第二十八章銳角三角函數(shù)1.了解銳角三角函數(shù)的概念,能夠正確應用sin A,cos A,tan A表示直角三角形中兩邊的比.2.能推導并熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,并會由一個特殊角的三角函數(shù)值說出這個角.3.能夠正確地使用計算器,由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求出相應的銳角.4.理解直角三角形中五個元素的關系,以及什么是解直角三角形,會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.5.會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題,并能對相關知識進行綜合應用.1.通過探究銳角的正弦、余弦、正切概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.2.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.培養(yǎng)學生從已有的知識、特殊圖形中去感知、遷移.3.綜合運用所學知識解直角三角形,逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.培養(yǎng)學生思維能力的靈活性.4.通過畫示意圖,將實際問題轉化為數(shù)學問題,發(fā)展學生的抽象概括能力,提高應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.5.經歷從實際問題中建立數(shù)學模型的過程,增強應用意識,體會數(shù)形結合思想的應用.1.通過積極參與數(shù)學學習活動,體驗數(shù)學活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神.2.引導學生參與體驗數(shù)學活動,學會用數(shù)學思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結、驗證,提高數(shù)學思維能力.3.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學生體驗成功的快樂.4.讓學生經歷觀察、操作等數(shù)學活動,探索三角函數(shù)有關知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.5.在探索解直角三角形的過程中,滲透數(shù)形結合思想,培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力和良好的學習習慣.6.通過將實際問題轉化為數(shù)學問題,培養(yǎng)建模思想,調動學生學習數(shù)學的積極性和主動性,培養(yǎng)學生認真思考等學習習慣,形成實事求是的科學態(tài)度.本章銳角三角函數(shù)是數(shù)學課程標準中“空間與圖形”領域的重要內容,是初中階段研究三角形部分的最后階段,主要研究銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內容,掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法,既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù),也是繼續(xù)學習三角形的基礎,本章屬于三角學中的最基礎的部分,而高中階段的三角內容是三角學的主體部分,所以本章的學習是為高中數(shù)學中三角函數(shù)等知識的學習做準備.本章在前邊研究了直角三角形中三邊之間的關系、兩個銳角之間的關系的基礎上,進一步研究邊角之間的關系,本章包括銳角三角函數(shù)的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念),以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內容,銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在實際當中有著廣泛的應用,這也為銳角三角函數(shù)提供了與實際聯(lián)系的機會,研究銳角三角函數(shù)的直接基礎是相似三角形的一些結論,解直角三角形主要依賴銳角三角函數(shù)和勾股定理等內容,因此相似三角形和勾股定理等是學習本章的直接基礎.通過本章的學習,使學生全面掌握直角三角形的組成元素之間的關系,并綜合運用已學知識解決與直角三角形有關的度量問題,進一步培養(yǎng)學生的推理能力、運算能力和數(shù)學建模思想.【重點】1.正弦、余弦、正切的概念.2.特殊角的三角函數(shù)值.3.會解直角三角形.4.能利用三角函數(shù)有關知識解決實際問題.【難點】1.解直角三角形的應用.2.把實際問題轉化為直角三角形中的問題,并通過銳角三角函數(shù)解決問題.(1)注重數(shù)形結合,加深理解記憶解決銳角三角函數(shù)的有關問題,都是在直角三角形中進行的,所以數(shù)形結合思想是本單元的重要思想方法.