17.1勾股定理第一課時第二課時第三課時人教版數學八年級下冊勾股定理第一課時返回數學家曾建議用這個圖作為與“外星人”聯系的信號.1.了解勾股定理的發現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理.2.能用勾股定理解決一些簡單問題.素養目標3.通過利用勾股定理解決簡單問題，體會數形結合的思想.相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發現朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數量關系，同學們，我們也來觀察一下圖案，看看你能發現什么數量關系？勾股定理的認識與證明2.由這三個正方形A，B，C的邊長構成的等腰直角三角形三條邊長度之間有怎樣的特殊關系？【思考】1.三個正方形A，B，C的面積有什么關系？SA+SB=SC（圖中每個小方格是1個單位面積）A中含有____個小方格，即A的面積是個單位面積B的面積是個單位面積C的面積是個單位面積99189結論：圖1中三個正方形A，B，C的面積之間的數量關系是:SA+SB=SC【討論】1.三個正方形A，B，C的面積有什么關系？【討論】2.SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？結論：仍然成立。A的面積是個單位面積B的面積是個單位面積C的面積是個單位面積25169（圖中每個小方格是1個單位面積）ABC問題2式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來表示嗎問題4那么直角三角形三邊a、b、c之間的關系式是:至此，我們在網格中驗證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SCa2+b2=c2a2+b2=c2問題1去掉網格結論會改變嗎？問題3去掉正方形結論會改變嗎？命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b斜邊長為c，那么a2+b2=c2.猜想：拼圖證明是不是所有的直角三角形都具有這樣的結論呢？光靠實驗和猜想還不能把問題徹底搞清楚.這就需要我們對一般的直角三角形進行證明下面我們就一起來探究，看一看我國古代數學家趙爽是怎樣證明這個命題的以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正方形如圖1連在一起，通過剪、拼把它拼成圖2的樣子.你能做到嗎？試試看.趙爽拼圖證明法：小組活動：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個連體正方形，拼成一個新的正方形.baMNP剪、拼過程展示：“趙爽弦圖”S大正方形c2，S小正方形(b-a)2S大正方形4S三角形S小正方形，證明：畢達哥拉斯證法：請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關系后證明吧.a2+b2+2ab=c2+2ab，a2+b2=c2.證明：S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2abS大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4ab+c2=c2+2ab，aabbcca2+b2=c2.美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.證明：勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦表示為：RtABC中，C=90則ABC勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.cbaa2+b2=c2a2=c2b2b2=c2-a2公式變形1.求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625=144在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾2+股2=弦2例1如圖，在RtABC中，C=90.（1）若a=b=5求c（2）若a=1c=2求b.(2)據勾股定理得利用勾股定理求直角三角形的邊長cba2.設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.解：由勾股定理得52+122=c2c=13解：由勾股定理得62+b2=102b=8解：由勾股定理得a2+152=252a=20acbabc（1）若a：b=1：2，c=5求a（2）若b=15，A=30求ac.例2在RtABC中，C=90.x2+(2x)2=52，解得(2)因此設a=xc=2x根據勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得提示：已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設未知數，根據勾股定理列方程求解.勾股定理和方程相結合求直角三角形的邊長（舍去）（舍去）3.求出下列直角三角形中未知邊的長度：解：（1）由勾股定理得：=36+64=100 x2=62+82x=10x2+52=132x2=132-52=169-25=144x=12（2）由勾股定理得：1.（2018濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A5B6C7D8鞏固練習A2.（2019畢節市）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面積為（）AB3CD5B1.若一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為（）A.7或1B.C.5或D.15或122.若一個直角三角形的斜邊長為17，一條直角邊長為15，則另一直角邊長為（）A.8B.40C.50D.363.在RtABC中，C=90，若ab=34，c=100，則a=_____，b=______.CA60804如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm249在RtABC中，AB4，AC3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當AB為斜邊時，如圖，當BC為斜邊時，如圖，圖圖提示：當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.已知ACB=90CDABAC=3BC=4.求CD的長.