一圖形的運動(二)一、軸對稱圖形 要點提示:平行四邊形不是軸對稱圖形。1. 軸對稱圖形:如果把一個圖形沿一條直線對折,折痕兩旁的部分能夠完全重合,這個圖形就是軸對稱圖形,這條折痕所在的直線就是它的對稱軸。2. 用折紙的辦法判斷正方形、等邊三角形、等腰梯形、長方形和圓有幾條對稱軸。 易錯題:判斷:正方形中的兩條對稱軸是正方形的對角線。()錯因分析:對稱軸是直線,而正方形的對角線是線段。正確答案:3. 軸對稱圖形的特征。(1)將軸對稱圖形沿其對稱軸對折后,互相重合的點叫做對稱點。(2)軸對稱圖形的特征:對稱點到對稱軸的距離相等。4. 在方格紙上畫軸對稱圖形的方法。 重點提示:一般情況下,圖形的關鍵點是線段的各個端點。(1)確定已知圖形的關鍵點。(2)數出關鍵點到對稱軸的距離。(3)在對稱軸的另一端描出關鍵點的對稱點。(4)按照已知圖形的形狀連接各對稱點,即可畫出已知圖形的軸對稱圖形。二、平移 要點提示:物體或圖形平移后,本身的大小、形狀和方向都不發生改變,只有位置發生改變。1. 平移:物體或圖形在同一平面內沿直線的運動。2. 判斷一個圖形是否可以通過平移得到另一個圖形,先看這兩個圖形的大小、形狀是否完全相同,再看兩個圖形的方向是否一致。3. 一個圖形通過平移得到另一個圖形的方法。易錯題:如下圖,圖形向右平移(6)個方格得到圖形。(1)確定平移的方向。(2)確定平移的方格數,即對應點或對應線段之間的方格數。4. 在方格紙上畫簡單圖形平移后的圖形。(1)找出圖形的關鍵點(關鍵線段)。錯因分析:此題錯在把圖形平移前、后之間的距離當成了平移的距離。應用圖中的某一點(某一線段)平移前、后的位置變化來判斷。正確答案:10(2)以關鍵點(關鍵線段)為參照點,數出平移的方格數,按平移方向描出各對應點(對應線段)。(3)把各對應點(對應線段)按原圖形的形狀連接起來。三、旋轉 重點提示:物體旋轉時,都是繞著一個固定點(或軸)按一定的方向和角度進行的。1. 旋轉:物體或圖形繞著一個點(或一個軸)的運動。2. 旋轉的特征:物體在旋轉過程中,大小、形狀都沒有發生變化,只是位置發生了變化。3. 旋轉的方向:物體的旋轉方向和表針的轉動方向一致,叫做順時針旋轉;物體的旋轉方向和表針的轉動方向相反,叫做逆時針旋轉。順時針逆時針4. 物體旋轉的三要素:旋轉點、旋轉方向和旋轉角度。5. 在方格紙上畫簡單圖形旋轉90后的圖形的方法:(1)確定旋轉點、旋轉方向和旋轉角度。(2)確定旋轉后圖形的各個對應點的位置。(3)順次連接各對應點。四、設計圖案 要點提示:在設計復雜的圖案時,可以利用多種圖形的變換方式進行設計。利用平移、旋轉或軸對稱的方法設計圖案。二異分母分數加減法一、真分數與假分數 重點提示:1. 真分數小于1;假分數大于1或等于1。2. 讀帶分數時,“又”字前面是整數部分,“又”字后面是分數部分。1. 真分數:分子比分母小的分數,真分數都小于1。如45、320、57。2. 假分數:分子比分母大或者分子和分母相等的分數,假分數大于1或等于1。如55、75、98。3. 帶分數:一個整數(0除外)和一個真分數合成的數。讀帶分數時,先讀整數部分,再讀分數部分,中間加“又”字。如445讀作四又五分之四。帶分數的寫法,先寫整數部分,再寫分數部分,分數部分的分數線與整數的中間對齊。易錯題:判斷:假分數一定大于1,真分數一定小于1。()錯因分析:此題錯在沒有理解假分數的特征,當假分數的分子和分母相等時,它的分數值是1,因此假分數一定大于1是錯誤的。正確答案:4. 把整數化成假分數:整數(0除外)可以化成分母是任意自然數(0除外)的假分數,即用指定的分母作分母,用分母和整數相乘的積作分子。