18.2特殊的平行四邊形18.2.2菱形第一課時第二課時人教版數學八年級下冊菱形的性質第一課時返回下面的圖形中有你熟悉的嗎？越王勾踐劍，一把在地下埋藏了2000多年的古劍，出土時依然寒氣逼人，毫無銹蝕，鋒利無比，稍一用力，便可將多層白紙劃破，劍身上整齊排列的黑色菱形暗花紋.1.理解菱形的概念，會用菱形的性質解決簡單的問題.2.探索并證明菱形的性質定理.素養目標3.經歷類比矩形探究菱形性質的過程，通過觀察、類比、猜想、證明等活動，體會幾何圖形研究的一般步驟和方法.兩組對邊分別平行矩形前面我們學習了平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個角是直角時成為什么圖形有一個角是直角有一組鄰邊相等(矩形由角變化得到)如果從邊的角度將平行四邊形特殊化讓它有一組鄰邊相等這個特殊的四邊形叫什么呢四邊形菱形的定義在平行四邊形中，如果內角大小保持不變僅改變邊的長度，能否得到一個特殊的平行四邊形？xxk平行四邊形菱形鄰邊相等有一組的鄰邊相等平行四邊形叫做ADCB四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，四邊形ABCD是菱形.菱形.菱形的定義：幾何語言：菱形就在我們身邊！三菱汽車標志欣賞可以這樣做：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.你知道其中的道理嗎？如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？做一做：菱形邊的性質畫出菱形的兩條折痕并通過折疊手中的圖形回答以下問題：問題：菱形的四條邊在數量上有什么關系猜想：菱形的四條邊都相等.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O.求證:AB=BC=CD=AD；證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，AD=BC（平行四邊形的對邊相等）.又AB=ADAB=BC=CD=AD.菱形的性質：菱形的四條邊都相等.符號語言：四邊形ABCD是菱形AB=BC=CD=AD1.已知菱形的周長是36cm，那么它的邊長是______.9cm2.已知一個正方形花壇的周長是48m，菱形花壇的邊長是正方形花壇邊長的2倍，則菱形花壇的周長是（）A.24mB.12mC.96mD.48mC觀察：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即得一個菱形.菱形對角線的性質操作：在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕折疊手中的圖形(如圖），并回答以下問題:問題1:菱形是軸對稱圖形嗎如果是指出它的對稱軸.是，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸.問題2:根據上面折疊過程，菱形的兩對角線有什么關系猜想:菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O.求證:ACBD；DAC=BAC，DCA=BCA，ADB=CDB，ABD=CBD.證明：AB=ADABD是等腰三角形.又四邊形ABCD是平行四邊形OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中OB=OD，AOBD，AO平分BAD，即ACBD，DAC=BAC.同理可證DCA=BCA，ADB=CDB，ABD=CBD.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.菱形的性質：符號語言:四邊形ABCD是菱形ACBDAC平分BAD和BCD；BD平分ABC和ADC對邊相等四個角都是直角對角線互相平分且相等四邊相等對角相等兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角比一比，猜一猜，填寫下表：例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD12cm，AC6cm，求菱形的周長解：四邊形ABCD是菱形，ACBD，AOAC，BOBD.AC6cm，BD12cm，AO3cm，BO6cm.在RtABO中，由勾股定理得菱形的周長4AB4(cm)利用菱形的性質求線段的長3.菱形ABCD中O是兩條對角線的交點，已知AB5cmAO=4cm，求兩對角線AC、BD的長.解：四邊形ABCD是菱形OA=OC，OB=ODACBDRtAOB中，OB2+OA2=AB2AB=5，AO=4OB=3BD=2OB=6cm，AC=2OA=8cm.543例2如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE，求證：OA=EB.證明：四邊形ABCD為菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB，DAEAEB，AB=AEABCAEB，ABC=DAE，DAE2BAE，又ADBA，AODBEA，利用菱形的性質求證線段相等AOBE.BAEADB.4.如圖，在菱形ABCD中，CEAB于點E，CFAD于點F，求證：AEAF.證明：連接AC.四邊形ABCD是菱形，AC平分BAD，即BACDAC.CEAB，CFAD，AECAFC90.又ACAC，ACEACF.AEAF.菱形是特殊的平行四邊形那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形的面積呢OE【思考】計算菱形的面積除了上式方法外利用對角線能計算菱形的面積嗎菱形的面積S菱形=BCAE如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O試用對角線表示出菱形ABCD的面積.O解：四邊形ABCD是菱形，ACBDS菱形ABCD=SABC+SADC=ACBO+ACDO=AC(BO+DO)=ACBD.