七包裝盒長(zhǎng)方體和正方體一、長(zhǎng)方體和正方體1.長(zhǎng)方體的特征(1)兩個(gè)面相交的線叫作棱,三條棱相交的點(diǎn)叫作頂點(diǎn)。(2)長(zhǎng)方體有6個(gè)面,并且每個(gè)面都是長(zhǎng)方形(特殊情況下有相對(duì)的兩個(gè)面是正方形)。(3)長(zhǎng)方體有12條棱,相對(duì)的4條棱的長(zhǎng)度相等。(4)長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)。(5)從一個(gè)方向觀察一個(gè)長(zhǎng)方體,最多能同時(shí)看到3個(gè)面,這3個(gè)面相交于一個(gè)頂點(diǎn),相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫作長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和=長(zhǎng)4+寬4+高4=(長(zhǎng)+寬+高)42.正方體的特征(1)正方體有6個(gè)面,它們是完全相同的正方形。(2)正方體有12條棱,所有棱的長(zhǎng)度都相等。(3)正方體有8個(gè)頂點(diǎn)。公式: 正方體的棱長(zhǎng)之和=棱長(zhǎng)12正方體的棱長(zhǎng)=正方體的棱長(zhǎng)之和12二、長(zhǎng)方體和正方體的表面積1.長(zhǎng)方體的表面積長(zhǎng)方體6個(gè)面的總面積,叫作它的表面積。長(zhǎng)方體有6個(gè)面,且相對(duì)的兩個(gè)面完全相同。從一個(gè)方向觀察一個(gè)長(zhǎng)方體,最多能同時(shí)看到3個(gè)面,只要計(jì)算出這三個(gè)面的面積,就能算出長(zhǎng)方體的表面積。公式:長(zhǎng)方體前、后每個(gè)面的面積=長(zhǎng)高長(zhǎng)方體上、下每個(gè)面的面積=長(zhǎng)寬長(zhǎng)方體左、右每個(gè)面的面積=寬高長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)寬2+寬高2+長(zhǎng)高2=(長(zhǎng)寬+寬高+長(zhǎng)高)22.正方體的表面積(1)正方體6個(gè)面的總面積,叫作它的表面積。(2)正方體6個(gè)面是完全相同的正方形,只要計(jì)算出一個(gè)面的面積,乘6就可算出正方體的表面積。公式:正方體的表面積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)6三、體積、容積單位及進(jìn)率1.體積、體積單位間的進(jìn)率(1)體積的意義:物體所占空間的大小叫作物體的體積。(2)體積單位:常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分別為cm3、 dm3、 m3 。棱長(zhǎng)為1厘米的正方體,體積是1立方厘米。如:一個(gè)手指尖的體積大約是1立方厘米,1?；ㄉ椎捏w積大約是1立方厘米。棱長(zhǎng)為1分米的正方體,體積是1立方分米。如:一個(gè)粉筆盒的體積大約是1立方分米。棱長(zhǎng)為1米的正方體,體積是1立方米,如:裝洗衣機(jī)的紙箱的體積大約是1立方米。(3)體積單位之間的進(jìn)率。計(jì)量一個(gè)物體的體積,就要看這個(gè)物體含有多少個(gè)體積單位。1分米=10厘米,兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)相等,體積就相等。棱長(zhǎng)是10厘米的正方體里有101010=1000(個(gè))棱長(zhǎng)為1厘米的正方體,棱長(zhǎng)是10厘米的正方體,體積是1000立方厘米。1立方分米=1000立方厘米用同樣的方法可推出:1立方米=1000立方分米2. 容積及容積單位之間的進(jìn)率(1)容積的意義:容器所能容納物體的體積,叫作它們的容積。(2)容積單位有升和毫升,分別用字母L和mL表示。計(jì)量物體的大小一般用體積單位,計(jì)量液體的體積常用容積單位。(3)1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1升=1000毫升四、長(zhǎng)方體和正方體的體積1.推導(dǎo)體積公式(1)計(jì)算一個(gè)物體的體積的大小,就要看這個(gè)物體含有“體積單位”的數(shù)量。把上圖中的長(zhǎng)方體和正方體切成以1立方厘米為體積單位的小正方體,數(shù)出含有“體積單位”的數(shù)量就知道了它們的體積大小。(2)通過(guò)切割發(fā)現(xiàn),長(zhǎng)方體所含小正方體體積單位的個(gè)數(shù),同它本身的長(zhǎng)、寬、高有一定關(guān)系,每排小正方體的個(gè)數(shù)相當(dāng)于長(zhǎng)方體的長(zhǎng);排數(shù)相當(dāng)于長(zhǎng)方體的寬;層數(shù)相當(dāng)于長(zhǎng)方體的高。所含體積單位的個(gè)數(shù)正好等于長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的積。2.