如4=455=205。5. 把假分數化成帶分數或整數的方法:用分子除以分母,當分子是分母的整數倍時,能化成整數,商就是這個整數;當分子不是分母的整數倍時,能化成帶分數,商是帶分數的整數部分,余數是分數部分的分子,分母不變。如123=123=4,154=154=334。6. 把帶分數化成假分數時,用原來的分母作分母,用整數和分母相乘的積再加上原來的分子作分子。如345=35+45=195。二、分數的大小比較 易錯題:判斷:通分時分數值變大,約分時分數值變小。()錯因分析:無論是通分還是約分,依據的是分數的基本性質,分數的大小不變。正確答案:1. 公分母:把異分母分數化成同分母分數,這個相同的分母叫做它們的公分母。如把12和23化成同分母分數,分母是6,6是這兩個分數的公分母。2. 公倍數:兩個數或幾個數公有的倍數叫做它們的公倍數。如6是2的倍數,也是3的倍數,6就是2和3的公倍數。3. 通分:把異分母的分數化成和原來分數相等的同分母的分數,叫做通分。4. 通分的方法:通分時,用原分母的公倍數作公分母,通常選用最小公倍數作公分母,然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。重點提示:一個數的倍數的個數是無限的,因此兩個數的公倍數的個數也是無限的,只有最小的公倍數,沒有最大的公倍數。5. 異分母分數比較大小的方法:先通分,再比較大小。6. 公倍數和最小公倍數。幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數。其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數。如4的倍數:4、8、12、16、20、246的倍數:6、12、18、24易錯題:判斷:兩個數的公倍數一定比這兩個數都大。()錯因分析:此題忽略了當兩個數成倍數關系時,它們的最小公倍數是較大數的情況。正確答案:在4和6的倍數中12和24是4和6的公倍數,其中12是最小的,是4和6的最小公倍數。7. 有特殊關系的兩個數的最小公倍數。(1)兩個數,如果較大數是較小數的倍數,那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。如6和2,6是2的倍數,那么6是6和2的最小公倍數。(2)如果兩個數只有公因數1,那么這兩個數相乘的積就是它們的最小公倍數。如4和5只有公因數1,那么它們的最小公倍數是45=20。易錯題:用短除法求12和16的最小公倍數。12和16的最小公倍數是22=4。錯因分析:此題混淆了用短除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數的方法。用短除法求兩個數的最小公倍數時,要將所有的除數和最后的商連乘。正確答案:12和16的最小公倍數是2234=48。8. 用短除法求兩個數的最小公倍數的方法。先用兩個數公有的質因數(一般從最小的開始)依次作為除數連續去除這兩個數,一直除到所得的商只有公因數1為止,再把所有的除數和最后所得的商連乘,所得的積就是這兩個數的最小公倍數。如求4和6的最小公倍數。4和6的最小公倍數是223=12。9. 求兩個數的最大公因數與最小公倍數的方法的異同。相同點:用兩個數公有的質因數(一般從最小的開始)依次作為除數連續去除這兩個數,一直除到所得的商只有公因數1為止。不同點:用短除法求兩個數的最大公因數時,要將所有的除數連乘;用短除法求兩個數的最小公倍數時,要將所有的除數和最后的商連乘。三、分數和小數互化 方法提示:把分數化成小數的兩種情況:1. 