已知角所在的三角形為直角三角形時,常根據(jù)三角函數(shù)定義得到邊角之間的關系,解決有關幾何圖形問題,已知角不在直角三角形中時,常通過作輔助線,構造直角三角形,再利用三角函數(shù)的定義解決幾何圖形問題,所以在教學中注重數(shù)形結合思想的學習,在探究特殊角的三角函數(shù)值時,結合特殊的直角三角形,利用邊角之間的關系,通過計算得出特殊值,體會由形到數(shù)的轉化；由特殊角的三角函數(shù)值,通過構造直角三角形,得到邊角之間的關系,體會由數(shù)到形的轉化.(2)重視知識的形成過程,深化理解概念銳角三角函數(shù)的概念是本章的難點,也是學習本章的關鍵,難點在于銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對應的函數(shù)關系,這種角與函數(shù)之間的關系,學生以前沒有接觸過,所以學生對三角函數(shù)概念的理解成為本章的難點.在教學設計中,重視過程,深化理解,以直角三角形為主線,力求體現(xiàn)生活化課堂的理念,讓學生在經歷“問題情景形成概念應用拓展反思提高”的基本過程中,通過主動探究來體現(xiàn)他們的主體地位,教師通過對學生參與學習的啟發(fā)、調整、激勵來體現(xiàn)自己的引導作用,對學生的主體意識和合作交流的能力起著積極作用.學生經歷概念的形成過程,體驗知識間的內在聯(lián)系,感受探究的樂趣,從而加深對概念的理解和掌握.28.1銳角三角函數(shù)4課時28.2解直角三角形及其應用28.2.1解直角三角形(1課時)28.2.2應用舉例(2課時)3課時單元概括整合1課時28.1銳角三角函數(shù)1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比是固定值,從而引出正弦、余弦、正切的概念.2.了解三角函數(shù)的概念,理解銳角的正弦、余弦、正切的概念并能根據(jù)這些概念進行有關計算.3.能推導并熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)這些值說出對應的銳角度數(shù).4.能熟練計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式.5.讓學生熟識計算器一些功能鍵的使用.會熟練運用計算器求銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求角.1.通過探究銳角的正弦、余弦、正切的概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.2.經過三角函數(shù)的概念的發(fā)現(xiàn)與學習,養(yǎng)成勤于思考,善于發(fā)現(xiàn)的良好習慣.3.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.4.通過推導特殊角的三角函數(shù)值,了解知識間的聯(lián)系,提高綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.5.自己熟悉計算器,在老師的指導下求一般銳角三角函數(shù)值,體會數(shù)學知識與實際生活息息相關.1.通過積極參與數(shù)學學習活動,體驗數(shù)學活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神.2.引導學生參與體驗數(shù)學活動,學會用數(shù)學思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結、驗證,提高數(shù)學思維能力.3.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學生體驗成功的快樂.4.讓學生經歷觀察、操作等數(shù)學活動,探索三角函數(shù)有關知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.5.通過計算器的使用,了解科學在人們日常生活中的重要作用,激勵學生熱愛科學、學好文化知識.【重點】1.理解各三角函數(shù)的意義,并會求銳角的各三角函數(shù)值.2.熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,能熟練計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式.3.運用計算器處理三角函數(shù)中的值或角的問題.【難點】1.探索各三角函數(shù)值的概念.2.30,45,60角的三角函數(shù)值的推導過程.3.運用計算器處理三角函數(shù)中的值或角等問題.第課時1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊的比是固定值,從而引出正弦的概念.2.理解銳角的正弦的概念,并能根據(jù)正弦的概念進行計算.1.通過探究銳角的正弦的概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.2.通過銳角的正弦的學習,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.1.通過銳角的正弦的概念的建立,體會從特殊到一般的數(shù)學思想方法,滲透數(shù)形結合思想.2.讓學生在通過探索、分析、論證、總結獲取新知識的過程中體驗成功的快樂,感悟數(shù)學的實用性,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.3.