四圓柱和圓錐一、認(rèn)識(shí)圓柱、圓柱的組成部分1.圓柱的形成:圓柱是以長(zhǎng)方形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的;也可以由長(zhǎng)方形卷起來(lái)得到。2.生活中常見(jiàn)的圓柱:3.圓柱各部分的名稱及其特征:(1)圓柱的上、下兩個(gè)面都是圓形的,大小相同,叫做底面。(2)圓柱周圍的面是曲面,我們叫它側(cè)面。(3)圓柱兩底之間的距離叫做高,一個(gè)圓柱有無(wú)數(shù)條高,它們都相等。二、圓柱的側(cè)面以及側(cè)面積的求法1.圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及其形狀:(1)沿著高展開(kāi),展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng),長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高;當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)和高相等時(shí)(h=2r),側(cè)面展開(kāi)圖為正方形。(2)如果不沿著高展開(kāi),展開(kāi)圖形是平行四邊形或不規(guī)則圖形。(3)無(wú)論如何展開(kāi)都得不到梯形。2.圓柱的側(cè)面展開(kāi)后各個(gè)部分與圓柱的關(guān)系:展開(kāi)后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng),寬等于圓柱的高。3.圓柱的側(cè)面積=底面的周長(zhǎng)高,即S側(cè)=Ch=dh=2rh。三、圓柱的表面積的計(jì)算1.圓柱的側(cè)面積加上兩個(gè)底面的面積就是圓柱的表面積。2.圓柱的表面積=2底面積+側(cè)面積,即S表=S側(cè)+S底2=2rh+2r2。3.圓柱的切割引起表面積的變化:(1)橫切:切面是圓,表面積增加2個(gè)底面積,即S增=2r2。(2)豎切(過(guò)直徑):切面是長(zhǎng)方形(如果h=2r,切面為正方形),該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的高,寬是圓柱的底面直徑,表面積增加兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積,即S增=4rh。四、圓柱表面積的計(jì)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用在實(shí)際生活中,有時(shí)需要計(jì)算圓柱的表面積,如制作水桶時(shí),不要上底面;制作圓柱形通風(fēng)管時(shí),不需要兩個(gè)底面,這時(shí)需要計(jì)算圓柱的側(cè)面積。五、圓柱的體積以及計(jì)算公式的推導(dǎo)和應(yīng)用1.圓柱的體積:圓柱所占空間的大小,叫做這個(gè)圓柱的體積。2. (1)圓柱切拼成近似的長(zhǎng)方體,分的份數(shù)越多,拼成的圖形越接近長(zhǎng)方體。(2)長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積,長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高。因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積=底面積高,所以圓柱的體積=底面積高,用字母表示為V柱=Sh=r2h。3.不規(guī)則物體體積的計(jì)算。如計(jì)算左圖這樣的不規(guī)則圖形的體積時(shí),一般將兩個(gè)完全一樣的圖形拼成一個(gè)圓柱,求出圓柱的體積后,再除以2。4.計(jì)算空心圓柱的體積時(shí),一般用底面圓環(huán)的面積乘高來(lái)計(jì)算。六、容積的意義容器的容積:容器所能容納物體的多少叫做容器的容積。七、容積與體積的區(qū)別1.意義不同:體積是指物體所占空間的大小。容積是指容器(杯子、盒子、油桶等)所能容納物體的大小(即內(nèi)部體積)。2.度量方法不同:計(jì)算體積時(shí)是從物體的外面去測(cè)量。例如:計(jì)算用玻璃做成的長(zhǎng)方體魚缸的體積,就要從外面去分別測(cè)量出長(zhǎng)方體魚缸的長(zhǎng)、寬、高;如果要計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方體魚缸的容積(或容量),就必須從魚缸的里面去測(cè)量,因?yàn)樽鲷~缸的玻璃是有一定厚度的。3.計(jì)量單位不同:計(jì)算物體的體積,必須使用體積單位“立方米、立方分米、立方厘米”等。