解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據三角形面積公式，ACBC=ABCD.CD=.提示：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯合使用勾股定理內容在RtABC中，C=90ab為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論證明構造直角三角形解決實際問題第二課時返回這節課我們就來學習用勾股定理解決實際問題.波平如鏡一湖面，3尺高處出紅蓮.亭亭多姿湖中立，突遭狂風吹一邊.離開原處6尺遠，花貼湖面像睡蓮.請君動腦想一想，湖水在此深幾尺？2.能應用勾股定理解決簡單的實際問題.1.能應用勾股定理計算直角三角形的邊長.素養目標3.從實際問題中構造直角三角形解決生產、生活中的有關問題.一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過？為什么？勾股定理解決線段長度問題【思考】1.木板能橫著或豎著從門框通過嗎？2.這個門框能通過的最大長度是多少？不能3.怎樣判定這塊木板能否通過木框？求出斜邊的長，與木板的寬比較.小于AC即可解：在RtABC中，根據勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5AC=2.24因為AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內通過1.如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點間的距離（結果取整數）.解:57m如圖，一架2.6米長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4米（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？勾股定理解決線段移動問題CODBA（2）在RtCOD中，根據勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.解：（1）在RtAOB中，根據勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.答：梯子的底端B距墻角O為1米.答：梯子底端B也外移約0.77米.2.我國古代數學著作九章算術中的一個問題，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長各幾何？請用學過的數學知識回答這個問題.譯：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面一尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面。這個水池的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？解：設AB=x則AC=x+1，有AB2+BC2=AC2，可列方程，得x2+52=（x1）2，解方程得x=12.因此x+1=13答：這個水池的深度是12尺，這根蘆葦的長度是13尺.鞏固練習C1.（2018東營）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）ABCD解析：把圓柱側面展開，展開圖如圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長在RtADC中，ADC=90，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=1.5，所以AC=，故選：C鞏固練習52.（2019南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內，木筷露在杯子外面的部分至少有_____cm解析：由題意可得：杯子內的筷子長度最長為：15，則筷子露在杯子外面的筷子長度最少為：20155（cm）1.求出下列直角三角形中未知的邊.AC=8AB=172.直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形面積為7和8，則以斜邊為邊長的正方形的面積為.153.如圖，在平面直角坐標系中有兩點A(5，0)和B(0，4)，求這兩點間的距離.解：在RtAOB中，OA=5，OB=4A、B兩點間的距離為.AB2OA2+OB252+4241AB=.4.一木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4米處.木桿折斷之前有多高？解：由題意可知，在RtRPQ中，PR=3，PQ=4，RQ2PR2+PQ232+4225RQ5，PR+RQ3+58木桿折斷之前有8m高.5.如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15kmCB=10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？x25-x解：設AE=xkm，根據勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又DE=CEAD2+AE2=BC2+BE2即152+x2=102+（25-x）2答：E站應建在離A站10km處.x=10則BE=（25-x）km1510在ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則ABC的周長為()A.32B.42C.32或42D.以上都不對C解析：如圖，CD在ABC內部時，AB=AD+BD=9+5=14，此時，ABC的周長=14+13+15=42，如圖，CD在ABC外部時，AB=AD-BD=9-5=4，此時，ABC的周長=4+13+15=32.綜上所述，ABC的周長為32或42.故選C.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（）.A.3B.C.2D.1提示：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B21化非直角三角形為直角三角形將實際問題轉化為直角三角形模型勾股定理的應用利用勾股定理作圖或計算第三課時返回欣賞下面海螺的圖片：在數學中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案，如第七屆國際數學教育大會的會徽.2.能利用勾股定理在數軸上作出表示無理數的點.1.會用勾股定理解決簡單的實際問題，建立數形結合的思想.素養目標3.靈活運用勾股定理進行計算，并會運用勾股定理解決相應的折疊問題.在八年級上冊中，我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等學習了勾股定理后，你能證明這一結論嗎？