北師大版數學八年級上冊第六章數據的分析第4節數據的離散程度（第一課時）教學設計數學核心素養發展的基本要點學生數學核心素養在本節課發展的基本要點主要有：科學精神中的批判質疑、勇于探究和實踐創新中的問題解決等。課標要求體會刻畫數據離散程度的意義，會計算簡單數據的方差。學情分析 知識基礎：學生已經初步感受了抽樣調查的必要性，學習了描述數據集中趨勢的統計量：平均數、眾數、中位數，具有一定的統計學知識基礎。認知分析：八年級上期的學生具有一定的觀察問題、分析問題的能力，能夠通過觀察散點圖直觀發現數據在離散程度上的差異，提出問題質疑，具有進行小組合作探究的經驗。學習目標1.知識與技能： 了解刻畫數據離散程度的三個量極差、方差和標準差，能借助計算器求出一組數據的標準差。2.過程與方法： 經歷探索表示數據離散程度的過程，體會刻畫數據離散程度的意義；經歷用方差刻畫數據離散程度的過程，發展數據分析觀念。3.情感、態度與價值觀：在探究過程中體會數學與生活的聯系，感受探究的樂趣，在創新發現中獲得良好的情感體驗。重點及突出方法重點：經歷用方差刻畫數據離散程度的過程，了解刻畫數據離散程度的三個量極差、方差和標準差。重點突出方法：在分析三名同學射擊成績的具體情境中，借助直觀觀察、計算和小組探究交流突出學習重點。難點及突破方法難點：抽象出刻畫數據離散程度的統計量方差。難點突破方法：經歷“極差、各個數據與平均數差的和、各個數據與平均數差的絕對值的和、各個數據與平均數差的平方的平均數”的探究過程，深刻理解刻畫數據離散程度的意義和方差的概念。學法指導觀察分析和小組合作探究教學過程架構教學過程一、問題質疑舊知再現：平均數、眾數、中位數都是描述數據集中趨勢的統計量。創設情境：射擊是深受青少年歡迎的體育運動。某中學射擊愛好者社團甲、乙兩名同學在相同條件下各射擊8次，每次命中的環數如下：甲同學：6，4，8，10，4，10，5，9乙同學：6，8， 7，9，7，5， 8，6（1）你能從圖中估計出甲、乙兩同學射擊的平均成績嗎？（2）請計算甲、乙兩同學射擊的平均成績，并在圖中畫出縱坐標等于平均成績的直線。問題質疑：通過實際情境及其圖示，讓學生直觀觀察甲、乙兩同學射擊成績的差異（離散程度不同）。因為甲、乙兩同學射擊成績的平均值相同，所以得出判斷：僅依靠集中趨勢還難以準確刻畫一組數據。引出問題質疑：如何刻畫一組數據的離散程度？本環節設計目的：使學生回顧相關知識，為進一步進行數據分析做好鋪墊；同時，通過直觀觀察和平均數計算，使學生產生思維碰撞：相同的平均值與不同的離散程度，產生問題質疑，激發探究熱情。效果評測：原有知識無法解決當前問題，這是學生自主探究的起點，進一步培養了學生的問題意識和勇于質疑的精神。課堂上借助地質學家李四光的話：“不懷疑不能見真理”，使學生信心百倍地走進下一環節自主探究。二、自主探究（1）探究1：極差分別計算甲、乙兩同學射擊成績最大值與最小值的差。甲：10-4=6，乙：9-5=4。一組數據中最大數據與最小數據的差叫極差，極差就是刻畫數據離散程度的一個統計量。（2）探究2：各個數據與平均數的差的和如果學校射擊社團中丙同學也參加了測試，乙、丙兩同學的射擊成績如圖所示。易知乙、丙兩同學的平均成績相等（均為7環），極差相等（均為4環），但從統計圖上看，兩人成績的離散程度還是有區別的（乙同學的成績更穩定一些）。采用什么方式來刻畫這種差別呢？經小組討論，有同學嘗試計算各個數據與平均數的差的和：乙：（6-7）+（8-7）+（7-7）+（9-7）+（7-7）+（5-7）+（8-7）+（6-7）=0丙：（7-7）+（6-7）+（9-7）+（5-7）+（9-7）+（5-7）+（8-7）+（7-7）=0兩組數據中各個數據與平均數的差的總和都等于0.為什么會出現這種情況呢？差有正值，有負值，出現正負抵消的情況。由此，同學們得出：“各個數據與平均數的差的和”不一定能夠刻畫數據的離散程度。“探究2”失敗！（3）探究3：各個數據與平均數差的絕對值的和如何避免正負抵消呢？經過小組討論，借助計算，有小組提出：運用“絕對值”可以避免正負抵消，因為任何實數的絕對值都是非負的。乙：|6-7|+|8-7|+|7-7|+|9-7|+|7-7|+|5-7|+|8-7|+|6-7|=8丙：|7-7|+|6-7|+|9-7|+|5-7|+|9-7|+|5-7|+|8-7|+|7-7|=10乙的計算結果小于丙的計算結果，與直觀觀察得到的“乙同學射擊成績的離散程度小”是相符的。因此，同學們一致得出結論：“各個數據與平均數差的絕對值的和”可以刻畫一組數據的離散程度，為下一個探究中推翻此結論做鋪墊。