18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定第一課時第二課時人教版數學八年級下冊第三課時利用平行四邊形的定義、邊、角、對角線判定平行四邊形第一課時返回昨天初一的李明同學在生物實驗室做實驗時，不小心碰碎了實驗室的一塊平行四邊形的實驗用的玻璃片只剩下如圖所示部分他想明天星期六回家去割一塊賠給學校，帶上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原來的平行四邊形重新在紙上畫出來然后帶上圖紙去就行了，可原來的平行四邊形怎么給它畫出來呢？(ABC為三頂點即找出第四個頂點D)1.經歷并了解平行四邊形的判別方法探索過程，逐步掌握說理的基本方法.2.掌握平行四邊形的三個判定定理，能根據不同條件靈活選取適當的判定定理進行推理論證.素養目標3.在探索過程中發展我們的合理推理意識、主動探究的習慣.如圖，將兩長兩短的四根細木條用小釘絞合在一起，做成一個四邊形，使等長的木條成為對邊，轉動這個四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過程中，它一直是一個平行四邊形嗎？由上面的過程你得到了什么結論？是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B平行四邊形的判定定理1已知：四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.連接AC，在ABC和CDA中AB=CD(已知)，BC=DA(已知)，AC=CA(公共邊)，ABCCDA(SSS)1=42=3，ABCDADBC，四邊形ABCD是平行四邊形.證明：由上述證明可以得到平行四邊形的判定定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.幾何語言：在四邊形ABCD中，AB=CDAD=BC四邊形ABCD是平行四邊形.例1如圖，在RtMON中，MON90.求證：四邊形PONM是平行四邊形證明：在RtMON中，由勾股定理得(x5)242(x3)2，解得x8.PM11x3，ONx53，MNx35.PMON，OPMN，四邊形PONM是平行四邊形利用兩組對邊分別相等識別平行四邊形1.如圖ADACBCAC且AB=CD求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：在RtABC和RtCDA中，AC=CAAB=CDRtABCRtCDA(HL)BC=DA.又AB=CD四邊形ABCD是平行四邊形一天，八年級的李明同學在生物實驗室做實驗時，不小心碰碎了實驗室的一塊平行四邊形的實驗用的玻璃片只剩下如圖所示部分他想去割一塊賠給學校，帶上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原來的平行四邊形重新在紙上畫出來，然后帶上圖紙去就行了，可原來的平行四邊形怎么畫出來呢？平行四邊形的判定定理2D觀看上面的圖形，李明想使B=D，A=C即可，你覺得可以嗎？對于兩組對角分別相等的四邊形的形狀你的猜想是什么D猜想：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.猜想，對嗎？已知：四邊形ABCDA=C，B=D求證：四邊形ABCD是平行四邊形證明：四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)同理可證ABCD又A+B+C+D=3602A+2B=360A=C，B=D（已知）即A+B=180ADBC（同旁內角互補，兩直線平行）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定定理2:符號語言：A=C，B=D四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）ABCD例2如圖，四邊形ABCD中，ABDC，B55，185，240.(1)求D的度數；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形(1)解：D21180，D1802155；(2)證明：ABDC，2CAB，DAB12125.DCBDABDB360，又DB55，利用平行四邊形的判定定理2判定平行四邊形DCBDAB125.四邊形ABCD是平行四邊形2.判斷下列四邊形是否為平行四邊形：是不是3.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件：A:B:C:D的值為（）A.1:2:3:4B.1:4:2:3C.1:2:2:1D.3:2:3:2D如圖，將兩根木條AC、BD的中點重疊，用小釘絞合在一起，用橡皮筋連接木條的頂點，做成一個四邊形ABCD，轉動兩根木條，四邊形ABCD一直是一個平行四邊形嗎？猜想：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定定理3已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，OA=OC，OB=OD.ADOCBOOA=OC證明：OB=ODAOD=COB四邊形ABCD是平行四邊形求證：四邊形ABCD是平行四邊形.O21在ADO和CBO中，1=2ADBC同理ABCD幾何語言：OA=OCOB=OD四邊形ABCD是平行四邊形.