通過主動探究,合作交流,感受探索的樂趣和成功的體驗,體會數(shù)學的合理性和嚴謹性,使學生養(yǎng)成積極思考的好習慣,同時培養(yǎng)學生的團隊合作精神.【重點】理解正弦函數(shù)的意義,并會求銳角的正弦值.【難點】理解直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊的比是固定值.導入一:意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜,其塔頂中心點偏離垂直中心線2.1 m.1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震,這座高54.5 m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立,但塔頂中心點偏離垂直中心線增至5.2 m,而且還在繼續(xù)傾斜,有倒塌的危險.當?shù)貜?990年起對斜塔維修糾偏,2001年竣工,此時塔頂中心點偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8 cm.【師生活動】學生欣賞比薩斜塔圖片,教師介紹比薩斜塔有關知識,然后引出本章課題.過渡語你能用塔身中心線與垂直中心線所成的角來描述比薩斜塔的傾斜程度嗎?通過本章的學習,你將能夠解決這個問題.導入二:【復習提問】1.直角三角形有哪些特殊性質?2.有一個銳角是30的直角三角形有什么特殊性質?3.有一個銳角是45的直角三角形有什么特殊性質?【師生活動】學生思考回答,教師點評.導入三:操場上有一個旗桿,老師讓小明去測量旗桿的高度.小明在離旗桿底部10米遠處目測旗桿的頂部,視線與水平線的夾角為34,并且已知目高為1.5米,然后他很快就能算出旗桿的高度了.過渡語你想知道小明怎樣算出的嗎?這就是我們即將探討和學習的利用銳角三角函數(shù)來測量物體的高度.今天我們學習銳角三角函數(shù)的第一種銳角的正弦.設計意圖通過大家熟知的意大利比薩斜塔導出本章學習內容,激發(fā)學生學習本章的求知欲,同時又以生活實例測旗桿的高度導入本課時的內容,讓學生體會測量旗桿的高度不僅可以用上章所學習的相似三角形,還可以應用本章的銳角三角函數(shù),激發(fā)學生的學習興趣,體會生活與數(shù)學之間的密切聯(lián)系.同時由復習導入新課,為本節(jié)課的學習做好鋪墊.一、共同探究思路一為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管,在山坡上修建一座揚水站,對坡面的綠地進行噴灌.現(xiàn)測得斜坡的坡角(A)為30,為使出水口的高度為35 m,需要準備多長的水管?思考一(1)你能不能把該實際問題轉化為幾何語言?在RtABC中,C=90,A=30,BC=35 m,求AB(如圖)(2)你能求出AB的長度嗎?為什么?(根據(jù)直角三角形中30的銳角對應的直角邊等于斜邊的一半,可得AB=2BC=70（m）)(3)計算題目中A的對邊與斜邊的比BCAB是多少.BCAB=12(4)在該題目中,如果出水口的高度為50 m,那么需要準備多長的水管?此時BCAB的值是多少?需要準備100 m長的水管,BCAB=12(5)出水口的高度改變,A不變時,A的對邊與斜邊的比BCAB是否變化?不變,都等于12【師生活動】學生獨立思考后,小組交流答案,學生展示結果,教師點評,歸納結論.【結論】在直角三角形中,如果一個銳角等于30,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比都等于12.思考二(1)如圖,任意畫一個RtABC,使C=90,A=45,你能計算出A的對邊與斜邊的比BCAB嗎?(2)通過計算,你能得到什么結論?【師生活動】學生思考后,小組合作交流,小組代表展示成果,教師在巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的展示進行點評,共同歸納結論.【結論】在直角三角形中,如果一個銳角等于45,無論這個直角三角形大小如何,這個角的對邊與斜邊的比都等于22.思考三【猜想】一般地,當A取其他一定度數(shù)的銳角時,它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值?如圖,在RtABC和RtABC中,C=C=90,A=A=,那么BCAB與BCAB有什么關系?用語言敘述你的結論.【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,共同得出結論,教師對學生的展示進行點評.【板書】因為C=C=90,A=A=,所以RtABCRtABC,因此,BCBC=ABAB,即BCAB=BCAB.【課件展示】在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,A的對邊與斜邊的比都不變,是一個固定值.思路二動手操作:(1)測量自己手中一副三角板中30,45,60角所對的直角邊與斜邊的長度,并計算它們的比值.其中一同學測量、計算教師手中的三角板中各角所對的直角邊與斜邊的比值.(2)小組內交流計算結果,三角板的大小不同,30,45,60角所對的直角邊與斜邊的比有什么特點?你能得到什么結論?【師生活動】學生動手測量、計算,小組內交流結果,共同歸納結論,教師及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題并及時糾正,對學生的結論進行點撥.【結論】不論三角板大小如何,30,45,60角的對邊與斜邊的比都是一個固定值.