分子除以分母能除盡,得到有限小數。如25=0.4、78=0.875。2. 分子除以分母除不盡,得到無限小數。如17=0.14285714285719=0.1111. 把分數化成小數:用分子除以分母,除不盡的用“四舍五入”法按要求保留小數的位數,取近似值后要用約等號連接。如58=58=0.625;16=160.17。2. 把小數化成分數:根據小數的意義,有限小數可以直接寫成分母是10、100、1000的分數,原來有幾位小數,就在1的后面寫幾個0作分母,把原來的小數去掉小數點后作分子,能約分的要約分,化成最簡分數。如果需要化成假分數,先把小數化成帶分數,再化成假分數。如3.625=3+6251000=3+58=358=298。3. 能化成有限小數的分數的特征:分母中只含有質因數2和5的數能化成有限小數;分母中除了2和5以外還有其他質因數的不能化成有限小數。四、異分母分數加減易錯題:35+37=612=12錯因分析:此題錯在沒有通分,直接把分子和分母分別相加了。正確答案:35+37=2135+1535=36351. 異分母分數加減法的計算方法:分母不同的分數相加減,要先通分,化成同分母的分數,再按照同分母分數加減法的計算方法進行計算。2. 異分母分數連加的計算方法:可以先把幾個分數一次性通分,再相加,也可以應用加法的運算定律進行計算。3. 整數加減法的運算定律在分數加減法中同樣適用。4. 異分母分數加減法的運算順序:與整數加減法的運算順序相同。沒有括號的算式,按照從左到右的順序計算,有括號的,要先算括號里面的,再算括號外面的。重點提示:學數學要有運用意識,把所學的知識應用到生活中去解決身邊的問題。五、公交車上的數學1. 運用時間、最小公倍數等知識求出兩路公交車同時發車的時刻。2. 運用時間等知識計算公交車每天賣票的收入。三長方體和正方體一、長方體和正方體的特征 知識拓展:1. 把長方體放在一個平面上觀察,最多能同時看到3個面。2. 一個長方體最多有兩個面是正方形。3. 正方體的棱長總和=棱長12長方體的棱長總和=(長+寬+高)41. 認識長方體和正方體的面、棱、頂點。2. 長方體和正方體面的特征。(1)長方體有6個面,分別是上面、下面、左面、右面、前面、后面。上、下,左、右,前、后分別是一組相對的面。相對的面完全相同。(2)正方體的6個面都完全相同。3. 長方體和正方體頂點和棱的特征。長方體:有12條棱,分成3組,每組4條棱的長度相等。相交于一個頂點的三條棱的長度,分別叫做長方體的長、寬、高;有8個頂點。正方體:有12條棱,都相等;有8個頂點。4. 從長方體和正方體的對比中可以看出,正方體具備了長方體所有的特征,因此正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體,可以用下圖表示長方體和正方體的關系。5. 長方體和正方體的異同點。重點提示:沿不同的棱將長方體(或正方體)剪開,展開后的平面圖形一般不相同。名稱相同點不同點面棱頂點面的形狀面積棱長長方體6個面12條棱8個頂點長方形(最多有兩個相對的面是正方形)相對的面的面積相等相對的棱長度相等正方體6個面12條棱8個頂點正方形6個面的面積都相等12條棱的長度都相等二、長方體和正方體的展開圖易錯題:判斷:底面積和高分別相等的兩個長方體,它們的形狀一定相同。()錯因分析:底面積相等,形狀未必相同,如底面積是12,長和寬可能分別是6和2,也可能分別是4和3。正確答案:知識巧記:包裝用料求面積,意義方法要牢記,前后單位要統一,還要把面數清楚,六面齊全容易算,六面不全也不難,要么數清幾個面,幾面一合是答案,要么就看缺幾面,再從六面里面減。