（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定定理3:例3如圖，ABCD的對角線ACBD相交于點OEF是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AO=COBO=DO.AE=CF，AO-AE=CO-CF即EO=OF.又BO=DO，四邊形BFDE是平行四邊形.利用平行四邊形的判定定理3判斷平行四邊形4.根據下列條件不能判定四邊形為平行四邊形的是()A.兩組對邊分別相等B.兩條對角線互相平分C.兩條對角線相等D.兩組對邊分別平行5.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O.如果AC=8cmBD=10cm那么當AO=_____cmBO=_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形.C451.（2018安徽）ABCD中，E，F的對角線BD上不同的兩點下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）ABE=DFBAE=CFCAFCEDBAE=DCF鞏固練習B2.（2019柳州）平行四邊形的其中一個判定定理是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形請你證明這個判定定理已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ADBC求證：四邊形ABCD是平行四邊形鞏固練習證明：連接AC，如圖所示：在ABC和CDA中，ABCCDA（SSS），BACDCA，ACBCAD，ABCD，BCAD，四邊形ABCD是平行四邊形1.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是()A.ABCD，ADBCB.OAOC，OBODC.ADBC，ABCDD.ABCD，ADBCCC2.在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么當BC=___cm，CD=____cm時，四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若AO=10cm，BO=18cm，那么當AC=___cm，BD=____cm時，四邊形ABCD為平行四邊形ABCDO848420363.如圖，ACDE且ACDE，AD，CE交于點B，AF，DG分別是ABC，BDE的中線，求證：四邊形AGDF是平行四邊形.ACDE，ACDE，CE，CABEDB.ABCDBE.ABDB，CBEB.AF，DG分別是ABC，BDE的中線，BGBF.四邊形AGDF是平行四邊形.證明：4.如圖，已知E，F，G，H分別是ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=CG，BF=DH求證：四邊形EFGH是平行四邊形在平行四邊形ABCD中，A=C，AD=BC又BF=DH，AH=CF.又AE=CG，AEHCGF（SAS），EH=GF.同理得BEFDGH（SAS），GH=EF，四邊形EFGH是平行四邊形證明：如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE，交于點P求證：四邊形ABPE是平行四邊形證明：五邊形ABCDE是正五邊形，正五邊形的每個內角的度數是AB=BC=CD=DE=AE，DEC=DCE=(180-108)=36，同理CBD=CDB=36，ABP=AEP=108-36=72，BPE=360-108-72-72=108=A，四邊形ABPE是平行四邊形如圖，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊ABD、等邊ACE、等邊BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形證明：ABD和BCF都是等邊三角形，DBFFBAABCABF60，DBFABC.又BDBA，BFBC，DBFABC(SAS)，ACDF.又ACE是等邊三角形，ACDFAE.同理可證ABCEFC，ABEFAD，四邊形DAEF是平行四邊形平行四邊形的判定定義法:兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.利用一組對邊判定平行四邊形第二課時返回取兩根等長的木條AB、CD，將它們平行放置，再用兩根木條BC、AD加固，得到的四邊形ABCD是平行四邊形嗎？2.會綜合運用平行四邊形的判定方法和性質來證明問題.1.掌握用一組對邊平行且相等來判定平行四邊形的方法.素養目標以小組討論的形式探討這一問題.我們知道兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形.請同學們猜想一下，如果只考慮四邊形的一組對邊，當它滿足什么條件時這個四邊形是平行四邊形？平行四邊形的判定定理4問題1：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形嗎？如果是請給出證明，如果不是請舉出反例說明.xk小學學習過的梯形滿足一組對邊平行的條件，但梯形不是平行四邊形.問題2：滿足一組對邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？