一圖形的運(yùn)動(dòng)(二)一、軸對(duì)稱圖形 要點(diǎn)提示:平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形。1. 軸對(duì)稱圖形:如果把一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折,折痕兩旁的部分能夠完全重合,這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形,這條折痕所在的直線就是它的對(duì)稱軸。2. 用折紙的辦法判斷正方形、等邊三角形、等腰梯形、長(zhǎng)方形和圓有幾條對(duì)稱軸。 易錯(cuò)題:判斷:正方形中的兩條對(duì)稱軸是正方形的對(duì)角線。()錯(cuò)因分析:對(duì)稱軸是直線,而正方形的對(duì)角線是線段。正確答案:3. 軸對(duì)稱圖形的特征。(1)將軸對(duì)稱圖形沿其對(duì)稱軸對(duì)折后,互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。(2)軸對(duì)稱圖形的特征:對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。4. 在方格紙上畫軸對(duì)稱圖形的方法。 重點(diǎn)提示:一般情況下,圖形的關(guān)鍵點(diǎn)是線段的各個(gè)端點(diǎn)。(1)確定已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。(2)數(shù)出關(guān)鍵點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離。(3)在對(duì)稱軸的另一端描出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。(4)按照已知圖形的形狀連接各對(duì)稱點(diǎn),即可畫出已知圖形的軸對(duì)稱圖形。二、平移 要點(diǎn)提示:物體或圖形平移后,本身的大小、形狀和方向都不發(fā)生改變,只有位置發(fā)生改變。1. 平移:物體或圖形在同一平面內(nèi)沿直線的運(yùn)動(dòng)。2. 判斷一個(gè)圖形是否可以通過(guò)平移得到另一個(gè)圖形,先看這兩個(gè)圖形的大小、形狀是否完全相同,再看兩個(gè)圖形的方向是否一致。3. 一個(gè)圖形通過(guò)平移得到另一個(gè)圖形的方法。易錯(cuò)題:如下圖,圖形向右平移(6)個(gè)方格得到圖形。(1)確定平移的方向。(2)確定平移的方格數(shù),即對(duì)應(yīng)點(diǎn)或?qū)?yīng)線段之間的方格數(shù)。4. 在方格紙上畫簡(jiǎn)單圖形平移后的圖形。(1)找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)(關(guān)鍵線段)。錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在把圖形平移前、后之間的距離當(dāng)成了平移的距離。應(yīng)用圖中的某一點(diǎn)(某一線段)平移前、后的位置變化來(lái)判斷。正確答案:10(2)以關(guān)鍵點(diǎn)(關(guān)鍵線段)為參照點(diǎn),數(shù)出平移的方格數(shù),按平移方向描出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)(對(duì)應(yīng)線段)。(3)把各對(duì)應(yīng)點(diǎn)(對(duì)應(yīng)線段)按原圖形的形狀連接起來(lái)。三、旋轉(zhuǎn) 重點(diǎn)提示:物體旋轉(zhuǎn)時(shí),都是繞著一個(gè)固定點(diǎn)(或軸)按一定的方向和角度進(jìn)行的。1. 旋轉(zhuǎn):物體或圖形繞著一個(gè)點(diǎn)(或一個(gè)軸)的運(yùn)動(dòng)。2. 旋轉(zhuǎn)的特征:物體在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,大小、形狀都沒有發(fā)生變化,只是位置發(fā)生了變化。3. 旋轉(zhuǎn)的方向:物體的旋轉(zhuǎn)方向和表針的轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致,叫做順時(shí)針旋轉(zhuǎn);物體的旋轉(zhuǎn)方向和表針的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反,叫做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。順時(shí)針逆時(shí)針4. 物體旋轉(zhuǎn)的三要素:旋轉(zhuǎn)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。5. 在方格紙上畫簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90后的圖形的方法:(1)確定旋轉(zhuǎn)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。(2)確定旋轉(zhuǎn)后圖形的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置。(3)順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)。四、設(shè)計(jì)圖案 要點(diǎn)提示:在設(shè)計(jì)復(fù)雜的圖案時(shí),可以利用多種圖形的變換方式進(jìn)行設(shè)計(jì)。利用平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的方法設(shè)計(jì)圖案。