要點提示:在比較節省包裝紙的實驗時,可以將撲克的包裝方式,撲克擺出的長、寬、高及表面積列在表格里,便于比較。長方體展開圖正方體展開圖三、長方體和正方體的表面積1. 長方體六個面的總面積叫做長方體的表面積。2. 長方體相對的面相等,所以長方體的表面積=(長寬+長高+寬高)2。3. 正方體六個面的總面積叫做正方體的表面積。4. 正方體的六個面都相等,所以正方體的表面積=棱長棱長6。四、解決問題1. 求粉刷房間的面積時,先確定好粉刷幾個面,再扣除門窗等的面積。2. 解決生活中的實際問題時,所要求的長方體并不一定都有6個面,如長方體魚缸只有5個面,長方體通風管只有4個面計算時要根據實際條件和題中的要求求解。五、包裝撲克1. 探索怎樣包裝6盒撲克用的包裝紙最少時,要把6盒撲克實際擺一擺,通過實際拼擺與比較,發現將6盒撲克摞在一起擺6層,最節省包裝紙。2. 探索怎樣包裝8盒撲克用的包裝紙最少時,要把8盒撲克實際擺一擺,通過實際拼擺與比較,發現將8盒撲克最大的面疊放在一起時,用的包裝紙最少。四分 數 乘 法一、分數乘整數的意義和方法 易錯題:132=16錯因分析:此題錯在沒有真正理解分數乘整數的計算方法,把分母與整數相乘了。正確答案:132=23知識巧記:分數乘整數,計算很簡單,分子乘整數,分母不用變,計算想簡便,約分要在先,結果要想準,分數化最簡。方法提示:求部分量,要用部分量對應的分率去乘單位“1”對應的量。1. 分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同,都是求幾個相同加數的和的運算。2. 分數乘整數,用分子乘整數的積作分子,分母不變。如272=227=47。二、求一個數的幾分之幾是多少求一個數的幾分之幾是多少,用乘法計算。每千克草莓5元,買12千克草莓應付多少元?根據“單價數量=總價”用乘法計算。列式為512的意義就是求5元的12是多少。512=512=52=2.5(元)。三、分數乘分數 易錯題:判斷:一個數乘真分數,積小于這個數。()錯因分析:此題忽略了這個數可能是“0”的情況,0乘真分數,積還是0,這時積等于這個數,而不是小于這個數。正確答案:1. 分數乘分數,用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。一臺收割機每小時收割小麥12公頃,35小時收割小麥多少公頃?根據題意,求12公頃的35是多少,就是把12公頃平均分成5份,也就是把1公頃平均分成25=10(份),取其中的3份。求一個數的幾分之幾是多少,用乘法計算。列式為1235。1235=1325=310(公頃)。2. 兩個不為0的數相乘,當其中的一個因數小于1時,所得的積小于另一個因數;當其中一個因數大于1時,所得的積大于另一個因數;當其中的一個因數等于1時,所得的積等于另一個因數。易錯題:學校給同學們體檢,小亮的體重是35千克,小林的體重比小亮的輕17,小林的體重是多少千克?3517=5(千克)答:小林的體重是5千克。錯因分析:此題把小林比小亮輕的部分看成小林的體重了。正確答案:351-17=3567=30(千克)答:小林的體重是30千克。四、分數的混合運算1. 分數混合運算的運算順序同整數混合運算的運算順序相同,即在沒有括號的算式里先算乘除法,再算加減法;有括號的先算括號里面的,再算括號外面的。2. 已知一部分量占總量的幾分之幾,求另一部分量。解題方法:另一部分量=總量-總量部分量占總量的分率=總量(1-部分量占總量的分率)一捆彩帶的長是60米。某蛋糕店今天已經用去這捆彩帶的25,還剩多少米彩帶?根據題意:還剩的長度=彩帶的總長度還剩的長度占總長度的分率。