如圖1，這個四邊形EFGH滿足一組對邊EF=HG相等的條件，但它不是平行四邊形.問題3：如果一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？如圖2，等腰梯形屬于一組對邊平行（上底和下底），而另一組對邊相等（兩腰），但是等腰梯形不是平行四邊形我們在方格紙上利用手中的木棍，做一個滿足一組對邊平行且相等的四邊形，并判斷所做的四邊形是否是平行四邊形.請你猜想，這個命題成立嗎？命題：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形命題：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.請你將上述命題改寫成已知、求證，并畫出圖形，然后思考如何證明.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：方法1：如圖，連接AC.ABCD，1=2又AB=CD，AC=CA，ABCCDABC=DA四邊形ABCD是平行四邊形21證明：方法2：ABCD，1=2又AB=CD，AC=CA，ABCCDABCA=DACADBC四邊形ABCD是平行四邊形如圖，連接AC21平行四邊形的判定定理4：在四邊形ABCD中，ABCD，AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形符號語言：提示：同一組對邊平行且相等.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，EBFD又EB=AB，FD=CD，EB=FD四邊形EBFD是平行四邊形例1如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.直接利用平行四邊形的判定定理4判定平行四邊形證明：證明：四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，ADEF，AD=EF，EFBC，EF=BC.ADBC，AD=BC.四邊形ABCD是平行四邊形.1.四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.例2如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，AE=DF，A=D，AB=DC求證：四邊形BFCE是平行四邊形AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在ACE和DBF中，ACBDADAEDFACEDBF(SAS)，CE=BF，ACE=DBF，CEBF，四邊形BFCE是平行四邊形平行四邊形的判定定理4和全等三角形判定平行四邊形證明：2.如圖，點C是AB的中點，AD=CE，CD=BE（1）求證：ACDCBE；（2）求證：四邊形CBED是平行四邊形證明：（1）點C是AB的中點，AC=BC.在ADC與CEB中，ADCECDBEACBCADCCEB（SSS），（2）ADCCEB，ACD=CBE，CDBE.又CD=BE，四邊形CBED是平行四邊形例3如圖，ABC中，BD平分ABC，DFBC，EFAC，試問BF與CE相等嗎？為什么？平行四邊形的性質和判定的綜合題目解：BFCE理由如下：DFBC，EFAC，四邊形FECD是平行四邊形，FDB=DBE，FD=CE.BD平分ABC，FBD=EBD，FBD=FDB.BF=FD.BFCE.3.如圖，在ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，連接DE，EF，BF，寫出圖中除ABCD以外的所有的平行四邊形.解：四邊形ABCD是平行四邊形ADBC，AD=BC.E，F分別是AB，CD的中點，AE=BF=DE=FC，四邊形ADFE是平行四邊形，四邊形EFCB是平行四邊形，四邊形BEDF是平行四邊形.（2019遂寧）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，延長BC到E，使CEBC，連接AE交CD于點F，點F是CD的中點求證：（1）ADFECF（2）四邊形ABCD是平行四邊形鞏固練習證明：（1）ADBC，DAFE，點F是CD的中點，DFCF，在ADF與ECF中，ADFECF（AAS）；（2）ADFECF，ADEC，CEBC，ADBC，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形DAF=E，DF=CF，AFD=EFC，1.已知四邊形ABCD中有四個條件：ABCD，AB=CD，BCAD，BC=AD，從中任選兩個，不能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選項是（）AABCD，AB=CDBABCD，BCADCABCD，BC=ADDAB=CD，BC=ADC2.四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD.從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有()A3種B4種C5種D6種B3.在ABCD中，E、F分別在BC、AD上，若想要使四邊形AFCE為平行四邊形，需添加一個條件，這個條件不可以是（）AAF=CEBAE=CFCBAE=FCDDBEA=FCEB4.