似圖形,所以錯誤,正確；兩個位似圖形若全等,根據對應點一定相交于一點,可得到位似中心在兩個圖形之間,正確；若五邊形ABCDE與五邊形ABCDE位似,則在五邊形中連線組成的ABC與ABC,畫出圖形,可得它們也是位似的,正確.所以正確.故選C.2.B解析:由ABC和ABC是位似圖形,且面積之比為19,得ABC和ABC的對應邊AB與AB的比為13.故選B.3. 6解析:由ABC與ABC是位似圖形,且相似比是12,得ABC與ABC的周長比是12.又ABC的周長是3,所以ABC的周長為6.4.B解析:因為位似圖形的對應點的連線相交于一點,即位似中心,所以位似中心為B點.5.解:答案不唯一.如圖的DEF就是符合題意的一個三角形.第1課時1.位似圖形的概念2.位似圖形的性質3.將圖形放大或縮小例題一、教材作業二、課后作業【基礎鞏固】1.下列關于位似圖形的表述:相似圖形一定是位似圖形,位似圖形一定是相似圖形；位似圖形一定有位似中心；如果兩個圖形是相似圖形,且每組對應點的連線所在的直線都經過同一點,那么這兩個圖形是位似圖形；位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于相似比.其中正確的是()A.B.C.D.2.ABC與ABC是位似圖形,且ABC與ABC的相似比是12,已知ABC的面積是3,則ABC的面積是()A.3B.6C.9D.123.如圖的圖形中是位似圖形的有()A.0個B.1個C.2個D.3個4.如圖,正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經過位似變換得到的,若ABFG=23,則下列結論正確的是()A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3A=2FD.2A=3F5.如圖,ABC與DEF是位似圖形,相似比為23,已知AB=4,則DE的長等于.6.如圖,ABC與ABC是位似圖形,點O是位似中心,若OA=2AA,SABC=9,則SABC=.7.三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成影子(如圖).現測得OA=20 cm,OA=50 cm,這個三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比是.8.如圖,電影膠片上一個圖片的規格為3.5 cm3.5 cm,放映屏幕的規格為2 m2 m,若放映機的光源S距膠片20 cm,那么光源S距屏幕m時,放映的圖像剛好布滿整個屏幕.【能力提升】9.如圖,OAB和ODC是位似圖形.(1)AB與CD平行嗎?請說明理由.(2)如果OB=3,OC=4,OD=3.5,試求OAB與ODC的相似比及OA的長.【拓展探究】10.如圖,在邊長為1的正方形網格中,有形如帆船的圖案和半徑為2的P.(1)將圖案進行平移,使A點平移到點E,畫出平移后的圖案；(2)以點M為位似中心,在網格中將圖案放大為原來的2倍,畫出放大后的圖案,并在放大后的圖案中標出線段AB的對應線段CD；(3)在(2)所畫的圖案中,線段CD被P所截得的弦長為.(結果保留根號)【答案與解析】1.A解析:相似圖形不一定是位似圖形,位似圖形一定是相似圖形,故錯誤；位似圖形一定有位似中心,故正確；如果兩個圖形是相似圖形,且每組對應點的連線所在的直線都經過同一點,那么這兩個圖形是位似圖形,故正確；位似圖形上任意對應點與位似中心的距離之比等于相似比,故錯誤.正確的為.故選A.2.D解析:ABC與ABC是位似圖形,且ABC與ABC的相似比是12,ABC的面積是3,ABC與ABC的面積比為14,則ABC的面積是12.故選D.3.D解析:根據位似圖形的定義可知兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點所在的直線都經過同一個點,對應邊互相平行(或共線),所以位似圖形是(1)(2)(4).故選D.4.B解析:正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE是位似圖形,DEMN=ABFG=23,3DE=2MN.故選B.5.6解析:根據題意知ABC與DEF位似,且ABDE=23,AB=4,DE=6.故填6.6.814解析:ABC與ABC是位似圖形,由OA=2AA,可得兩位似圖形的相似比為23,兩位似圖形的面積比為49.又SABC=9,SABC= 814.7.25解析:觀察圖形可得三角尺與它的影子是位似圖形,OA=20, OA=50,三角尺的周長影子的周長=OAOA=25.