計(jì)算容積一般使用容積單位“升、毫升”;但計(jì)算較大物體的容積時(shí),也拿體積單位“立方米”來(lái)通用,因?yàn)樯秃辽幌抻谟?jì)量液體,如桶裝的汽油、小瓶裝的藥水。八、容積的計(jì)算、運(yùn)用容積的計(jì)算解決問(wèn)題1.容積的計(jì)算:計(jì)算容器的容積時(shí),要從里面測(cè)量圓柱形容器的底面直徑和高。2.計(jì)算容器的容積的方法一般采用計(jì)算體積的方法來(lái)計(jì)算。3.不規(guī)則物體的體積或容積的計(jì)算:利用轉(zhuǎn)化思想,化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形。九、圓錐的認(rèn)識(shí)、圓錐體積的計(jì)算1.圓錐的認(rèn)識(shí):(1)底面:圓錐的底面是一個(gè)圓。(2)側(cè)面:圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面,展開(kāi)圖是扇形。(3)高:從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離叫做圓錐的高,圓錐只有一條高。2.圓錐的體積:一個(gè)圓錐所占空間的大小,叫做這個(gè)圓錐的體積。3.一個(gè)圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的體積的13。根據(jù)圓柱體積公式V=Sh(V=r2h),得出圓錐體積公式:V=13Sh。4.圓柱與圓錐的關(guān)系:(1)與圓柱等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。(2)體積和高都相等的圓錐與圓柱,圓錐的底面積是圓柱的3倍。5.計(jì)算組合圖形的體積時(shí),一般先分別求出基本圖形的體積,再相加求和。十、運(yùn)用圓柱、圓錐的體積計(jì)算解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題1.運(yùn)用圓錐的體積解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意單位的統(tǒng)一。2.解答有關(guān)等積變形問(wèn)題時(shí),一般利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,抓住體積不變,形狀改變來(lái)計(jì)算。十一、木材加工問(wèn)題1.求圓木的體積可以根據(jù)“圓柱的體積=底面積高”來(lái)計(jì)算。2.橫截面是正方形的木材叫做方木,方木的體積=2r2h。巧記小圓柱直挺挺,上、下底面都相同,可以看作是由長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)而成的,還可以看作是由平面卷曲而成的。易錯(cuò)點(diǎn):1.圓柱的側(cè)面是曲面,高有無(wú)數(shù)條,不是1條。2.高指圓柱兩底面之間的距離。易錯(cuò)點(diǎn):1.如果底面周長(zhǎng)和高相等,展開(kāi)圖為正方形。2.底面直徑和高相等,側(cè)面展開(kāi)圖不是正方形。巧記規(guī)律沿高剪,圓柱側(cè)面展開(kāi)是長(zhǎng)方形,側(cè)面積是底面周長(zhǎng)和高的積。易混點(diǎn):1.計(jì)算圓柱的表面積時(shí),不要忘記底面積乘2后再加側(cè)面積。2.無(wú)論是縱切圓柱還是橫切圓柱,切一刀會(huì)增加2個(gè)切面。易錯(cuò)點(diǎn):解答制作圓柱類問(wèn)題時(shí),都要用進(jìn)一法保留最后結(jié)果。易混點(diǎn):1.圓柱的體積=底面積高2.圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)高方法巧記1.圓柱的高(h)=V柱S=V柱(r2)2.圓柱的底面積(S)=V柱h巧記容積體積本不同,容積度量?jī)?nèi)部量,體積度量外部量;容積單位:升、毫升或立方米,體積單位:立方米、立方分米、立方厘米。易混點(diǎn):求不規(guī)則圖形的體積時(shí),可以利用“轉(zhuǎn)化”思想將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,也就是數(shù)學(xué)中常說(shuō)的“等積變形”。易錯(cuò)點(diǎn):圓錐只有1條高。易錯(cuò)點(diǎn):圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的13。易錯(cuò)點(diǎn):體積和底面積都相等的圓錐與圓柱,圓錐的高是圓柱的高的3倍。易混點(diǎn):“等積變形”就是說(shuō)形狀不同,但是體積相等。易混點(diǎn):圓木的底面積是r2,方木的底面積是2r2