如圖，點E，C在線段BF上，BE=CF，B=DEF，ACB=F，求證：四邊形ABED為平行四邊形BE=CF，BE+EC=CF+EC即BC=EF又B=DEFACB=F，ABCDEF，AB=DE.B=DEF，ABDE四邊形ABED是平行四邊形證明：如圖，將ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D處，折痕l交CD邊于點E，連接BE求證：四邊形BCED是平行四邊形.由題意得DAE=DAE，DEA=DEA，D=ADE，DEAD，DEA=EAD，DAE=EAD=DEA=DEA，DAD=DED，四邊形DADE是平行四邊形，DE=AD.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABDC，AB=DC，CEDB，CE=DB，四邊形BCED是平行四邊形.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，AD=12cm，BC=15cm，點P自點A向D以1cms的速度運動，到D點即停止點Q自點C向B以2cms的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發，設運動時間為t(s)（1）用含t的代數式表示：AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm（2）當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？解：根據題意有AP=tcm，CQ=2tcm，PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cmADBC，當AP=BQ時，四邊形APQB是平行四邊形t=15-2t，解得t=5st=5s時四邊形APQB是平行四邊形；解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，ADBC，當PD=QC時，四邊形PDCQ是平行四邊形即12-t=2t，解得t=4s，當t=4s時，四邊形PDCQ是平行四邊形（3）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？平行四邊形的判定平行四邊形的性質與判定的綜合運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.三角形的中位線第三課時返回我們探索平行四邊形時，常常轉化為三角形，利用三角形的全等性質進行研究，今天我們一起來利用平行四邊形來探索三角形的某些問題吧！【想一想】如圖，有一塊三角形蛋糕，準備平分給四個小朋友，要求四人所分的形狀大小相同，該怎樣分呢？1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質.2.掌握三角形與平行四邊形的相互轉換，學會基本的添輔助線法.素養目標3.能利用三角形的中位線定理解決有關證明和計算問題.1.什么叫三角形的中線？有幾條？2.三角形的中線有哪些性質？ABCD連結三角形的頂點和對邊中點的線段叫三角形的中線.三角形的每一條中線把三角形的面積平分.三角形的中線相交于同一點.三角形的中位線三角形有3條中線.DEDE是ABC的中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE.則線段DE就稱為ABC的中位線.問題1：一個三角形有幾條中位線？你能在ABC中畫出它所有的中位線嗎？ABCDEF有三條，如圖，ABC的中位線是DE、DF、EF.問題2：三角形的中位線與中線有什么區別？中位線是連接三角形兩邊中點的線段.中線是連結一個頂點和它的對邊中點的線段.問題3：如圖，DE是ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關系？兩條線段的關系位置關系數量關系分析：DE與BC的關系猜想：DEBC？平行角平行四邊形或線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長短線分析1：猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半問題4：如何證明你的猜想？分析2：互相平分構造平行四邊形倍長DE證明：延長DE到F，使EF=DE連接AF、CF、DCAE=EC，DE=EF，四邊形ADCF是平行四邊形F四邊形BCFD是平行四邊形，CFADCFBD又，DFBCDEBC，如圖，在ABC中，點DE分別是ABAC邊的中點，求證：延長DE到F，使EF=DEF四邊形BCFD是平行四邊形ADECFEADE=F，連接FCAED=CEF，AE=CE，證法2：AD=CFBDCF又，DFBCDEBC，CFAD證明：如圖，D、E、F分別是ABC的三邊的中點，那么，DE、DF、EF都是ABC的中位線.FDEBC且DE=BC同理:DFAC且DF=AC；EFAB且EF=AB三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.三角形中位線定理：DE是ABC的中位線，DEBC且DE=BC符號語言：（AD=BDAE=CE)這個定理提供了證明線段平行以及線段成倍分關系的根據.F提示：中位線DE、EF、DF把ABC分成四個全等的三角形；有三組共邊的平行四邊形，它們是四邊形ADFE和BDEF，四邊形BFED和CFDE，四邊形ADFE和DFCE.