故填25.8.807解析:設屏幕距光源Sx cm,則x20=2003.5,所以x=80007，80007 cm=807 m.故填807.9.解:(1) ABCD.理由如下:OAB與ODC是位似圖形,OABODC.A=D,ABCD.(2)OBOC=34,OABODC,OBOC=OAOD,34=OA3.5,解得OA=218.OAB與ODC的相似比為34.10.解:(1)平移后的圖案,如圖.(2)放大后的圖案,如圖.(3)線段CD被P所截得的弦長為23.本節課讓學生觀察生活的圖片及教材中多邊形的圖片,通過思考圖片的共同點,師生共同得出位似圖形的概念,激發學生的興趣和求知欲.探索位似圖形的性質的過程中,以教師提出的問題為指導,通過小組合作交流,歸納總結位似圖形的性質,提高了學生分析問題、解決問題的能力,為進一步探索將圖形放大或縮小提供了理論依據,在整個探究過程中,學生是課堂的主人,學生在課堂上享受到成功的快樂.畫位似圖形,由教師先提出問題,學生討論,通過展示不同成果讓學生體會思考問題要全面,最后歸納總結畫位似圖形的方法,培養學生歸納總結能力.本節課的重點是位似圖形的概念、性質及作圖方法,在課堂上注重探究知識的形成過程,不是單純地記憶結論,所以為了讓學生交流時有目的,設計的問題較多,不能培養學生的發散思維和創造力,同時在每個探究活動中都設計了小問題,造成探索交流結論的思考時間過長,導致后面的畫圖處理得有些倉促,部分學生沒有真正把握位似中心位置的選取.本節課以學生欣賞生活圖片導入新課,激發學生學習興趣,學生觀察兩個圖形的共同特征,除了相似以外,對應頂點所在的直線交于一點,自然地引出位似圖形的概念,然后讓學生經歷觀察、討論、歸納等數學活動探索位似圖形的性質,培養學生的創新意識及與他人合作的能力,最后讓學生經歷作圖的過程,增強學生的動手操作能力,并讓學生體會位似中心的位置選取不同,畫出的圖形位置不同,培養學生用多種方法解決問題的能力.(1)本節課的重點是探究位似圖形的概念、性質及畫位似圖形,教學導入環節設計學生欣賞圖片,通過觀察、討論、歸納等數學活動,形成位似圖形的概念.動手實踐、自主探究與合作交流是學生學習數學的重要方式,本節課導出位似圖形的概念后,探究位似圖形的性質和畫圖,以學生的實踐活動為主線展開,充分為學生提供動手實踐、合作交流、探索的機會,而在具體的實施過程中,教師又給予了必要的引導與啟發,使學生的探索方向變得清晰,目的更加明確,真正體現了教師為主導、學生為主體的教學理念.特別是在探究位似圖形性質的時候,通過學生自己動手主動探究,不僅更好地促進學生對知識點的理解,并且有效地激發了學生的學習興趣和熱情,有利于培養其主動學習的習慣,學生經歷知識的形成,提高學生分析問題、解決問題的能力.(2)數學教學的過程是師生共同活動、共同成長與發展的過程.真正的知識不全是由教材和教師講授獲取的,而是通過學生作為主體,在教師設計的各種數學活動中,通過小組合作交流的途徑共同探究,最終獲得數學知識并進行應用,所以教學設計中把激發學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位,為學生提供展示自己的機會,使課堂真正成為學生展示自我的舞臺.(3)由感性認識上升到理性思考,透過具體現象抽象出事物本質是人們認識事物的普遍規律,因此在引入新課時,通過動畫演示相似三角形對應點連線相交于一點的現象,幫助學生從感性材料中提煉出位似圖形的定義.與此同時,利用幾何畫板為學生搭建自主探究的平臺,降低學生理解抽象概念的難度,進而使其對性質理解得更透徹.如圖,在所給網格圖(每小格均為邊長是1的正方形)中完成下列各題.(1)圖形ABCD與圖形A1B1C1D1關于直線MN成軸對稱,請在圖中畫出對稱軸并標注相應字母M,N.(2)以圖中O點為位似中心,將圖形ABCD放大為原來的2倍,畫出放大后的圖形A2B2C2D2,則圖形ABCD與圖形A2B2C2D2的對應邊的比是多少?(3)求圖形A2B2C2D2的面積.解:(1)對稱軸MN，如圖.(2)如圖的圖形A2B2C2D2,對應邊的比為12.(3)圖形A2B2C2D2的面積為12B2D2A2C2=1248=16.第課時1.了解用坐標描述位似變換的基本原理,理解以原點為位似中心的坐標變化規律.2.能利用原點為位似中心的坐標變化規律找出對應點的坐標.3.能運用位似原理作出位似圖形.1.進一步提高學生利用圖形的變換解決問題的能力及小組合作、共同探究的能力,養成良好的數學思維習慣.2.