菱形的面積=底高=對角線乘積的一半例3如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，ABC60，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（結果分別精確到0.01m和0.1m2）.解：花壇ABCD是菱形，利用菱形的面積公式解答問題在RtOAB中，5.菱形ABCD的兩條對角線BD、AC長分別是6cm和8cm，求菱形面積.解：O(cm2)1.（2018淮安）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8，則這個菱形的周長是（）A20B24C40D48鞏固練習A鞏固練習證明：四邊形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），122.（2019岳陽）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為AD、CD邊上的點，DEDF，求證：12ADCD，DD，DFDE，1.如圖，已知菱形的兩條對角線分別為6cm和8cm，則這個菱形的高DE為（）A.2.4cmB.4.8cmC.5.9.6cmB2.如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則ABD的周長等于（）A.18B.16C.15D.14B3.如圖，在菱形ABCD中，已知A60，AB5，則ABD的周長是()A.10B.12C.15D.20C4.如圖，菱形ABCD的周長為48cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長為_______.第3題圖第4題圖6cm5.如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.解：在RtAOB中，OA5，OB12，SAOBOAOB51230，S菱形ABCD4SAOB430120.又菱形兩組對邊的距離相等，S菱形ABCDABh13h，13h120，得h.如圖，在菱形ABCD中，ABC與BAD的度數比為1：2，周長是8cm求：（1）兩條對角線的長度；（2）菱形的面積解：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=BC，ACBD，ADBC，ABC+BAD=180.ABC與BAD的度數比為1：2，ABC=180=60，ABO=ABC=30，ABC是等邊三角形.OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，BD=2OB=cm；（2）S菱形ABCD=ACBD=2=（cm2）菱形ABCD的周長是8cmAB=2cm，如圖，四邊形ABCD是菱形，F是AB上一點，DF交AC于E求證：AFD=CBE證明：四邊形ABCD是菱形，CB=CD，CA平分BCDBCE=DCE又CE=CE，BCEDCE（SAS）CBE=CDE在菱形ABCD中，ABCD，AFD=EDC.AFD=CBE菱形的性質菱形的性質有關計算邊1.周長=邊長的四倍2.面積=底高=兩條對角線乘積的一半角對角線1.兩組對邊平行且相等；2.四條邊相等兩組對角分別相等，鄰角互補1.兩條對角線互相垂直平分；2.每一條對角線平分一組對角菱形的判定第二課時返回菱形的兩條對角線互相平分菱形的兩組對邊平行且相等邊對角線角菱形的四條邊相等菱形的兩組對角分別相等菱形的鄰角互補菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。菱形的性質2.經歷菱形判定定理的探究過程，滲透類比思想，體會研究圖形判定的一般思路.1.掌握菱形的三種判定方法，能根據不同的已知條件，選擇適當的判定定理進行推理和計算.素養目標根據菱形的定義可得菱形的第一個判定方法：四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD四邊形ABCD是菱形數學語言：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的判定定理1用一長一短兩根細木條在它們的中點處固定一個小釘做成一個可以轉動的十字四周圍上一根橡皮筋做成一個四邊形.轉動木條這個四邊形什么時候變成菱形猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形OA=OC又ACBDBA=BC對角線互相垂直的平行四邊形是菱形幾何語言：在ABCD中，ACBDABCD是菱形.菱形的判定定理1：又四邊形ABCD是平行四邊形，OA=4OB=3AB=5，即ACBD，AB2=OA2+OB2，AOB是直角三角形，四邊形ABCD是菱形.利用對角線判定菱形證明：1.在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個條件可以是（）AABC=90BACBDCAB=CDDABCDB猜想：四條邊都相等的四邊形是菱形.ABCD李芳同學先畫兩條等長的線段AB、AD，然后分別以B、D為圓心，AB為半徑畫弧，得到兩弧的交點C，連接BC、CD，就得到了一個四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？菱形的判定定理2證明：AB=BC=CD=ADAB=CDBC=AD.四邊形ABCD是平行四邊形.又AB=BC四邊形ABCD是菱形.