解直角三角形教學設計一、教材分析解直角三角形是青島版九年級上冊第二章的內容，也是初中數學“圖形與變換”領域的一個重要內容。本節主要考查的知識點為銳角三角比、特殊角的三角函數值、解直角三角形及其實際應用，考查學生運用相關知識解決簡單實際問題的能力。為此本節復習課采用學生自主學習、教師點撥總結的方式掌握基礎知識，然后輔以?？碱}型加以鞏固。直角三角形的邊角關系，是現實世界應用廣泛的關系之一， 如在測量、建筑、工程技術和物理學中，人們常常遇到角度、高度、距離的計算問題，這些實際問題中的數量關系往往歸結為直角三形中的邊角關系，因此本節對發展學生的應用意識及分析問題解決問題的能力有著重要的作用。直角三角形邊與角之間的關系要用數量的形式表示出來，因此本節的學習有利于學生進一步感受數形結合的思想，體會數形結合的方法。非直角三角形通常要轉化為直角三角形，因此本節的學習有利于學生進一步感受轉化的思想。生活中的實際問題往往要轉化成數學問題，建立數學模型，因此本節課的學習也有利于學生進一步感受數學建模的思想。本節是在學生學習了三角形及勾股定理的基礎上進行的，通過復習讓學生進一步體會數學知識之間的聯系，還為進一步學習其它數學知識及高中階段學習一般性三角函數奠定基礎。這一部分內容非常重要，學好這部份內容，直接關系到今后的后續學習。2、 學情分析九年級學生的思維活躍，接受能力較強，具備了一定的數學探究活動經歷和應用數學的意識。并且學生已經掌握直角三角形中各邊和各角的關系，有較強的推理證明能力，這為順利完成本節課的教學任務打下了基礎。心理上九年級學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨著迅速發展。學生要得出直角三角形中邊與角之間的關系，需要觀察、思考、交流，進一步體會數學知識之間的聯系，感受數形結合、轉化和數學建模思想，體會銳角三角比的意義，提高應用數學和合作交流的能力。學生已學習過銳角三角比的概念，能夠由已知銳角求出三角比的值或由三角比的值求出銳角，并會計算含30度、45度、60度角的三角函數值的問題，但對于應用問題掌握的不熟練，缺乏做題技巧，效率低下。另外缺乏對直角三角形利用邊角關系解決現實生活中的實際問題的整體性認識，運用所學知識建立數學模型，綜合分析問題、解決問題的能力不足。因此本節課的主要任務是培養自主探索的能力，形成解決問題的基本策略與能力，培養轉化、數形結合、數學建模的思想方法，并滲透解直角三角形中基本模型，培養學生運用數學知識解決生活中的實際的能力。三、教學目標知識與技能1掌握銳角三角比的意義，熟記特殊角的三角比并會進行簡單計算。2能利用銳角三角比解直角三角形，并能夠用相關知識解決一些簡單的實際問題。過程與方法通過自主學習、交流展示復習鞏固本節知識點，體會數形結合、轉化和數學建模思想在解直角三角形中的應用。情感與態度引導學生積極思考，鞏固所學知識，形成數學應用意識和推理能力，體會數學與生活的密切聯系。四、教學重難點重點：熟練掌握解直角三角形的邊角關系，能利用銳角三角比解直角三角形，并能夠用相關知識解決一些簡單的實際問題。難點：建立數學模型解決實際問題。五、教學方法講練結合、問題教學六、教學手段利用多媒體輔助教學七、教學過程本節課共分三部分內容：銳角三角比、解直角三角形、解直角三角形的應用課前：發下導學案，學生自主復習本節內容。上課：直奔主題，揭示本節課所要復習的內容，并板書題目解直角三角形多媒體展示復習框架圖，明確復習重點1、銳角三角比RtABC中，C=900, A、B、C的對邊分別為a、b、c，則A的正弦可表示為：sinA= ，A的余弦可表示為cosA= A的正切可以表示為：tanA= ，它們都稱為A的銳角三角函數。觀察銳角三角比式子，引導學生得出銳角三角比的實質：銳角三角比實質是直角三角形中兩個邊的比，反應的是邊與角的關系。通過觀察學以致用中銳角三角比3個題共同點得出求銳角三角比的關鍵：求銳角三角比必須放到直角三角形中去。【設計意圖】明確銳角三角比的實質及做題關鍵，幫助學生更好的尋找解題思路。1、 在RtABC中,C=90，若AB=10，AC=8，則2、 在RtABC中，C=90，如果，那么sinB的值是 。 3、 在RtABC中，BAC=90 ，AC=6，BC=10，ADBC，則sinBAD= 。學生獨立完成，然后讓一學生敘述自己答案。