601-25=6035=36(米)。3. 簡便運算。整數乘法的運算定律,分數乘法同樣適用。即ab=ba,(ab)c=a(bc),(a+b)c=ac+bc。五、倒數1. 倒數的意義。乘積是1的兩個數互為倒數。重點提示:1. “互為倒數”是對兩個數來說的,它們是相互依存的,必須說一個數是另一個數的倒數,不是孤立地說某個數是倒數。2. 1的倒數是1,0沒有倒數。3. 真分數的倒數大于1,假分數的倒數小于或等于1。如3553=1,818=1。35和53互為倒數;8和18互為倒數。2. 求倒數的方法。求一個數的倒數,可以把它的分子和分母調換位置;一個整數(0除外)的倒數就是以這個數為分母,分子是1的分數。如38的倒數是83;5的倒數是15。五長方體和正方體的體積一、體積和體積單位 易錯題:判斷:只有棱長是1米的正方體的體積才是1立方米。()錯因分析:此題錯在對1立方米的意義理解不透徹。棱長是1米的正方體的體積是1立方米,這是建立體積單位模型時的一個參照物,用它作為衡量體積的一個標準。正確答案:1. 體積的意義。物體都占空間,物體大的占的空間大,物體小的占的空間小。物體所占空間的大小叫做物體的體積。2. 常用的體積單位。常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米。3. 體積單位的實際意義。(1)1立方厘米:棱長是1厘米的正方體,體積是1立方厘米,用字母表示為1 cm3,一個蠶豆的大小大約是1 cm3。(2)1立方分米:棱長是1分米的正方體,體積是1立方分米,用字母表示為1 dm3,一個粉筆盒的大小大約是1 dm3。(3)1立方米:棱長是1米的正方體,體積是1立方米,用字母表示為1 m3,借助3根1米長的木條在墻角搭成的空間的大小大約是1 m3。二、長方體、正方體的體積公式及應用 重點提示:在實際運用中,長方體的“厚”是長方體的“高”。易錯題:選擇:兩個棱長總和相等的長方體,它們的體積(A)。A.一定相等B.一定不相等C.不一定相等錯因分析:棱長總和相等只能說明兩個長方體的長、寬、高的和相等,不能說明兩個長方體的長、寬、高的積相等。正確答案:C易錯點:a3表示三個a相乘,不要與3a混淆。1. 長方體的體積=長寬高,用字母表示為V=abh。2. 正方體的體積=棱長棱長棱長,用字母表示為V=a3。3. 底面積:長方體或正方體底面的面積叫做底面積。4. 長方體、正方體體積的統一公式。(1)長方體的底面積=長寬長方體的體積=長寬高長方體的體積=底面積高(2)正方體的底面積=棱長棱長正方體的體積=棱長棱長棱長正方體的體積=底面積棱長(3)由上面可以推導出長方體(正方體)的體積=底面積高,用字母表示為V=Sh。5. 體積單位之間的進率。(1)相鄰體積單位之間的進率是1000,即1立方米=1000立方分米,1立方分米=1000立方厘米。(2)體積單位的換算:把高級單位換算成低級單位,要乘進率;把低級單位換算成高級單位,要除以進率。三、應用問題 方法提示:求橫截面是梯形的攔河壩的體積,可以用“橫截面面積長”來計算。易錯題:判斷:一個可樂瓶的包裝上標有500毫升,是指這個可樂瓶的容積是500毫升。()錯因分析:可樂瓶上標的500毫升是瓶內可樂的體積,而不是可樂瓶的容積。正確答案:要點提示:在實踐中,要綜合考慮包裝箱是否容易搬動、是否結實等現實問題。1. 土石方問題。生活中,計量沙、土、石子等的體積時,常常把“立方米”簡稱為“方”。2. 求挖出土石多少方,可以根據體積公式進行計算。3. 容積的意義:容器所能容納物體的體積,通常叫做容積。4. 