二異分母分?jǐn)?shù)加減法一、真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù) 重點(diǎn)提示:1. 真分?jǐn)?shù)小于1;假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。2. 讀帶分?jǐn)?shù)時(shí),“又”字前面是整數(shù)部分,“又”字后面是分?jǐn)?shù)部分。1. 真分?jǐn)?shù):分子比分母小的分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù)都小于1。如45、320、57。2. 假分?jǐn)?shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。如55、75、98。3. 帶分?jǐn)?shù):一個(gè)整數(shù)(0除外)和一個(gè)真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)。讀帶分?jǐn)?shù)時(shí),先讀整數(shù)部分,再讀分?jǐn)?shù)部分,中間加“又”字。如445讀作四又五分之四。帶分?jǐn)?shù)的寫法,先寫整數(shù)部分,再寫分?jǐn)?shù)部分,分?jǐn)?shù)部分的分?jǐn)?shù)線與整數(shù)的中間對(duì)齊。易錯(cuò)題:判斷:假分?jǐn)?shù)一定大于1,真分?jǐn)?shù)一定小于1。()錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在沒有理解假分?jǐn)?shù)的特征,當(dāng)假分?jǐn)?shù)的分子和分母相等時(shí),它的分?jǐn)?shù)值是1,因此假分?jǐn)?shù)一定大于1是錯(cuò)誤的。正確答案:4. 把整數(shù)化成假分?jǐn)?shù):整數(shù)(0除外)可以化成分母是任意自然數(shù)(0除外)的假分?jǐn)?shù),即用指定的分母作分母,用分母和整數(shù)相乘的積作分子。如4=455=205。5. 把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)的方法:用分子除以分母,當(dāng)分子是分母的整數(shù)倍時(shí),能化成整數(shù),商就是這個(gè)整數(shù);當(dāng)分子不是分母的整數(shù)倍時(shí),能化成帶分?jǐn)?shù),商是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,余數(shù)是分?jǐn)?shù)部分的分子,分母不變。如123=123=4,154=154=334。6. 把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)時(shí),用原來(lái)的分母作分母,用整數(shù)和分母相乘的積再加上原來(lái)的分子作分子。如345=35+45=195。二、分?jǐn)?shù)的大小比較 易錯(cuò)題:判斷:通分時(shí)分?jǐn)?shù)值變大,約分時(shí)分?jǐn)?shù)值變小。()錯(cuò)因分析:無(wú)論是通分還是約分,依據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),分?jǐn)?shù)的大小不變。正確答案:1. 公分母:把異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù),這個(gè)相同的分母叫做它們的公分母。如把12和23化成同分母分?jǐn)?shù),分母是6,6是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母。2. 公倍數(shù):兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)。如6是2的倍數(shù),也是3的倍數(shù),6就是2和3的公倍數(shù)。3. 通分:把異分母的分?jǐn)?shù)化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母的分?jǐn)?shù),叫做通分。4. 通分的方法:通分時(shí),用原分母的公倍數(shù)作公分母,通常選用最小公倍數(shù)作公分母,然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。重點(diǎn)提示:一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的,因此兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)也是無(wú)限的,只有最小的公倍數(shù),沒有最大的公倍數(shù)。5. 異分母分?jǐn)?shù)比較大小的方法:先通分,再比較大小。6. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如4的倍數(shù):4、8、12、16、20、246的倍數(shù):6、12、18、24易錯(cuò)題:判斷:兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)都大。()錯(cuò)因分析:此題忽略了當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí),它們的最小公倍數(shù)是較大數(shù)的情況。正確答案:在4和6的倍數(shù)中12和24是4和6的公倍數(shù),其中12是最小的,是4和6的最小公倍數(shù)。7. 有特殊關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。