【猜想】如果是任意一個直角三角形,當一個銳角的度數(shù)固定時,這個角的對邊與斜邊的比是否也是固定值呢?【驗證】如圖,RtABC和RtABC,C=C=90,A=A=,那么BCAB與BCAB有什么關系?用語言敘述你的結論.【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,共同得出結論,教師對學生的展示進行點評.【板書】因為C=C=90,A=A=,所以RtABCRtABC,因此,BCBC=ABAB,即BCAB=BCAB.【課件展示】在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,A的對邊與斜邊的比都不變,是一個固定值.設計意圖思路一由實際問題入手,計算直角三角形中特殊銳角所對的直角邊與斜邊的比是固定值,然后類比探索出直角三角形中銳角確定時,它所對的直角邊與斜邊的比是固定值；思路二通過操作、測量、猜想、驗證,得出結論,讓學生體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納總結能力.二、形成概念過渡語在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,它所對的直角邊與斜邊的比是固定值,這個固定值就是這個銳角的正弦值.【課件展示】如圖,在RtABC中,C=90,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦,記作sin A,即sin A=A的對邊斜邊=ac.【思考】(1)當A=30或A=45時,A的正弦為多少?當A=30時,sin A=sin 30=12；當A=45時,sin A=sin 45=22(2)A的正弦sin A表示的是sin與A的乘積還是一個整體?(sin A表示的是一個整體)(3)當A的大小變化時,sin A是否變化?(sin A隨著A的大小變化而變化)(4)sin A有單位嗎?(sin A是一個比值,沒有單位)(5)B的正弦怎么表示?sinB=ACAB=bc(6)要求一個銳角的正弦值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊?(需要知道這個銳角的對邊和斜邊)【師生活動】學生思考,小組合作交流,小組代表回答問題,教師點撥.設計意圖在一系列的問題解決中,經歷從特殊到一般建立數(shù)學概念的過程,讓學生理解、認識正弦的概念及寫法和意義,教師強調概念中需注意的事項,加深對正弦概念的理解和掌握.三、例題講解如圖,在RtABC中,C=90,求sin A和sin B的值.教師引導思考:(1)求sin A實際上要確定什么?依據(jù)是什么?sin B呢?(2)sin A,sin B的對邊和斜邊是已知的嗎?(3)直角三角形中已知兩邊如何求三角形的第三邊?【師生活動】學生思考后回答問題,然后書寫解題過程,小組交流結果,小組代表板書過程,教師規(guī)范解題步驟.【課件展示】解:如圖(1),在RtABC中,由勾股定理得AB=AC2+BC2=42+32=5.因此sin A=BCAB=35,sin B=ACAB=45.如圖(2),在RtABC中,由勾股定理得AC=AB2-BC2=132-52=12.因此sin A=BCAB=513,sin B=ACAB=1213.設計意圖學生在教師的引導下,根據(jù)正弦的概念求出角的正弦值,教師規(guī)范學生的解題過程,讓學生體會數(shù)學的嚴謹性,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.知識拓展(1)正弦是一個比值,沒有單位.(2)正弦值只與角的大小有關,與三角形的大小無關.(3)sin A是一個整體符號,不能寫成sin A.(4)當用三個字母表示角時,角的符號“”不能省略,如sinABC.(5)sin2A表示(sin A)2,不能寫成sin A2.1.在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,A的對邊與斜邊的比都是一個固定值.2.正弦的定義:在RtABC中,C=90,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦,記作sin A,即sin A=A的對邊斜邊=ac.1.如圖,ABC的頂點都是正方形網格(每個小正方形的邊長均為1)中的格點,則sinABC等于()A.5B.255C.55D.232.把ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,則銳角A的正弦值()A.不變B.縮小為原來的13C.擴大為原來的3倍D.不能確定3.在RtABC中,C=90,sin A=35,AB=20,則BC=.4.如圖,在菱形ABCD中,DEAB,垂足為E,DE=8 cm,sin A=45,則菱形ABCD的面積是cm2.5.在RtABC中,C=90,BC=6,且sin B=35,試分別求出AC,AB的值.【答案與解析】1.C解析:如圖,過點A向BC引垂線,與BC的延長線交于點D.在RtABD中,AD=2,BD=4,AB=22+42=25,sinABC=ADAB=55.故選C.2.A解析:因為ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似,所以銳角A的大小沒改變,所以銳角A的正弦值也不變.故選A.3. 12解析:AB=20,sin A=35,sin A=BCAB=35,BC=3520=12.4. 80解析:在菱形ABCD中,DEAB.