長(zhǎng)方體、正方體的體積公式長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)寬高,用字母表示:V=abh。正方體的體積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng),用字母表示:V=aaa=a3。(1)也可以把a(bǔ)aa寫(xiě)作“a3”,讀作“a的立方”,表示3個(gè)a相乘。正方體的體積公式一般寫(xiě)成:V=a3。(2)長(zhǎng)方體和正方體底面的面積叫作它們的底面積。用S表示底面積,V表示體積,高用h表示,則:長(zhǎng)方體(或正方體)的體積=底面積高,用字母表示:V=Sh。3.長(zhǎng)方體、正方體體積公式的變形長(zhǎng)方體的高=體積(長(zhǎng)寬),即h=V(ab)長(zhǎng)方體的寬=體積(長(zhǎng)高),即b=V(ah)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)=體積(寬高),即a=V(bh)4.長(zhǎng)方體、正方體容器的容積計(jì)算長(zhǎng)方體或正方體容器的容積計(jì)算方法與體積的計(jì)算方法相同,但要從容器里面量長(zhǎng)、寬、高。5.等體積變化問(wèn)題生活中經(jīng)常遇到一些物體(固體或液體)的形狀發(fā)生了變化。但在變化的過(guò)程中,體積是沒(méi)有變化的。如圖所示用枚數(shù)相等的硬幣分別摞成下面的形狀,體積不變。五、測(cè)量不規(guī)則物體的體積 1.用排水法可以測(cè)量不規(guī)則物體的體積,放入不規(guī)則物體(被完全淹沒(méi))后水面上升,上升的那部分水的體積就是不規(guī)則物體的體積。2.拿出放入水中的不規(guī)則物體(被完全淹沒(méi))水面下降,下降的那部分水的體積就是不規(guī)則物體的體積。長(zhǎng)方體的6個(gè)面中,相對(duì)的兩個(gè)面完全相同。長(zhǎng)方體的擺放方式不同,長(zhǎng)、寬、高也不同。正方體是特殊的長(zhǎng)方體。計(jì)算長(zhǎng)方體某個(gè)面的面積時(shí),注意根據(jù)相對(duì)的4條棱的長(zhǎng)度相等,把長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高對(duì)應(yīng)到要計(jì)算的面上。對(duì)于看不到的面要利用“相對(duì)的兩個(gè)面完全相同”轉(zhuǎn)化到能看到的面上。簡(jiǎn)記長(zhǎng)方體表面積公式:長(zhǎng)、寬、高交叉相乘再相加,最后加括號(hào)乘2。無(wú)論是計(jì)算長(zhǎng)方體的表面積,還是計(jì)算正方體的表面積,都要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行計(jì)算,注意面的個(gè)數(shù)是幾個(gè)。所有的物體都占有一定的空間。立方厘米、立方分米、立方米,都是計(jì)量物體體積的單位,在計(jì)量一個(gè)物體的體積是多少時(shí),就是看被測(cè)量的物體包含多少個(gè)什么樣的體積單位,從而知道物體的體積是多少。 用棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼圖形。用了幾個(gè)小正方體,拼成的圖形的體積就是幾立方厘米。高級(jí)單位化低級(jí)單位乘進(jìn)率;低級(jí)單位化高級(jí)單位除以進(jìn)率。在填合適的單位時(shí),先看該物體裝的是液體還是固體,液體用容積單位,固體用體積單位,再看該物體的大小,大則用升或立方米作單位,小則用毫升或立方厘米作單位。把物體切割成若干個(gè)體積單位的大小,最后看切割成多少個(gè)體積單位,就能知道物體的體積具體是多少。通過(guò)這種方式,可以探索出切割數(shù)量與長(zhǎng)方體或正方體體積之間的規(guī)律。特別要理解的是若切割出2個(gè)體積單位,則物體的體積就是2(立方厘米、立方分米或立方米),若切割出17個(gè),則物體的體積就是17(立方厘米、立方分米或立方米),以此類(lèi)推。已知長(zhǎng)方體(正方體)的長(zhǎng)、寬、高(棱長(zhǎng)),就可以直接運(yùn)用長(zhǎng)方體(正方體)的體積公式進(jìn)行計(jì)算。V=abh、V=a3、V=Sh這三個(gè)公式是相互聯(lián)系的,前兩個(gè)公式是第三個(gè)公式的基礎(chǔ)。長(zhǎng)方體體積公式中的長(zhǎng)寬就是長(zhǎng)方體的底面積,正方體體積公式中的棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)是正方體的底面積,可以把另一條棱長(zhǎng)看作高。因此第三個(gè)公式,包括了前兩個(gè)公式。用這個(gè)公式既可以求長(zhǎng)方體和正方體的體積,今后還可以用這個(gè)公式求其他柱體的體積。 在解答形狀變化問(wèn)題時(shí),要抓住體積不變這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行解答。用排水法測(cè)量不規(guī)則物體的體積,根據(jù)水的體積不變,而物體占用水的空間,則排開(kāi)水的體積就等于物體占水的空間,即物體的體積