（4）探究4：各個數據與平均數差的平方的平均數AB這里有兩組數據，A組：11,13,7,9,12,8；B組：10,13,7,13,7,10大家來共同研究A、B兩組數據的離散程度，直觀觀察那一組數據離散程度小一些？A組。A、B兩組數據的平均值都是10，我們來計算各個數據與平均數的差的絕對值的和：A:|11-10|+|13-10|+|7-10|+|9-10|+|12-10|+|8-10|=12B:|10-10|+|13-10|+|7-10|+|13-10|+|7-10|+|10-10|=12兩組數據中各個數據與平均數的差的絕對值的和均為12，在這個問題中，“各個數據與平均數的差的絕對值的和”無法刻畫數據的離散程度。從而推翻了探究3的結論！ 探究再次陷入困境，引導學生一步步分析：為什么取絕對值？避免正負抵消。避免正負抵消的辦法只有一種嗎？有小組提出采用平方的方法，即計算“各個數據與平均數差的平方的平均數”：因為，所以A組數據更穩定，離散程度更小。從而探究出“各個數據與平均數差的平方的平均數”可以刻畫一組數據的離散程度。本環節設計目的：通過具體的問題情境設計，環環相扣，步步探索，在矛盾中前進，在質疑中求真。既提升了學生勇于發現問題、提出問題的能力，又進一步培養了積極探索、敢于創新的科學精神。效果評測：先是通過極差，然后計算各個數據與平均數差的總和，出現正負抵消，又計算各個數據與平均數差的絕對值總和，最后我們想到了平方，完美解決了問題。在經歷探究方差概念的過程中，學生不僅感受了刻畫數據離散程度的意義，同時學生體會了探究數學問題的一般思路。三、創新發現請大家將我們自主探究出來的解決方案總結一下。為了描述數據的離散程度，我們經過自主探究，找到了屬于我們自己的創新發現：通過“各個數據與平均數差的平方的平均數，即方差”來刻畫一組數據的離散程度。標準差s是方差的算術平方根。一般而言，一組數據的極差、方差或標準差越小，這組數據就越穩定。本環節設計目的：創新精神是學生核心素養發展的重要元素，本環節引導學生及時總結自己的探究成果，使學生進一步領悟探究的意義，感受創新發現的良好情感體驗。 效果評測：學生經過問題質疑、自主探究，創新發現了“如何刻畫數據離散程度”的方法，體會到創新并不困難，提升學好數學的信心。四、問題解決回到本節課開始我們提出的問題質疑：如何評價射擊社團甲、乙、丙三位同學的射擊成績呢？讓我們用本節知識來解決問題！（小組內分別計算）本環節設計目的：前后呼應，加深理解。本環節的設計既讓學生體會到數學與生活的聯系（數學來源于生活，又作用于生活），同時在解決問題的過程中培養了實踐創新的數學核心素養。 效果評測：通過小組內計算、討論，學生運用本節的創新發現解決了問題。五、歸納提升從兩個方面進行歸納總結：知識方面和探究的一般過程方面。本節課我們不僅學習了刻畫數據離散程度的三個統計量：極差、方差、標準差，更重要的是我們經歷了發現問題、解決數學問題的一般過程：問題質疑、自主探究、創新發現、問題解決、歸納提升、拓廣延伸。本環節設計目的：小結的目的是進行歸納和提升，引導學生既進行知識梳理，又進一步經歷用方差刻畫數據離散程度的過程，體會解決數學問題的一般思路。 效果評測：引導學生像放電影一樣進行回顧，及時對知識鞏固、對思想方法提升六、拓廣延伸（1）探索使用計算器求標準差的操作步驟。為了提高農副產品的國際競爭力，一些行業協會對農副產品的規格進行了劃分.某外貿公司要出口一批規格為75g的雞腿，現有2個廠家提供貨源，它們的價格相同，雞腿的品質也相近.質檢員分別從甲、乙兩廠的產品中抽樣調查了10只雞腿，它們的質量（單位：g）如下：甲廠：75,77,72,78,73,74,76,75,77,73；乙廠：77,79,73,72,71,77,78,75,73,75.如果只考慮雞腿的規格，你認為外貿公司應買哪個廠的雞腿？使用計算器可以很方便地計算一組數據的標準差，其大體步驟是：進入統計狀態，輸入數據，按鍵得出標準差。計算器一般不具有求方差的功能，可以先求出標準差，再平方即可求出方差。（2）課外延伸：習題6.5 第1,2題小組合作: 應用本節知識，解決一個關于“數據的離散程度”的生活實際問題，并完成相應的研究報告本環節設計目的：從課內延伸到課外，讓學生在實際問題的解決過程中，探索計算器求標準差的具體操作步驟，更為全面地理解方差及其在現實生活中的應用，并在小組合作中培養團隊協作能力。效果評測： 學生運用本節所學知識并借助計算器能夠較順利地解決問題，通過小組分工協作完成課外延伸作業。板書設計4 數據的離散程度課后反思與點評1本節課在實際問題情境中，引出問題質疑，激發學生一步一步探究，在質疑中前行，從而探索出刻畫數據離散程度的統計量極差、方差、標準差。2注重借助直觀觀察激發學生的思維，并通過小組合作學習，充分研討，廣泛交流，擴大學生思維視角，實現共同進步