(1)兩個(gè)數(shù),如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù),那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如6和2,6是2的倍數(shù),那么6是6和2的最小公倍數(shù)。(2)如果兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1,那么這兩個(gè)數(shù)相乘的積就是它們的最小公倍數(shù)。如4和5只有公因數(shù)1,那么它們的最小公倍數(shù)是45=20。易錯(cuò)題:用短除法求12和16的最小公倍數(shù)。12和16的最小公倍數(shù)是22=4。錯(cuò)因分析:此題混淆了用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。用短除法求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí),要將所有的除數(shù)和最后的商連乘。正確答案:12和16的最小公倍數(shù)是2234=48。8. 用短除法求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法。先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)(一般從最小的開始)依次作為除數(shù)連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù),一直除到所得的商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)和最后所得的商連乘,所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如求4和6的最小公倍數(shù)。4和6的最小公倍數(shù)是223=12。9. 求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的方法的異同。相同點(diǎn):用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)(一般從最小的開始)依次作為除數(shù)連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù),一直除到所得的商只有公因數(shù)1為止。不同點(diǎn):用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)時(shí),要將所有的除數(shù)連乘;用短除法求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí),要將所有的除數(shù)和最后的商連乘。三、分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化 方法提示:把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的兩種情況:1. 分子除以分母能除盡,得到有限小數(shù)。如25=0.4、78=0.875。2. 分子除以分母除不盡,得到無(wú)限小數(shù)。如17=0.14285714285719=0.1111. 把分?jǐn)?shù)化成小數(shù):用分子除以分母,除不盡的用“四舍五入”法按要求保留小數(shù)的位數(shù),取近似值后要用約等號(hào)連接。如58=58=0.625;16=160.17。2. 把小數(shù)化成分?jǐn)?shù):根據(jù)小數(shù)的意義,有限小數(shù)可以直接寫成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù),原來(lái)有幾位小數(shù),就在1的后面寫幾個(gè)0作分母,把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后作分子,能約分的要約分,化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。如果需要化成假分?jǐn)?shù),先把小數(shù)化成帶分?jǐn)?shù),再化成假分?jǐn)?shù)。如3.625=3+6251000=3+58=358=298。3. 能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)的特征:分母中只含有質(zhì)因數(shù)2和5的數(shù)能化成有限小數(shù);分母中除了2和5以外還有其他質(zhì)因數(shù)的不能化成有限小數(shù)。四、異分母分?jǐn)?shù)加減易錯(cuò)題:35+37=612=12錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在沒有通分,直接把分子和分母分別相加了。正確答案:35+37=2135+1535=36351. 異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法:分母不同的分?jǐn)?shù)相加減,要先通分,化成同分母的分?jǐn)?shù),再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。2. 異分母分?jǐn)?shù)連加的計(jì)算方法:可以先把幾個(gè)分?jǐn)?shù)一次性通分,再相加,也可以應(yīng)用加法的運(yùn)算定律進(jìn)行計(jì)算。3. 整數(shù)加減法的運(yùn)算定律在分?jǐn)?shù)加減法中同樣適用。4. 異分母分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算順序:與整數(shù)加減法的運(yùn)算順序相同。沒有括號(hào)的算式,按照從左到右的順序計(jì)算,有括號(hào)的,要先算括號(hào)里面的,再算括號(hào)外面的。