16.1二次根式第一課時第二課時人教版數學八年級下冊二次根式有意義的條件和非負性第一課時返回電視塔越高，從塔頂發射的電磁波傳播得越遠，從而能收看到電視節目的區域越廣，電視塔高h（單位：km）與電視節目信號的傳播半徑r（單位：km）之間存在近似關系，其中地球半徑R6400km如果兩個電視塔的高分別是h1km、h2km，那么它們的傳播半徑之比是.公式中中的表示什么意義？1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意義的條件，能運用二次根式的概念求被開方數中字母的取值范圍.素養目標3.會利用二次根式的雙重非負性解決相關問題.用帶根號的式子填空，看一看寫出的結果有何特點（1）這些式子分別表示什么意義？分別表示3，S，65，的算術平方根根指數都為2被開方數為非負數.（2）這些式子有什么共同特征？在前面的問題中，得到的結果分別是：，根據你的理解，猜想一下二次根式的定義應該有哪些條件？我們知道，一個正數有兩個平方根；0的平方根為0；在實數范圍內，負數沒有平方根.因此，在實數范圍內開平方的時候，被開方數只能是正數或0.一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.“”稱為二次根號.注意：a可以是數，也可以是式.歸納總結例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4屬于“非負數+正數”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數是不是非負數二次根式不是二次根式是是否否分析：利用二次根式的定義識別二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）（5）（6）；（7）1.下列各式是二次根式嗎是是是是是（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是例2當x是怎樣的實數時在實數范圍內有意義解：由x-20，得x2.當x2時，在實數范圍內有意義.【思考】1.當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？解：由題意得x-10，x1.利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍（1）解：被開方數需大于或等于零，x+30，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3且x1.歸納小結：要使二次根式在實數范圍內有意義，即需滿足被開方數0，列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時，應同時考慮分母不為零.（2）【思考】2.當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？解：(1)無論x為任何實數，當x=1時，在實數范圍內有意義.(2)無論x為任何實數，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，無論x為任何實數，在實數范圍內都無意義.歸納小結：被開方數是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.（1）（2）(1)單個二次根式如有意義的條件：A0；(3)多個二次根式相加如有意義的條件：(2)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：A0且B0.歸納總結二次根式有意義的條件應用的不同類型：2.x取何值時下列二次根式有意義x1x0（3）（4）x為全體實數x0（5）（6）x0 x0 x-1且x2(7)（9）x0 x為全體實數(8)【新知思考】當x是怎樣的實數時，在實數范圍內有意義？【回顧思考】二次根式的被開方數a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？因為x0，所以x可以為任意實數.要使x0，必須x0.當a0時，表示a的算術平方根，因此；當a=0時，表示0的算術平方根，因此.這就是說，當a0時，.呢？二次根式的實質是表示一個非負數（或式）的算術平方根.對于任意一個二次根式，必須滿足以下兩條：（1）a為被開方數，為保證其有意義，可知a0；（2）表示一個數或式的算術平方根，可知0.二次根式的雙重非負性歸納總結解：由題意可知a+3=0b-2=0c-1=0解得a=-3b=2c=1.所以2a-b+3c=-32-2+31=-5.利用二次根式的雙重非負性求字母的值例3若，求2a-b+3c的值.提示：多個非負數的和為零，則可得每個非負數均為零.初中階段學過的非負數主要有絕對值、偶次冪及二次根式.3.已知|3x-y-1|和互為相反數，求x+4y的平方根解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根為3.二次根式的雙重非負性和不等式求字母的值例4已知實數x、y滿足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由題意得解得：x=3把x=3代入得y=-5所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=644.已知y=求3x+2y的算術平方根.解：由題意得x=3，y=8，3x+2y=3328=25.25的算術平方根為5，3x+2y的算術平方根為5鞏固練習C1.（2018揚州）使有意義的x的取值范圍是（）Ax3Bx3Cx3Dx3A2.（2019黃石）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）Ax1且x2Bx1Cx1且x2Dx1鞏固練習3.（2018蘇州）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍在數軸上表示正確的是（）ABCDDAD-13.當x=____時，二次根式取最小值，其最小值為______01.下面的式子是二次根式的是()A.B.C.D.a2.（2018達州）二次根式中的x的取值范圍是（）Ax2Bx2Cx2Dx24.(1)若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_______(2)若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是___________.x1x0且x25.