在RtDEA中,DE=8 cm,sin A=45,則DEAD=45,則AD=10 cm.所以AB=AD=10 cm,所以菱形ABCD的面積為DEAB=810=80(cm2).5.解:在RtABC中,C=90,sin B=ACAB=35.設AC=3x,則AB=5x.又AB2=AC2+BC2,(5x)2=(3x)2+62=9x2+36,即25x2=9x2+36,x=32,AC=3x=92,AB=5x=152.第1課時1.共同探究2.形成概念在RtABC中,C=90,則sin A=A的對邊斜邊=ac.3.例題講解例題一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.在RtABC中,C=90,AB=2,AC=1,則sin B的值為()A.12B.22C.32D.22.三角形在正方形網格(每個小正方形的邊長均為1)中的位置如圖,則sin 的值是()A.34B.43C.35D.453.在ABC中,C=90,AB=15,sin A=13,則BC等于()A.45B.5C.15D.1454.在RtABC中,C=90,AB=2BC,則sin B的值為()A.12B.22C.32D.15.如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,若AC=5,BC=2,則sinACD的值為()A.53B.255C.52D.236.在RtABC中,C=90,AC=5,AB=8,則sin A=.7.在RtABC中,C=90,BC=4,sin A=23,則AB=.8.如圖,AB是O的直徑,點C,D在O上,且AB=5,BC=3,則sinBAC=,sinADC=,sinABC=.9.在RtABC中,C=90,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值.10.在RtABC中,C=90.(1)若sin A=35,BC=9,求AB的長；(2)若sin B=45,AB=10,求BC的長.【能力提升】11.如圖,圓O的直徑CD=10 cm,且ABCD,垂足為P,AB=8 cm,則sinOAP=.12.在RtABC中,C=90,sin A=45,BC=20,則sin B=.13.如圖,菱形ABCD的周長為40 cm,DEAB,垂足為E,sin A=35.則下列結論正確的有.(填序號)DE=6 cm；BE=2 cm；菱形的面積為60 cm2；BD=410 cm.14.如圖,將一張矩形紙片ABCD沿CE折疊,B點恰好落在AD邊上,設此點為F,若ABBC=45,求sinCFD,sinDCF的值.【拓展探究】15.如圖,在ABC中,C=90,AC=BC,BD為AC邊上的中線,求sinABD的值.【答案與解析】1.A解析:在RtABC中,C=90,sin B=ACAB=12.故選A.2.C解析:觀察網格圖,可知在直角三角形中,的對邊長為3,鄰邊長為4.根據(jù)勾股定理可得斜邊長為5,所以根據(jù)正弦定義可得sin =35.故選C.3.B解析:sin A=BCAB=13,AB=15,BC=5.故選B.4.C解析:在RtABC中,C=90,AB=2BC.設BC=a,則AB=2a,根據(jù)勾股定理可得AC=AB2-BC2=(2a)2-a2=3a,sin B=ACAB=3a2a=32.故選C.5.A解析:在RtABC中,根據(jù)勾股定理可得AB=AC2+BC2=(5)2+22=3.由題意知B+BCD=90,ACD+BCD=90,B=ACD.sinACD=sin B=ACAB=53.故選A.6.398解析:在RtABC中,C=90,AC=5,AB=8,BC=AB2-AC2=82-52=39,sin A=BCAB=398.7. 6解析:sin A=BCAB=4AB=23,AB=6.8.354545解析:AB是O的直徑,ACB=90.AB=5,BC=3,sinBAC=BCAB=35,AC=AB2-BC2=52-32=4,sinADC=sinABC=ACAB=45.故依次填35,45,45.9.解:由勾股定理可得AB=12+22=5(cm),所以sin A=BCAB=25=255,sin B=ACAB=15=55.10.解:(1)sin A=BCAB=35,又BC=9,AB=15. (2)sin B=ACAB=45,又AB=10,BC=8.11.35解析:ABCD,AP=BP=12AB=128=4(cm).在RtOAP中,OA=12CD=5 cm,OP=AO2-AP2=3 cm,sinOAP=OPOA=35.12.35解析:在RtABC中,C=90,sin A=45,即CBAB=45.設CB=4x,則AB=5x,根據(jù)勾股定理可得AC=3x.sin B=ACAB=35.13.解析:菱形ABCD的周長為40 cm,AD=AB=BC=CD=10 cm.DEAB,垂足為E,sin A=DEAD=DE10=35,DE=6 cm,AE=8 cm,BE=2 cm.菱形的面積為ABDE=106=60(cm2).在RtBED中,BE=2 cm,DE=6 cm,BD=210 cm.正確,錯誤.14.解:由ABBC=45,可設AB=4k,BC=5k,由折疊可知CF=CB=5k.在矩形ABCD中,CD=AB=4k.在RtCDF中,由勾股定理可得DF=CF2-CD2=3k,sinCFD=CDCF=45,sinDCF=DFCF=35.15.解:如圖,作DEAB于E.設BC=AC=2x.BD為AC邊上的中線,CD=AD=12AC=x.在RtBCD中,根據(jù)勾股定理,得BD=5x.C=90,AC=BC,A=CBA=45,又DEAB,A=EDA=45,AE=DE=22x.