重點(diǎn)提示:學(xué)數(shù)學(xué)要有運(yùn)用意識(shí),把所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到生活中去解決身邊的問題。五、公交車上的數(shù)學(xué)1. 運(yùn)用時(shí)間、最小公倍數(shù)等知識(shí)求出兩路公交車同時(shí)發(fā)車的時(shí)刻。2. 運(yùn)用時(shí)間等知識(shí)計(jì)算公交車每天賣票的收入。三長(zhǎng)方體和正方體一、長(zhǎng)方體和正方體的特征 知識(shí)拓展:1. 把長(zhǎng)方體放在一個(gè)平面上觀察,最多能同時(shí)看到3個(gè)面。2. 一個(gè)長(zhǎng)方體最多有兩個(gè)面是正方形。3. 正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)12長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=(長(zhǎng)+寬+高)41. 認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體的面、棱、頂點(diǎn)。2. 長(zhǎng)方體和正方體面的特征。(1)長(zhǎng)方體有6個(gè)面,分別是上面、下面、左面、右面、前面、后面。上、下,左、右,前、后分別是一組相對(duì)的面。相對(duì)的面完全相同。(2)正方體的6個(gè)面都完全相同。3. 長(zhǎng)方體和正方體頂點(diǎn)和棱的特征。長(zhǎng)方體:有12條棱,分成3組,每組4條棱的長(zhǎng)度相等。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度,分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高;有8個(gè)頂點(diǎn)。正方體:有12條棱,都相等;有8個(gè)頂點(diǎn)。4. 從長(zhǎng)方體和正方體的對(duì)比中可以看出,正方體具備了長(zhǎng)方體所有的特征,因此正方體可以看成是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體,可以用下圖表示長(zhǎng)方體和正方體的關(guān)系。5. 長(zhǎng)方體和正方體的異同點(diǎn)。重點(diǎn)提示:沿不同的棱將長(zhǎng)方體(或正方體)剪開,展開后的平面圖形一般不相同。名稱相同點(diǎn)不同點(diǎn)面棱頂點(diǎn)面的形狀面積棱長(zhǎng)長(zhǎng)方體6個(gè)面12條棱8個(gè)頂點(diǎn)長(zhǎng)方形(最多有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形)相對(duì)的面的面積相等相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等正方體6個(gè)面12條棱8個(gè)頂點(diǎn)正方形6個(gè)面的面積都相等12條棱的長(zhǎng)度都相等二、長(zhǎng)方體和正方體的展開圖易錯(cuò)題:判斷:底面積和高分別相等的兩個(gè)長(zhǎng)方體,它們的形狀一定相同。()錯(cuò)因分析:底面積相等,形狀未必相同,如底面積是12,長(zhǎng)和寬可能分別是6和2,也可能分別是4和3。正確答案:知識(shí)巧記:包裝用料求面積,意義方法要牢記,前后單位要統(tǒng)一,還要把面數(shù)清楚,六面齊全容易算,六面不全也不難,要么數(shù)清幾個(gè)面,幾面一合是答案,要么就看缺幾面,再?gòu)牧胬锩鏈p。要點(diǎn)提示:在比較節(jié)省包裝紙的實(shí)驗(yàn)時(shí),可以將撲克的包裝方式,撲克擺出的長(zhǎng)、寬、高及表面積列在表格里,便于比較。長(zhǎng)方體展開圖正方體展開圖三、長(zhǎng)方體和正方體的表面積1. 長(zhǎng)方體六個(gè)面的總面積叫做長(zhǎng)方體的表面積。2. 長(zhǎng)方體相對(duì)的面相等,所以長(zhǎng)方體的表面積=(長(zhǎng)寬+長(zhǎng)高+寬高)2。3. 正方體六個(gè)面的總面積叫做正方體的表面積。4. 正方體的六個(gè)面都相等,所以正方體的表面積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)6。四、解決問題1. 求粉刷房間的面積時(shí),先確定好粉刷幾個(gè)面,再扣除門窗等的面積。2. 解決生活中的實(shí)際問題時(shí),所要求的長(zhǎng)方體并不一定都有6個(gè)面,如長(zhǎng)方體魚缸只有5個(gè)面,長(zhǎng)方體通風(fēng)管只有4個(gè)面計(jì)算時(shí)要根據(jù)實(shí)際條件和題中的要求求解。五、包裝撲克1. 探索怎樣包裝6盒撲克用的包裝紙最少時(shí),要把6盒撲克實(shí)際擺一擺,通過(guò)實(shí)際拼擺與比較,發(fā)現(xiàn)將6盒撲克摞在一起擺6層,最節(jié)省包裝紙。2. 探索怎樣包裝8盒撲克用的包裝紙最少時(shí),要把8盒撲克實(shí)際擺一擺,通過(guò)實(shí)際拼擺與比較,發(fā)現(xiàn)將8盒撲克最大的面疊放在一起時(shí),用的包裝紙最少。四分 數(shù) 乘 法一、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義和方法 易錯(cuò)題:132=16錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在沒有真正理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法,把分母與整數(shù)相乘了。正確答案:132=23知識(shí)巧記:分?jǐn)?shù)乘整數(shù),計(jì)算很簡(jiǎn)單,分子乘整數(shù),分母不用變,計(jì)算想簡(jiǎn)便,約分要在先,結(jié)果要想準(zhǔn),分?jǐn)?shù)化最簡(jiǎn)。