頂點是中點的三角形，我們稱之為中點三角形；中點三角形的周長是原三角形的周長的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.例1如圖，在ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分CAB，交DE于點F.若DF3，求AC的長.解：D、E分別為AC、BC的中點，DEAB，23.又AF平分CAB，13，12，ADDF3，AC2AD2DF6.利用中位線定理求線段1.三角形各邊的長分別為6cm、10cm和12cm，連接各邊中點所成三角形的周長是________.6101214cm653ABC測出MN的長，就可知A、B兩點的距離.MN分別找出AC和BC的中點M、N.若MN=36m，則AB=2MN=72m如果，MN兩點之間還有阻隔，你有什么解決辦法？2.如圖，A、B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC和BC，怎樣測出A、B兩點的實際距離？根據是什么？例2如圖，D、E分別是ABC的邊AB、AC的中點，點O是ABC內部任意一點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E.求證：四邊形DGFE是平行四邊形.GFEDO四邊形DGFE是平行四邊形=證明：利用三角形的中位線判斷平行四邊形在ABC中，AD=BDAE=CE在OBC中，OG=BGOF=CF3.已知:如圖點E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.證明：連接AC.E、F是AB、BC邊中點EFAC且EFAC同理：HGAC且HGACEFHG且EFHG四邊形EFGH為平行四邊形.EFGHABCD例3如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，ABD=20，BDC=70，求PMN的度數解：M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，PN，PM分別是CDB與DAB的中位線，PM=AB，PN=DC，PMAB，PNDC，AB=CD，PM=PN，PMN是等腰三角形，PMAB，PNDC，MPD=ABD=20，BPN=BDC=70，利用三角形的中位線求角度MPN=MPD+(180NPB)=130，PMN=(180130)2=255cm5.如圖，ABC中D、E分別是AB、AC的中點，A=50B=70則AED=.60604.如圖MN為ABC的中位線若ABC=61則AMN=.611.（2018寧波）如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，連結OE若ABC=60，BAC=80，則1的度數為（）A50B40C30D20鞏固練習B2.（2019銅仁市）如圖，D是ABC內一點，BDCD，AD7，BD4，CD3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A12B14C24D21鞏固練習A1.如圖，在ABC中，AB=6，AC=10，點D，E，F分別是AB，BC，AC的中點，則四邊形ADEF的周長為（）A.8B.10C.12D.16D2.如圖，點D、E、F分別是ABC的三邊AB、BC、AC的中點.（1）若ADF=50，則B=；（2）已知三邊AB、BC、AC分別為12、10、8，則DEF的周長為.5015ABCDFE3.如圖，ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，求DOE的周長解：ABCD的周長為36，BC+CD=18點E是CD的中點，OE是BCD的中位線，DE=CD，OE=BC，DOE的周長為OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15.4.如圖，在ABC中，ABAC，E為AB的中點，在AB的延長線上取一點D，使BDAB，求證：CD2CE.證明：取AC的中點F，連接BF.BDAB，BF為ADC的中位線，DC2BF.E為AB的中點，ABAC，BECF，ABCACB.BCCB，EBCFCBCEBF，CD2CE.F如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點求證：四邊形EFGH為平行四邊形.證明：如圖，連接BD.E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點，EH是ABD的中位線，FG是BCD的中位線，EHBD且EH=BD，FGBD且FG=BD，EHFG且EH=FG，四邊形EFGH為平行四邊形.G如圖，在四邊形ABCD中，ACBD，BD=12，AC=16，E，F分別為AB，CD的中點，求EF的長解：取BC邊的中點G，連接EG、FGE，F分別為AB，CD的中點，EG是ABC的中位線，FG是BCD的中位線，又BD=12，AC=16，ACBD，EG=8，FG=6，EGFG，EGACFGBD三角形的中位線三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半三角形的中位線定理三角形的中位線定理的應用課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習