容積和體積的區別:意義不同,容積和體積是同一容器的兩個方面的特征;容積和體積的計算方法相同,但測量的方法不同(求體積從容器的外面測量,求容積從容器的里面測量)。5. 容積的計量單位:計量容積,一般用體積單位,但計量液體的體積常用“升”和“毫升”作單位。1升=1000毫升,1升=1立方分米,1毫升=1立方厘米。四、設計包裝箱在設計適合裝香皂和牙膏的包裝箱時,要根據牙膏盒和香皂盒的長、寬、高等數據,通過實際拼擺和畫圖的方法來分析、比較得出哪種設計最好。六分 數 除 法一、分數除以整數 易錯題:5126=5126=52錯因分析:此題錯在沒有掌握分數除以整數的計算方法。應該用被除數乘除數的倒數。正確答案:5126=51216=5721. 一個整數除以另一個整數(0除外)等于這個整數乘另一個整數的倒數。如488=4818=6,369=3619=4。2. 分數除以整數的計算方法。分數除以整數(0除外)等于這個分數乘整數的倒數。如123=1213=16。二、一個數除以分數 易錯題:判斷:一個數(0除外)除以真分數,商大于被除數;一個數(0除外)除以假分數,商小于被除數。()錯因分析:假分數大于或等于1,當一個數除以1,商等于被除數,所以原說法錯誤。正確答案:1. 一個數除以分數,等于這個數乘分數的倒數。如225=252=5。2. 商與被除數的關系。(1)一個數(0除外)除以真分數,商大于被除數。(2)一個數(0除外)除以1,商等于被除數。(3)一個數(0除外)除以大于1的數,商小于被除數。三、應用問題。 拓展提升:同學們開聯歡會布置會場,用了28個紅氣球,紅氣球占氣球總數的49。一共用了多少個氣球?根據除法的意義,知道用了28個紅氣球,對應氣球總數的49,求單位“1”,用除法計算。即2849=2894=63(個)。1. 已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數。解這類問題的方法步驟:(1)根據題意找出單位“1”,設未知數量為x。(2)找出題中的等量關系。(3)列方程解答。(4)檢驗并寫出答案。2. 稍復雜的已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數。解這類問題的方法步驟:先找到題中的等量關系,設未知量(單位“1”的量)為x,再列方程。解題的關鍵是找準單位“1”,計算出已知量對應單位“1”的幾分之幾。四、混合運算 易錯題:59581835=59851835=1635錯因分析:沒有把第二個除數變成乘倒數的形式。正確答案:59581835=59853518=140811. 分數混合運算的順序與整數混合運算的順序相同,即先算乘除法,再算加減法;有括號的,先算括號里面的,再算括號外面的。如110+3415164512-13=110+341615=4516=910=215 2. 整數的運算定律和運算性質,在分數四則運算中同樣適用。七折線統計圖一、認識單式折線統計圖 易錯題:判斷:條形統計圖和折線統計圖都在表示事物發展趨勢方面有優勢。()錯因分析:此題錯在不清楚條形統計圖和折線統計圖的特征,條形統計圖不能表示事物的發展趨勢,只能便于看出和比較各種數量的多少。答案:1. 折線統計圖的意義:折線統計圖是用一個單位長度表示一定的數量,根據數量的多少,描出各點,然后把各點用線段順次連接。2. 折線統計圖的特征:折線統計圖不但可以表示出數量的多少,還能夠清楚地反映出數量的增減變化情況。3. 繪制單式折線統計圖的方法:(1)先畫橫軸,再畫縱軸。(2)根據數據的大小確定一個單位長度表示的數量。(3)根據數據的大小描點,描點時應注意先找準橫軸上的點,再找準縱軸上的點,過兩點畫橫軸、縱軸的垂線,兩條垂線的交點便是所要描的點。