方法提示:求部分量,要用部分量對(duì)應(yīng)的分率去乘單位“1”對(duì)應(yīng)的量。1. 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同,都是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的運(yùn)算。2. 分?jǐn)?shù)乘整數(shù),用分子乘整數(shù)的積作分子,分母不變。如272=227=47。二、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少,用乘法計(jì)算。每千克草莓5元,買12千克草莓應(yīng)付多少元?根據(jù)“單價(jià)數(shù)量=總價(jià)”用乘法計(jì)算。列式為512的意義就是求5元的12是多少。512=512=52=2.5(元)。三、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù) 易錯(cuò)題:判斷:一個(gè)數(shù)乘真分?jǐn)?shù),積小于這個(gè)數(shù)。()錯(cuò)因分析:此題忽略了這個(gè)數(shù)可能是“0”的情況,0乘真分?jǐn)?shù),積還是0,這時(shí)積等于這個(gè)數(shù),而不是小于這個(gè)數(shù)。正確答案:1. 分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。一臺(tái)收割機(jī)每小時(shí)收割小麥12公頃,35小時(shí)收割小麥多少公頃?根據(jù)題意,求12公頃的35是多少,就是把12公頃平均分成5份,也就是把1公頃平均分成25=10(份),取其中的3份。求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少,用乘法計(jì)算。列式為1235。1235=1325=310(公頃)。2. 兩個(gè)不為0的數(shù)相乘,當(dāng)其中的一個(gè)因數(shù)小于1時(shí),所得的積小于另一個(gè)因數(shù);當(dāng)其中一個(gè)因數(shù)大于1時(shí),所得的積大于另一個(gè)因數(shù);當(dāng)其中的一個(gè)因數(shù)等于1時(shí),所得的積等于另一個(gè)因數(shù)。易錯(cuò)題:學(xué)校給同學(xué)們體檢,小亮的體重是35千克,小林的體重比小亮的輕17,小林的體重是多少千克?3517=5(千克)答:小林的體重是5千克。錯(cuò)因分析:此題把小林比小亮輕的部分看成小林的體重了。正確答案:351-17=3567=30(千克)答:小林的體重是30千克。四、分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算1. 分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序同整數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序相同,即在沒有括號(hào)的算式里先算乘除法,再算加減法;有括號(hào)的先算括號(hào)里面的,再算括號(hào)外面的。2. 已知一部分量占總量的幾分之幾,求另一部分量。解題方法:另一部分量=總量-總量部分量占總量的分率=總量(1-部分量占總量的分率)一捆彩帶的長(zhǎng)是60米。某蛋糕店今天已經(jīng)用去這捆彩帶的25,還剩多少米彩帶?根據(jù)題意:還剩的長(zhǎng)度=彩帶的總長(zhǎng)度還剩的長(zhǎng)度占總長(zhǎng)度的分率。601-25=6035=36(米)。3. 簡(jiǎn)便運(yùn)算。整數(shù)乘法的運(yùn)算定律,分?jǐn)?shù)乘法同樣適用。即ab=ba,(ab)c=a(bc),(a+b)c=ac+bc。五、倒數(shù)1. 倒數(shù)的意義。乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。重點(diǎn)提示:1. “互為倒數(shù)”是對(duì)兩個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)的,它們是相互依存的,必須說(shuō)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù),不是孤立地說(shuō)某個(gè)數(shù)是倒數(shù)。2. 1的倒數(shù)是1,0沒有倒數(shù)。3. 真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1,假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1。如3553=1,818=1。35和53互為倒數(shù);8和18互為倒數(shù)。2. 求倒數(shù)的方法。求一個(gè)數(shù)的倒數(shù),可以把它的分子和分母調(diào)換位置;一個(gè)整數(shù)(0除外)的倒數(shù)就是以這個(gè)數(shù)為分母,分子是1的分?jǐn)?shù)。如38的倒數(shù)是83;5的倒數(shù)是15。五長(zhǎng)方體和正方體的體積一、體積和體積單位 易錯(cuò)題:判斷:只有棱長(zhǎng)是1米的正方體的體積才是1立方米。()錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在對(duì)1立方米的意義理解不透徹。棱長(zhǎng)是1米的正方體的體積是1立方米,這是建立體積單位模型時(shí)的一個(gè)參照物,用它作為衡量體積的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。正確答案:1. 體積的意義。物體都占空間,物體大的占的空間大,物體小的占的空間小。