由于前兩題比較簡單，學生若無疑問不再進行講解，對于第3題讓學生講解自己做題思路，最后老師予以總結。【設計意圖】考查對銳角三角比的運用，通過第3題的講解讓學生掌握轉化的數學思想，掌握做題技巧提高效率。2、 解直角三角形1、 定義：由直角三角形中除直角外的 個已知元素，求出另外 個未知元素的過程叫解直角三角形。 2、解直角三角形中已知的兩個元素應至少有一個是 ，當沒有直角三角形時應注意構造直角三角形，再利用相應的邊角關系解決。 3、解直角三角形的依據：在RtABC中，C=900 A，B,C的對邊分別為a、b、c，其中除直角C外，其余5個元素之間有以下關系：三邊關系： 兩銳角關系 邊角之間的關系：sinB= cosB= tanB= 【設計意圖】明確解直角三角形的定義和依據，為解直角三角形的應用練習提供理論依據和做題技巧。4.如圖,在ABC中,已知A=60,B=45，AC=10，則AB= 。 5.如圖,在ABC中,已知A=60,B=45，AB=10，則AC= 。（第4題） （第5題）6.如圖,在ABC中,已知A=30,C=135，AB=10，則AC= 。7.如圖,在ABC中,已知A=30,C=135，AC=10，則AB= 。（第6題） （第7題）獨立完成4、5、6、7四個題，獨立解決不了的情況下同位或小組之間討論解決。這四個題都是非直角三角形，考查學生通過構造直角三角形求相應的邊、角問題的能力。前兩個題是一個類型，后兩個題是一個類型（5題是4題的變形，7題是8題的變形）這4個題分別找兩個同學在黑板板演講解，分析自己的解題思路和方法。之后老師根據學生的講解情況予以總結、歸納。總結1、 在利用解直角三角形的知識求三角形的邊或角時，如果是直角三角形我們可以根據所給的邊或角依據三邊關系、兩銳角關系和銳角三角比直接求出相應的邊或角；2、 如果是非直角三角形我們可以通過構造直角三角形來求相應的邊或角，在構造直角三角形時要注意不破壞特殊角；3、 對于構造的的兩個直角三角形如果有某個完整的邊已知，可以直接利用解直角三角形的相關知識求相應的邊或角，如果兩個三角形的邊都不知道我們可以通過設未知數來求，設的時候一般設最短邊或者公共邊，然后再利用解直角三角形的相關知識求解相應的邊或角。【設計意圖】通過練習，加強學生對于解直角三角形知識的理解與運用，能夠通過構造直角三角形求出相應的邊和角，為接下來要復習的實際應用提供做題方法和思路。3、解直角三角形的實際應用（1）坡角與坡度如圖，坡面AB與水平線l的夾角叫做 ；坡面 AB 的鉛直高度 h 與水平寬度 l的比，稱為 ，用 i 表示，則i= 。（2）仰角和俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做 ；視線在水平線下方的角叫做 。（3）方位角：以觀察點為中心，以正北或正南方向作為起始方向，旋轉到目標方向線所成的銳角，叫做方位角也稱為象限角。 表示方向時一般先說 方向，再說 方向。強調坡度問題實質上是正切問題?！驹O計意圖】明確在解直角三角形的實際運用中的考查類型，并結合解直角三角形的相關知識建立數學模型解決生活中的實際問題。【類型一】坡度、坡角問題如圖，已知某水庫大壩的橫斷面是梯形 ABCD，壩頂寬 AD 是 6 米，壩高 24 米，背水坡AB 的坡度為 1：3，迎水坡 CD 的坡度為 1：2則（1）背水坡 AB = （2）壩底 BC= 【類型二】仰角、俯角問題2018年4月12日，菏澤國際牡丹花會拉開帷幕，菏澤電視臺用直升機航拍技術全程直播.如圖，在直升機的鏡頭下，觀測曹州牡丹園A處的俯角為30，B處的俯 角為45，如果此時直升機鏡頭C處的高度CD為200米，點A、B、D在同一條直線上，則A、B兩點間的距離為 米？（結果保留根號）【類型三】方位角問題南沙群島是我國固有領土,現在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業,當漁船航行至B處時,測得該島位于正北方向海里的C處,為了防止某國海巡警干擾,就請求我A處的魚監船前往C處護航,已知C位于A處的北偏東45方向上,A位于B的北偏西30的方向上，求A，C之間的距離為 米。