在RtBDE中,sinABD=DEBD=22x5x=1010.通過復習含特殊角的直角三角形的性質,為本節(jié)課的探究做好鋪墊,用具體情景引入新課,把教學內容轉化為具有潛在意義的問題,讓學生帶著問題進入課堂,然后用具體實例的探究,層層遞進,由特殊到一般,引導學生歸納總結出:直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊的比是固定值的特點,從而自然引出正弦的概念,順理成章完成知識的遷移,學生通過動手操作、合作探究、歸納總結等數(shù)學活動突破了本節(jié)課的重點和難點,培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、探究思考與合作交流的能力.在課堂上,學生參與意識較強,課堂氣氛活躍,讓不同的學生得到不同的發(fā)展,突出了學生在課堂上的主體作用.本節(jié)課的重點是探究直角三角形中銳角確定時,它的對邊和斜邊的比是固定值,由此歸納總結正弦定義,在教學設計中,注重知識間的聯(lián)系,由前邊所學知識自然推導結論,由結論自然導出正弦的概念,但在授課過程中忽略了學生的認知能力,部分學生對銳角的正弦的理解有困難,在以后的教學中,給出正弦的定義后,應給出幾個簡單練習加深學生對概念的理解和掌握.本節(jié)課的內容是探究直角三角形中銳角確定時,它的對邊和斜邊的比是固定值,把這個固定值定義為這個銳角的正弦,在教學設計中,以比薩斜塔導入新課,激發(fā)學生學習本章內容的好奇心和求知欲,然后通過復習特殊直角三角形的性質,為本節(jié)課的探究活動做好鋪墊,通過探究特殊圖形中邊之間的關系,猜想一般直角三角形中邊之間的關系,然后理論證明猜想,從而很自然地導出概念,讓學生經歷概念的形成過程,利于對概念的理解和掌握,同時提高數(shù)學思維和能力.本節(jié)課是銳角三角函數(shù)的第一個課時,在教學設計中,通過設計“思考”“探究”“歸納”等教學環(huán)節(jié),為學生提供探究交流的空間,發(fā)展學生的思維能力.教材中直接給出了正弦的概念,而概念的形成過程的探索留給了學生,在本節(jié)課的教學設計中,通過復習特殊直角三角形的性質,為學生探究活動做好鋪墊,然后給出特殊的直角三角形,學生通過獨立思考、小組合作交流、共同歸納等數(shù)學活動,探索出結論“在直角三角形中,當一個銳角確定時,這個角的對邊與斜邊的比是固定值”,然后教師引導學生思考,對于一般的直角三角形是否具有這樣的性質.學生通過動手操作,合作探究,完成嚴格的理論證明,從而得到結論的正確性,很自然地引出正弦的概念.在課堂上以問題引導的形式讓學生積極參與課堂,親身經歷知識的形成過程,為學生提供了更加廣闊的探索空間,讓學生學會觀察、思考、與他人合作及歸納總結,從而提高學生分析問題、解決問題的能力,使數(shù)學思維得到進一步的提升.如圖,在下列網格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,O都在格點上,則AOB的正弦值是()A.31010B.12C.13D.1010解析如圖,作ACOB,交OB延長線于點C.則AC=2,AO=22+42=25,則sinAOB=ACAO=225=1010.故選D.第課時1.探索直角三角形的銳角確定時,它的鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比是固定值,從而引出余弦、正切的概念.2.了解銳角三角函數(shù)的概念,理解銳角的余弦、正切的概念并能根據(jù)余弦、正切的概念進行計算.1.結合正弦的概念探索銳角的余弦、正切的概念的形成,培養(yǎng)學生類比推理的能力.2.通過探究銳角的余弦、正切的概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.3.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.1.通過觀察、思考、交流、總結等數(shù)學活動,體驗數(shù)學學習充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神.2.通過主動探索,合作交流,增強學生的合作意識,體驗成功的快樂,增強學生學習數(shù)學的信心.3.培養(yǎng)學生敢于發(fā)表自己的想法,勇于質疑,養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣,形成實事求是的科學態(tài)度.【重點】理解余弦、正切的概念,并會求銳角的余弦值、正切值.【難點】類比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.導入一:【復習提問】1.在直角三角形中,當一個銳角的大小一定時,它的對邊與斜邊的比有什么規(guī)律?2.什么是正弦?如何求一個角的正弦?3.探究正弦的概念時,我們用了什么方法?導入二:觀察兩個大小不同的三角板,當角是30,45,60時,它們的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比有什么規(guī)律?談談你的看法.過渡語類比探究正弦的方法,在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,它的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比也是固定的值,這就是我們這節(jié)課要學習的內容.