(4)連點成線段。(5)標明數據。4. 解讀單式折線統計圖:運用橫向、縱向、綜合比較等不同的觀察方法,可以讀懂折線統計圖,從中獲取更多的信息,并能根據獲取的信息回答或提出相應的問題,進行 重點提示:1. 畫復式折線統計圖時,一定要標明圖例。簡單的分析和推測。二、認識復式折線統計圖1. 復式折線統計圖的意義:在統計過程中存在兩組數據,需要在一幅統計圖中表示出這兩組數據,就要用兩種不同顏色(形式)的折線來表示不同數據的變化情況,這樣的統計圖就是復式折線統計圖。2. 解讀復式折線統計圖要先看清圖例,不要把兩種 數據混淆了。2. 復式折線統計圖的特征:復式折線統計圖可以更加清晰地反映兩組數據的增減變化情況,便于對兩組相關數據進行比較。3. 繪制復式折線統計圖的方法:與單式折線統計圖的制作方法基本相同,只是需要用不同的圖例表示不同的數據信息。4. 單式折線統計圖和復式折線統計圖有什么相同點和不同點?相同點:都是折線統計圖。3. 方法提示:運用不同的觀察方法可以讀懂統計圖,從中獲取信息,根據信息提出或回答相應的問題,并進行簡單的分析和合理的預測。不同點:(1)單式拆線統計圖只有一條折線,而復式折線統計圖會有兩條(或兩條以上)折線,而且一般都是以虛線和實線出現的。多張結構一樣的單式折線統計圖可以合并到一張復式折線統計圖中。(2)單式折線統計圖通過將一組數據的水平表示出來,可以很容易地看出數量增減變化的情況。復式折線統計圖通過兩組或兩組以上數據的水平進行比較,可以容易地比較出兩組或兩組以上數據的變化趨勢,更清楚地看出各類之間的比較。八探 索 樂 園一、用集合圖解決問題 1. 用集合圖表示整體與部分的包含關系。整體與部分的包含關系可以用一個圖包含另一個圖的方式表示。方法提示:關于兩種情況互相包含的問題。用求出兩個量的和再減去相同的部分的方法來解決。整體-部分=另一部分。2. 關于兩種情況互相包含的問題。易錯題:從北京到上海的某特快列車在沿線共停靠5站,分別是北京、濟南、徐州、南京和上海。請問:要為這幾個站點共準備多少種不同的車票?列舉出來。北京濟南、北京徐州、北京南京、北京上海、濟南徐州、濟南南京、濟南上海、徐州南京、徐州上海、南京上海,共10種。錯因分析:此題錯在沒有注意與車票站點的順序有關,北京濟南,濟南北京,票價相同,但屬于往、返兩種車票,所以共要準備102=20(種)車票。如上圖:如果放在桌面上的兩張圓形紙片的面積分別是A、B,它們相互包含的部分的面積為C,那么它們覆蓋的面積為A+B-C。關于兩種情況相互包含這一類題型,都可以用上面的計算方法。二、比賽場次1. 比賽場次問題。(1)單循環賽:即假設有n個隊參加比賽,則每個隊都要和除自己隊之外的(n-1)個隊打一場比賽。(2)單循環賽的比賽場次。用畫圖法:(以四國球隊比賽為例)從圖中可以看出,每支球隊都要和另外3支球隊分別進行一場比賽,每場比賽只與2支球隊有關,與2支球隊的排列順序無關。但在比賽中,每一場次的比賽都重復計算了。用列表法:正確答案:北京濟南、濟南北京、北京徐州、徐州北京、北京南京、南京北京、北京上海、上海北京、濟南徐州、徐州濟南、濟南南京、南京濟南、濟南上海、上海濟南、徐州南京、南京徐州、徐州上海、上海徐州、南京上海、上海南京,共20種。中國韓國澳大利亞越南中國韓國中、韓澳大利亞中、澳韓、澳越南中、越韓、越澳、越從上面的表格里也可以看出只在一半的表格里寫出了球隊,而另一半則是重復的。2. 由以上兩種方法可以看出比賽場次=1+2+3+(n-1)。如果隊數比較多,則可以根據“隊數(隊數-1)2=比賽場次”直接列式解答