證明“HL”已知：如圖，在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，AC=AC求證：ABCABC證明：在RtABC和RtABC中，C=C=90，根據勾股定理，得AB=ABAC=ACBC=BCABCABC（SSS）-10123問題1你能在數軸上表示出的點嗎？呢？用同樣的方法作呢？利用勾股定理在數軸上確定無理數提示：可以構造直角三角形作出邊長為無理數的邊，就能在數軸上畫出表示該無理數的點.【討論】根據上面問題你能在數軸上畫出表示的點嗎？問題2長為的線段能是直角邊的長都為正整數的直角三角形的斜邊嗎？01234步驟：lABC1.在數軸上找到點A使OA=32.作直線lOA在l上取一點B，使AB=23.以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸交于C點，則點C即為表示的點.O也可以使OA=2，AB=3，同樣可以求出C點.利用勾股定理表示無理數的方法:（1）利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正數的直角三角形的斜邊.（2）以原點為圓心，以無理數斜邊長為半徑畫弧與數軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數，在原點右邊的點表示是正無理數.01234lABC利用勾股定理在數軸上確定無理數的點例1在數軸上作出表示的點.作法：（1）在數軸上找到點A，使OA=1；（2）過點A作直線垂直于OA，在直線上取點B使AB=4，那么OB=；（3）以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸交于點C，則OC=.如圖，在數軸上，點C為表示的點.1.如圖，點A表示的實數是（）2.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數軸于點M，則點M表示的數為（）CD在55的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網格中以A出發分別畫出長度為的線段ABBBB利用勾股定理在網格上做長度為無理數的線段【想一想】如圖為44的正方形網格以格點與點A為端點你能畫出幾條邊長為的線段小結：勾股定理與網格的綜合求線段長時，通常是把線段放在與網格構成的直角三角形中，利用勾股定理求其長度.例2如圖是由4個邊長為1的正方形構成的田字格，只用沒有刻度的直尺在這個田字格中最多可以作出多少條長度為的線段？解：如圖所示，有8條.利用勾股定理在網格上作線段3.如圖，在55正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，畫出一個三角形的長分別為.ABC解：如圖所示.如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B處，點A的對應點為A，且BC3，求AM的長.解：連接BM，MB.設AMx，在RtABM中，AB2AM2BM2.在RtMDB中，MD2DB2=MB2.MBMB，AB2AM2MD2DB2，即92x2(9x)2(93)2，解得x2.即AM2.利用勾股定理在折疊問題中求線段的長度折疊問題中結合勾股定理求線段長的方法:(1)設一條未知線段的長為x(一般設所求線段的長為x)；(2)用已知線段或含x的代數式表示出其他線段長；(3)在一個直角三角形中應用勾股定理列出一個關于x的方程；(4)解這個方程，從而求出所求線段長.4.如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.解：在RtABF中由勾股定理得BF2=AF2AB2=10282=36，BF=6cm.CF=BCBF=4.設EC=xcm，則EF=DE=(8x)cm，在RtECF中根據勾股定理得x2+42=(8x)2，解得x=3.即EC的長為3cm.（2018吉林）如圖，在平面直角坐標系中，A（4，0），B（0，3），以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C，則點C坐標為_________鞏固練習(-1，0)1.小明學了利用勾股定理在數軸上作一個無理數后，于是在數軸上的2個單位長度的位置找一個點D，然后點D做一條垂直于數軸的線段CD，CD為3個單位長度，以原點為圓心，以到點C的距離為半徑作弧，交數軸于一點，則該點位置大致在數軸上（）A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間BD2.如圖，網格中的小正方形邊長均為1，ABC的三個頂點均在格點上，則AB邊上的高為_______.3.如圖，OP1，過P作PP1OP且PP11，得OP1；再過P1作P1P2OP1且P1P21，得OP2；又過P2作P2P3OP2且P2P31，得OP32；依此法繼續作下去，得OP2012______.4.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D處，求重疊部分AFC的面積.解：易證AFDCFB(AAS)，DF=BF，設DF=x，則AF=8-x，在RtAFD中，AF2=DF2+AD2(8-x)2=x2+42，SAFC=AFBC=10AF=AB-FB=8-3=5，解得x=3.5.如圖，數軸上點A所表示的數為a，求a的值.解：圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，斜邊長為，即-1到A的距離是，點A所表示的數為.提示：求點表示的數時注意畫弧的起點不從原點起，因而所表示的數不是斜邊長.在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為求這個三角形的面積小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點ABC（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖所示這樣不需求ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積解：解：如圖若ABC三邊的長分別為(a0)，請利用圖中的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的ABC，并求出它的面積ABC即為所求，ABC利用勾股定理作圖或計算在數軸上表示出無理數的點利用勾股定理解決網格中的問題利用勾股定理解決折疊問題及其他圖形的計算通常與網格求線段長或面積結合起來通常用到方程思想課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習