（第6題） （第7題）如圖,某校一幢教學大樓的頂部豎有一塊“傳承文明,啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60,沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45.已知山坡AB的坡度,AB=10米,AE=15米,求這塊宣傳牌CD的高度.學生先進行獨立思考完成，獨立解決不了的可進行同位或小組之間討論解決，期間老師進行巡視指導。前三個題較為基礎，如果絕大多數同學沒問題將不再進行講解，只強調需要學生注意的細節（1、不要漏加單位2、多項式后面加單位時要把多項式用括號括起來）。最后一題綜合性較強，難度較大，根據巡視掌握學生的完成情況，讓完成情況良好的同學進行講解，說明自己的思路和做題方法，最后老師根據情況進行歸納。總結在實際的應用中所給的特殊角并不是都在直角三角形中，要善于根據條件構造直角三角形建立數學模型。雖然生活中的實際應用常以坡角與坡度、仰角與俯角、方位角這三種類型進行考查，但并不是每次都單獨考查，要求學生一定要會綜合運用?！驹O計意圖】通過練習，明確解直角三角形在生活中的實際應用。提高分析、解決問題的能力，掌握數學建模思想，體會數學與生活的密切聯系，增強數學學習的信心與興趣。課堂小結首先讓學生談談自己的收獲及疑問，然后同學們集體回顧本節重點知識，再次在多媒體展示知識框圖。當堂檢測1、如圖，在ABC 中，ADBC 于 D，如果 AD12，DC5，E 為 AC 的中點， 則 sinEDC = 。2、如圖，已知 AB 是O 的直徑，CD 是弦，且 CDAB，BC6，AC8，求則sinABD = 。（第1題） （第2題）【設計意圖】及時檢測學生對于解直角三角形知識的掌握情況，根據掌握情況進行個別輔導并確定后續的練習。課后練如圖,某小區號樓與號樓隔河相望,李明家住在號樓,他很想知道號樓的高度,于是他做了一些測量,他先在B點測得C點的仰角為60,然后到42米高的樓頂A處,測得的仰角為30，請你幫助李明計算號樓的高度CD.【設計意圖】由于課上時間有限，學習不僅僅是課上的45分鐘，課后的及時復習鞏固同樣重要。板書設計解直角三角形一、銳角三角比特殊角的銳角三角比 多媒體展示二、解直角三角形定義：知二求三依據：兩銳角之間：三邊之間：邊角之間：銳角三角比2、 實際應用坡角與坡度仰角與俯角方向角課后反思本節課的復習任務是：掌握直角三角形的邊角關系并能靈活運用;會運用解直角三角形的知識，利用已知的邊和角，求未知的邊和角;能結合坡角與坡度、仰角俯角、方位角等知識，綜合運用勾股定理、兩銳角關系與直角三角形的邊角關系解決生活中的實際問題。我將本節課分三部分進行：銳角三角比、解直角三角形、解直角三角形的應用，由淺入深、層層推進，符合學生的認知規律，并且能夠幫助學生明確復習側重點，更好的掌握所學知識。針對每個知識點的復習我都設置了相應的練習，讓學生通過練習鞏固所學知識，加深對知識的理解并內化。教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者、幫助者。由于是復習課，學生對于該部分內容有一定的基礎，在學生選擇解直角三角形的諸多方法和解決實際問題的過程中，我并沒有過多地干預學生的思維，而是通過問題引導學生自己想辦法解決問題，教師通過巡視、指導了解學生掌握情況，然后由學生講解自己的做題思路和方法，在培養學生的語言表達能力上下了功夫。通過學生的講解可以及時了解學生對于問題的掌握情況，發現學生的易錯點并能夠有針對性的予以糾正和強調。學生明確自己的不足再去進行強調總結要比老師一味地講解效果要好。本節課的設計，力求體現新課程理念。給學生自主探索的時間，給學生寬松和諧的氛圍，讓學生學得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養探索能力、創新精神、合作精神，激發學生學習數學的積極性、主動性。通過本節課的實踐，我覺得也存在一些需要自己深刻反思和改進的地方。一、課堂語言上有待加強，應該加強書面語言的練習，避免有些口語化的語言，另外語言上有些地方不是太精煉，應加強語言組織能力。二、由于時間安排上的不合理，課堂小結時有些倉促，下一步應在備課時再認真些，合理安排時間。三、板書上不是太規范美觀，有待加強?？傊?，在今后的教學中，我還要加強備課，使每堂課的知識點和時間的分布更加合理，注重語言的組織和板書，在教學時多注重學生的學習方法和對差生的輔導工作