已知：如圖，四邊形ABCD中AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.四條邊都相等的四邊形是菱形.菱形的判定定理2：幾何語言：在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，四邊形ABCD是菱形.菱形的判定：AB=BC=CD=DA四邊形ABCD是菱形在ABCD中ACBD四邊形ABCD是菱形在ABCD中AB=AD四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形四邊相等的四邊形是菱形證明：連接AC、BD.四邊形ABCD是矩形，AC=BD.點E、F、G、H為各邊中點，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形.例2如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.利用邊相等判斷四邊形是菱形2.如圖，ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CEAB交MN于點E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.CNMN是AC的垂直平分線AD=CD，OA=OC，AE=CECEAB，DAO=ECOADOCEOAD=CEAD=CD=CE=AE四邊形ADCE是菱形證明：B如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE2DE，延長DE到點F，使得EFBE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(1)證明：D、E分別是AB、AC的中點，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四邊形BCFE是平行四邊形又EFBE，四邊形BCFE是菱形；菱形性質和判定的綜合應用(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等邊三角形，過點E作EHBC則HE=菱形的邊長為4，高為，菱形的面積為.(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面積H判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形3.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長.解：四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD，BAC=ACD，AC平分DAB，DAC=BAC，DAC=ACD，AD=DC，四邊形ABCD為菱形，四邊形ABCD的周長=42=8（2019蘭州）如圖，AC8，分別以A、C為圓心，以長度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B和D依次連接A、B、C、D，連接BD交AC于點O（1）判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由；（2）求BD的長解：（1）四邊形ABCD為菱形；由作法得ABADCBCD5，所以四邊形ABCD為菱形；（2）四邊形ABCD為菱形，在RtAOB中，OB，OAOC4，OBOD，ACBD，BD2OB61.下列命題中正確的是（）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個角相等的四邊形是菱形C2.下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A.ACBDAC與BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BCAD=CD且ACBDD.AB=CDAD=BCACBDC24cm菱形3.一邊長為5cm平行四邊形的兩條對角線的長分別為6cm和8cm，則這個平行四邊形為，其面積為.4.如圖，在菱形ABCD中CEABCFAD.則CECF，BEDF.證明：1=2又AE=ACAD=ADACDAED(SAS).同理ACFAEF(SAS).CD=EDCF=EF.又EF=ED四邊形ABCD是菱形.25.如圖在ABC中AD是角平分線點E、F分別在AB、AD上且AE=ACEF=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.ACBEDF1CD=ED=CF=EF如圖，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.將ABC沿射線BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形由平移變換的性質得CFAD10cm，DFAC.B90，AB6cm，BC8cm，ACDFADCF10cm，四邊形ACFD是菱形證明：已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于E，F求證：四邊形AFCE是菱形.EF垂直平分ACAO=COAOE=90FOC=AOE=90四邊形ABCD是平行四邊形ADBCAEFCAEO=CFOAEOCFOOE=OF又AO=CO四邊形AFCE是平行四邊形又EFAC四邊形AFCE是菱形證明：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.運用定理進行計算和證明菱形的判定定義法判定定理課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習