通過總結平移、軸對稱、旋轉和位似四種變換的異同,進一步理解圖形變換的區別.3.讓學生在應用位似知識解決問題的過程中,體驗數形結合思想方法在解題中的應用.1.使學生親身經歷坐標系下位似變換的基本原理,感受數學學習的應用性和挑戰性.2.經歷坐標系下畫位似圖形的過程,培養學生動手操作的良好習慣,培養學生的數學應用意識.3.進一步體驗合作互助及交流能力,感受數學創造的樂趣,增強學好數學的信心.【重點】運用坐標系下的位似變換原理作出位似圖形.【難點】把一個圖形放大或縮小后,理解點的坐標變化的規律.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】畫兩個帶網格的平面直角坐標系.導入一:【復習提問】(1)什么是位似圖形?位似圖形有什么性質?(2)如何把一個圖形放大或縮小?(3)作位似圖形需要注意什么?【師生活動】學生思考回答,教師點撥并補充.導入二:完成下列作圖.如圖,ABC的三個頂點坐標分別為A(2,3),B(1,1),C(5,1).(1)將ABC向左平移3個單位長度得到A1B1C1,寫出A1,B1,C1的坐標；(2)寫出ABC關于x軸對稱的A2B2C2的三個頂點A2,B2,C2的坐標；(3)將ABC繞點O旋轉180得到A3B3C3,寫出點A3,B3,C3的坐標.【師生活動】學生通過平移、對稱、旋轉的規律回答變化后的坐標,教師點評,導入新課.過渡語在平面直角坐標系中,可以用坐標表示平移、旋轉、對稱等變換,類似地,位似作為一種圖形變換,也可以用圖形坐標之間的關系來表示,這就是我們今天要探究的內容.設計意圖通過復習回顧位似圖形的有關知識,為本節課的學習做好鋪墊,以實例回顧平移、軸對稱、旋轉(中心對稱)等變換的坐標表示,體會數與形之間的聯系,激發學生探究用坐標規律表示位似的興趣.一、 位似圖形的坐標(1)如圖,在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),B(6,0).以原點O為位似中心,相似比為13,把線段AB縮小.觀察對應點之間坐標的變化,你有什么發現?(2)如圖,AOC三個頂點的坐標分別為A(4,4),O(0,0),C(5,0).以點O為位似中心,相似比為2,將AOC放大.觀察對應頂點坐標的變化,你有什么發現?思路一【師生活動】學生在課前準備的坐標系下動手畫圖,然后小組交流結果.教師在巡視過程中及時關注和提醒學生畫出的位似圖形是否有兩種,對學生展示的結果點評.觀察各對應頂點坐標之間的關系,小組合作交流,師生共同歸納結論.【問題】運用這個規律時有什么限制?一般地,在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,畫出一個與原圖形位似的圖形,使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky).思路二教師引導思考、操作、演示.(1)在坐標系下畫以原點為位似中心的圖形,你能畫出幾個?如何畫?(如圖)（1）（2）(2)在課前準備的坐標系下分別畫出位似圖形.(3)圖(1)中點A,B的橫、縱坐標與點A,B的橫、縱坐標之間有什么關系?(利用相似可得點A,B的橫、縱坐標是點A,B的橫、縱坐標的13)(4)圖(1)中點A,B的橫、縱坐標與點A,B的橫、縱坐標之間有什么關系?(利用相似可得點A,B的橫、縱坐標的絕對值是點A,B的橫、縱坐標的13)(5)在圖(2)中點A,C的橫、縱坐標與點A,C的橫、縱坐標之間有什么關系?(6)你能歸納關于原點對稱的圖形各對應頂點坐標之間的關系嗎?【師生活動】學生在教師的引導下,畫出圖形,證明對應頂點之間的關系,最后歸納總結結論,教師引導學生思考,對畫圖及回答作出點評,然后課件展示圖形變化過程中坐標之間的變化,最后師生共同歸納總結結論.【課件展示】一般地,在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,畫出一個與原圖形位似的圖形,使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky).設計意圖學生通過動手操作畫出圖形,通過觀察、討論,得出以原點為位似中心的圖形的對應點之間的坐標規律,學生經歷知識的形成過程,體驗成功的快樂,增強學生學習數學的自信心,同時培養學生歸納總結能力,體會從特殊到一般及數形結合在數學中的應用.二、例題講解如圖,ABO三個頂點的坐標分別為A(-2,4),B(-2,0),O(0,0),以原點O為位似中心,畫一個三角形,使它與ABO的相似比為32.