設計意圖通過復習提問,回憶上節(jié)課的探究方法,用類比的方法探究本節(jié)課的內容,為本節(jié)課的學習做好鋪墊.計算直角三角板中特殊角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比,歸納規(guī)律,很自然地引出本節(jié)課要學習的概念,同時培養(yǎng)學生計算、觀察、猜想的能力.一、新知探究思路一【思考】在不同的直角三角形中,當銳角A的度數(shù)相同時,它們的鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比是同一個固定值嗎?【師生活動】教師提示類比上節(jié)課的證明思路,學生獨立完成證明過程,學生代表板書,教師規(guī)范證明過程.已知:如圖,在RtABC和RtABC中,C=C=90,A=A=.求證:ACAB=ACAB,BCAC=BCAC.【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,共同得出結論,教師對學生的展示進行點評.【板書】證明:因為C=C=90,A=A=,所以RtABCRtABC,因此,ACAC=ABAB,即ACAB=ACAB.同理可得BCBC=ACAC,即BCAC=BCAC.【思考】大家能不能得出銳角B的度數(shù)一定時,B的鄰邊與斜邊、B的對邊與鄰邊的比是不是一個固定值呢?學生思考回答,教師點評.【課件展示】1.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比都是一個固定值.2.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與鄰邊的比都是一個固定值.思路二如圖,在RtAB1C1和RtAB2C2中,AC1B1=AC2B2=90.【思考】(1)RtAB1C1與RtAB2C2之間有什么關系?(RtAB1C1RtAB2C2)(2)AC1AB1與AC2AB2,B1C1AC1與B2C2AC2之間各有什么關系?AC1AB1=AC2AB2,B1C1AC1=B2C2AC2(3)在射線AB1上任取一點B3,過B3作B3C3AC1,垂足為C3,則AC1AB1與AC3AB3,B1C1AC1與B3C3AC3之間有什么關系?AC1AB1=AC3AB3,B1C1AC1=B3C3AC3(4)根據(jù)以上思考,你得到什么結論?(直角三角形中A的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比是固定不變的)(5)如果改變A的大小,上邊的比值是否變化?歸納你的結論.【師生活動】教師提出問題,學生思考后小組合作交流,共同歸納結論,教師巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的回答作出點評.【課件展示】1.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比都是一個固定值.2.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與鄰邊的比都是一個固定值.設計意圖在教師提出的問題的引導下,學生通過小組合作交流,類比上節(jié)課探究問題的方法,經過觀察、討論、驗證等數(shù)學活動,歸納出結論,為歸納理解三角函數(shù)的定義做好鋪墊,同時培養(yǎng)學生的歸納總結能力.二、形成概念過渡語在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比是固定值,我們把這兩個固定值分別定義為余弦和正切.【課件展示】如圖,在RtABC中,C=90,我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦,記作cos A,即cos A=A的鄰邊斜邊=bc.同樣,把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切,記作tan A,即tan A=A的對邊A的鄰邊=ab.【思考】當A的大小變化時,sin A,cos A,tan A是否變化?對于銳角A的每一個確定的值,sin A,cos A和tan A是否有唯一的值和它對應?【師生活動】學生思考回答,教師引導點評.歸納:sin A,cos A,tan A都是A的函數(shù).【課件】銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的銳角三角函數(shù).設計意圖教師根據(jù)上邊的總結驗證,類比正弦的概念形成,引導學生認識理解余弦、正切的概念,教師可以強調概念中需注意的事項,加深學生對銳角三角函數(shù)的概念的理解和掌握.三、例題講解如圖,在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.【思考】(1)根據(jù)余弦、正切的定義,要求cos A,tan A的值必須求出哪條邊的長?(2)怎樣求出AC的長?【師生活動】學生思考后回答問題,然后書寫解題過程,小組交流結果,小組代表板書過程.【課件展示】解:由勾股定理得AC=AB2-BC2=102-62=8,所以sin A=BCAB=610=35,cos A=ACAB=810=45,tan A=BCAC=68=34.(補充拓展)如圖,在RtABC中,C=90,BC=6,sin A=35,求cos A,tan B的值.【解析】(1)已知sin A和BC的值,根據(jù)正