2.3三角形的內切圓 一、選擇題1如圖，已知ABC的內切圓O與各邊分別相切于點D，E，F，那么點O是DEF的()A三條中線的交點B三條高線的交點C三邊垂直平分線的交點D三條角平分線的交點2等邊三角形內切圓與外接圓的半徑之比為() A1B3C12 D133已知一個三角形的三邊長分別為5，7，8，則其內切圓的半徑為()A.B.C.D2 4如圖是輸油管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩條直角邊長分別為6 m和8 m按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連結管道，則O到三條支路的管道總長(計算時視管道為線，中心O為點)是()A2 m B3 m C6 m D9 m二、填空題5如圖，在ABC中，點P是ABC的內心，則PBCPCAPAB________度6.如圖，O為ABC的內切圓，點D，E，F為切點，若DOB73，DOE120，則DOF的度數為______，C的度數為________，A的度數為________7如圖，點O在ABC的內部，A40，(1)若點O是ABC的外心，則BOC的度數為________；(2)若點O是ABC的內心，則BOC的度數為________8如圖，小敏家廚房一墻角處有一自來水管，裝修時為了美觀，準備用木板從AB處將水管密封起來，互相垂直的兩墻面與水管分別相切于D，E兩點，經測量發現AD和BE的長恰是方程x225x1500的兩根(單位：cm)，則該自來水管的半徑為________ cm.9如圖，在平面直角坐標系中有一個正方形AOBC，反比例函數y的圖象經過正方形AOBC兩對角線的交點，半徑為42 的圓內切于ABC，則k的值為________三、解答題10如圖，已知C90，O是RtABC的內切圓，AB與O相切于點D，AO的延長線交BC于點E.求證：ADAEAOAC.11如圖，在ABC中，ABAC，其內切圓O與邊BC，AC，AB分別切于點D，E，F.(1)求證：BFCE；(2)若ACB30，CE2 ，求AC的長12如圖，在ABC中，ABAC10，BC12，AFBC于點F，點O在AF上，O經過點F，并分別與AB，AC邊切于點D，E，連結OD，DE.求：(1)ADE的周長；(2)內切圓O的面積.13.已知ABC的內切圓O與AB，BC，AC分別相切于點D，E，F，若，如圖.(1)判斷ABC的形狀，并證明你的結論；(2)設AE與DF相交于點M，如圖，AF2FC4，求AM的長.14閱讀學習定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內心如圖K5012，PHPJ，PIPG，則點P就是四邊形ABCD的準內心(1)如圖，AFD，DEC的平分線FP，EP相交于點P.求證：點P是四邊形ABCD的準內心；(2)分別畫出圖中平行四邊形和圖中梯形的準內心；(作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明)(3)同樣，我們定義：到凸四邊形一組對角頂點的距離相等，到另一組對角頂點的距離也相等的點叫凸四邊形的準外心若QAQC，QBQD，則點Q就是四邊形ABCD的準外心那么你認為Q是________和________的交點參考答案1C解析點O是DEF的外接圓的圓心，即DEF三邊垂直平分線的交點2C解析如圖，連結OB，OD，等邊三角形的內心、外心重合，OD為內切圓的半徑，OB為外接圓的半徑在RtBOD中，OBD30，ODB90，sinOBDsin30，即ODOB12.3C解析如圖，作三角形一邊上的高，不妨作最長邊BC上的高AD，設BDx，則CD8x，則有h252x272(8x)2，解得x，從而h，三角形的面積8r(578)，r. 故選C.4 C5 906 1466086 解析 由題意知，RtOBDRtOBF，BODBOF73，DOF7373146.ODCOEC90，C36090212060.又ABC360BDOBFODOF360909014634.A180ABCC180346086.7 801108 5解析 設圓心為O，如圖，連結OD，OE.解方程x225x1500，得x110，x215.設AD10，BE15，水管的半徑為x，ABADBE25，(ADx)2(BEx)2AB2，(10x)2(15x)2252，解得x5.9 410證明： 連結OD.AB與O相切于點D，ADO90.又C90，ADOC.又點O是RtABC的內心，DAOEAC，ADOACE，即ADAEAOAC.11 (1)證明：連結AO并延長，ABAC，AO的延長線交BC于切點D，則BDCD.又由切線長定理，得BFBD，CDCE，BFCE.(2) 解：CE2 ，CD2 .又ADBC，ADC90.又ACB30，AC4.12解：(1)ABAC，BC12，AFBC于點F，BFFC6.O經過點F，并分別與AB，AC邊切于點D，E，BDBF6，CECF6.ABAC10，ADAE4，ADABAEAC.又DAEBAC，ADEABC，DEBCADAB，即DE12410，DE4.8，ADE的周長ADDEAE44.8412.8.(2)AFBC于點F，AFB90.AB10，BF6，AF8.O與AB邊切于點D，ADO90，ADOAFB.又OADBAF，ADOAFB，AOABODBF，即(8OD)10OD6，OD3，SOOD29.13解：(1)ABC是等腰三角形證明：AC，AB，BC是O的切線，AFAD，CFCE，BEBD，CFOCEO90.連結CO，BO，則CFOCEO，COFCOE，同理BOEBOD.，EOFEOD，COEBOE.又CEOBEO90，OEOE，COEBOE，CEBE.CFCE，BEBD，CFBD.AFAD，ACAB，即ABC是等腰三角形(2)ACAB，CEBE，AEBC，FAODAO.AFAD，FMDM，FMAM，AE過圓心O，DFBC，AFACDFBC，即46DF4，DF，FM，AM.14解：(1)證明：如圖，過點P作PIFD，PJDE，PGAF，PHEC，垂足分別是I，J，G，H.EP平分DEC，PEDPEC.在PEJ和PEH中，PEJPEH，PJPH.同理，可證PGFPIF，PGPI，點P是四邊形ABCD的準內心(2)平行四邊形兩條對角線的交點P1就是它的準內心，如圖；或者平行四邊形兩對邊中點連線的交點P1就是它的準內心，如圖；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P2就是它的準內心，如圖.(3)根據凸四邊形的準外心的定義即可得出四邊形ABCD的準外心Q是AC的中垂線和BD的中垂線的交點故答案為：AC的中垂線，BD的中垂線