【思考】(1)所要畫的是三角形,所以解決問題的關鍵是確定哪些點的坐標?(2)確定這些點的坐標與已知點的坐標之間有什么關系?如何確定這些點的坐標?【師生活動】學生獨立思考后,畫出圖形,小組交流答案,學生展示結果,教師點評.【追加提問】你能總結畫一個圖形以原點為位似中心的位似圖形的步驟嗎?學生小組交流,教師補充,歸納畫圖步驟:(1)根據以原點為位似中心的圖形坐標變化規律,求出各頂點的坐標；(2)在坐標系下根據各頂點坐標描出各點；(3)依次連接各頂點可得所求作的圖形.如圖,正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形,點F的坐標為(-1,1),點C的坐標為(-4,2),求這兩個正方形的位似中心的坐標.【教師引導分析】(1)兩個位似圖形的特征是什么?(每對對應點與位似中心共線；對應線段平行或在同一條直線上)(2)位似中心的位置有幾種?哪幾種?(兩種,位似圖形在位似中心的同側或異側)(3)觀察圖形,當位似中心在位似圖形同側時,位似中心是不是在特殊直線上?(DG,AO在x軸上,故位似中心在x軸上)(4)當位似中心在位似圖形同側時,位似中心還在哪條與已知有關的直線上?(過對應點C,F所在的直線上或過對應點B,E所在的直線上)(5)當位似中心在位似圖形同側時,如何求位似中心的坐標?(求直線CF(或BE)與x軸的交點坐標)(6)觀察圖形當位似中心在位似圖形異側時,位似中心在什么位置?(直線不唯一.直線OC,DE的交點)(7)當位似中心在位似圖形異側時,如何求位似中心的坐標?(求直線OC與直線DE的交點坐標,直線不唯一)解:當兩個位似圖形在位似中心同側時,位似中心就是CF與x軸的交點.設直線CF的解析式為y=kx+b,將C(-4,2),F(-1,1)的坐標分別代入,得-4k+b=2,-k+b=1.解得k=-13,b=23.即y=-13x+23,令y=0得x=2,位似中心的坐標是(2,0).當位似中心在兩個正方形之間時,可求直線OC的解析式為y=-12x,直線DE的解析式為y=14x+1,得y=-12x,y=14x+1.解得x=-43,y=23.即位似中心的坐標為-43,23.位似中心的坐標為(2,0)或-43,23.設計意圖通過例題,鞏固位似圖形對應點的坐標之間的關系,讓學生感受運用新知識解決問題的簡捷性,從而獲得成功感；例題2是用坐標描述位似圖形的拓展,讓學生體會位似中心不在坐標原點的有關計算,開闊了學生視野,加強學生對前后知識之間的聯系,體會數形結合思想在數學中的應用.三、平移、旋轉、軸對稱、位似四種變換的異同過渡語我們已經學習了平移、軸對稱、旋轉和位似等圖形的變化方式,你能在下圖的圖案中找到它們嗎?四種變換有什么異同?【師生活動】學生小組合作交流后回答,教師對學生的回答點評,觀察角度不同,學生的答案也不同.【四種變換的異同】圖形經過平移、旋轉、軸對稱后,圖形的位置雖然改變了,但是圖形的大小和形狀沒有改變,即兩個圖形是全等的；而圖形經過位似變換后,圖形是相似的.設計意圖設計開放性的題目讓學生回顧思考各種圖形變換,并歸納異同,將平移、旋轉、軸對稱和位似聯系,完善認知結構,與課前導入首尾呼應,使教學過程通順、流暢.知識拓展(1)以原點為位似中心的位似變換,其對應點的坐標關系可表示為(新圖形與原圖形的相似比為k):與P(x,y)位于位似中心同側的對應點P1(kx,ky)；與P(x,y)位于位似中心異側的對應點P2(-kx,-ky).當k1時,是將圖形擴大；當0k1時,是將圖形縮小.(2)在直角坐標系中,把一個圖形進行平移、軸對稱、旋轉和位似變換,其對應點的坐標都有各自的變化規律:平移變換是橫坐標或縱坐標加上(或減去)平移的距離.軸對稱變換,以x軸為對稱軸,則對應點的橫坐標相等,縱坐標互為相反數；以y軸為對稱軸,則對應點的縱坐標相等,橫坐標互為相反數.在旋轉變換中,一個圖形繞原點旋轉180,則旋轉前后兩個圖形上的對應點的橫坐標與縱坐標分別互為相反數.位似變換中,當以原點為位似中心時,變換前后兩個圖形上的對應點的橫(或縱)坐標之比的絕對值等于相似比.1.位似變換中對應點坐標的變化規律:一般地,在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,畫出一個與原圖形位似的圖形,使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky).2.平移、軸對稱、旋轉和位似四種變換的異同.1.如圖,將ABC的三邊分別擴大為原來的2倍得到A1B1C1(頂點均在格點上),它們是以P點為位似中心的位似圖形,則P點的坐標是()A.