物體所占空間的大小叫做物體的體積。2. 常用的體積單位。常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米。3. 體積單位的實(shí)際意義。(1)1立方厘米:棱長(zhǎng)是1厘米的正方體,體積是1立方厘米,用字母表示為1 cm3,一個(gè)蠶豆的大小大約是1 cm3。(2)1立方分米:棱長(zhǎng)是1分米的正方體,體積是1立方分米,用字母表示為1 dm3,一個(gè)粉筆盒的大小大約是1 dm3。(3)1立方米:棱長(zhǎng)是1米的正方體,體積是1立方米,用字母表示為1 m3,借助3根1米長(zhǎng)的木條在墻角搭成的空間的大小大約是1 m3。二、長(zhǎng)方體、正方體的體積公式及應(yīng)用 重點(diǎn)提示:在實(shí)際運(yùn)用中,長(zhǎng)方體的“厚”是長(zhǎng)方體的“高”。易錯(cuò)題:選擇:兩個(gè)棱長(zhǎng)總和相等的長(zhǎng)方體,它們的體積(A)。A.一定相等B.一定不相等C.不一定相等錯(cuò)因分析:棱長(zhǎng)總和相等只能說(shuō)明兩個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的和相等,不能說(shuō)明兩個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的積相等。正確答案:C易錯(cuò)點(diǎn):a3表示三個(gè)a相乘,不要與3a混淆。1. 長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)寬高,用字母表示為V=abh。2. 正方體的體積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng),用字母表示為V=a3。3. 底面積:長(zhǎng)方體或正方體底面的面積叫做底面積。4. 長(zhǎng)方體、正方體體積的統(tǒng)一公式。(1)長(zhǎng)方體的底面積=長(zhǎng)寬長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)寬高長(zhǎng)方體的體積=底面積高(2)正方體的底面積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)正方體的體積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)正方體的體積=底面積棱長(zhǎng)(3)由上面可以推導(dǎo)出長(zhǎng)方體(正方體)的體積=底面積高,用字母表示為V=Sh。5. 體積單位之間的進(jìn)率。(1)相鄰體積單位之間的進(jìn)率是1000,即1立方米=1000立方分米,1立方分米=1000立方厘米。(2)體積單位的換算:把高級(jí)單位換算成低級(jí)單位,要乘進(jìn)率;把低級(jí)單位換算成高級(jí)單位,要除以進(jìn)率。三、應(yīng)用問題 方法提示:求橫截面是梯形的攔河壩的體積,可以用“橫截面面積長(zhǎng)”來(lái)計(jì)算。易錯(cuò)題:判斷:一個(gè)可樂瓶的包裝上標(biāo)有500毫升,是指這個(gè)可樂瓶的容積是500毫升。()錯(cuò)因分析:可樂瓶上標(biāo)的500毫升是瓶?jī)?nèi)可樂的體積,而不是可樂瓶的容積。正確答案:要點(diǎn)提示:在實(shí)踐中,要綜合考慮包裝箱是否容易搬動(dòng)、是否結(jié)實(shí)等現(xiàn)實(shí)問題。1. 土石方問題。生活中,計(jì)量沙、土、石子等的體積時(shí),常常把“立方米”簡(jiǎn)稱為“方”。2. 求挖出土石多少方,可以根據(jù)體積公式進(jìn)行計(jì)算。3. 容積的意義:容器所能容納物體的體積,通常叫做容積。4. 容積和體積的區(qū)別:意義不同,容積和體積是同一容器的兩個(gè)方面的特征;容積和體積的計(jì)算方法相同,但測(cè)量的方法不同(求體積從容器的外面測(cè)量,求容積從容器的里面測(cè)量)。5. 容積的計(jì)量單位:計(jì)量容積,一般用體積單位,但計(jì)量液體的體積常用“升”和“毫升”作單位。1升=1000毫升,1升=1立方分米,1毫升=1立方厘米。四、設(shè)計(jì)包裝箱在設(shè)計(jì)適合裝香皂和牙膏的包裝箱時(shí),要根據(jù)牙膏盒和香皂盒的長(zhǎng)、寬、高等數(shù)據(jù),通過(guò)實(shí)際拼擺和畫圖的方法來(lái)分析、比較得出哪種設(shè)計(jì)最好。六分 數(shù) 除 法一、分?jǐn)?shù)除以整數(shù) 易錯(cuò)題:5126=5126=52錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在沒有掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。應(yīng)該用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。正確答案:5126=51216=5721. 一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)整數(shù)(0除外)等于這個(gè)整數(shù)乘另一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。如488=4818=6,369=3619=4。2. 分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)(0除外)等于這個(gè)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。如123=1213=16。