(1)若二次根式有意義，求m的取值范圍解：由題意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，(2)無論x取任何實數，代數式都有意義，求m的取值范圍解：由題意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.m2(x+3)20，m-90，即m9.已知a，b為等腰三角形兩條邊長，且a，b滿足，求此三角形的周長解：由題意得a=3，b=4.當a為腰長時，三角形的周長為3+3+4=10；當b為腰長時，三角形的周長為4+4+3=11先閱讀，后回答問題：當x為何值時，有意義？解：由題意得x(x-1)0由乘法法則得解得x1或x0即當x1或x0時，有意義.體會解題思想后，試著解答：當x為何值時，有意義？解：由題意得則解得x2或x，即當x2或x時，有意義二次根式定義帶有二次根號在有意義條件下求字母的取值范圍抓住被開方數必須為非負數，從而建立不等式或不等式組求出其解集.被開方數為非負數二次根式的雙重非負性二次根式中a0且0二次根式化簡第二課時返回【思考】下列數字誰能順利通過下面兩扇門進入客廳？算術平方根之門平方之門0-4-1aa01【思考】若下列數字想從客廳出來，誰能順利通過兩扇門出來呢？算術平方根之門平方之門0-4-111641aa為任意數【想一想】你發現了什么？2.會運用二次根式的兩個性質進行化簡計算.素養目標1.經歷探索性質=a（a0）和=a（a0）的過程，并理解其意義，體驗歸納、猜想的思想方法.（2）什么是一個數的算術平方根？如何表示？（1）什么叫做一個數的平方根？如何表示？一般地，若一個數的平方等于a，則這個數就叫做a的平方根.若一個正數的平方等于a，則這個數就叫做a的算術平方根.a的平方根是用(a0)表示.（1）填空：（2）通過（1）的思考，你能確定()（a0）的化簡結果嗎？說說你的理由.402是4的算術平方根，根據算術平方根的意義，是一個平方等于4的非負數，因此有()=4.同理，分別是的算術平方根.因此()=2()=()=0的性質：一般地，a(a0).即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.歸納：例1計算：解：積的乘方：（ab）2=a2b2（1）（2）（1）（2）解:（1）（2）解：總結：本題逆用了在實數范圍內分解因式.（1）（2）2.在實數范圍內分解因式：（1）x2-11(2)x4-14x2+49解：（1）x2-11=(x+)(x-)(2)x4-14x2+49=(x2-7)2=(x-)2(x+)220.10化簡下列根式，想一想化簡后，你能確定的化簡結果嗎？.平方運算算術平方根20.10.a(a0)2.觀察兩者有什么關系？填一填：a(a0).平方運算算術平方根-2-0.1.2.觀察兩者有什么關系？a(a0)【猜一猜】當a0時，=？-aa(a0)-a(a0)即任意一個數的平方的算術平方根等于它本身的絕對值.歸納：的性質：解：警示：而3.14，要注意a的正負性.(1)(2)(3)(4)【討論】（1）在中，可否去掉“a0”？如果去掉“a0”結論將會發生怎樣的變化？（2）第二小題中的能否直接使用性質進行化簡？計算一般有兩個步驟:去根號及被開方數的指數寫成絕對值的形式即去掉絕對值符號即3.請同學們快速分辨下列各題的對錯（）（）（）（）374810.610-3【議一議】如何區別與？從運算順序看從取值范圍看從運算結果看先開方后平方先平方，后開方a0a取任何實數a|a|意義表示一個非負數a的算術平方根的平方表示一個實數a的平方的算術平方根解：由數軸可知a0，b0，a-b0，原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例4實數a、b在數軸上的對應點如圖所示，請你化簡:5.實數a在數軸上的位置如圖所示，化簡的結果是.16.實數ab在數軸上對應點的位置如圖所示化簡的結果是()A.-2a+bB.2a-bC.-bD.bA（1）含有數或表示數的字母；（2）用基本運算符號連接數或表示數的字母代數式的定義用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把或連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數式.數表示數的字母【想一想】到現在為止，初中階段所學的代數式主要有哪幾類？代數式整式分式二次根式歸納：利用代數式的定義判斷代數式例5下列式子:(1)x(2)a-b(3)(4)(5)m=1+n(6)2x1(7)-2.其中是代數式的有()A.4個B.5個C.6個D.7個B7.下列式子是代數式的有()a2+b213x=23（45）x1010 x+5y=15A.3個B.4個C.5個D.6個C解：（1）船在這條河中順水行駛的速度是kmh，逆水行駛的速度是kmh（2）設賀卡的長為5x則寬為3x.依題意得15x2=S，所以所以它的長為列代數式歸納總結列代數式的要點：要抓住關鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關系，如和、差、積、商及大、小、多、少、倍、分、倒數、相反數等；理清語句層次明確運算順序；牢記一些概念和公式7.如圖，是一個圓形掛鐘，正面面積為S，用代數式表示出鐘的半徑為__________.1.（2019黃岡）計算的結果是____鞏固練習42.（2018無錫）下列等式正確的是（）ABCDA1.（2018臨安區）化簡的結果是（）A2B2C2D4C2.當1x3時，的值為（）A.3B.-3C.1D.-1D3.在下列各式中，不是代數式的是（）A.7B.32C.DB4.計算：解:（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）5.在實數范圍內分解因式：解：（1）x2-3(2)y4-4y2+4（1）x2-3=(2)y4-4y2+4=(y2-2)2=實數a、b在數軸上的對應點如圖所示，化簡：.解：根據數軸可知ba0，a+2b0，a-b0，則=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b已知a、b、c是ABC的三邊長，化簡：解：a、b、c是ABC的三邊長，a+b+c0，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c分析：利用三角形三邊關系三邊長均為正數，a+b+c0兩邊之和大于第三邊，b+c-a0，c-b-a0二次根式性質拓展性質（a為全體實數）課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習