(-3,-3)B.(-3,-4)C.(-4,-4)D.(-4,-3)2.已知線段AB和CD,依據下列點的坐標,能判斷AB和CD是以原點為位似中心的位似圖形的是()A.A(2,3),B(-1,1),C(4,3),D(-2,1)B.A(1,-5),B(-1,-2),C(1,-10),D(-1,-4)C.A(-4,5),B(2,-2),C(4,5),D(-2,-2)D.A(2,0),B(-1,0),C(-4,0),D(2,0)3.如圖,原點O是ABC和A1B1C1的位似中心,點A(1,0)與A1(-2,0)是對應點,ABC的面積是32,則A1B1C1的面積是.4.如圖的小方格都是邊長為1的正方形,ABC的頂點都在小正方形的頂點上,請完成以下問題.(1)請在方格紙上建立平面直角坐標系,使A(2,3),C(6,2),則B點的坐標為；(2)以原點O為位似中心,在第一象限內將ABC放大為原來的2倍,畫出放大后的ABC.【答案與解析】1.D解析:ABC的三邊分別擴大一倍得到A1B1C1(頂點均在格點上),它們是以P點為位似中心的位似圖形,根據位似圖形的性質,對應點的連線相交于一點,連接BB1,CC1,交點即是P點,如圖,P點的坐標為(-4,-3).故選D.2.D解析:根據以原點為位似圖形的坐標特征,可得C,D點橫、縱坐標為A,B點橫、縱坐標的同一個倍數的只有D.故選D.3. 6解析:原點O是ABC和A1B1C1的位似中心,點A(1,0)與A1(-2,0)是對應點,ABC和A1B1C1的相似比為12.由相似三角形的面積比等于相似比的平方,得A1B1C1的面積是324=6.故填6.4.解:(1)A(2,3),C(6,2),可得如圖的平面直角坐標系.點B的坐標為(2,1).(2)以原點O為位似中心,在第一象限內將ABC放大為原來的2倍,A(4,6),B(4,2),C(12,4),如圖.第2課時1.位似圖形的坐標2.例題講解例1例23.平移、旋轉、軸對稱、位似四種變換的異同一、教材作業二、課后作業【基礎鞏固】1.將平面直角坐標系中某個圖案的各點坐標作如下變化,其中屬于位似變換的是()A.將各點的縱坐標乘2,橫坐標不變B.將各點的橫坐標乘2,縱坐標不變C.將各點的橫坐標、縱坐標都乘2D.將各點的縱坐標都減2,橫坐標都加22.如圖,在平面直角坐標系中,以原點為位似中心,將AOB擴大為原來的2倍,得到OAB.若點A的坐標是(1,2),則點A的坐標是()A.(2,4)B.(-1,-2)C.(-2,-4)D.(-2,-1)3.如圖,在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),B(6,0).以原點O為位似中心,相似比為13,在第一象限內把線段AB縮小后得到線段CD,則點C的坐標為()A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)4.在平面直角坐標系中,已知E(-4,2),F(-2,-2),以原點O為位似中心,相似比為12,把EFO縮小,則點E的對應點E的坐標是()A.(-2,1)B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)5.如圖是AOB和COD,它們是位似圖形,則COD與AOB的相似比是.6.ABO的頂點坐標分別為A(-3,3),B(3,3),O(0,0),試將AOB縮小為AOB,使ABO與ABO的相似比為12,且A與A在O點同側,則A點的坐標為,B點的坐標為.7.如圖,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似中心,相似比為12,點A的坐標為(1,0),則E點的坐標為.【能力提升】8.某學習小組在討論“變化的魚”時,知道大魚與小魚是位似圖形(如圖),則小魚上的點(a,b)對應大魚上的點是.9.如圖，在平面直角坐標系xOy中,點A,B的坐標分別為(3,0),(2,-3),ABO是ABO關于A的位似圖形,且O的坐標為(-1,0),則點B的坐標為.10.如圖,在平面直角坐標系xOy中,ABC的三個頂點的坐標分別為A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).(1)請畫出ABC關于x軸對稱的A1B1C1；(2)將A1B1C1的三個頂點的橫坐標與縱坐標同時乘-2,得到對應的點A2,B2,C2,請畫出A2B2C2；(3)求A1B1C1與A2B2C2的面積比,即SA1B1C1SA2B2C2