二、一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù) 易錯(cuò)題:判斷:一個(gè)數(shù)(0除外)除以真分?jǐn)?shù),商大于被除數(shù);一個(gè)數(shù)(0除外)除以假分?jǐn)?shù),商小于被除數(shù)。()錯(cuò)因分析:假分?jǐn)?shù)大于或等于1,當(dāng)一個(gè)數(shù)除以1,商等于被除數(shù),所以原說(shuō)法錯(cuò)誤。正確答案:1. 一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù),等于這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。如225=252=5。2. 商與被除數(shù)的關(guān)系。(1)一個(gè)數(shù)(0除外)除以真分?jǐn)?shù),商大于被除數(shù)。(2)一個(gè)數(shù)(0除外)除以1,商等于被除數(shù)。(3)一個(gè)數(shù)(0除外)除以大于1的數(shù),商小于被除數(shù)。三、應(yīng)用問題。 拓展提升:同學(xué)們開聯(lián)歡會(huì)布置會(huì)場(chǎng),用了28個(gè)紅氣球,紅氣球占?xì)馇蚩倲?shù)的49。一共用了多少個(gè)氣球?根據(jù)除法的意義,知道用了28個(gè)紅氣球,對(duì)應(yīng)氣球總數(shù)的49,求單位“1”,用除法計(jì)算。即2849=2894=63(個(gè))。1. 已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少,求這個(gè)數(shù)。解這類問題的方法步驟:(1)根據(jù)題意找出單位“1”,設(shè)未知數(shù)量為x。(2)找出題中的等量關(guān)系。(3)列方程解答。(4)檢驗(yàn)并寫出答案。2. 稍復(fù)雜的已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少,求這個(gè)數(shù)。解這類問題的方法步驟:先找到題中的等量關(guān)系,設(shè)未知量(單位“1”的量)為x,再列方程。解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)單位“1”,計(jì)算出已知量對(duì)應(yīng)單位“1”的幾分之幾。四、混合運(yùn)算 易錯(cuò)題:59581835=59851835=1635錯(cuò)因分析:沒有把第二個(gè)除數(shù)變成乘倒數(shù)的形式。正確答案:59581835=59853518=140811. 分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序與整數(shù)混合運(yùn)算的順序相同,即先算乘除法,再算加減法;有括號(hào)的,先算括號(hào)里面的,再算括號(hào)外面的。如110+3415164512-13=110+341615=4516=910=215 2. 整數(shù)的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì),在分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算中同樣適用。七折線統(tǒng)計(jì)圖一、認(rèn)識(shí)單式折線統(tǒng)計(jì)圖 易錯(cuò)題:判斷:條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖都在表示事物發(fā)展趨勢(shì)方面有優(yōu)勢(shì)。()錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在不清楚條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖的特征,條形統(tǒng)計(jì)圖不能表示事物的發(fā)展趨勢(shì),只能便于看出和比較各種數(shù)量的多少。答案:1. 折線統(tǒng)計(jì)圖的意義:折線統(tǒng)計(jì)圖是用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量,根據(jù)數(shù)量的多少,描出各點(diǎn),然后把各點(diǎn)用線段順次連接。2. 折線統(tǒng)計(jì)圖的特征:折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示出數(shù)量的多少,還能夠清楚地反映出數(shù)量的增減變化情況。3. 繪制單式折線統(tǒng)計(jì)圖的方法:(1)先畫橫軸,再畫縱軸。(2)根據(jù)數(shù)據(jù)的大小確定一個(gè)單位長(zhǎng)度表示的數(shù)量。(3)根據(jù)數(shù)據(jù)的大小描點(diǎn),描點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意先找準(zhǔn)橫軸上的點(diǎn),再找準(zhǔn)縱軸上的點(diǎn),過(guò)兩點(diǎn)畫橫軸、縱軸的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)便是所要描的點(diǎn)。(4)連點(diǎn)成線段。(5)標(biāo)明數(shù)據(jù)。4. 解讀單式折線統(tǒng)計(jì)圖:運(yùn)用橫向、縱向、綜合比較等不同的觀察方法,可以讀懂折線統(tǒng)計(jì)圖,從中獲取更多的信息,并能根據(jù)獲取的信息回答或提出相應(yīng)的問題,進(jìn)行 重點(diǎn)提示:1. 畫復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí),一定要標(biāo)明圖例。簡(jiǎn)單的分析和推測(cè)。二、認(rèn)識(shí)復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖1. 復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的意義:在統(tǒng)計(jì)過(guò)程中存在兩組數(shù)據(jù),需要在一幅統(tǒng)計(jì)圖中表示出這兩組數(shù)據(jù),就要用兩種不同顏色(形式)的折線來(lái)表示不同數(shù)據(jù)的變化情況,這樣的統(tǒng)計(jì)圖就是復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。2. 解讀復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖要先看清圖例,不要把兩種 數(shù)據(jù)混淆了。2. 復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的特征:復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖可以更加清晰地反映兩組數(shù)據(jù)的增減變化情況,便于對(duì)兩組相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。3. 繪制復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的方法:與單式折線統(tǒng)計(jì)圖的制作方法基本相同,只是需要用不同的圖例表示不同的數(shù)據(jù)信息。4. 單式折線統(tǒng)計(jì)圖和復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?相同點(diǎn):都是折線統(tǒng)計(jì)圖。3. 方法提示:運(yùn)用不同的觀察方法可以讀懂統(tǒng)計(jì)圖,從中獲取信息,根據(jù)信息提出或回答相應(yīng)的問題,并進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析和合理的預(yù)測(cè)。不同點(diǎn):(1)單式拆線統(tǒng)計(jì)圖只有一條折線,而復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖會(huì)有兩條(或兩條以上)折線,而且一般都是以虛線和實(shí)線出現(xiàn)的。多張結(jié)構(gòu)一樣的單式折線統(tǒng)計(jì)圖可以合并到一張復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖中。(2)單式折線統(tǒng)計(jì)圖通過(guò)將一組數(shù)據(jù)的水平表示出來(lái),可以很容易地看出數(shù)量增減變化的情況。復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖通過(guò)兩組或兩組以上數(shù)據(jù)的水平進(jìn)行比較,可以容易地比較出兩組或兩組以上數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì),更清楚地看出各類之間的比較。八探 索 樂 園一、用集合圖解決問題 1. 用集合圖表示整體與部分的包含關(guān)系。整體與部分的包含關(guān)系可以用一個(gè)圖包含另一個(gè)圖的方式表示。方法提示:關(guān)于兩種情況互相包含的問題。用求出兩個(gè)量的和再減去相同的部分的方法來(lái)解決。整體-部分=另一部分。2. 關(guān)于兩種情況互相包含的問題。易錯(cuò)題:從北京到上海的某特快列車在沿線共停靠5站,分別是北京、濟(jì)南、徐州、南京和上海。請(qǐng)問:要為這幾個(gè)站點(diǎn)共準(zhǔn)備多少種不同的車票?列舉出來(lái)。北京濟(jì)南、北京徐州、北京南京、北京上海、濟(jì)南徐州、濟(jì)南南京、濟(jì)南上海、徐州南京、徐州上海、南京上海,共10種。錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)在沒有注意與車票站點(diǎn)的順序有關(guān),北京濟(jì)南,濟(jì)南北京,票價(jià)相同,但屬于往、返兩種車票,所以共要準(zhǔn)備102=20(種)車票。如上圖:如果放在桌面上的兩張圓形紙片的面積分別是A、B,它們相互包含的部分的面積為C,那么它們覆蓋的面積為A+B-C。關(guān)于兩種情況相互包含這一類題型,都可以用上面的計(jì)算方法。二、比賽場(chǎng)次1. 比賽場(chǎng)次問題。(1)單循環(huán)賽:即假設(shè)有n個(gè)隊(duì)參加比賽,則每個(gè)隊(duì)都要和除自己隊(duì)之外的(n-1)個(gè)隊(duì)打一場(chǎng)比賽。(2)單循環(huán)賽的比賽場(chǎng)次。用畫圖法:(以四國(guó)球隊(duì)比賽為例)從圖中可以看出,每支球隊(duì)都要和另外3支球隊(duì)分別進(jìn)行一場(chǎng)比賽,每場(chǎng)比賽只與2支球隊(duì)有關(guān),與2支球隊(duì)的排列順序無(wú)關(guān)。但在比賽中,每一場(chǎng)次的比賽都重復(fù)計(jì)算了。用列表法:正確答案:北京濟(jì)南、濟(jì)南北京、北京徐州、徐州北京、北京南京、南京北京、北京上海、上海北京、濟(jì)南徐州、徐州濟(jì)南、濟(jì)南南京、南京濟(jì)南、濟(jì)南上海、上海濟(jì)南、徐州南京、南京徐州、徐州上海、上海徐州、南京上海、上海南京,共20種。中國(guó)韓國(guó)澳大利亞越南中國(guó)韓國(guó)中、韓澳大利亞中、澳韓、澳越南中、越韓、越澳、越從上面的表格里也可以看出只在一半的表格里寫出了球隊(duì),而另一半則是重復(fù)的。2. 由以上兩種方法可以看出比賽場(chǎng)次=1+2+3+(n-1)。如果隊(duì)數(shù)比較多,則可以根據(jù)“隊(duì)數(shù)(隊(duì)數(shù)-1)2=比賽場(chǎng)次”直接列式解答